第17讲整数指数幂培优讲义（知识梳理+典例+练习）2026-2027学年人教版八年级数学上册

第17讲·整数指数幂·培优讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026年人教版八年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解负整数指数幂的意义 a−n=（a≠0），会把负指数化为正指数 · 掌握零指数幂的规定 a0=1（a≠0），并能在混合运算中正确使用 · 会把正整数指数幂的运算性质推广到整数指数幂，进行乘除、乘方运算 · 会用科学记数法表示绝对值小于 1 的数，并能在小数与科学记数法之间互化 · 会综合运用指数幂性质解决含参数、含字母的求值与探究问题 📚 知识梳理 ☆ 1.负整数指数幂与零指数幂 负整数指数幂的定义：a−n=（a≠0，n 为正整数）。负指数表示「取倒数」，底数绝不能为零，这是定义成立的前提。 零指数幂：a0=1（a≠0）。注意 00 没有意义，底数是含字母的式子时要先判断它是否可能为零。 负指数化正指数的口诀：底数取倒数，指数变正号。()−2=()2=，底数是分数时整个分数取倒数，不是只倒数分子。 常见陷阱：(−2)−1=− 而不是 ；−2−1=−，负号与指数的位置决定符号，要看清负号在括号内还是括号外。 任何非零数的零次幂都等于 1，包括 (−5)0=1、(π−3)0=1，只要底数不为零。 概念辨析例题：计算 (−)−2+(−2)0 答案：10 解析：(−)−2 先底数取倒数变 (−3)2=9；(−2)0=1（底数 −2 不为零）。所以原式 = 9+1=10。注意 (−)−2 不是 −9，也不是 ，负指数只改变位置不改变底数的符号。 ☆ 2.整数指数幂的运算性质 同底数幂相乘：am·an=am+n；相除：am÷an=am−n。指数相加减，底数不变，m、n 可以是负整数。 幂的乘方：(am)n=amn，指数相乘；积的乘方：(ab)n=an bn，每个因式都要乘方。 分式的乘方：()n=（b≠0），分子分母各自乘方，不要漏掉分母。 结果要求只含正整数指数幂时，把负指数全部化成正指数，再化为最简分式，最后检查是否还能约分。 运算顺序与实数一致：先乘方、再乘除、最后加减，有括号先算括号内。 概念辨析例题：计算 (2x−1y3)−2 答案： 解析：先按积的乘方展开：(2x−1y3)−2=2−2·(x−1)−2·(y3)−2。逐项化简：2−2=，(x−1)−2=x2，(y3)−2=y−6。得 x2y−6=。要点：括号外的负指数对括号内每个因式都生效。 ☆ 3.科学记数法表示绝对值较小的数 绝对值小于 1 的数用科学记数法表示为 a×10−n，其中 1≤|a|<10，n 为正整数。a 的整数部分只有一位且不为零。 确定 n 的方法：把小数点向右移动，移到第一个非零数字之后，所移动的位数就是 n。如 0.0000315 中 3 前面有 4 个零加 1 个小数点位置，写成 3.15×10−5。 速记：原数小数点后第一个非零数字前面有几个 0（含整数位的 0），n 就是几加 1。例如 0.0042 写成 4.2×10−3。 由科学记数法还原小数：10−n 表示小数点向左移动 n 位，位数不够时前面补零。 计算结果的科学记数法：先算数值，再统一写成 a×10−n 的标准形式，a 超出 [1,10) 范围时要再调整指数。 概念辨析例题：用科学记数法表示 0.00000169 答案：1.69×10−6 解析：把小数点向右移到第一个非零数字 1 之后，得 1.69，共移动 6 位，所以指数为 −6，即 1.69×10−6。另一种读法：1 前面有 5 个 0，n=5+1=6。两种方法结果一致，指数一定是负的，因为原数小于 1。 ☆ 4.指数幂的综合应用与探究 含参数的指数式求值：先由已知等式求出 am 或 am+n 的值，再把目标式用同底数幂性质变形为只含这些量的式子。 定义新运算题：按题目给的定义逐步代入，全部化为同底数或同一形式后再运算，切忌跳步。 比较幂的大小：能化为同底数的用同底数比较（指数大的值大，底数大于 1 时）；能化为同指数的用同指数比较；都不行时找中间量 1 或有理数夹逼。 式子有意义的条件：底数不为零、分母不为零、除数不为零，三件事逐一检查，缺一不可。 规律探究题：把前几个具体算例算出来，观察指数的变化规律，再用字母表示第 n 项，本质是归纳法。 概念辨析例题：若 am=3，an=2，求 a2m−n 的值 答案： 解析：用同底数幂的运算性质反向拆解：a2m−n=a2m÷an=(am)2÷an。代入 am=3 得 (3)2=9，再除以 an=2，得 。要点是把目标指数改写为已知指数的和、差、倍，再逐项用性质展开。 📋 知识总结表 运算类型 公式 关键提醒 负整数指数幂 a−n=（a≠0） 底数取倒数，指数变正 零指数幂 a0=1（a≠0） 00 无意义 同底数幂相乘 am·an=am+n 底数不变，指数相加 同底数幂相除 am÷an=am−n 指数相减，可为负 幂的乘方 (am)n=amn 指数相乘 积的乘方 (ab)n=an bn 每个因式都乘方 分式的乘方 ()n= 分母不能漏 科学记数法 a×10−n，1≤|a|<10 指数取负，n 为移动位数 ⚠️ 核心考点 【考点1】负整数指数幂与零指数幂 · a−n=：底数取倒数，指数变正号 · a0=1 只要底数不为零 · 负号在括号内外结果不同，看清位置再定符号 · 底数为分数时整个分数取倒数，不是只倒数分子 1．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）若，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】有理数大小比较、零指数幂、负整数指数幂 【分析】分别进行化简，然后再比较，即可得到答案． 本题考查了零指数幂，负整数指数幂，乘方的运算，以及有理数比较大小，解题的关键是熟练掌握运算法则正确的进行化简． 【详解】解：∵，，，， ∴． 故选：B． 2．（17-18七年级下·广东深圳·阶段检测）（   ） A． B． C． D．3 【答案】B 【知识点】负整数指数幂 【分析】本题考查负整数指数幂的运算，根据负整数指数幂的定义，一个数的负整数次幂等于其正整数次幂的倒数，根据负整数指数幂的运算法则直接计算即可． 【详解】解：， 故选：B． 3．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】负整数指数幂、同分母分式加减法、积的乘方运算、同底数幂的除法运算 【分析】本题考查了整式的运算，根据积的乘方法则、同底数幂相除法则、负整数指数幂、分式的加减，多项式乘以多项式法则计算，并逐项判定即可． 【详解】解：A．，原计算错误，不符合题意； B．，原计算错误，不符合题意； C．，原计算错误，不符合题意； D．，原计算正确，符合题意； 故选：D． 4．（25-26八年级上·广东汕尾·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】同底数幂相乘、零指数幂、负整数指数幂、同底数幂的除法运算 【分析】本题考查了同底数幂相乘、负整数指数幂、同底数幂相除、零次幂．根据相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意； 故选：D． 5．（24-25八年级上·广东汕头·期末）若，，，则a，b，c的大小关系为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】零指数幂、负整数指数幂 【分析】本题主要考查了负整数次幂、零次幂等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． 先根据负整数次幂、零次幂化简，然后再比较即可． 【详解】解∶ ∵，，，， ∴． 故选B． 6．