第13讲 因式分解·培优讲义（知识梳理+典例+练习） 2026-2027学年人教版八年级数学上册

第13讲·因式分解·培优讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026年人教版八年级数学上册 参考答案与试题解析 🍔 思维导图 🍟 课程目标 · 掌握用平方差公式分解因式的方法 · 掌握用完全平方公式分解因式的方法 · 能根据多项式特征选择合适的公式分解因式 · 会利用公式法分解因式进行简便计算与求值 · 能综合运用整体思想与公式法解决复杂因式分解问题 🍗 知识梳理 ✅️ 1.用平方差公式分解因式 平方差公式逆用：a2-b2=(a+b)(a-b) 适用条件：两项、符号相反、都能写成平方的形式 先提公因式再用公式，注意分解彻底 公式中a、b可以表示数、字母或整式（整体） 概念辨析例题：分解因式x2-9，正确结果是（　　）A．(x-3)2　B．(x+3)(x-3)　C．(x+9)(x-9)　D．(x+3)2 答案：B 解析：x2-9=x2-32，用平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)，得(x+3)(x-3)，故选B。 ✅️ 2.用完全平方公式分解因式 完全平方公式逆用：a2±2ab+b2=(a±b)2 适用条件：三项、其中两项是平方且同号，另一项是两底数积的2倍 先确认中间项的符号与系数，再套公式 注意分解后结果为二项式的平方 概念辨析例题：分解因式x2-6x+9，正确结果是（　　）A．(x+3)2　B．(x-3)2　C．(x+9)2　D．(x-6)2 答案：B 解析：x2-6x+9=x2-2·x·3+32，符合完全平方公式a2-2ab+b2=(a-b)2，得(x-3)2，故选B。 ✅️ 3.公式法的选择与先提公因式 分解步骤：先看有无公因式，先提公因式再用公式 两项且符号相反→平方差公式；三项→完全平方公式 平方差公式可连续使用，直到不能分解 分解结果要彻底，每个因式不能再分解 概念辨析例题：分解因式2x3-8x，正确结果是（　　）A．2x(x2-4)　B．2x(x-2)(x+2)　C．2(x-2)(x+2)　D．x(2x-4)(x+2) 答案：B 解析：先提公因式2x，得2x(x2-4)，再用平方差公式分解得2x(x-2)(x+2)，故选B。 ✅️ 4.整体思想与综合应用 把多项式整体看作公式中的a或b，如(a+b)2-9 先整体套公式，再对括号内继续分解 利用因式分解简化计算与求值 综合题常需先提公因式再连续用公式 概念辨析例题：分解因式(a+b)2-4，正确结果是（　　）A．(a+b+2)(a+b-2)　B．(a+b+4)(a+b-4)　C．(a-b+2)(a-b-2)　D．(a+2)(b-2) 答案：A 解析：把(a+b)整体看作a、2看作b，用平方差公式：(a+b)2-4=(a+b+2)(a+b-2)，故选A。 🧀 知识总结表 核心概念 公式/方法 注意事项 平方差公式 a2-b2=(a+b)(a-b) 两项符号相反 完全平方公式 a2±2ab+b2=(a±b)2 三项且两项平方同号 分解步骤 先提公因式再用公式 公因式优先 整体思想 把多项式看作一个整体 套公式后再分解 彻底分解 每个因式不可再分解 用乘法验证 📩 核心考点 【考点1】平方差公式分解因式（第1-16题） · 两项符号相反写成平方差 · 套用a2-b2=(a+b)(a-b) · 先提公因式再套公式 1．（24-25八年级上·辽宁鞍山·阶段检测）计算后的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】因式分解的应用 【分析】该题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是提取公因式． 直接提取公因式，进而得出答案． 【详解】解：     ， 故选：C． 2．（25-26八年级上·全国·期中）在下列多项式中，能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】平方差公式分解因式 【分析】本题主要考查了因式分解，平方差公式，解题的关键是掌握平方差公式． 利用平方差公式逐项进行判断即可． 【详解】解：A.不符合平方差公式的特征，不能用平方差公式分解因式，故此选项不符合题意； B.不符合平方差公式的特征，不能用平方差公式分解因式，故此选项不符合题意； C.不符合平方差公式的特征，不能用平方差公式分解因式，故此选项不符合题意； D.，符合平方差公式的特征，能用平方差公式分解因式，故此选项符合题意． 故选：D． 3．（2024·云南·中考真题）分解因式：（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查了提取公因式和公式法进行因式分解，熟练掌握知识点是解题的关键． 将先提取公因式，再运用平方差公式分解即可． 【详解】解：， 故选：A． 4．（24-25七年级下·山东菏泽·期末）小刚是一位密码翻译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：东、爱、我、山、丽、美，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（   ） A．我爱美丽 B．山东美丽 C．我爱山东 D．美我山东 【答案】C 【知识点】因式分解的应用 【分析】本题考查了因式分解的应用． 将原式提取公因式后，利用平方差公式进一步分解，结合各因式对应的字即可得出结果． 【详解】解： ， 对应“爱”，对应“我”，对应“东”，对应“山”． 四个因式组合为“爱、我、东、山”， 只有C“我爱山东”符合， 故选：C． 5．（24-25八年级下·陕西西安·阶段检测）下列多项式，能用平方差公式进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】平方差公式分解因式 【分析】本题考查了用平方差公式进行因式分解．熟记平方差公式的结构特点是解题的关键．平方差公式：． 根据平方差公式的结构特点，两个平方项，并且符号相反，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、两平方项符号相同，不能用平方差公式进行因式分解； B、，符合平方差公式的特点，能用平方差公式进行因式分解； C、两平方项符号相同，不能用平方差公式进行因式分解； D、是三项，不能用平方差公式进行因式分解． 故选：． 6．（2025·江苏泰州·二模）若代数式，，则P和Q的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【知识点】整式的加减运算、因式分解的应用 【分析】本题考查了因式分解的应用，作差法比较大小，先求出，然后根据非负数的性质判断即可． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 7．（23-24八年级上·河南驻马店·期末）若能分解为，那么、的值是（   ） A．7、2 B． C． D． 【答案】B 【知识点】因式分解的应用、（x+p）（x+q）型多项式乘法 【分析】本题主要考查因式分解的意义，以及多项式相等的条件，将分解因式的结果利用多项式乘以多项式法则计算，合并后根据多项式相等的条件即可求解. 【详解】解： ∴ 解得：. 故选：B. 8．（25-26八年级下·四川巴中·期末）下列因式分解正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、提公因式法分解因式、完全平方公式分解因式 【分析】根据提公因式法、完全平方公式、平方差公式，逐一判断各选项的因式分解是否正确． 【详解】解：A．，符合完全平方公式，分解正确； B．展开右侧得，与左侧不相等，分解错误； C．，与选项给出的结果不相等，分解错误； D．因式分解需要将公因式提尽，，选项没有提取完公因式，分解错误． 9．（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）分解因式的正确结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查因式分解，按照先提取公因式，再用平方差公式分解到每个因式无法继续分解的步骤计算即可． 【详解】解：． 10．（2025·河南南阳·二模）对任意整数都能（　　） A．被4整除 B．被5整除 C．被6整除 D．被7整除 【答案】A 【知识点】因式分解的应用 【分析】本题考查了因式分解的应用；利用平方差公式分解因式，即可判断． 【详解】解： ， 由于m为整数，则为4的倍数，从而能被4整除； 故选：A． 11．（23-24八年级上·山东东营·期末）小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，2，，，，分别对应下列六个字：华、我、爱、美、游、中，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（    ） A．爱我中华 B．我游中华 C．中华美 D．我爱美 【答案】A 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、因式分解的应用 【分析】本题考查因式分解的应用，综合利用提公因式法和公式法进行因式分解，即可求解． 