（24-25七年级下·广东广州·期中）下列计算正确的有 （   ） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】同底数幂相乘、零指数幂、负整数指数幂、同底数幂的除法运算 【分析】本题考查了同底数幂的乘法和除法，幂的乘方和积的乘方，合并同类项，逐一验证各式的正确性，统计正确个数即可． 【详解】解：①：，错误； ②：，正确； ③：，错误； ④：，正确； ⑤：，错误； ⑥：，错误； ⑦：，正确． 综上，②、④、⑦正确，一共3个， 选：C． 7．（25-26八年级上·全国·期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】运用完全平方公式进行运算、负整数指数幂、积的乘方运算、同底数幂的除法运算 【分析】本题考查了负整数指数幂、完全平方公式、积的乘方与幂的乘方以及同底数幂的除法运算，解题的关键是熟练掌握各运算的法则和公式． 分别根据负整数指数幂法则计算选项A；根据完全平方公式展开选项B；根据积的乘方与幂的乘方法则计算选项C；根据同底数幂的除法法则计算选项D；对比计算结果判断各选项的正确性． 【详解】解：A、，原计算错误，此选项不符合题意； B、，原计算错误，此选项不符合题意 C、，计算正确，此选项符合题意； D、，原计算错误，此选项不符合题意． 故选：C． 8．（24-25八年级上·湖南常德·期末）下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】同底数幂相乘、零指数幂、负整数指数幂、同底数幂的除法运算 【分析】本题考查了负整数指数幂与零指数幂、同底数幂的乘法与除法，熟练掌握各运算法则是解题关键．根据负整数指数幂与零指数幂、同底数幂的乘法与除法法则逐项判断即可得． 【详解】解：A、，则此项不成立，不符合题意； B、，则此项不成立，不符合题意； C、，没有意义，则此项不成立，不符合题意； D、，则此项成立，符合题意； 故选：D． 9．（2026·江苏常州·一模）计算：__________． 【答案】 4 【知识点】零指数幂、负整数指数幂 【详解】解：原式 10．（24-25八年级上·河北保定·期末）（1）计算：___________． （2）某“数学乐园”展厅的密码被设计成如图所示的数学问题．小明在参观时认真思索，输入密码后成功地连接到网络．他输入的密码是___________． 【答案】 2024 【知识点】计算单项式除以单项式、零指数幂、幂的乘方运算、负整数指数幂 【分析】本题主要考查实数的混合运算以及探究数字变化规律的方法及单项式除以单项式．熟练掌握单项式除以单项式的运算法则，正确运算是解决问题的关键． （1）先计算负整数指数幂，零指数幂，再进行加法运算即可． （2）观察上面两个式子可以知道，先进行整式运算，再把所得结果中x、y、z的指数依次排列，就可以得到密码． 【详解】解：（1）； 故答案为：； （2）， ∴他输入的密码是2024． 故答案为：2024． 11．（23-24八年级下·重庆·开学考试）计算：_______． 【答案】 【知识点】零指数幂、负整数指数幂 【分析】此题考查了零指数幂、负整数指数幂、乘方等知识，按照零指数幂、负整数指数幂、乘方等法则计算即可． 【详解】解： 故答案为： 12．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）若，，，，则a，b，c，d的关系是______．（用“＜”连接） 【答案】 【知识点】有理数大小比较、有理数的乘方运算、零指数幂、负整数指数幂 【分析】本题考查负整数指数幂和零指数幂，根据负整数指数幂和零指数幂分别计算后再比较大小即可． 【详解】解：，，，， ∵， ∴， 故答案为：． 13．（25-26八年级下·福建泉州·期末）计算：． 【答案】 【知识点】有理数的加减混合运算、零指数幂、负整数指数幂、求一个数的算术平方根、求一个数的绝对值 【分析】分别化简算术平方根、零次幂、负指数幂、绝对值，再依次求和计算即可． 【详解】解：原式 ． 14．（21-22七年级下·陕西西安·期末）计算：． 【答案】 【知识点】有理数的加减混合运算、零指数幂、负整数指数幂 【分析】本题考查了有理数的加减，负整数指数幂，零指数幂，掌握相关知识是解题的关键． 根据负整数指数幂，零指数幂计算各项的值，再把结果相加即可． 【详解】解： ． 【考点2】整数指数幂的运算 · 同底数幂相乘指数相加，相除指数相减 · 幂的乘方指数相乘，积的乘方每个因式乘方 · 结果要求只含正整数指数幂时，先化正再约分 · 先乘方、再乘除、最后加减，有括号先算括号 15．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算：______． 【答案】 【知识点】计算单项式除以单项式、负整数指数幂 【分析】本题考查了代数式的除法，负整数指数幂，熟练掌握同底数幂的除法运算法则是解答本题的关键．根据同底数幂的除法法，进行计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 16．（24-25七年级上·上海普陀·期末）将分式表示成不含分母的形式为______． 【答案】 【知识点】负整数指数幂 【分析】本题考查负整数指数幂．根据负整数指数幂的计算方法进行计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 17．（24-25七年级上·上海·阶段检测）计算：__________________．（结果只含正整数指数幂） 【答案】 【知识点】负整数指数幂、分式乘方 【分析】本题主要考查了负整数指数幂，分式的乘方运算，根据负整数指数幂，分式的乘方运算以及除法运算法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 18．（23-24七年级下·全国·单元测试）若，则的值为_____． 【答案】 【知识点】整数指数幂的运算、计算单项式乘单项式、加减消元法 【分析】本题考查了单项式乘单项式，整数指数幂的运算，负指数幂，解二元一次方程组等，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据单项式乘法法则及整数指数幂的法则分别计算等式左右两边，即可求得m、n的值，再代入所求式子计算即可． 【详解】解：∵，， ， 解得： ， 故答案为：． 19．（24-25八年级上·广西桂林·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】整数指数幂的运算、幂的乘方运算、负整数指数幂、同底数幂的除法运算 【分析】本题考查了含负整数指数幂的运算，同底数幂的除法等知识点，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）分别计算负整数指数幂和乘方，再尽心加减计算； （2）分别计算负整数指数幂，幂的、积的乘方运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 20．（24-25七年级下·江苏南京·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】计算单项式除以单项式、零指数幂、负整数指数幂、积的乘方运算 【分析】本题考查了零指数幂与负整数指数幂、积的乘方与幂的乘方、单项式除以单项式等知识，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先计算零指数幂与负整数指数幂、有理数的乘方，再计算有理数的加减法即可得； （2）先计算积的乘方与幂的乘方、单项式除以单项式、同底数幂的乘法，再计算整式的加减法即可得． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 21．（23-24七年级上·上海奉贤·期末）计算：． 【答案】 【知识点】整数指数幂的运算、积的乘方运算 【分析】本题主要考查整式混合运算，计算幂的乘方、同底数幂的乘法，最后合并同类项即可， 【详解】解：． 22．（24-25七年级下·江苏徐州·阶段检测）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】零指数幂、负整数指数幂、幂的混合运算 【分析】本题考查幂的混合运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键： （1）进行乘方，零指数幂，负整数指数幂和去绝对值运算，再进行加减运算即可； （2）先进行幂的乘方，同底数幂的乘除运算，再合并即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式； ． 23．（23-24七年级下·广东深圳·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】整数指数幂的运算、零指数幂、负整数指数幂 【分析】本题考查的是零次幂，负整数指数幂的含义，整数指数幂的运算，掌握相应的运算法则是解本题的关键； （1）先计算乘方，负整数指数幂，零次幂，再计算乘除运算，最后合并即可； （2）先计算整数指数幂的乘法运算，再合并同类项即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； 24．（24-25七年级下·四川达州·阶段检测）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】计算单项式除以单项式、零指数幂、负整数指数幂、积的乘方运算 【分析】本题考查了实数的运算，幂的运算等知识，解题的关键是： （1）根据负整数指数幂的意义，零指数幂的意义，乘方法则等计算即可； （2）根据积的乘方法则，单项式乘以单项式法则，单项式除以单项式法则，合并同类项法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 25．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算下列各式，要求在结果中不出现负整数指数幂： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】整数指数幂的运算、负整数指数幂、积的乘方运算 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【考点3】科学记数法表示绝对值较小的数 · 写成 a×10−n，1≤|a|<10 · n = 小数点移动到第一个非零数字后的位数 · 还原小数：指数负几，小数点左移几位 · 计算结果超出 [1,10) 时再调整指数 26．（24-25八年级下·四川攀枝花·期中）一种细菌的半径是米，用小数表示为（   ） A．400000米 B．40000米 C．0.00004米 D．0.000004米 【答案】C 【知识点】还原用科学记数法表示的小数 【分析】根据题意可知将的形式写成小数，其中，即为4，n为，将小数点向左移动5位可得答案． 【详解】解：米米． 27．（23-24八年级下·山西长治·期末）某研究团队突破“蛋白质纯化”这一传统概念，直接对线粒体成像，获得了迄今为止最清晰、最接近真实生理状态的线粒体原位膜蛋白高分辨率三维解析结构，局部分辨率最高达．数据用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值小于的数，掌握形式为，其中是关键． 用科学记数法表示绝对值小于的数，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定． 【详解】解：，该数左边起第一个不为零的数字前面的的个数为， 所以， 故选：D． 28．（25-26六年级下·全国·课后作业）计算，结果用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】∵ ． 故选：D． 29．（15-16七年级下·江苏·期末）若用科学记数法表示为，n为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】此题主要考查科学记数法的表示方法，掌握相关知识是解决问题的关键．科学记数法的表示形式为，其中，n为整数，表示的关键是要正确确定出a的值和n的值．当原数的绝对值大于0而小于1时，n是负整数，n的绝对值等于原数左边第一个非零数前面所有零的个数． 【详解】解：， 故选：B． 30．（2025·山东菏泽·二模）小亮在阅读一篇文章时看到水分子的直径约为纳米，通过百度搜索小亮又知道纳米米，则水分子的直径约为_____米． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：∵， ∴水分子的直径约为米， 故答案为：． 31．（2023九年级·安徽·专题练习）将下列用科学记数法表示的数还原： （1）_______；      （2）_______； （3）_______；      （4）_______． 【答案】 6200000 【知识点】将用科学记数法表示的数变回原数、还原用科学记数法表示的小数 【分析】本题主要考查了将用科学记数法表示的数还原．将科学记数法表示绝对值大于1或小于1的数还原的方法：将中，当为正数，将小数点向右移动n为移动的位数即可还原；当为负数，将小数点向左移动n为移动的位数即可还原． 【详解】解：（1）； （2）； （3）； （4）． 故答案为：6200000；；；． 32．（25-26八年级下·河南南阳·期末）中国“超级显微镜（散裂中子源）”二期工程正在建设，中子穿透性强，是科学家探索微观世界的“理想探针”．中子的直径大约是0.00000169纳米，数据0.00000169用科学记数法可表示为_________． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数.确定的值时，要看把原数变成时小数点移动的位数，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数的绝对值时，是负整数，据此求解即可． 【详解】解：． 33．（24-25七年级下·安徽宿州·阶段检测）已知某细胞的直径约为，用科学记数法表示为，则等于______． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】本题考查的知识点是科学记数法—表示较小的数，把一个小于1的数写成科学记数法的形式时，将小数点放到左边第一个不为的数位后作为，把整数位数减作为，从而确定它的科学记数法形式，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据科学记数法的定义表示出来该数据，即可得出答案． 【详解】解：根据题意可得， 则：， 故答案为：． 34．（24-25七年级下·江苏无锡·阶段检测）年月日新凯莱自主研发的深紫外线光刻技术通过四重图形曝光工艺实现了等效纳米芯片制造，请用科学记数法表示“纳米”为________米．（纳米米）． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：纳米米米， 故答案为：． 35．（25-26六年级下·山东烟台·期末）“山深未必得春迟，处处山樱花压枝”，这句诗描绘了山樱盛放、春意盎然的景象．其中，一粒山樱花的花粉颗粒直径约为米．将数据用科学记数法表示为_________． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】科学记数法的表现形式为，其中，n为整数，确定a和n的值即可得到答案． 【详解】解：． 36．（25-26八年级上·上海·阶段检测）水由氢、氧两种元素组成，一个水分子包含两个氢原子和一个氧原子，1个氢原子的质量约为，一个氧原子的质量约为，一个水分子的质量大约是______．（结果用科学记数法表示） 【答案】 【知识点】有理数四则混合运算、用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】本题主要考查科学记数法—表示较小的数，读懂题意是解题的关键．