【详解】解： ， 2，，，对应的汉字分别为：爱、我、中、华， 呈现的密码信息可能是“爱我中华”， 故选A． 12．（24-25八年级上·全国·期末）下列因式分解结果正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】平方差公式分解因式、判断是否是因式分解、提公因式法分解因式 【分析】此题考查了因式分解的定义和因式分解，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解，因式分解的方法有：十字相乘法，提公因式法，以及运用公式法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 【详解】解：．，不是因式分解，故该选项不符合题意； ． ，原因式分解错误，故该选项不符合题意； ．，因式分解正确，故该选项符合题意； ．，不是因式分解，故该选项不符合题意； 故选：C． 13．（25-26七年级上·上海普陀·阶段检测）下列各式中，不能用平方差公式得到的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】平方差公式分解因式 【分析】本题考查平方差公式，根据平方差公式的结构特点判断即可． 【详解】解：A、能用平方差公式，不符合题意； B、能用平方差公式，不符合题意； C、，能用平方差公式，不符合题意； D、，不能用平方差公式，符合题意； 故选：D． 14．（25-26八年级下·全国·课后作业）若多项式可以在有理数范围内运用平方差公式分解因式，则单项式可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】平方差公式分解因式 【分析】平方差公式的形式为，将每个选项代入多项式，判断是否能转化为两个有理数范围内的平方项的差的形式． 【详解】解：当时，多项式为，此为单项式，无法运用平方差公式分解因式，故A选项不符合题意； 当时，多项式为，是平方和，不能运用平方差公式分解因式，故B选项不符合题意； 当时，多项式为，该式子无法转化为两个平方项的差的形式，不能运用平方差公式分解因式，故C选项不符合题意； 当时，多项式为，符合平方差公式的形式，能在有理数范围内分解因式，故D选项符合题意． 15．（22-23八年级上·四川内江·期中）观察下列算式：，，，…，它有一定的规律性，把第个算式的结果记为，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】十字相乘法、与实数运算相关的规律题 【分析】本题主要考查了与实数有关的规律探索，通过观察可知，据此可得，再把所求式子裂项相消即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ……， 以此类推可知，， ∴， ∴， ∴原式 ， 故选：C． 16．（24-25七年级下·辽宁沈阳·阶段检测）若，且，则的值为（   ） A．1 B．2 C．2或 D．4 【答案】B 【知识点】平方差公式分解因式 【分析】此题考查平方差公式分解因式，根据平方差公式分解得到，即可得到的值． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴ 故选：B． 【考点2】完全平方公式分解因式（第17-30题） · 三项中两项是平方且同号 · 中间项是两底数积的2倍 · 套用完全平方公式 17．（25-26八年级上·福建泉州·阶段检测）下列各多项式中，可以用完全平方公式分解因式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】完全平方公式分解因式 【分析】本题考查了用完全平方公式进行因式分解的能力，解题的关键是了解完全平方公式的结构特点，准确记忆公式，会根据公式的结构判定多项式是否是完全平方式． 可以用完全平方公式分解因式的多项式必须是完全平方式，符合结构，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、中，，中间项应为，而非，不符合完全平方式结构，故该选项不符合题意； B、中，，，中间项应为，而非，不符合完全平方式结构，故该选项不符合题意； C、，符合完全平方式结构，故该选项符合题意； D、中，为负项，不满足完全平方式中两个平方项同号的要求，不符合结构，故该选项不符合题意； 故选：C． 18．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）已知点关于x轴的对称点为，则多项式可因式分解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】完全平方公式分解因式、坐标与图形变化——轴对称 【分析】先根据对称性确定点B的坐标，得到m和n的值，再将多项式因式分解． 本题考查了平面直角坐标系中点的对称性，以及利用完全平方公式分解因式．熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：点关于x轴的对称点B的坐标为， ∴，． 代入多项式得． 故选：A． 19．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段检测）已知为实数，整式的最小值是（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【知识点】因式分解的应用、完全平方公式分解因式 【分析】本题考查完全平方公式的应用和偶次方的非负性，正确运用该完全平方公式是解答本题的关键．先分组，然后运用配方法得到，最后利用偶次方的非负性得到最小值． 【详解】解：， ∵，， ∴的最小值是， 故选C． 20．（25-26七年级下·全国·课后作业）若，则的值为（   ） A．12 B．10 C．8 D．6 【答案】B 【知识点】平方差公式分解因式 【分析】先利用平方差公式对和进行因式分解，再化简等式两边，最后解出的值并与选项比对． 【详解】解：首先，利用平方差公式分解： ． 代入原等式：． 化简左边得：． 两边同时约去，得：． 故选：B． 【点睛】本题考查了平方差公式的应用和等式的化简，解题关键是利用平方差公式简化计算，避免直接计算大数平方，提高效率． 21．（25-26八年级上·全国·课后作业）若是完全平方式，则实数的值为（   ） A． B．或 C．5 D．4 【答案】B 【知识点】完全平方公式分解因式 【分析】本题考查了完全平方公式的应用知识点，掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键． 本题根据完全平方公式，分析多项式的结构，得出“中间项系数需满足与首项、末项的关系”的结论，进而通过解方程求出的值，即可解决根据完全平方式的结构特征求字母参数的问题． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴， ∵， ∴， 即：， 当时，； 当时，， 综上：或． 故选 ：B． 22．（2026·江苏泰州·一模）分解因式：______． 【答案】 【知识点】平方差公式分解因式 【详解】解：． 23．（2024·河南南阳·一模）若   ，则 ______________． 【答案】 【知识点】平方差公式分解因式 【分析】本题考查了平方差公式因式分解，根据平方差公式因式分解，将式子的值代入，进行计算即可求解． 【详解】解：∵ ， ∴ ， 故答案为：． 24．（25-26八年级上·全国·课后作业）多项式，，中，它们的公因式是________ ． 【答案】 【知识点】公因式、平方差公式分解因式、提公因式法分解因式、完全平方公式分解因式 【分析】本题主要考查公因式的确定，因式分解，熟练掌握公因式的定义及因式分解是解题的关键．先因式分解两个多项式，找出系数的最大公约数，相同字母的最低指数次幂，即可确定公因式． 【详解】解： ； ； ∵各项都含有， ∴它们的公因式是． 故答案为：． 25．（24-25七年级上·上海普陀·阶段检测）已知正方形的面积是，则正方形的边长为________． 【答案】 【知识点】完全平方公式分解因式 【分析】本题考查因式分解的应用，涉及完全平方和公式因式分解，设正方形的边长为 ，由题意列出等式，因式分解求解即可得到答案．熟练掌握完全平方和公式因式分解是解决问题的关键． 【详解】解：设正方形的边长为 ， 由正方形的面积是可得，， ， ，则正方形的边长， 故答案为：． 26．（23-24九年级下·北京·阶段检测）分解因式：=__________________． 【答案】 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．先提取公因式，再用完全平分公式进行因式分解即可． 【详解】解：， ， ； 故答案为：． 27．（2026·浙江·模拟预测）若，则的值为______． 【答案】9 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、完全平方公式分解因式 【分析】将所求多项式利用完全平方公式因式分解，再代入已知条件计算即可． 【详解】解：根据完全平方公式因式分解，得 ， 将代入，得 原式． 28．