根据一个水分子的质量两个氢原子的质量一个氧原子的质量，列式计算即可得出答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 37．（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）计算：______（用科学记数法表示）． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数、负整数指数幂、积的乘方运算、同底数幂的除法运算 【分析】本题主要考查了积的乘方，幂的乘方，指数除法，科学记数法，解题的关键是掌握以上运算法则． 先计算平方部分，再计算除法，利用指数法则简化表达式． 【详解】解： 故答案为：． 38．（24-25七年级下·全国·课后作业）臭氧是一种可以吸收紫外线的气体，每干洁空气中约含臭氧，则干洁空气中约含臭氧_______（用科学记数法表示）． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】本题考查了科学记数法“将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数的方法叫做科学记数法”，熟记科学记数法的定义是解题关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．先列出运算式子，再根据科学记数法的定义即可得． 【详解】解： ， 故答案为：． 39．（24-25七年级下·全国·课后作业）用分数或小数表示下列各数： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】将用科学记数法表示的数变回原数、负整数指数幂 【分析】本题考查了负整数指数幂，科学记数法表示的原数，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）利用负整数指数幂计算； （2）把小数点向左移动4位即可； （3）利用负整数指数幂计算； （4）利用负整数指数幂计算． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 40．（25-26八年级上·全国·课后作业）一个正方体木箱的棱长是0.8m（结果用科学记数法表示）． (1)这个木箱的体积是多少？ (2)若有一种小立方块的棱长是，则需要多少个这样的小立方块才能将木箱装满？ 【答案】(1)． (2)需要个这样的小立方块才能将木箱装满． 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数、多个有理数的乘法运算、有理数的除法运算 【分析】（1）利用有理数的乘法运算结合科学记数法的表示方法得出答案； （2）利用有理数的乘除运算法则化简求出答案． 【详解】（1）解：． 故这个木箱的体积是． （2）（个）． 故需要个这样的小立方块才能将木箱装满． 【点睛】此题主要考查了科学记数法以及有理数的乘除运算，正确掌握立方体体积计算方法是解题关键． 41．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算：（用科学记数法表示结果） (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】整数指数幂的运算、用科学记数法表示绝对值小于1的数、负整数指数幂 【分析】本题主要考查了整数指数幂的运算，用科学记数法表示结果，熟练掌握相关幂的运算法则是解题的关键． （1）根据同底数幂的乘法计算出结果，最后用科学计算法表示即可． （2）先根据幂的乘方、积的乘方运算法则计算，然后根据同底数幂的除法计算出结果，最后用科学记数法表示即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【考点4】指数幂的综合应用与探究 · 含参数求值：把目标指数拆成已知指数的和差倍 · 定义新运算：严格按定义逐步代入 · 比较大小：化同底数或同指数，或插入中间量 · 有意义条件：底数、分母、除数都不为零 · 规律探究：算前几项再归纳第 n 项 42．（25-26八年级上·全国·期末）在八年级上册数学课本第148页，探讨了，根据公式若有，则的值为（    ） A． B． C．5 D． 【答案】B 【知识点】负整数指数幂、已知分式恒等式，确定分子或分母 【分析】本题考查分式分解和代数式求值，关键是通过因式分解应用分式减法公式确定参数值． 将分母 因式分解后，利用分式减法公式分解为 ，从而确定 和 的值，再计算 ． 【详解】解：∵ ， ∴ 又 ∵ ∴ ， 比较得 ， ∴ ， ， ∴ ， 故选：B. 43．（2024·山西·模拟预测）下列各式计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】同底数幂相乘、合并同类项、负整数指数幂、积的乘方运算 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、积的乘方、幂的乘方、负整数指数幂，合并同类项，解决本题的关键是熟记同底数幂的乘法、积的乘方、幂的乘方、负整数指数幂，合并同类项． 根据同底数幂的乘法、积的乘方、幂的乘方、负整数指数幂，合并同类项，即可解答． 【详解】解：A、，故错误； B、，故错误； C、，故错误； D、，故正确； 故选：D． 44．（22-23八年级上·四川绵阳·期末）关于的代数式分解因式得，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【知识点】负整数指数幂、已知因式分解的结果求参数 【分析】本题主要考查了多项式乘法与因式分解，代数式求值，负整数指数幂，根据题意可得，再利用多项式乘以多项式的计算法则把等式右边展开得到，据此求出m、n的值即可得到答案． 【详解】解：∵关于的代数式分解因式得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 45．（25-26八年级上·全国·课后作业）若，定义新运算，则的值是（   ） A． B．11 C． D． 【答案】B 【知识点】有理数四则混合运算、负整数指数幂 【分析】本题考查了新定义运算，负指数幂的应用，正确的计算是解题的关键． 根据新定义运算，先分别计算出，，的值，再求和即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 46．（25-26七年级下·四川成都·阶段检测）若，且的展开式中不含x的一次项，则代数式的值______． 【答案】 【知识点】运用完全平方公式进行运算、已知多项式乘积不含某项求字母的值、已知字母的值 ，求代数式的值、负整数指数幂 【分析】先将展开，根据展开式不含的一次项求出的值，再对已知等式配方，利用平方的非负性求出的值，最后代入计算结果． 【详解】解： 因为展开式中不含的一次项， 所以一次项系数为．即． 解得． 即 ，． 解得， 将代入得 ． 47．（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）已知，则的值为_______． 【答案】，， 【知识点】零指数幂、负整数指数幂 【分析】本题考查零指数幂的性质，负整数指数幂，正确分类讨论是解题的关键．当成立时，利用的偶次幂等于1，1的任意次幂等于1，任意非零数的零次幂等于1，可知或或，进一步可求出x的值． 【详解】解：若，则或或， ∴或或， 当时，，满足等式， 当时，，满足等式， 当时，，满足等式， ∴可能是，，， 故答案为：，，． 48．（25-26九年级上·重庆·开学考试）若实数x，y同时满足，则的值为________ 【答案】 【知识点】实数的性质、负整数指数幂、加减消元法 【分析】本题主要考查了实数的性质，解二元一次方程组，负整数指数幂，根据绝对值的非负性可得，据此分和两种情况，根据已知条件建立方程组求出x、y的值即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， 当时， ∵， ∴， 解得，此时； 当时， ∵， ∴，此时方程组无解，不符合题意； 综上所述，； 故答案为：． 49．（25-26九年级下·重庆永川·阶段检测）若实数x，y同时满足，，则的值为______． 【答案】 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、负整数指数幂、加减消元法、绝对值非负性 【分析】根据绝对值的非负性可得，再根据，得出和两种情况，根据已知条件建立方程组求出x、y的值即可得到答案． 【详解】解：∵，又， ∴，即， 当时， ∵，， ∴， 解得，此时； 当时， ∴，此时方程组无解； 综上，的值为：． 50．（25-26八年级上·全国·课后作业）小聪观察等式（按降幂排序），发现如下规律： ①左边两个多项式各项系数之和的乘积等于右边多项式各项系数之和： 左边，右边，左边=右边； ②左边两个多项式首项系数的乘积等于右边多项式的首项系数： 左边，右边为3，左边=右边； ③左边两个多项式末项系数的乘积等于右边多项式的末项系数： 左边，右边为2，左边=右边． (1)类比探究： 请通过展开计算，判断规律①和规律②是否成立；（类比小聪的表述写出必要的过程） (2)基础应用： 请根据上述规律填空： ①若m，n为常数，则的展开式中各项系数之和为_______； ②若t，r为常数，满足，则_______． 【答案】(1)成立， 展开计算： ． 验证规律： 左边两个多项式各项系数之和的乘积等于右边多项式各项系数之和： 左边，右边，左边右边； 左边两个多项式首项系数的乘积等于右边多项式的首项系数： 左边，右边为，左边=右边； 左边两个多项式末项系数的乘积等于右边多项式的末项系数： 左边，右边为，左边右边． (2)①0；② 【知识点】多项式乘法中的规律性问题、负整数指数幂 【分析】本题主要考查整式混合运算，掌握其运算法则，理解材料意思是关键． （1）运用整式运算法则计算即可求解； （2）①运用整式运算法则，结合题意计算即可；②结合材料提示的性质进行计算即可． 【详解】（1） 略 （2）解：①∵左边两个多项式各项系数之和的乘积为， ∴故展开式各项系数之和为0； 故答案为：0． ②由首项系数乘积：，得； 由末项系数乘积：，得； 验证中间项：（与右边中间项系数一致）， ∴， 故答案为：． 51．（25-26八年级下·全国·课后作业）要使式子有意义，求的取值范围，并求当时式子的值． 【答案】且， 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、零指数幂、负整数指数幂、分式有意义的条件 【分析】根据零指数幂的底数不能为零，负整数指数幂的底数不能为零，可得的取值范围，再把代入代数式计算即可求解． 【详解】解：∵式子有意义， ∴且， 解得且， 当时， ． 52．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知a为有理数，试比较的大小． 【答案】 解：． 分以下几种情况讨论： ①当时，，所以． ②当时，，所以． ③当时，，所以． ④当时，三个式子都没有意义． ⑤当时，，所以． ⑥当时，，所以． ⑦当时，，所以． 【知识点】有理数大小比较、整数指数幂的运算、零指数幂、负整数指数幂 【分析】本题考查了负整数指数幂，零指数幂的运算法则，有一定难度，解决本题的关键是对的取值范围分类讨论. 因为为有理数，且未知，所以需要确定的取值范围，再分类讨论比较大小. 【详解】略 💯 课后巩固 复习建议 · 负指数幂：a−n=，底数取倒数、指数变正 · 零指数幂：a0=1，底数不能为零，00 无意义 · 同底数幂相乘指数相加，相除指数相减，幂的乘方指数相乘 · 积的乘方每个因式都要乘方，分式乘方分母不能漏 · 科学记数法：a×10−n，1≤|a|<10，n 为小数点移动位数 【作业1】（24-25八年级上·云南昭通·阶段检测）下列运算错误的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】同底数幂相乘、整数指数幂的运算、积的乘方运算、同底数幂的除法运算 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法，单项式除以单项式，积的乘方，负指数幂，掌握相应的运算法则是关键．根据相关计算法则分解计算出每个选项中式子的结果即可得到答案． 【详解】解：A、，计算正确，不符合题意； B、，计算错误，符合题意； C、，计算正确，不符合题意； D、，计算正确，不符合题意． 故选：B． 【作业2】（24-25六年级下·山东泰安·阶段检测）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】同底数幂相乘、计算单项式乘单项式、负整数指数幂、积的乘方运算 【分析】本题主要考查了积的乘方计算，单项式乘以单项式，零指数幂，负整数指数幂，同底数幂乘法计算，先计算积的乘方，再计算同底数幂乘法即可判断A；先计算零指数幂，负整数指数幂和乘方，再计算乘除法即可判断B；先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式即可判断C；直接合并同类项即可判断D． 【详解】解：A、，原式计算正确，符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：A． 【作业3】（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）用科学记数法表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】本题主要考查科学记数法，掌握科学记数法要求系数在1到10之间，指数表示小数点移动的位数，是解题的关键．根据原数0.0000000000315的小数点向右移动11位得到3.15，因此指数为，则即可求解． 【详解】解：由， 故选：C． 【作业4】（2026·河南平顶山·三模）如下所示的是一道部分被污损的训练题，何楠查阅后发现本题的答案为11，则污损处“0”的个数为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、还原用科学记数法表示的小数 【分析】根据科学记数法的表示方法求解出a和n的值，进而解答即可． 【详解】解：根据题意可知，， ∴， ∵， ∴污损处“0”的个数为3． 【作业5】（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）我们把形如的整体叫集合，其中，，叫做集合的元素，集合中的元素具有确定性，互异性（如，），无序性（即改变元素的顺序后，新集合与原集合相等）．已知集合，集合，若，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、负整数指数幂、求一个数的绝对值 【分析】根据的性质，结合集合元素的互异性，逐步推导出和的值，再计算． 【详解】解：∵，存在， ∴， ∵中含有元素，中元素为，且， ∴可得， ∵中含有元素，中元素为，且，不可能为， ∴可得，解得， 检验：将代入得，，满足，符合集合元素互异性， ∴． 【作业6】（25-26七年级下·重庆·阶段检测）计算：___________． 【答案】 【知识点】负整数指数幂、含乘方的有理数混合运算、求一个数的绝对值 【分析】先将乘方、绝对值化简，再按有理数的混合运算法则计算，即可求解． 【详解】解：． 【作业7】（24-25七年级下·广东佛山·期中）计算______． 【答案】10 【知识点】零指数幂、负整数指数幂 【分析】本题考查了含负整数指数幂和零指数幂的运算，掌握负整数指数幂和零指数幂的性质是解题的关键． 分别计算负整数指数幂和零指数幂，再进行加法计算即可． 【详解】解：， 故答案为：10． 【作业8】（25-26八年级上·湖南常德·期中）计算：________． 【答案】 【知识点】计算单项式除以单项式、负整数指数幂、积的乘方运算 【分析】本题主要考查积的乘方、单项式除以单项式及负整式指数幂，熟练掌握积的乘方、单项式除以单项式及负整数指数幂是解题的关键．利用幂的乘方和同底数幂的除法法则进行计算即可． 