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解：__________． 【答案】 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查了提取公因式法，公式法分解因式，掌握提取公因式公式法是关键． 根据题意，先提取公因式，再运用平方差公式计算即可． 【详解】解： ， 故答案为： ． 29．（20-21七年级上·湖南张家界·期末）先阅读，再分解因式：，按照这种方法分解因式：________． 【答案】 【知识点】平方差公式分解因式、完全平方公式分解因式 【分析】仿照题干给出的添项因式分解方法，先对原式添项配成完全平方式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ． 30．（25-26八年级下·全国·课后作业）若，，则计算的结果为____________． 【答案】4050 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、因式分解的应用、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了因式分解，解决本题的关键是熟练掌握平方差公式． 提取公因式后利用平方差公式简化计算． 【详解】原式 当 ，， 原式=． 故答案为：． 【考点3】公式法综合与整体思想（第31-44题） · 先提公因式再选公式 · 把多项式整体当a或b · 连续套公式分解彻底 31．（23-24八年级上·河南南阳·期末）因式分解：__________． 【答案】 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查因式分解，利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 32．（2026·山东济宁·二模）分解因式：________． 【答案】 【知识点】完全平方公式分解因式 【详解】解：． 33．（23-24八年级上·全国·单元测试）如果多项式能用分组分解法分解因式，则符合条件的，的一组整数值是____． 【答案】，（答案不唯一） 【知识点】完全平方公式分解因式、分组分解法 【分析】本题考查的是分组分解因式，公式法分解因式，如果多项式能用分组分解法分解因式，则前三项为完全平方公式，再与后一项组成平方差公式即可． 【详解】解：多项式能用分组分解法分解因式， ∴多项式可以为：， 则符合条件的一组整数值是，等． 故答案为：， 34．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）把多项式分解因式的结果是_____________ ． 【答案】 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题主要考查了提公因式法因式分解，完全平方公式因式分解， 先提出公因式，再根据完全平方公式分解即可． 【详解】解：原式． 故答案为：． 35．（25-26八年级上·全国·课后作业）（1）对代数式进行因式分解，结果是________． （2）分解因式：________． 【答案】 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查了提公因式法，完全平方公式分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）利用完全平方公式即可直接得出答案； （2）利用提公因式法，完全平方公式即可直接得出答案 【详解】解：（1）根据完全平方公式分解因式可得：； （2）； 故答案为：，． 36．（25-26七年级上·上海·阶段检测）已知：，则______； 【答案】 【知识点】因式分解的应用、通过对完全平方公式变形求值、积的乘方的逆用 【分析】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式变形求值，积的乘方逆运算等知识点，熟练掌握各知识点是解题的关键． 先将原式分解为，然后再由完全平方公式变形为，最后再代入求值即可． 【详解】解：， 故答案为：． 37．（26-27九年级上·辽宁辽阳·开学考试）因式分解：________． 【答案】 【知识点】平方差公式分解因式、综合运用公式法分解因式 【分析】先将原式变形为平方差的形式，利用平方差公式分解后化简即可得到结果 【详解】解： 38．（2025·云南丽江·模拟预测）因式分解_______． 【答案】 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、提公因式法分解因式 【分析】先将式子中的进行变形，使其与有相同的形式，再提取公因式，最后利用平方差公式进行因式分解．本题主要考查了提取公因式法和公式法（平方差公式）的综合运用来进行因式分解．熟练掌握提取公因式的方法以及平方差公式的结构特征，并能灵活运用它们对多项式进行因式分解是解题的关键． 【详解】解： 故答案为：． 39．（25-26八年级下·全国·课后作业）利用因式分解计算：_____． 【答案】36 【知识点】完全平方公式分解因式、因式分解在有理数简算中的应用 【分析】本题考查了因式分解的应用，利用因式分解可以简化计算，正确计算是解题的关键． 观察表达式，发现其符合完全平方公式的形式，通过完全平方公式进行因式分解简化计算． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 40．（2024七年级上·浙江宁波·竞赛）已知a为无理数，且，则___________． 【答案】 【知识点】因式分解的应用、无理数 【分析】本题主要考查了无理数的含义，解题关键是因式分解．根据a为无理数，结合因式分解可得：，再进一步即可解题． 【详解】解：∵a为无理数，且， ∴， ∴， ∵是无理数，不为0， ∴0， ∴． 故答案为：． 41．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）把多项式分解因式的结果是___________． 【答案】 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题主要考查了分解因式中提公因式法与公式法的综合运用，先提取公因式，然后利用完全平方公式法因式分解即可，掌握因式分解的应用是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 42．（24-25七年级上·北京·开学考试）________． 【答案】 【知识点】十字相乘法、提公因式法分解因式 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握正体换元法是解题的关键；可先提取公因式，然后再根据换元法进行因式分解即可 【详解】解：原式， 令，故， 原式 ； 故答案为． 43．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知因式分解为，其中，，均为整数，则的值为______． 【答案】11 【知识点】因式分解的应用 【分析】先通过变形将式子转化为含有相同公因式的形式，提取公因式后整理化简，再与给定的因式分解形式对比确定a、b、c的取值，最后代入代数式计算的值． 【详解】解： ， 对比，可得，，， 则 ． 44．（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）已知可因式分解成，其中常数均为整数，则________． 【答案】 【知识点】已知因式分解的结果求参数、因式分解的应用、已知字母的值 ，求代数式的值、提公因式法分解因式 【分析】将原式分解因式化简后对应系数求出，，的值，代入求解即可． 【详解】解： ， 根据题意得， ，，， ． 【考点4】因式分解综合应用（第45-52题） · 因式分解简化计算求值 · 整体思想处理复杂式子 · 验证分解结果 45．（24-25八年级上·湖北孝感·期末）已知，则的值是_____． 【答案】25 【知识点】因式分解的应用、运用平方差公式进行运算、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查了平方差公式及代数式的化简与求值，先利用平方差公式分解，代入后化简，再代入已知条件计算结果． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：25． 46．（2026八年级下·全国·专题练习）因式分解： （1）__________； （2）__________； （3）__________； （4）__________． 【答案】 【知识点】平方差公式分解因式、完全平方公式分解因式 【详解】解：（1）； （2）； （3） ； （4）． 47．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）先阅读材料，再回答问题： 分解因式： 解：设，则原式 再将还原，得到：原式 上述解题中用到的是“整体思想”，它是数学中常用的一种思想． 请你用整体思想分解因式：______． 【答案】 【知识点】完全平方公式分解因式 【分析】本题考查利用公式法因式分解，理解“整体思想”是解题的关键． 