【详解】解：； 故答案为． 【作业9】（25-26八年级上·全国·课前预习）用科学记数法表示下列各数： （1）________； （2）________． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】本题考查了科学记数法，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）将数据用科学记数法表示，需将其转化为的形式，其中，为负整数，据此进行作答即可． （2）将数据用科学记数法表示，需将其转化为的形式，其中，为负整数，据此进行作答即可． 【详解】解：（1） 故答案为：； （2） 故答案为：； 【作业10】（24-25八年级下·四川绵阳·阶段检测）已知，求的值为_______． 【答案】23 【知识点】负整数指数幂、通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查了负整数指数幂、利用完全平方公式变形求值，熟练掌握完全平方公式是解题关键．先根据题意可得，再求出，然后利用完全平方公式变形求值即可得． 【详解】解：由题意得：， ∵， ∴， ∴，即， ∴ ， 故答案为：23． 【作业11】（24-25七年级下·江苏无锡·期中），则m的值为_______． 【答案】1或0或 【知识点】有理数的乘方运算、零指数幂、负整数指数幂 【分析】本题考查了零指数幂，有理数的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据1的任何次幂都是1，的偶次幂都是1，零指数幂的运算法则分别计算即可． 【详解】解：当，即时，，； 当，即时，，； 当，，即时，； 综上，的值为1或0或， 故答案为∶ 1或0或． 【作业12】（24-25七年级下·江苏南京·阶段检测）若x满足，则x的值为________． 【答案】，0 【知识点】零指数幂、负整数指数幂 【分析】本题考查了零指数幂以及1的任何次幂的性质和得偶次幂的性质，熟练掌握指数幂的基本性质是解题的关键； 通过对底数为1，，指数为时，三种不同情况进行分析解方程即可． 【详解】解：当底数为1时 当时，即． 把代入指数，得， 则，满足条件． 当底数为时 当时，即． 把代入指数，得 则，不满足条件． 当指数为时 当时，即． 把代入底数，得， 则，满足条件． 综上，x的值为或． 【作业13】（23-24七年级下·陕西汉中·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】整数指数幂的运算、积的乘方的逆用 【分析】本题考查的知识点是整数指数幂的运算、积的乘方的逆运用，解题关键是熟练掌握整式的相关运算法则． （1）根据正整数指数幂、零指数幂、负整数指数幂的运算法则即可求解； （2）根据积的乘方的逆运用即可求解． 【详解】（1）解：原式， ． （2）解：原式， ， ． 【作业14】（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】计算单项式除以单项式、计算单项式乘单项式、负整数指数幂、积的乘方运算 【分析】本题考查了单项式乘除法，积的乘方，负整数指数幂等知识点，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． （1）先计算单项式乘单项式，再计算单项式除以单项式即可． （2）先计算幂的乘方和积的乘方，再算单项式的乘除法． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【作业15】（2026七年级下·全国·专题练习）用科学记数法表示下列各数： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数、用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】本题主要考查了科学记数法，熟知科学记数法的表示方法是解题的关键． （1）科学记数法的表现形式为的形式，其中，，为整数，确定的值时，要看小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于时，是正整数，当原数绝对值小于时，是负整数，由此进行求解即可得到答案； （2）同（1）求解即可； （3）同（1）求解即可； （4）同（1）求解即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． （4）解：． 【作业16】（2026七年级下·全国·专题练习）某种原子的质量为． (1)请用科学记数法表示这个数． (2)科学上把这个数量的定为1个原子质量单位，并用u来表示．请用科学记数法把u表示出来． 【答案】(1) (2) 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键； （1）根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． （2）由（1）可直接进行求解． 【详解】（1）解：数据用科学记数法表示为； （2）解：由（1）可知：． 【作业17】（23-24八年级上·全国·课堂例题）若有意义，求的取值范围． 【答案】且 【知识点】零指数幂、负整数指数幂 【分析】本题考查了零指数幂、负整数指数幂，包含零指数幂和负整数指数幂，而原式有意义，说明底数不等于0且底数也不等于0，构建不等式（组）求解即可，熟练掌握零指数幂和负整数指数幂有意义的条件是解此题的关键． 【详解】解：∵零指数幂的底数不能为0， ∴，即， 又∵（为正整数）有意义的条件是， ∴， 解得． 综上所述，且． 【作业18】（25-26八年级上·湖南长沙·期末）先化简，再求值：，其中，，． 【答案】，8 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算、零指数幂、负整数指数幂 【分析】本题考查了整式的化简求值，零指数幂，负整数指数幂． 先计算乘法公式，再合并同类项，计算零指数幂，负整数指数幂，最后将x和y的值代入化简结果计算即可． 【详解】解： ， 由题意可知：，， 当，时，原式． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第17讲·整数指数幂·培优讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026年人教版八年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解负整数指数幂的意义 a−n=（a≠0），会把负指数化为正指数 · 掌握零指数幂的规定 a0=1（a≠0），并能在混合运算中正确使用 · 会把正整数指数幂的运算性质推广到整数指数幂，进行乘除、乘方运算 · 会用科学记数法表示绝对值小于 1 的数，并能在小数与科学记数法之间互化 · 会综合运用指数幂性质解决含参数、含字母的求值与探究问题 📚 知识梳理 ☆ 1.负整数指数幂与零指数幂 负整数指数幂的定义：a−n=（a≠0，n 为正整数）。负指数表示「取倒数」，底数绝不能为零，这是定义成立的前提。 零指数幂：a0=1（a≠0）。注意 00 没有意义，底数是含字母的式子时要先判断它是否可能为零。 负指数化正指数的口诀：底数取倒数，指数变正号。()−2=()2=，底数是分数时整个分数取倒数，不是只倒数分子。 常见陷阱：(−2)−1=− 而不是 ；−2−1=−，负号与指数的位置决定符号，要看清负号在括号内还是括号外。 任何非零数的零次幂都等于 1，包括 (−5)0=1、(π−3)0=1，只要底数不为零。 概念辨析例题：计算 (−)−2+(−2)0 答案：10 解析：(−)−2 先底数取倒数变 (−3)2=9；(−2)0=1（底数 −2 不为零）。所以原式 = 9+1=10。注意 (−)−2 不是 −9，也不是 ，负指数只改变位置不改变底数的符号。 ☆ 2.整数指数幂的运算性质 同底数幂相乘：am·an=am+n；相除：am÷an=am−n。