设，将原式换元后利用完全平方公式因式分解即可． 【详解】解：设， 则原式 ， 将还原可得原式， 故答案为：． 48．（2025·福建福州·一模）若，则的值为_______. 【答案】1 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、因式分解的应用、已知式子的值，求代数式的值 【分析】此题主要考查了因式分解的应用，正确分解因式是解题关键．先用完全平方公式分解因式，把已知数据代入得出答案． 【详解】解：， ∵， ∴原式． 故答案为：1． 49．（25-26八年级上·山东烟台·期末）若任意两个连续奇数的平方差一定能被正整数整除，则所有满足条件的正整数的和为____________． 【答案】15 【知识点】因式分解的应用 【分析】本题考查因式分解的应用．设这两个连续奇数为和，则 ，因此可判断两个连续奇数的平方差能被8整除，据此求解即可． 【详解】解：设这两个连续奇数为和，则 ． 因此两个连续奇数的平方差能被8整除． 正整数为8的正约数：1，2，4，8． 这些约数的和为． 故答案为：15． 50．（25-26八年级上·湖北黄冈·期末）若a，b，c表示的三边，且，试判断的形状，并说明理由． 【答案】 为等边三角形．理由如下： ∵， ∴，即， ∴， ∴，，， 解得：，，， ∴． ∴为等边三角形． 【知识点】因式分解的应用、等边三角形的判定 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，非负数的性质，等边三角形的判定，先将变为，得出，，，即可得出，说明为等边三角形． 【详解】略 51．（24-25八年级下·甘肃白银·开学考试）分解因式：． 【答案】 【知识点】平方差公式分解因式、提公因式法分解因式 【分析】先提公因式，再利用平方差公式进行分解即可． 【详解】解： ． 【点睛】分解因式要遵循“先提公因式，后用公式”的原则，切记分解要彻底，直到不能再分解为止． 52．（24-25七年级下·浙江绍兴·阶段检测）将下列多项式分解因式 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、十字相乘法、提公因式法分解因式、完全平方公式分解因式 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是： （1）根据完全平方公式进行因式分解即可； （2）先提取公因式，然后根据平方差公式进行因式分解即可； （3）先提取公因式，然后根据平方差公式进行因式分解即可； （4）根据十字相乘法进行因式分解即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解∶原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式． 课后巩固 【作业 1】（25-26八年级上·山东泰安·阶段检测）利用因式分解计算： (1)； (2)． (3)； (4)． 【答案】(1) (2)4 (3)0 (4) 【知识点】因式分解在有理数简算中的应用 【分析】本题主要考查了利用完全平方公式、提公因式法进行简便计算，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键． （1）根据完全平方公式进行计算即可； （2）根据完全平方公式进行计算即可； （3）利用提公因式法进行计算即可； （4）整理后，利用提公因式法进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【作业 2】（23-24八年级上·山东临沂·期末）分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、平方差公式分解因式、提公因式法分解因式、完全平方公式分解因式 【分析】本题主要考查了因式分解，解决问题的关键是熟练掌握提公因式法分解因式，运用公式法分解因式． （1）先提公因式，再用完全平方公式分解因式； （2）先用完全平方公式分解因式，再用平方差公式分解因式． 【详解】（1）解： （2） 【作业 3】（24-25七年级下·山东聊城·阶段检测）将下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、提公因式法分解因式、综合运用公式法分解因式 【分析】（1）先提公因式，再利用完全平方公式继续分解，即可解答； （2）利用提公因式法解题即可； （3）先提公因式，再用完全平方公式因式分解即可； （4）先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式分解因式． 本题考查了提公因式法因式分解，公式法因式分解，熟练掌握其运算规则是解题的关键． 【详解】（1）原式 （2）原式 （3）原式 （4）原式 【作业 4】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，，为等腰三角形的三边长，且满足．求等腰三角形的周长． 【答案】32或34 【知识点】因式分解的应用、等腰三角形的性质和判定、三角形三边关系的应用 【分析】本题考查了因式分解的应用，非负数的性质，等腰三角形的性质，三角形三边关系，掌握通过配方求出边长，分情况讨论等腰三角形的三边并验证能否构成三角形是解题的关键． 将等式分组后因式分解转化为平方和为的形式，求出的值；分两种情况讨论等腰三角形的三边，用三角形三边关系验证后计算周长． 【详解】解：， ， ， ，． 当，时，， 能构成三角形，周长为； 当，，， 能构成三角形，周长为． 故等腰三角形的周长为或． 【作业 5】（24-25八年级下·陕西西安·期末）先阅读下列材料，再解答问题： 材料：因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则 原式．再将“”还原，得原式． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你运用整体思想解答下列问题： (1)因式分解：； (2)求证：若为正整数，则式子的值一定是某一个整数的平方． 【答案】(1) (2) 证明：将看成整体，令， 则原式． 再将“”还原，得原式． 为正整数， 为整数， 式子的值一定是某一个整数的平方． 【知识点】完全平方公式分解因式 【分析】本题考查了利用全平方公式分解因式，解题关键是掌握利用全平方公式分解因式． （1）利用整体思想结合完全平方公式分解因式； （2）利用整体思想结合完全平方公式分解因式． 【详解】（1）解：将看成整体，令， 则原式． 再将“”还原，得原式． （2）略 【作业 6】（25-26七年级下·全国·课后作业）下列各式的因式分解正确吗？如果不正确，请改正过来． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) 正确 (2) 不正确，改正为 (3) 正确 (4) 不正确，改正为 【知识点】判断是否是因式分解、提公因式法分解因式、完全平方公式分解因式 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）计算等式右边验证是否等于左边，即可判断； （2）注意提取公因式需要变号，据此改正即可； （3）计算等式右边验证是否等于左边，即可判断； （4）等式右边不是几个整式的乘积，利用完全平方公式进行因式分解即可改正． 【详解】（1）解：由于，故正确； （2）解：由于，故错误； 改正为：； （3）解：由于，故正确； （4）解：由于右边不是几个整式乘积的形式，故错误； 改正为：． 【作业 7】（23-24七年级下·江苏连云港·期末）分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】平方差公式分解因式、完全平方公式分解因式 【分析】本题考查因式分解： （1）直接利用平方差公式因式分解即可； （2）直接利用完全平方公式因式分解即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式． 【作业 8】（25-26八年级上·江苏苏州·阶段检测）因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、平方差公式分解因式、完全平方公式分解因式 【分析】本题主要考查因式分解，掌握平方差公式、完全平方公式法分解因式是解题的关键． （1）先提取公因数，再利用平方差公式分解因式即可； （2）原式利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】（1）原式； （2）原式 ． 【作业 9】（25-26七年级下·全国·单元测试）（1）已知，，求的值． （2）已知，，求的值． 【答案】（1）；（2） 【知识点】因式分解的应用、已知式子的值，求代数式的值 【分析】此题考查了因式分解的应用和代数式的求值，正确进行因式分解是关键． （1）把原式变形为，整体代入即可； （2）把原式变形为，整体代入即可． 【详解】解：（1）． ∵，， ∴原式． （2）． ∵，， ∴原式． 【作业 10】（24-25八年级上·甘肃临夏·阶段检测）因式分解 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】平方差公式分解因式、提公因式法分解因式、完全平方公式分解因式 【分析】本题考查因式分解， （1）直接提公因式即可； （2）利用平方差公式进行分解即可； （3）利用完全平方公式进行分解即可； （4）先添括号将首项变为正数的形式，再用完全平方公式进行分解； 解题的关键是掌握因式分解的基本思路：一个多项式如有公因式首先提取公因式，然后再用公式法进行因式分解．如果剩余的是两项，考虑使用平方差公式；如果剩余的是三项，则考虑使用完全平方公式；同时，因式分解要彻底，要分解到不能分解为止． 【详解】（1）解：； （2）； （3）； （4）． 【作业 11】（25-26八年级上·山东临沂·阶段检测）分解因式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、平方差公式分解因式、完全平方公式分解因式 【分析】本题考查了因式分解，灵活选择方法是解题的关键． （1）先提取公因式，再运用平方差公式解答即可； （2）先提取公因式，再运用完全平方公式解答即可； 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【作业 12】（23-24七年级下·江西抚州·期中）如图为某校七（1）和七（2）两个班级的劳动实践基地，右图是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为m、n（）的正方形，其中重叠部分B为池塘，阴影部分分别表示七（1）和七（2）两个班级的基地面积．若，，求的值． 【答案】39 【知识点】平方差公式分解因式、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】此题考查了乘法公式和因式分解的应用，根据题意得到，再求出，再根据因式分解得到即可得到答案． 【详解】解：由题意可得，，， ∴， ． ．            ∴           又 ． ． 答：的值为39． 【作业 13】（25-26七年级下·全国·课后作业）分解因式： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、分组分解法 【分析】本题考查了因式分解的常用方法，包括分组分解法、完全平方公式和平方差公式，掌握观察式子结构，选择合适的分解方法，先分组或用完全平方，再用平方差公式是解题的关键． （1）分组分解，将前两项和后两项分别分组，提取公因式后再整体提取公因式； （2）先对前三项用完全平方公式，再用平方差公式因式分解； （3）先对前三项用完全平方公式，再用平方差公式因式分解． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 【作业 14】（25-26八年级上·全国·随堂练习）判断下列因式分解的结果是否正确．若不正确，请写出正确的结果． 课后巩固 🍬 复习建议 · 两项符号相反优先想平方差公式 · 三项中两项是平方且同号想完全平方公式 · 分解因式先提公因式再用公式 · 把多项式整体看作一个数套公式 · 分解彻底后用乘法展开验证 【作业 1】（25-26八年级上·山东泰安·阶段检测）利用因式分解计算： (1)； (2)． (3)； (4)． 【答案】(1) (2)4 (3)0 (4) 【知识点】因式分解在有理数简算中的应用 【分析】本题主要考查了利用完全平方公式、提公因式法进行简便计算，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键． （1）根据完全平方公式进行计算即可； （2）根据完全平方公式进行计算即可； （3）利用提公因式法进行计算即可； （4）整理后，利用提公因式法进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【作业 2】（23-24八年级上·山东临沂·期末）分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、平方差公式分解因式、提公因式法分解因式、完全平方公式分解因式 【分析】本题主要考查了因式分解，解决问题的关键是熟练掌握提公因式法分解因式，运用公式法分解因式． （1）先提公因式，再用完全平方公式分解因式； （2）先用完全平方公式分解因式，再用平方差公式分解因式． 【详解】（1）解： （2） 【作业 3】（24-25七年级下·山东聊城·阶段检测）将下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、提公因式法分解因式、综合运用公式法分解因式 【分析】（1）先提公因式，再利用完全平方公式继续分解，即可解答； （2）利用提公因式法解题即可； （3）先提公因式，再用完全平方公式因式分解即可； （4）先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式分解因式． 本题考查了提公因式法因式分解，公式法因式分解，熟练掌握其运算规则是解题的关键． 【详解】（1）原式 （2）原式 （3）原式 （4）原式 【作业 4】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，，为等腰三角形的三边长，且满足．求等腰三角形的周长． 【答案】32或34 【知识点】因式分解的应用、等腰三角形的性质和判定、三角形三边关系的应用 【分析】本题考查了因式分解的应用，非负数的性质，等腰三角形的性质，三角形三边关系，掌握通过配方求出边长，分情况讨论等腰三角形的三边并验证能否构成三角形是解题的关键． 将等式分组后因式分解转化为平方和为的形式，求出的值；分两种情况讨论等腰三角形的三边，用三角形三边关系验证后计算周长． 【详解】解：， ， ， ，． 当，时，， 能构成三角形，周长为； 当，，， 能构成三角形，周长为． 故等腰三角形的周长为或． 【作业 5】（24-25八年级下·陕西西安·期末）先阅读下列材料，再解答问题： 材料：因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则 原式．再将“”还原，得原式． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你运用整体思想解答下列问题： (1)因式分解：； (2)求证：若为正整数，则式子的值一定是某一个整数的平方． 【答案】(1) (2) 证明：将看成整体，令， 则原式． 再将“”还原，得原式． 为正整数， 为整数， 式子的值一定是某一个整数的平方． 【知识点】完全平方公式分解因式 【分析】本题考查了利用全平方公式分解因式，解题关键是掌握利用全平方公式分解因式． （1）利用整体思想结合完全平方公式分解因式； （2）利用整体思想结合完全平方公式分解因式． 【详解】（1）解：将看成整体，令， 则原式． 再将“”还原，得原式． （2）略 【作业 6】（25-26七年级下·全国·课后作业）下列各式的因式分解正确吗？如果不正确，请改正过来． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) 正确 (2) 不正确，改正为 (3) 正确 (4) 不正确，改正为 【知识点】判断是否是因式分解、提公因式法分解因式、完全平方公式分解因式 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）计算等式右边验证是否等于左边，即可判断； （2）注意提取公因式需要变号，据此改正即可； （3）计算等式右边验证是否等于左边，即可判断； （4）等式右边不是几个整式的乘积，利用完全平方公式进行因式分解即可改正． 【详解】（1）解：由于，故正确； （2）解：由于，故错误； 改正为：； （3）解：由于，故正确； （4）解：由于右边不是几个整式乘积的形式，故错误； 改正为：． 【作业 7】（23-24七年级下·江苏连云港·期末）分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】平方差公式分解因式、完全平方公式分解因式 【分析】本题考查因式分解： （1）直接利用平方差公式因式分解即可； （2）直接利用完全平方公式因式分解即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式． 【作业 8】（25-26八年级上·江苏苏州·阶段检测）因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、平方差公式分解因式、完全平方公式分解因式 【分析】本题主要考查因式分解，掌握平方差公式、完全平方公式法分解因式是解题的关键． （1）先提取公因数，再利用平方差公式分解因式即可； （2）原式利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】（1）原式； （2）原式 ． 【作业 9】（25-26七年级下·全国·单元测试）（1）已知，，求的值． （2）已知，，求的值． 【答案】（1）；（2） 【知识点】因式分解的应用、已知式子的值，求代数式的值 【分析】此题考查了因式分解的应用和代数式的求值，正确进行因式分解是关键． （1）把原式变形为，整体代入即可； （2）把原式变形为，整体代入即可． 