指数相加减，底数不变，m、n 可以是负整数。 幂的乘方：(am)n=amn，指数相乘；积的乘方：(ab)n=an bn，每个因式都要乘方。 分式的乘方：()n=（b≠0），分子分母各自乘方，不要漏掉分母。 结果要求只含正整数指数幂时，把负指数全部化成正指数，再化为最简分式，最后检查是否还能约分。 运算顺序与实数一致：先乘方、再乘除、最后加减，有括号先算括号内。 概念辨析例题：计算 (2x−1y3)−2 答案： 解析：先按积的乘方展开：(2x−1y3)−2=2−2·(x−1)−2·(y3)−2。逐项化简：2−2=，(x−1)−2=x2，(y3)−2=y−6。得 x2y−6=。要点：括号外的负指数对括号内每个因式都生效。 ☆ 3.科学记数法表示绝对值较小的数 绝对值小于 1 的数用科学记数法表示为 a×10−n，其中 1≤|a|<10，n 为正整数。a 的整数部分只有一位且不为零。 确定 n 的方法：把小数点向右移动，移到第一个非零数字之后，所移动的位数就是 n。如 0.0000315 中 3 前面有 4 个零加 1 个小数点位置，写成 3.15×10−5。 速记：原数小数点后第一个非零数字前面有几个 0（含整数位的 0），n 就是几加 1。例如 0.0042 写成 4.2×10−3。 由科学记数法还原小数：10−n 表示小数点向左移动 n 位，位数不够时前面补零。 计算结果的科学记数法：先算数值，再统一写成 a×10−n 的标准形式，a 超出 [1,10) 范围时要再调整指数。 概念辨析例题：用科学记数法表示 0.00000169 答案：1.69×10−6 解析：把小数点向右移到第一个非零数字 1 之后，得 1.69，共移动 6 位，所以指数为 −6，即 1.69×10−6。另一种读法：1 前面有 5 个 0，n=5+1=6。两种方法结果一致，指数一定是负的，因为原数小于 1。 ☆ 4.指数幂的综合应用与探究 含参数的指数式求值：先由已知等式求出 am 或 am+n 的值，再把目标式用同底数幂性质变形为只含这些量的式子。 定义新运算题：按题目给的定义逐步代入，全部化为同底数或同一形式后再运算，切忌跳步。 比较幂的大小：能化为同底数的用同底数比较（指数大的值大，底数大于 1 时）；能化为同指数的用同指数比较；都不行时找中间量 1 或有理数夹逼。 式子有意义的条件：底数不为零、分母不为零、除数不为零，三件事逐一检查，缺一不可。 规律探究题：把前几个具体算例算出来，观察指数的变化规律，再用字母表示第 n 项，本质是归纳法。 概念辨析例题：若 am=3，an=2，求 a2m−n 的值 答案： 解析：用同底数幂的运算性质反向拆解：a2m−n=a2m÷an=(am)2÷an。代入 am=3 得 (3)2=9，再除以 an=2，得 。要点是把目标指数改写为已知指数的和、差、倍，再逐项用性质展开。 📋 知识总结表 运算类型 公式 关键提醒 负整数指数幂 a−n=（a≠0） 底数取倒数，指数变正 零指数幂 a0=1（a≠0） 00 无意义 同底数幂相乘 am·an=am+n 底数不变，指数相加 同底数幂相除 am÷an=am−n 指数相减，可为负 幂的乘方 (am)n=amn 指数相乘 积的乘方 (ab)n=an bn 每个因式都乘方 分式的乘方 ()n= 分母不能漏 科学记数法 a×10−n，1≤|a|<10 指数取负，n 为移动位数 ⚠️ 核心考点 【考点1】负整数指数幂与零指数幂 · a−n=：底数取倒数，指数变正号 · a0=1 只要底数不为零 · 负号在括号内外结果不同，看清位置再定符号 · 底数为分数时整个分数取倒数，不是只倒数分子 1．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）若，，，，则（   ） A． B． C． D． 2．（17-18七年级下·广东深圳·阶段检测）（   ） A． B． C． D．3 3．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·广东汕尾·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·广东汕头·期末）若，，，则a，b，c的大小关系为（    ）． A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·广东广州·期中）下列计算正确的有 （   ） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．（25-26八年级上·全国·期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级上·湖南常德·期末）下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 9．（2026·江苏常州·一模）计算：__________． 10．（24-25八年级上·河北保定·期末）（1）计算：___________． （2）某“数学乐园”展厅的密码被设计成如图所示的数学问题．小明在参观时认真思索，输入密码后成功地连接到网络．他输入的密码是___________． 11．（23-24八年级下·重庆·开学考试）计算：_______． 12．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）若，，，，则a，b，c，d的关系是______．（用“＜”连接） 13．（25-26八年级下·福建泉州·期末）计算：． 14．（21-22七年级下·陕西西安·期末）计算：． 【考点2】整数指数幂的运算 · 同底数幂相乘指数相加，相除指数相减 · 幂的乘方指数相乘，积的乘方每个因式乘方 · 结果要求只含正整数指数幂时，先化正再约分 · 先乘方、再乘除、最后加减，有括号先算括号 15．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算：______． 16．（24-25七年级上·上海普陀·期末）将分式表示成不含分母的形式为______． 17．（24-25七年级上·上海·阶段检测）计算：__________________．（结果只含正整数指数幂） 18．（23-24七年级下·全国·单元测试）若，则的值为_____． 19．（24-25八年级上·广西桂林·期中）计算： (1) (2) 20．（24-25七年级下·江苏南京·期末）计算： (1)； (2)． 21．（23-24七年级上·上海奉贤·期末）计算：． 22．（24-25七年级下·江苏徐州·阶段检测）计算： (1) (2) 23．（23-24七年级下·广东深圳·期末）计算： (1)； (2)． 24．（24-25七年级下·四川达州·阶段检测）计算： (1) (2) 25．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算下列各式，要求在结果中不出现负整数指数幂： (1)； (2)； (3)． 【考点3】科学记数法表示绝对值较小的数 · 写成 a×10−n，1≤|a|<10 · n = 小数点移动到第一个非零数字后的位数 · 还原小数：指数负几，小数点左移几位 · 计算结果超出 [1,10) 时再调整指数 26．（24-25八年级下·四川攀枝花·期中）一种细菌的半径是米，用小数表示为（   ） A．400000米 B．40000米 C．0.00004米 D．0.000004米 27．（23-24八年级下·山西长治·期末）某研究团队突破“蛋白质纯化”这一传统概念，直接对线粒体成像，获得了迄今为止最清晰、最接近真实生理状态的线粒体原位膜蛋白高分辨率三维解析结构，局部分辨率最高达．数据用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 28．（25-26六年级下·全国·课后作业）计算，结果用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 29．