【详解】解：（1）． ∵，， ∴原式． （2）． ∵，， ∴原式． 【作业 10】（24-25八年级上·甘肃临夏·阶段检测）因式分解 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】平方差公式分解因式、提公因式法分解因式、完全平方公式分解因式 【分析】本题考查因式分解， （1）直接提公因式即可； （2）利用平方差公式进行分解即可； （3）利用完全平方公式进行分解即可； （4）先添括号将首项变为正数的形式，再用完全平方公式进行分解； 解题的关键是掌握因式分解的基本思路：一个多项式如有公因式首先提取公因式，然后再用公式法进行因式分解．如果剩余的是两项，考虑使用平方差公式；如果剩余的是三项，则考虑使用完全平方公式；同时，因式分解要彻底，要分解到不能分解为止． 【详解】（1）解：； （2）； （3）； （4）． 【作业 11】（25-26八年级上·山东临沂·阶段检测）分解因式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、平方差公式分解因式、完全平方公式分解因式 【分析】本题考查了因式分解，灵活选择方法是解题的关键． （1）先提取公因式，再运用平方差公式解答即可； （2）先提取公因式，再运用完全平方公式解答即可； 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【作业 12】（23-24七年级下·江西抚州·期中）如图为某校七（1）和七（2）两个班级的劳动实践基地，右图是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为m、n（）的正方形，其中重叠部分B为池塘，阴影部分分别表示七（1）和七（2）两个班级的基地面积．若，，求的值． 【答案】39 【知识点】平方差公式分解因式、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】此题考查了乘法公式和因式分解的应用，根据题意得到，再求出，再根据因式分解得到即可得到答案． 【详解】解：由题意可得，，， ∴， ． ．            ∴           又 ． ． 答：的值为39． 【作业 13】（25-26七年级下·全国·课后作业）分解因式： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、分组分解法 【分析】本题考查了因式分解的常用方法，包括分组分解法、完全平方公式和平方差公式，掌握观察式子结构，选择合适的分解方法，先分组或用完全平方，再用平方差公式是解题的关键． （1）分组分解，将前两项和后两项分别分组，提取公因式后再整体提取公因式； （2）先对前三项用完全平方公式，再用平方差公式因式分解； （3）先对前三项用完全平方公式，再用平方差公式因式分解． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 【作业 14】（25-26八年级上·全国·随堂练习）判断下列因式分解的结果是否正确．若不正确，请写出正确的结果． (1)； (2)． 【答案】(1)不正确，正确的结果是 (2)不正确，正确的结果是 【知识点】平方差公式分解因式、完全平方公式分解因式 【分析】（1）对于每个因式分解的式子，先判断其是否分解彻底即可，若未分解彻底，继续进行分解，直到不能再分解为止． （2）对于每个因式分解的式子，先判断其是否分解彻底即可，若未分解彻底，继续进行分解，直到不能再分解为止． 【详解】（1）解：不正确，正确的结果是． （2）解：不正确，正确的结果是． 【作业 15】（24-25八年级下·广东揭阳·期末）如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等．例如：分解因式 原式 例如：求代数式的最小值． 原式，当时，有最小值，最小值是 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式：______求代数式的最小值为______； (2)若，当______时，y有最______值填“大”或“小”，这个值是______； (3)当a，b，c分别为的三边长，且满足时，求的周长． 【答案】(1)； (2)1；大； (3) 【知识点】因式分解的应用 【分析】本题考查了因式分解的应用、非负数的性质：偶次方，解决本题的关键是运用因式分解进行解答． （1）按照配方法将式子进行因式分解；用配方法将式子写成一个完全平方公式和一个常数的和，据此可得该式子有最小值． （2）将y进行因式分解，求出该式子有最大值，求出结果即可； （3）将题中式子进行因式分解，得到三个完全平方公式的和为0，根据完全平方公式的非负性，求出三条边，然后求出周长． 【详解】（1）解： ； ， ， 当时，有最小值，最小值是， 故答案为：；； （2） ， ， ， ， 当时，有最大值，最大值是， 故答案为：1；大；． （3）， 即， 即， 所以，，， 所以，，， ∴， 答：的周长是． 【作业 16】（23-24八年级下·甘肃兰州·期末）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键． （1）首先提取公因式，进而利用完全平方公式分解因式即可； （2）首先提取公因式，进而利用平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【作业 17】（25-26八年级上·福建泉州·阶段检测）阅读与思考 下面是小宇同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应任务． ×年×月×日        星期日 求非完全平方的整数的平方根的近似值的方法 今天，我在一本书中看到了一种求非完全平方的整数的平方根的近似值的方法． 这种方法如下： 若（在各组乘积为n的正整数中，a，b两数最接近），则的最初近似值为．若是的最初近似值，则的二级近似值，的三级近似值． 例如：∵，4，6最接近，∴的最初近似值为，∴的二级近似值为，∴的三级近似值为． 任务： (1)的最初近似值是 ； (2)的二级近似值是 ； (3)若的最初近似值是，二级近似值是，求n的值． 【答案】(1)4； (2)； (3)． 【知识点】求一个数的近似数、近似数推断取值范围、因式分解在有理数简算中的应用 【分析】本题主要考查了由分解因式求非完全平方的整数的平方根的近似值，解题关键是理解题意，进行变形计算． （1）根据题干中提供的信息，进行变形计算即可； （2）根据题干中提供的信息，进行变形计算即可； （3）设，进而求出，根据公式代入即可求值． 【详解】（1）解： ， 与最接近， 的最初近似值为； （2）解：， 和最接近， 最初近似值， 的二级近似值是； （3）解：设， 最初近似值， 得， 二级近似值， 解得，． 【作业 18】（24-25八年级下·广东深圳·期中）感知：（1）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个因式分解的等式，由图1中的大正方形的面积可得到的因式分解等式为_______； 应用：（2）通过不同的方法表示同一个几何体的体积，也可以探求相应的因式分解等式．如图2所示的是棱长为的正方体被分割线分成8块．用不同的方法计算这个正方体的体积，则这个式子为_____； 拓展：（3）如图3，棱长为x的实心大正方体切除一个棱长为y的小正方体，剩余部分按如图所示的方式继续切割为甲、乙、丙三个长方体，则甲长方体的体积为，乙长方体的体积为，丙长方体的体积为，甲、乙、丙三个长方体体积之和可表示为． 根据（2）和（3）中的结论解答下列问题：若图2与图3中的与的值分别相等，且满足，，其中，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【知识点】因式分解的应用、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查了因式分解法应用，数形结合思想和整体代入思想是解题的关键． （1）用两种方法表示图1中的大正方形的面积即可得解． （2）用两种方法表示图2中正方体的体积即可得解． （3）将和用含有，的式子表示出来即可得解． 【详解】解：（1）图1中的大正方形的面积可以表示为，也可以表示为， 因此可得． 故答案为：． （2）图2中正方体的体积可以表示为，也可以表示为， 因此可得． 故答案为：． （3），， ， ， ， 又， ， ， ， ， ． 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13讲·因式分解·培优讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026年人教版八年级数学上册 🍔 思维导图 🍟 课程目标 · 掌握用平方差公式分解因式的方法 · 掌握用完全平方公式分解因式的方法 · 能根据多项式特征选择合适的公式分解因式 · 会利用公式法分解因式进行简便计算与求值 · 能综合运用整体思想与公式法解决复杂因式分解问题 🍗 知识梳理 ✅️ 1.用平方差公式分解因式 平方差公式逆用：a2-b2=(a+b)(a-b) 适用条件：两项、符号相反、都能写成平方的形式 先提公因式再用公式，注意分解彻底 公式中a、b可以表示数、字母或整式（整体） 概念辨析例题：分解因式x2-9，正确结果是（　　）A．(x-3)2　B．(x+3)(x-3)　C．(x+9)(x-9)　D．(x+3)2 答案：B 解析：x2-9=x2-32，用平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)，得(x+3)(x-3)，故选B。 ✅️ 2.用完全平方公式分解因式 完全平方公式逆用：a2±2ab+b2=(a±b)2 适用条件：三项、其中两项是平方且同号，另一项是两底数积的2倍 先确认中间项的符号与系数，再套公式 注意分解后结果为二项式的平方 概念辨析例题：分解因式x2-6x+9，正确结果是（　　）A．(x+3)2　B．(x-3)2　C．(x+9)2　D．(x-6)2 答案：B 解析：x2-6x+9=x2-2·x·3+32，符合完全平方公式a2-2ab+b2=(a-b)2，得(x-3)2，故选B。 ✅️ 3.公式法的选择与先提公因式 分解步骤：先看有无公因式，先提公因式再用公式 两项且符号相反→平方差公式；三项→完全平方公式 平方差公式可连续使用，直到不能分解 分解结果要彻底，每个因式不能再分解 概念辨析例题：分解因式2x3-8x，正确结果是（　　）A．2x(x2-4)　B．2x(x-2)(x+2)　C．2(x-2)(x+2)　D．x(2x-4)(x+2) 答案：B 解析：先提公因式2x，得2x(x2-4)，再用平方差公式分解得2x(x-2)(x+2)，故选B。 ✅️ 4.整体思想与综合应用 把多项式整体看作公式中的a或b，如(a+b)2-9 先整体套公式，再对括号内继续分解 利用因式分解简化计算与求值 综合题常需先提公因式再连续用公式 概念辨析例题：分解因式(a+b)2-4，正确结果是（　　）A．(a+b+2)(a+b-2)　B．(a+b+4)(a+b-4)　C．(a-b+2)(a-b-2)　D．(a+2)(b-2) 答案：A 解析：把(a+b)整体看作a、2看作b，用平方差公式：(a+b)2-4=(a+b+2)(a+b-2)，故选A。 🧀 知识总结表 核心概念 公式/方法 注意事项 平方差公式 a2-b2=(a+b)(a-b) 两项符号相反 完全平方公式 a2±2ab+b2=(a±b)2 三项且两项平方同号 分解步骤 先提公因式再用公式 公因式优先 整体思想 把多项式看作一个整体 套公式后再分解 彻底分解 每个因式不可再分解 用乘法验证 📩 核心考点 【考点1】平方差公式分解因式（第1-16题） · 两项符号相反写成平方差 · 套用a2-b2=(a+b)(a-b) · 先提公因式再套公式 1．（24-25八年级上·辽宁鞍山·阶段检测）计算后的结果是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·全国·期中）在下列多项式中，能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 3．（2024·云南·中考真题）分解因式：（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·山东菏泽·期末）小刚是一位密码翻译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：东、爱、我、山、丽、美，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（   ） A．我爱美丽 B．山东美丽 C．我爱山东 D．美我山东 5．（24-25八年级下·陕西西安·阶段检测）下列多项式，能用平方差公式进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 6．（2025·江苏泰州·二模）若代数式，，则P和Q的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 7．（23-24八年级上·河南驻马店·期末）若能分解为，那么、的值是（   ） A．7、2 B． C． D． 8．（25-26八年级下·四川巴中·期末）下列因式分解正确的是（     ） A． B． C． D． 9．（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）分解因式的正确结果是（    ） A． B． C． D． 10．（2025·河南南阳·二模）对任意整数都能（　　） A．被4整除 B．被5整除 C．被6整除 D．被7整除 11．（23-24八年级上·山东东营·期末）小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，2，，，，分别对应下列六个字：华、我、爱、美、游、中，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（    ） A．爱我中华 B．我游中华 C．中华美 D．我爱美 12．（24-25八年级上·全国·期末）下列因式分解结果正确的是（     ） A． B． C． D． 13．（25-26七年级上·上海普陀·阶段检测）下列各式中，不能用平方差公式得到的是（ ） A． B． C． D． 14．（25-26八年级下·全国·课后作业）若多项式可以在有理数范围内运用平方差公式分解因式，则单项式可以是（   ） A． B． C． D． 15．（22-23八年级上·四川内江·期中）观察下列算式：，，，…，它有一定的规律性，把第个算式的结果记为，则的值是（     ） A． B． C． D． 16．（24-25七年级下·辽宁沈阳·阶段检测）若，且，则的值为（   ） A．1 B．2 C．2或 D．4 【考点2】完全平方公式分解因式（第17-30题） · 三项中两项是平方且同号 · 中间项是两底数积的2倍 · 套用完全平方公式 17．（25-26八年级上·福建泉州·阶段检测）下列各多项式中，可以用完全平方公式分解因式的是（　　） A． B． C． D． 18．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）已知点关于x轴的对称点为，则多项式可因式分解为（   ） A． B． C． D． 19．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段检测）已知为实数，整式的最小值是（   ） A．1 B．2 C． D． 20．（25-26七年级下·全国·课后作业）若，则的值为（   ） A．12 B．10 C．8 D．6 21．（25-26八年级上·全国·课后作业）若是完全平方式，则实数的值为（   ） A． B．或 C．5 D．4 22．（2026·江苏泰州·一模）分解因式：______． 23．（2024·河南南阳·一模）若   ，则 ______________． 24．（25-26八年级上·全国·课后作业）多项式，，中，它们的公因式是________ ． 25．（24-25七年级上·上海普陀·阶段检测）已知正方形的面积是，则正方形的边长为________． 26．（23-24九年级下·北京·阶段检测）分解因式：=__________________． 27．（2026·浙江·模拟预测）若，则的值为______． 28．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解：__________． 29．（20-21七年级上·湖南张家界·期末）先阅读，再分解因式：，按照这种方法分解因式：________． 30．（25-26八年级下·全国·课后作业）若，，则计算的结果为____________． 【考点3】公式法综合与整体思想（第31-44题） · 先提公因式再选公式 · 把多项式整体当a或b · 连续套公式分解彻底 31．（23-24八年级上·河南南阳·期末）因式分解：__________． 32．（2026·山东济宁·二模）分解因式：________． 33．（23-24八年级上·全国·单元测试）如果多项式能用分组分解法分解因式，则符合条件的，的一组整数值是____． 34．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）把多项式分解因式的结果是_____________ ． 35．（25-26八年级上·全国·课后作业）（1）对代数式进行因式分解，结果是________． （2）分解因式：________． 36．（25-26七年级上·上海·阶段检测）已知：，则______； 37．（26-27九年级上·辽宁辽阳·开学考试）因式分解：________． 38．（2025·云南丽江·模拟预测）因式分解_______． 39．（25-26八年级下·全国·课后作业）利用因式分解计算：_____． 40．（2024七年级上·浙江宁波·竞赛）已知a为无理数，且，则___________． 41．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）把多项式分解因式的结果是___________． 42．（24-25七年级上·北京·开学考试）________． 43．