（15-16七年级下·江苏·期末）若用科学记数法表示为，n为（    ） A． B． C． D． 30．（2025·山东菏泽·二模）小亮在阅读一篇文章时看到水分子的直径约为纳米，通过百度搜索小亮又知道纳米米，则水分子的直径约为_____米． 31．（2023九年级·安徽·专题练习）将下列用科学记数法表示的数还原： （1）_______；      （2）_______； （3）_______；      （4）_______． 32．（25-26八年级下·河南南阳·期末）中国“超级显微镜（散裂中子源）”二期工程正在建设，中子穿透性强，是科学家探索微观世界的“理想探针”．中子的直径大约是0.00000169纳米，数据0.00000169用科学记数法可表示为_________． 33．（24-25七年级下·安徽宿州·阶段检测）已知某细胞的直径约为，用科学记数法表示为，则等于______． 34．（24-25七年级下·江苏无锡·阶段检测）年月日新凯莱自主研发的深紫外线光刻技术通过四重图形曝光工艺实现了等效纳米芯片制造，请用科学记数法表示“纳米”为________米．（纳米米）． 35．（25-26六年级下·山东烟台·期末）“山深未必得春迟，处处山樱花压枝”，这句诗描绘了山樱盛放、春意盎然的景象．其中，一粒山樱花的花粉颗粒直径约为米．将数据用科学记数法表示为_________． 36．（25-26八年级上·上海·阶段检测）水由氢、氧两种元素组成，一个水分子包含两个氢原子和一个氧原子，1个氢原子的质量约为，一个氧原子的质量约为，一个水分子的质量大约是______．（结果用科学记数法表示） 37．（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）计算：______（用科学记数法表示）． 38．（24-25七年级下·全国·课后作业）臭氧是一种可以吸收紫外线的气体，每干洁空气中约含臭氧，则干洁空气中约含臭氧_______（用科学记数法表示）． 39．（24-25七年级下·全国·课后作业）用分数或小数表示下列各数： (1)； (2)； (3)； (4)． 40．（25-26八年级上·全国·课后作业）一个正方体木箱的棱长是0.8m（结果用科学记数法表示）． (1)这个木箱的体积是多少？ (2)若有一种小立方块的棱长是，则需要多少个这样的小立方块才能将木箱装满？ 41．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算：（用科学记数法表示结果） (1)； (2)． 【考点4】指数幂的综合应用与探究 · 含参数求值：把目标指数拆成已知指数的和差倍 · 定义新运算：严格按定义逐步代入 · 比较大小：化同底数或同指数，或插入中间量 · 有意义条件：底数、分母、除数都不为零 · 规律探究：算前几项再归纳第 n 项 42．（25-26八年级上·全国·期末）在八年级上册数学课本第148页，探讨了，根据公式若有，则的值为（    ） A． B． C．5 D． 43．（2024·山西·模拟预测）下列各式计算正确的是（   ） A． B． C． D． 44．（22-23八年级上·四川绵阳·期末）关于的代数式分解因式得，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 45．（25-26八年级上·全国·课后作业）若，定义新运算，则的值是（   ） A． B．11 C． D． 46．（25-26七年级下·四川成都·阶段检测）若，且的展开式中不含x的一次项，则代数式的值______． 47．（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）已知，则的值为_______． 48．（25-26九年级上·重庆·开学考试）若实数x，y同时满足，则的值为________ 49．（25-26九年级下·重庆永川·阶段检测）若实数x，y同时满足，，则的值为______． 50．（25-26八年级上·全国·课后作业）小聪观察等式（按降幂排序），发现如下规律： ①左边两个多项式各项系数之和的乘积等于右边多项式各项系数之和： 左边，右边，左边=右边； ②左边两个多项式首项系数的乘积等于右边多项式的首项系数： 左边，右边为3，左边=右边； ③左边两个多项式末项系数的乘积等于右边多项式的末项系数： 左边，右边为2，左边=右边． (1)类比探究： 请通过展开计算，判断规律①和规律②是否成立；（类比小聪的表述写出必要的过程） (2)基础应用： 请根据上述规律填空： ①若m，n为常数，则的展开式中各项系数之和为_______； ②若t，r为常数，满足，则_______． 51．（25-26八年级下·全国·课后作业）要使式子有意义，求的取值范围，并求当时式子的值． 52．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知a为有理数，试比较的大小． 💯 课后巩固 复习建议 · 负指数幂：a−n=，底数取倒数、指数变正 · 零指数幂：a0=1，底数不能为零，00 无意义 · 同底数幂相乘指数相加，相除指数相减，幂的乘方指数相乘 · 积的乘方每个因式都要乘方，分式乘方分母不能漏 · 科学记数法：a×10−n，1≤|a|<10，n 为小数点移动位数 【作业1】（24-25八年级上·云南昭通·阶段检测）下列运算错误的是（） A． B． C． D． 【作业2】（24-25六年级下·山东泰安·阶段检测）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【作业3】（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）用科学记数法表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【作业4】（2026·河南平顶山·三模）如下所示的是一道部分被污损的训练题，何楠查阅后发现本题的答案为11，则污损处“0”的个数为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【作业5】（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）我们把形如的整体叫集合，其中，，叫做集合的元素，集合中的元素具有确定性，互异性（如，），无序性（即改变元素的顺序后，新集合与原集合相等）．已知集合，集合，若，则的值是（     ） A． B． C． D． 【作业6】（25-26七年级下·重庆·阶段检测）计算：___________． 【作业7】（24-25七年级下·广东佛山·期中）计算______． 【作业8】（25-26八年级上·湖南常德·期中）计算：________． 【作业9】（25-26八年级上·全国·课前预习）用科学记数法表示下列各数： （1）________； （2）________． 【作业10】（24-25八年级下·四川绵阳·阶段检测）已知，求的值为_______． 【作业11】（24-25七年级下·江苏无锡·期中），则m的值为_______． 【作业12】（24-25七年级下·江苏南京·阶段检测）若x满足，则x的值为________． 【作业13】（23-24七年级下·陕西汉中·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【作业14】（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【作业15】（2026七年级下·全国·专题练习）用科学记数法表示下列各数： (1)； (2)； (3)； (4)． 【作业16】（2026七年级下·全国·专题练习）某种原子的质量为． (1)请用科学记数法表示这个数． (2)科学上把这个数量的定为1个原子质量单位，并用u来表示．请用科学记数法把u表示出来． 【作业17】（23-24八年级上·全国·课堂例题）若有意义，求的取值范围． 【作业18】（25-26八年级上·湖南长沙·期末）先化简，再求值：，其中，，． 学科网（北京）股份有限公司 $