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知因式分解为，其中，，均为整数，则的值为______． 44．（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）已知可因式分解成，其中常数均为整数，则________． 【考点4】因式分解综合应用（第45-52题） · 因式分解简化计算求值 · 整体思想处理复杂式子 · 验证分解结果 45．（24-25八年级上·湖北孝感·期末）已知，则的值是_____． 46．（2026八年级下·全国·专题练习）因式分解： （1）__________； （2）__________； （3）__________； （4）__________． 47．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）先阅读材料，再回答问题： 分解因式： 解：设，则原式 再将还原，得到：原式 上述解题中用到的是“整体思想”，它是数学中常用的一种思想． 请你用整体思想分解因式：______． 48．（2025·福建福州·一模）若，则的值为_______. 49．（25-26八年级上·山东烟台·期末）若任意两个连续奇数的平方差一定能被正整数整除，则所有满足条件的正整数的和为____________． 50．（25-26八年级上·湖北黄冈·期末）若a，b，c表示的三边，且，试判断的形状，并说明理由． 51．（24-25八年级下·甘肃白银·开学考试）分解因式：． 52．（24-25七年级下·浙江绍兴·阶段检测）将下列多项式分解因式 (1) (2) (3) (4) 课后巩固 【作业 1】（25-26八年级上·山东泰安·阶段检测）利用因式分解计算： (1)； (2)． (3)； (4)． 【作业 2】（23-24八年级上·山东临沂·期末）分解因式： (1)； (2)． 【作业 3】（24-25七年级下·山东聊城·阶段检测）将下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【作业 4】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，，为等腰三角形的三边长，且满足．求等腰三角形的周长． 【作业 5】（24-25八年级下·陕西西安·期末）先阅读下列材料，再解答问题： 材料：因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则 原式．再将“”还原，得原式． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你运用整体思想解答下列问题： (1)因式分解：； (2)求证：若为正整数，则式子的值一定是某一个整数的平方． 【作业 6】（25-26七年级下·全国·课后作业）下列各式的因式分解正确吗？如果不正确，请改正过来． (1)； (2)； (3)； (4)． 【作业 7】（23-24七年级下·江苏连云港·期末）分解因式： (1)； (2)． 【作业 8】（25-26八年级上·江苏苏州·阶段检测）因式分解： (1) (2) 【作业 9】（25-26七年级下·全国·单元测试）（1）已知，，求的值． （2）已知，，求的值． 【作业 10】（24-25八年级上·甘肃临夏·阶段检测）因式分解 (1)； (2)； (3)； (4)． 【作业 11】（25-26八年级上·山东临沂·阶段检测）分解因式： (1) (2) 【作业 12】（23-24七年级下·江西抚州·期中）如图为某校七（1）和七（2）两个班级的劳动实践基地，右图是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为m、n（）的正方形，其中重叠部分B为池塘，阴影部分分别表示七（1）和七（2）两个班级的基地面积．若，，求的值． 【作业 13】（25-26七年级下·全国·课后作业）分解因式： (1)． (2)． (3)． 【作业 14】（25-26八年级上·全国·随堂练习）判断下列因式分解的结果是否正确．若不正确，请写出正确的结果． 课后巩固 🍬 复习建议 · 两项符号相反优先想平方差公式 · 三项中两项是平方且同号想完全平方公式 · 分解因式先提公因式再用公式 · 把多项式整体看作一个数套公式 · 分解彻底后用乘法展开验证 【作业 1】（25-26八年级上·山东泰安·阶段检测）利用因式分解计算： (1)； (2)． (3)； (4)． 【作业 2】（23-24八年级上·山东临沂·期末）分解因式： (1)； (2)． 【作业 3】（24-25七年级下·山东聊城·阶段检测）将下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【作业 4】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，，为等腰三角形的三边长，且满足．求等腰三角形的周长． 【作业 5】（24-25八年级下·陕西西安·期末）先阅读下列材料，再解答问题： 材料：因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则 原式．再将“”还原，得原式． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你运用整体思想解答下列问题： (1)因式分解：； (2)求证：若为正整数，则式子的值一定是某一个整数的平方． 【作业 6】（25-26七年级下·全国·课后作业）下列各式的因式分解正确吗？如果不正确，请改正过来． (1)； (2)； (3)； (4)． 【作业 7】（23-24七年级下·江苏连云港·期末）分解因式： (1)； (2)． 【作业 8】（25-26八年级上·江苏苏州·阶段检测）因式分解： (1) (2) 【作业 9】（25-26七年级下·全国·单元测试）（1）已知，，求的值． （2）已知，，求的值． 【作业 10】（24-25八年级上·甘肃临夏·阶段检测）因式分解 (1)； (2)； (3)； (4)． 【作业 11】（25-26八年级上·山东临沂·阶段检测）分解因式： (1) (2) 【作业 12】（23-24七年级下·江西抚州·期中）如图为某校七（1）和七（2）两个班级的劳动实践基地，右图是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为m、n（）的正方形，其中重叠部分B为池塘，阴影部分分别表示七（1）和七（2）两个班级的基地面积．若，，求的值． 【作业 13】（25-26七年级下·全国·课后作业）分解因式： (1)． (2)． (3)． 【作业 14】（25-26八年级上·全国·随堂练习）判断下列因式分解的结果是否正确．若不正确，请写出正确的结果． (1)； (2)． 【作业 15】（24-25八年级下·广东揭阳·期末）如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等．例如：分解因式 原式 例如：求代数式的最小值． 原式，当时，有最小值，最小值是 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式：______求代数式的最小值为______； (2)若，当______时，y有最______值填“大”或“小”，这个值是______； (3)当a，b，c分别为的三边长，且满足时，求的周长． 【作业 16】（23-24八年级下·甘肃兰州·期末）因式分解： (1)； (2)． 【作业 17】（25-26八年级上·福建泉州·阶段检测）阅读与思考 下面是小宇同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应任务． ×年×月×日        星期日 求非完全平方的整数的平方根的近似值的方法 今天，我在一本书中看到了一种求非完全平方的整数的平方根的近似值的方法． 这种方法如下： 若（在各组乘积为n的正整数中，a，b两数最接近），则的最初近似值为．若是的最初近似值，则的二级近似值，的三级近似值． 例如：∵，4，6最接近，∴的最初近似值为，∴的二级近似值为，∴的三级近似值为． 任务： (1)的最初近似值是 ； (2)的二级近似值是 ； (3)若的最初近似值是，二级近似值是，求n的值． 【作业 18】（24-25八年级下·广东深圳·期中）感知：（1）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个因式分解的等式，由图1中的大正方形的面积可得到的因式分解等式为_______； 应用：（2）通过不同的方法表示同一个几何体的体积，也可以探求相应的因式分解等式．如图2所示的是棱长为的正方体被分割线分成8块．用不同的方法计算这个正方体的体积，则这个式子为_____； 拓展：（3）如图3，棱长为x的实心大正方体切除一个棱长为y的小正方体，剩余部分按如图所示的方式继续切割为甲、乙、丙三个长方体，则甲长方体的体积为，乙长方体的体积为，丙长方体的体积为，甲、乙、丙三个长方体体积之和可表示为． 根据（2）和（3）中的结论解答下列问题：若图2与图3中的与的值分别相等，且满足，，其中，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $