18.5 含参分式方程的解与条件 专题讲义 2026—2027学年人教版八年级数学上册

含参分式方程的解与条件 人教版八年级上册 第十八章 18.5 教师解析版 目录导航 一、已知解反求参数 2 二、同解方程求参数 3 三、两个方程的解满足数量关系 4 四、解的正负与取值范围 6 五、整数条件与参数筛选 7 六、不等式条件与分式方程综合 9 A、基础通关 11 B、难点突破 13 C、方法进阶 17 D、真题精选 19 姓名：________________　班级：________________　日期：________________ 一、已知解反求参数 【知识要点】已知某个数是分式方程的解，意味着这个数既使每个原分母不为零，又使等式成立。把给定的解代入原方程，可得到关于参数的关系。 未知数与参数的角色不能混淆。已知解若写成含参数的式子，也要把这个式子整体代入每一个未知数的位置。 【理解与辨析】先由给定的解写出参数不能取的值，再代入、求参数。最后将参数和给定的解一起代回原方程，核对题设。 代入后得到的参数只是候选值。它可能使原方程分母为零；这种值不能留下。 【解题方法】1．写出给定解对应的原分母限制。 2．将给定值完整代入，求候选参数。 3．代回原方程核对分母和等式。 【易错提醒】“给定值使去分母后的方程成立”不一定说明它是原分式方程的解。 例一、　已知关于的分式方程的解为求的值。 【解析】当时，原分母 把代入原方程，得所以 检验：当时，原方程左边为等于右边。故   变式1-1、　已知是方程的解，则________。 【解析】给定原分母要求即 代入得所以解得 当时，原分母为2，左边为1，故   变式1-2、　已知关于的分式方程有一个解为求的值。 【解析】将代入时，原分母为所以 代入得即解得 此时给定解为原分母为3，左边为故   变式1-3、　若是关于的分式方程的解，则的取值范围是（　　） A．　　B．　　C．　　D．全体实数 【解析】代入给定解时，原分母为必须有 当时，给定的确实是原方程的解。 当时，给定值使原分母为0，应排除。故选B。   二、同解方程求参数 【知识要点】两个方程同解，是指它们的全部解相同。先求一个方程的合法解，再代入另一个方程求参数，最后还要核对另一个方程的全部解。 若题目已说明两方程都有解，不能保留使其中任一方程无解的参数。若题目没有说明有解，还应核对两方程同时无解的情况。 提升边界：两个方程都无解时，它们的解集都是空集，也属于同解；方程在原分母不为0的范围内恒成立时，全部解是这个允许范围，不能只取一个共同值。 【理解与辨析】两方程有一个公共解不等于同解。把候选参数代回后，分别求出两个原方程的全部解，才能比较。 去分母若得到Ax=B且A含参数，先看A是否为0；A=0、B≠0时无解，A=B=0时回到各自原分母限制。 【解题方法】1．先判断两方程有解的条件，再求解或分别表示两个解。 2．由共同解求候选参数。 3．代回两个原方程，核对解是否完全相同。 【易错提醒】只检验一个方程，或把“有公共解”当作“同解”，都可能导致错误。 例二、　关于的方程与同解，求的值。 【解析】第二个方程要求且去分母得解得检验：原方程两边均为所以其唯一解为3。 第一个方程要求且将代入，得解得 当时，第一个方程去分母得解得原分母分别为4、4、1，左边等于右边。 两个原方程的全部解均为故   变式2-1、　使关于的方程与同解的是（　　） A．　　B．　　C．　　D．不存在这样的实数 【解析】第一个方程要求去分母得所以唯一候选值为代回原方程，左边为故其唯一解为2。 在第二个原方程中，使分母无论取何值，2都不是第二个方程的解。 两方程不可能同解，选D。   变式2-2、　关于的两个分式方程与同解，求及两个方程的解。 【解析】第一个方程要求去分母得所以候选值 第二个方程要求去分母得所以候选值 当时仅第一式无解；当时仅第二式无解，两式不可能同时无解。因此同解时它们必须都有合法解。 若同解，须得共同候选值 检验：当时，两个原分母均不为0。第一式左边为第二式左边为 两个去分母后的方程均有唯一候选值，故共同的解为   变式2-3、　使关于的方程与同解的的取值范围为________。 【解析】两个原方程都要求第一个方程去分母得无解。 第二个方程去分母得整理得 当时，第二式不成立，也无解；这时两个方程的全部解都为空，因而同解。 当时，第二个原方程为对所有都成立，全部解为除1以外的所有实数，与无解的第一个方程不同。 所以   三、两个方程的解满足数量关系 【知识要点】两个方程的解满足和、差、倍数或相反数关系时，先分别设为u、v，不要把它们当作同一个数。将u、v用参数表示，再使用题设数量关系。 除满足数量关系外，两个数还必须各自是对应原方程的合法解。一个候选值触及任一原分母禁值，就不能保留该参数。 【理解与辨析】“第一个方程的解是第二个方程解的2倍”应写成u=2v；“两解互为相反数”应写成u+v=0。 两个方程中的未知数都叫不表示两个方程的解相等。解的关系必须由题设确定。 【解题方法】1．分别设两个解为保留各自限制。 2．用参数表示翻译题设数量关系。 3．求参数后检验两个原方程及数量关系。 【易错提醒】把两个不同的解当成一个共同解，或只检验数量关系而不检验原方程。 例三、　关于的方程与的解分别为若求的值。 【解析】第二个方程要求且去分母得解得检验：原方程两边均为 由得第一个方程要求且6满足限制。 将代入第一个原方程，得解得 当时，第一个方程去分母得解得原分母分别为7、28、4，左边等于右边。 两方程的解分别为6、3，且故   变式3-1、　关于的方程的解是方程的解的2倍，求的值。 【解析】设第一、第二个方程的解分别为由第一式得此时 由第二式得还须由题意得解得 此时第一式原分母为3，左边为1；第二式原分母为左边为 又故   变式3-2、　关于的方程与的解互为相反数，且求 【解析】设两个方程的解分别为由第一式得且由第二式得且 由得即 与联立，解得这时 检验第一原方程：检验第二原方程：两个原分母分别为2、均不为0，且 故   变式3-3、　关于的方程与均有解，解分别为若则的取值范围为________。 【解析】第一个方程要求去分母得所以 第二个方程要求去分母得所以 由得当时当时这两个值须排除。 反过来，任取且令对应的满足两原分母分别为均不为0。 代回，第一式左边为第二式左边为所以且   四、解的正负与取值范围 【知识要点】正解、负解、非负解、非正解分别表示指定区间中的解，还要区分端点是否可以取到。 去分母后若得到只有在时才能写成当含参数时，应先讨论再处理其余情况。 参数范围必须同时保证解满足题设条件、原分母不为0。先约分也不能删除原方程的取值限制。 未知数的系数为0时，若常数不为0，则整式方程无解；若同时为0，应回到原分母限制核对所有允许取值，不能继续套用唯一解公式。 【理解与辨析】可先将解用参数表示，再把“解为正数”等文字翻译成不等式。最后由原分母的禁值反求需要排除的参数，不能只解不等式就结束。 处理的正负时，可以由分子为正直接判断分母符号；涉及与1等数比较时，先区分分母正负，再同乘。不要在不知道符号时直接乘含参式。 【解题方法】1．写原分母限制，去分母并整理成一次关系。 2．未知数的系数含参数时，先处理系数为零的情况。 3．由解的正负或区间求参数范围，再核对端点和原分母。 【易错提醒】“非负”允许0，“非正”也允许0；某个禁值即使位于所求区间内部，仍必须单独排除。 例四、　若关于的分式方程的解为正数，求的取值范围。 【解析】原方程要求两边同乘得所以 由得由得 若且则代回原式左边为成立。   变式4-1、　若关于的分式方程的解为非负数，求的取值范围。 【解析】原方程要求两边同乘得 移项并提取得即所以 由得由得时，两边均为可以取。 其余保留值均满足和去分母过程可逆。故且   变式4-2、　若关于的分式方程的解满足求的取值范围。 【解析】原方程要求且去分母得所以 由得 代入原分母，得两者均要求 时原分母不为0，可以取；时不符合严格不等式。其余保留值代入后，两边均为故且   变式4-3、　若关于的分式方程的解满足求的取值范围。 【解析】原方程要求且去分母得即 当时，等式为无解。当时， 当时，只需因解得 当时，由得解得 候选解不可能出现；对应不在上述范围内。给出可取；给出不可取。保留值均满足去分母关系且原分母非零。 所以或   五、整数条件与参数筛选 【知识要点】“参数为整数”与“方程的解为整数”是两个不同条件。题目只规定其中一个时，不能擅自给另一个加上整数限制。 已知参数在有限范围内时，可先求解的范围，再列出其中的整数；已知解在有限范围内时，也可先枚举解，再反求参数。 当整数参数使解写成且为整数、时，整数条件可转化为是的整数因数。应列出正、负因数，再按题意筛选。 【理解与辨析】有限枚举先确定完整范围，再处理开闭端点。列出候选整数不等于完成作答，还要逐一核对原分母与参数的限制。 正整数不含0与负数；整数则包括负整数、0和正整数。分母中含参数时，要先排除参数使分母或未知数系数为零的情况。 【解题方法】1．明确参数与解分别属于什么数的范围。 2．按题设选择有限整数枚举或简单因数筛选。 3．把每个候选参数与对应解配对，检验原式和全部条件。 【易错提醒】解为整数时，参数未必为整数；参数为正整数时，整数解仍可能为负数。 例五、　已知实数满足若关于的分式方程的解为整数，求的所有可能值。 【解析】原方程要求两边同乘得所以即 由得整数候选值为 排除使原分母为0的由余下三个候选解对应 这三组为均在题设范围内，且原分母非零；原方程两边分别同为故   变式5-1、　已知实数满足若关于的分式方程的解为整数，求的所有可能值。 【解析】原方程要求由得给定范围内所以 由得故整数解只能为 由依次得 四个都不等于1，四个都在给定范围内，代入均有故题设未要求为整数。   变式5-2、　已知为正整数。若关于的分式方程的解为整数，求的所有可能值及对应的解。 【解析】原方程要求且两边同乘得即 因为为正整数，要使为整数，只能取6的不小于2的正因数 对应为最后一组使原分母为0，舍去。 当时，原方程两边均为当时，两边均为故时时   变式5-3、　已知为整数。若关于的分式方程的解为整数，求的所有可能值。 【解析】原方程要求且去分母得即 当时，得到无解。当时， 由于均为整数，须取6的整数因数 相应的依次为 其中使原分母为0，舍去。其余七组的均不等于且都满足故逆向去分母可知原方程成立。 所以   六、不等式条件与分式方程综合 【知识要点】若不等式组有解，且分式方程的解满足某条件，应分别求参数范围，再取公共部分。两个条件中的未知数同名，不代表取值相同。 若题目明确说“分式方程的解满足某不等式”，则应把方程解的表达式代入该不等式。它与“两项条件分别成立”不同。 不等式组恰有若干个整数解时，应同时保证边界内的整数能取到、相邻的整数不能取到；严格与非严格不等号决定参数端点的开闭。 【理解与辨析】例如恰有整数解时，应有时，整数2仍被严格不等号排除，因此右端可以取等号。 完成不等式条件的筛选后，仍须检查分式方程的原分母、未知数系数是否为零，以及题目是否另有整数要求。求个数或总和之前先列出全部合法参数。 【解题方法】1．辨清是两个条件分别成立，还是方程解本身满足不等式。 2．分别求参数范围，整数个数题先找应取与不应取的相邻整数。 3．取公共范围，排除非法值；有整数条件时再枚举并求所需结果。 【易错提醒】“不等式组有解，且分式方程有正解”不等于两者有公共解；“恰有3个整数解”也不等于解集只含3个数。 例六、　若分式方程的解满足和求的取值范围。 【解析】原方程要求去分母得即所以 由和得将方程解代入，得所以 原分母条件要求时两边均为可以取；时不满足严格不等式。 保留值均满足去分母关系和原分母限制，故且   变式6-1、　已知不等式组有解，且关于的分式方程的解为负数，求的取值范围。 【解析】不等式组有解，须即 分式方程要求且去分母得所以 由得代入原分母，均要求 取公共部分，得且保留值使不等式组有解，分式方程两边均等于且所以所求范围为且   变式6-2、　已知不等式组恰有3个整数解，且关于的分式方程的解为正数，求的取值范围。 【解析】不等式组的解集为恰有3个整数解时，这三个数为须所以 原分式方程要求两边同乘得所以 由得由得 取公共部分，得且时，不等式组为恰有3个整数解；方程根合法。保留值代回分式方程也均成立。   变式6-3、　若整数使不等式组恰有4个整数解，且关于的分式方程有整数解，求所有符合条件的的和。 【解析】不等式组的解集为恰有4个整数解时，它们为须即 分式方程要求两边同乘得即 当时，等式为无解。当时， 给定范围内的整数为排除3后，依次得到只有使为整数，且两个整数根都不等于2。 当时，原方程两边均为当时，两边均为两种情形的不等式组也都恰有上述4个整数解。 所以所求和为   A、基础通关 A1、　已知是方程的解，则________。 【解析】原分母为代入得所以 代回左边为成立。   A2、　已知关于的方程的解是4，则的值为（　　） A．5　　B．6　　C．7　　D．8 【解析】当时，原分母为代入得所以 检验：选C。   A3、　已知是方程的解，求 【解析】原方程要求即 代入得所以此时原分母为原式左边为2，成立。   A4、　方程与同解，求 【解析】第一个方程的合法解为原分母为1。 代入第二式得所以 此时第二式去分母得唯一候选值原分母为左边为3。故两式同解，   A5、　方程的解比方程的解大2，求 【解析】设前、后方程的解分别为前式要求去分母得后式要求去分母得 由得所以 此时检验：两原分母分别为3、2，均非0，且故   A6、　方程的解是方程的解的2倍，则________。 【解析】后一个方程要求去分母得所以检验：成立。 前一方程的解应为2；其原分母为代入得所以 此时前一方程去分母得唯一候选值为2。代回原方程有且   A7、　若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【解析】原方程要求去分母得即所以 由得此时自动成立。反向代入原式，两边均为故选A。   A8、　已知为整数。若关于的分式方程的解为非正数，则的最小值为________。 【解析】原方程要求且去分母得所以 由得代入原分母，得均要求 因此符合条件的整数从3开始，最小值为3。此时原方程两边都等于且故填3。   A9、　已知实数满足若关于的分式方程的解为整数，求的所有可能值。 【解析】原方程要求去分母得所以即 由得整数候选值为排除后，保留 由依次得对应原分母非零，均满足去分母关系，故均为原方程合法整数解。   A10、　若为一位正整数，且关于的分式方程的解为整数，则的所有可能值为________。 【解析】原方程要求由于去分母后可得 要使为整数，必须是6的正因数。一位正整数中符合条件的为 对应的为均不等于代入原方程成立。因此的所有可能值为   A11、　已知由不等式和组成的不等式组有解，且关于的分式方程的解为正数。若为整数，则的最大值为________。 【解析】不等式组有解，须有即 分式方程要求两边同乘得所以 解为正数要求所得解总有故原分母限制满足。综合得 符合条件的整数为3和4，最大值为4。此时方程解为2，不等式组为有解；题设并未要求方程解也属于该不等式组。   A12、　若关于的分式方程的解满足则的最大值为________。 【解析】原方程要求两边同乘得所以 由得于是解得此时自动满足 时，原方程两边都为2，不等式取等号。因此的最大值为1。   B、难点突破 B1、　已知是方程的解，且求 【解析】给定解必须满足即代入原方程得即 由得代入得所以 检验：给定解为0，原分母为1，左边为且故   B2、　已知是方程的解。 （1）求 （2）将增加1，求变化后的分式方程的解。 【解析】（1）原分母要求代入得所以此时的原分母为等式成立。 （2）变化后的参数为原方程为要求 去分母得解得 检验：原分母为左边为故变化后方程的解为   B3、　求实数的取值范围，使方程与同解。 【解析】第一式要求去分母得该候选值合法须 第二式要求去分母得其原分母恒为2，任何实数都有这个唯一解。 当时，代入第一原式有代入第二原式有两式均只有解故同解。 当时，第一原式左边为1而右边为2，无解；第二式有解两式不同解。 故   B4、　关于的方程与同解，求 【解析】两原方程都要求去分母分别得与 当时，第一式对所有成立，而第二式为无解，因此不同解。 当时，第一式的合法解为0，第二式的候选解为第二式候选值不可能等于1，因而合法。 由同解得所以此时两式唯一解均为0，原分母都为代回第一式左边为1，第二式左边为 故   B5、　关于的方程与的解之差的绝对值为3，求的值。 【解析】第二个方程要求去分母得所以解为1；代回原式得 设第一个方程的解为由得或 第一个方程要求所以舍去只保留代入得所以 当时，第一个方程去分母得唯一候选值为4。原分母为6，代回左边为3；又符合题设。故   B6、　关于的方程与都有解且同解，且求及共同的解。 【解析】题设说明两方程都有解。第一式候选解为须第二式候选解为须 由同解得即与联立，得 此时共同候选值为0。两原分母分别为1；代入第一式有第二式有且 两式的去分母方程均只有该候选值，故共同的解为   B7、　若关于的分式方程的解满足求的取值范围。 【解析】原方程要求且两边同乘得所以即 由得 由和分别得和 时不能取；时两个原分母均非零，可以取。其余保留值满足及原分母限制，逆向去分母可知原式成立。 故且   B8、　若关于的分式方程的解小于1，求的取值范围。 【解析】原方程要求去分母，得即 当时，所得等式为不符合题意。当时， 当时，由两边同乘正数得所以 当时，故均满足大小条件。 候选值对应已被严格不等式排除；两个范围均不含因此或   B9、　已知为整数。若关于的分式方程的解为正整数，求的所有可能值。 【解析】原方程要求去分母，得即 当时，原方程为不成立。当时， 因为和均为整数，所以只能为6的整数因数 对应的依次为对应的依次为 正整数条件排除原分母条件再排除其余各组均满足原方程，所以   B10、　已知为正整数。若关于的分式方程的解为整数，求的所有可能值及对应的解。 【解析】原方程要求且两边同乘得即 当时，所得等式为不符合题意。当时， 要使为整数，整数应为4的因数，即 由于为正整数，只保留对应的其余两个因数给出不符合参数的正整数条件。 保留的四个均不等于1或代回原方程成立。因此对应的解分别为   B11、　已知由不等式和组成的不等式组恰有2个整数解，且关于的分式方程的解为负数，求的取值范围。 【解析】不等式组的整数解只能为0和1，因此要包含1且不包含2，应有即 分式方程要求且两边同乘得即所以 解为负数要求即原分母条件要求且 取公共范围，得下端时不等式组只有1个整数解，上端时，候选值使原分母为0，也不符合负数条件，故两端均不能取。   B12、　已知为不小于的整数，由不等式和组成的不等式组有解，且关于的分式方程的解为负数，求的所有可能值。 【解析】不等式组有解的条件为即结合题设，得且为整数。 分式方程要求去分母，得即 当时，得到不符合题意。当时，它为负数要求 由得因此整数参数只能为 对应的分别为都为负数且不等于这些参数也都使不等式组有解，故全部保留。   C、方法进阶 C1、　已知和都是关于的方程的解。 （1）求 （2）当取上述值时，写出原方程的所有解。 【解析】（1）给定的2、3都不使原分母为0。分别代入原方程，得相减得再得 检验：时左边为时左边为均成立。 （2）此时原方程为原分母要求在此范围内左边等于2。 所以所有解为除1以外的所有实数。   C2、　已知是方程的解，求的值和原方程的所有解。 【解析】代入给定解时，原分母为所以 代入得去分母得约去两边的得此处只需求解一次方程。 此时给定解为原分母为原方程为代入0成立。 对任意左边均为0；使原分母为0，不能取。 故此时原方程的所有解为除1以外的所有实数。   C3、　关于的方程与都有解，且两个解的和为5。求的取值范围。 【解析】第一式的候选解为合法须即 第二式的候选解为合法须即 当且时，代入第一原式有代入第二原式有同时 所以为除2以外的所有实数。不能由和为5强行解出唯一的   C4、　若关于的分式方程的解满足求的完整取值范围。 【解析】原方程要求去分母，得即 当时，得到不符合题意。当时， 当时，非负条件自动满足。由得因得所以 当时，由得因得所以 时会得到禁值不能取；时得到可以取。在上述两个范围内，原分母均不为0。 因此的完整取值范围是或这两个范围内的候选解均满足且原分母不为0，去分母过程可逆。   C5、　若关于的分式方程的解是小于6的正整数，求实数的所有可能值。 【解析】原方程要求小于6的正整数为排除1后，候选解为 两边同乘得整理得 当时，所得等式为不存在相应参数。不能在未排除时直接除以 当时，由分别得到 三个候选解均不等于原分母禁值1，代入各自对应的原方程均成立。另由可见时矛盾；所得三个参数均不等于1，因此均给出唯一合法解。 所以的所有可能值为题设没有要求为整数，不能舍去。   C6、　已知由不等式和组成的不等式组恰有3个整数解，且关于的分式方程的解为整数，求实数的值。 【解析】不等式组的3个整数解只能为要包含1且不包含2，须有即 分式方程要求去分母，得所以 由得其中的整数候选值为3和4；3使原分母为0，应舍去。 所以对应代入原方程，两边都等于4；不等式组为恰有整数解题设的两个条件均成立。 因此方程的解4虽不在不等式组的解集中，但题目没有要求两者有公共解。   C7、　若整数使由不等式和组成的不等式组有解，且关于的分式方程的解为非正整数，求所有符合条件的的和。 【解析】不等式组有解，要求即当时，与不能同时成立。 分式方程要求且去分母，得即 当时，得到不符合题意。当时， 因为和均为整数，所以只能取对应的为对应的为 时，既不是非正数，也使原分母为0，舍去；不满足舍去。保留对应的均为非正整数且不等于2或 两组代入原分式方程均成立，也都使不等式组有解。所有符合条件的的和为   D、真题精选 D1、（2025年南京中考第10题）　已知是方程的解，则的值是________。 【解析】给定原分母要求即 代入原方程，得即 去分母得解得 检验：当时，两个原分母分别为3、左边为所以   D2、（2026年黑龙江龙东中考第6题）　已知关于的分式方程的解为正数，则的取值范围为（　　） A．　　B． C．且　　D．且 【解析】原方程要求两边同乘得所以 由解为正数，得即由得即 当且时，把代入原式，左边为且 故选C。   D3、（2025年四川眉山中考第11题）　若关于的不等式组至少有两个正整数解，且关于的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数的值之和为（　　） A．8　　B．14　　C．18　　D．38 【解析】由得由得所以不等式组的解集为 要使不等式组至少有两个正整数解，其解集必须包含4和5，因此得 分式方程要求两边同乘得解得 由方程的解为正整数且得为不小于2的整数，所以为不小于6的偶数。结合得或 当时，方程的解为原式两边均为5；不等式组为有3、4、5三个正整数解。 当时，方程的解为3，原式两边均为不等式组为正整数解为4和5。 满足条件的整数的值之和为故选B。 题设要求两个条件分别成立，并未要求分式方程的解同时是不等式组的解。   1 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $含参分式方程的解与条件 人教版八年级上册第十八章18.5 学生版 目录导航 一、已知解反求参数.… 0…2 二、同解方程求参数. 3 三、两个方程的解满足数量关系… .5 四、解的正负与取值范围.… .7 五、整数条件与参数筛选… .9 六、不等式条件与分式方程综合… .11 A、基础通关.… 13 B、难点突破。…16 C方法进阶20 D、真题精选…23 姓名： 班级： 日期： 1125 一、已知解反求参数 【知识要点】已知某个数是分式方程的解，意味着这个数既使每个原分母不为零，又使 等式成立。把给定的解代入原方程，可得到关于参数的关系。 未知数与参数的角色不能混淆。已知解若写成含参数的式子，也要把这个式子整体代入 每一个未知数的位置。 【理解与辨析】先由给定的解写出参数不能取的值，再代入、求参数。最后将参数和给 定的解一起代回原方程，核对题设。 代入后得到的参数只是侯选值。它可能使原方程分母为零；这种值不能留下。 【解题方法】1.写出给定解对应的原分母限制。2.将给定值完整代入，求候选参数。 3.代回原方程核对分母和等式。 【易错提醒】“给定值使去分母后的方程成立”不一定说明它是原分式方程的解。 例一、已知关于×的分式方程=3的解为x=2,求知的值。 变式1-1、 已如x=1是方程乙。=1的解，则a=一。 2125 变式1-2、 已知关于x的分式方程1=2有一个解为x=m-1,求m的值。 X-1 变式13.、若x=m-1是关于的分式方程：子-1的解。则m的取值范盟是() A.m=2B.m≠2 C.m≠1D.全体实数 二、同解方程求参数 【知识要点】两个方程同解，是指它们的全部解相同。先求一个方程的合法解，再代入 另一个方程求参数，最后还要核对另一个方程的全部解。 若题目已说明两方程都有解，不能保留使其中任一方程无解的参数。若题目没有说明有 解，还应核对两方程同时无解的情况。 提升边界：两个方程都无解时，它们的解集都是空集，也属于同解；方程在原分母不为0 的范围内恒成立时，全部解是这个允许范围，不能只取一个共同值。 【理解与辨析】两方程有一个公共解不等于同解。把候选参数代回后，分别求出两个原 方程的全部解，才能比较。 去分母若得到Ax=B且A含参数，先看A是否为0；A=0、B≠0时无解，A=B=0时回到 各自原分母限制。 【解题方法】1.先判断两方程有解的条件，再求解或分别表示两个解。2.由共同解求 候选参数。3。代回两个原方程，核对解是否完全相同。 3125 【易错提醒】只检验一个方程，或把“有公共解”当作“同解”，都可能导致错误。 例二关于的方程K4与名同解，求的值。 变式21、使关于×的方程1与=3洞解的m是（) A.-2B.0C.2D.不存在这样的实数m 变式22、关于的两个分式方程2与-3同解、求0及两个方程的解。 4125 变式2-3、 使关于：的方程，行-0屿2m同解的m的取值范图为 三、两个方程的解满足数量关系 【知识要点】两个方程的解满足和、差、倍数或相反数关系时，先分别设为、V,不要 把它们当作同一个数。将、V用参数表示，再使用题设数量关系。 除满足数量关系外，两个数还必须各自是对应原方程的合法解。一个候选值触及任一原 分母禁值，就不能保留该参数。 【理解与辨析】“第一个方程的解是第二个方程解的2倍”应写成u=2;“两解互为相反 数"应写成u+V=0。 两个方程中的未知数都叫x,不表示两个方程的解相等。解的关系必须由题设确定。 【解题方法】1.分别设两个解为u、V,保留各自限制。2.用参数表示u、V,翻译题 设数量关系。3.求参数后检验两个原方程及数量关系。 【易错提醒】把两个不同的解当成一个共同解，或只检验数量关系而不检验原方程。 例三。关于的方程号中x7与品写的解分别为著知v9, X 求a的值。 5125 变式3-1、 关于的方程，己。1的解是方程己=的解的2倍，求0的值。 X-2 变式3-2、 关于x的方程+”=3与-2”=2的解互为相反数，且m-n=1。求m、n。 X-2 x+1 变式3-3、 关于的方程骨2鸡=2均有解，解分别为、.若+v=k,则的 X-2 取值范围为 6125 四、解的正负与取值范围 【知识要点】正解、负解、非负解、非正解分别表示x>0、x<0、x≥0、x≤0。指定区间 中的解，还要区分端点是否可以取到。 去分母后若得到Ax=B,只有在A≠0时才能写成x=。当A含参数时，应先讨论A=0, 再处理其余情况。 参数范围必须同时保证解满足题设条件、原分母不为0。先约分也不能删除原方程的取值 限制。 未知数的系数为0时，若常数不为0，则整式方程无解；若同时为0，应回到原分母限制 核对所有允许取值，不能继续套用唯一解公式。 【理解与辨析】可先将解用参数表示，再把解为正数”等文字翻译成不等式。最后由原分 母的禁值反求需要排除的参数，不能只解不等式就结束。 处理。二的正负时，可以由分子为正直接判断分母符号；涉及与1等数比较时，先区分分 母正负，再同乘。不要在不知道符号时直接乘含参式。 【解题方法】1.写原分母限制，去分母并整理成一次关系。2.未知数的系数含参数 时，先处理系数为零的情况。3。由解的正负或区间求参数范围，再核对端点和原分母。 【易错提醒】“非负”允许0，“非正”也允许0；某个禁值即使位于所求区间内部，仍必须 单独排除。 例四、 若关于的分式方程，+2”x1的解为正数求0的取值范围。 7125 变式4-1、 若关于的分式方程号+？的解为丰负数家的取值范阻。 变式4-2、 若关于的分式方程，。的解满足5Sx4,泉的取值范围。 8125 变式43、若关于的分式方程号×20的解满足4<x≤0，来的取值范围。 五、整数条件与参数筛选 【知识要点】“参数为整数”与“方程的解为整数”是两个不同条件。题目只规定其中一个 时，不能擅自给另一个加上整数限制。 已知参数在有限范围内时，可先求解的范围，再列出其中的整数；已知解在有限范围内 时，也可先枚举解，再反求参数。 当整数参数使解写成x=b+。a'且b,c,d为整数、c40时，整数条件可转化为a-d是c 的整数因数。应列出正、负因数，再按题意筛选。 【理解与辨析】有限枚举先确定完整范围，再处理开闭端点。列出候选整数不等于完成 作答，还要逐一核对原分母与参数的限制。 正整数不含0与负数；整数则包括负整数、0和正整数。分母中含参数时，要先排除参数 使分母或未知数系数为零的情况。 【解题方法】1.明确参数与解分别属于什么数的范围。2.按题设选择有限整数枚举或 简单因数筛选。3.把每个候选参数与对应解配对，检验原式和全部条件。 【易错提醒】解为整数时，参数未必为整数；参数为正整数时，整数解仍可能为负数。 9125 2x+5-a 例五、 已知实数0满足-1<a≤3。若关于x的分式方程x+7x+2+2的解为整数，求a 的所有可能值。 变式5-1、 已知实数满足1a=号若关于×的分式方程，弓+a=的解为整数求的 所有可能值。 10/25 变式5-2、 已为正整数。若关于的分式方程，号的解为整数宋知的 所有可能值及对应的解。 变式5-3、 已知为整数，若关于的分式方程中号弓的解为熊数家的 所有可能值。 六、不等式条件与分式方程综合 知识要点】若不等式组有解，且分式方程的解满足某条件，应分别求参数范围，再取 公共部分。两个条件中的未知数同名，不代表取值相同。 若题目明确说“分式方程的解满足某不等式”，则应把方程解的表达式代入该不等式。它 与“两项条件分别成立”不同。 不等式组恰有若干个整数解时，应同时保证边界内的整数能取到、相邻的整数不能取 到；严格与非严格不等号决定参数端点的开闭。 11/25 【理解与辨析】例如-1≤x<t怡有整数解-1,0,1时，应有1<t≤2。t=2时，整数2仍被 严格不等号排除，因此右端可以取等号。 完成不等式条件的筛选后，仍须检查分式方程的原分母、未知数系数是否为零，以及题 目是否另有整数要求。求个数或总和之前先列出全部合法参数。 【解题方法】1.辨清是两个条件分别成立，还是方程解本身满足不等式。2.分别求参 数范围，整数个数题先找应取与不应取的相邻整数。3.取公共范围，排除非法值；有整 数条件时再枚举并求所需结果。 【易错提醒】“不等式组有解，且分式方程有正解”不等于两者有公共解；“恰有3个整数 解也不等于解集只含3个数。 3x+4-a 例六.若分式方程X+7x+1+3的解满足2x-1≤5和x>-2,求a的取值范围。 变式6-1、 知不等式超：有解且关于y的分式方程，子。，的解为负数求 x>a-2, a的取值范围。 12/25 变式6-2、 已知不等式组2xa+3恰有3个整数解，且关于y的分式方程+5：=2 x≥0 y-11-y 的解为正数，求a的取值范围。 变式63、 若整数如使不等式组4X。22恰有4个整致解、且关于y的分式方程 2-ay+3= y-2 3一2-y有整数解，求所有符合条件的a的和。 A、基础通关 A1、 已知X=-1是方程2=2的解，则m=一。 X-2 13/25 A2、 已如关于×的方程23的解是4，则的值为（) A.5B.6C.7D.8 A3、 已知x=2是方程。=2的解求a A4、方程与号=3同解，宋a: X-2 A5、方程，n1的解比方程，名1的解大2，求m: A6、 方程-的解是方程名？的解的2倍，则—一 14/25 A、若关于的分式方程x的解为正数，则的取值范围是（） A.a>1 B.az1 C.a<1 D.a>0 A8、 已知a为整数。者关于x的分式方程、本。X十2的解为非亚数，则Q的最小值为 3x+4_2a A9、 已知实数满足0≤a≤2，若关于x的分式方程X+行x++3的解为整数，求和的 所有可能值。 A10、 若为一位正整数，且关于×的分式方程Q的解为整数则x的所有可能值为 15/25 A11、 已知由不等式x>a-1和x<4组成的不等式组有解，且关于x的分式方程-号 x-a-"2 的解为正数。若a为整数，则a的最大值为一。 A12、 若关于的分式方程，220=2的解满足3x-27,则的最大值为一 B、难点突破 B1、 已知x=a是方程m=3的解，且m-a=2,求a、m。 X+1 16125 B2、 已知x=2是方程-1=2的解。 X-0 (1)求a: (2）将a增加1，求变化后的分式方程的解。 B3、 求实数m的取值范围，使方程-2与2m1同解。 B4、关于的方程1与同解，求知 x-1 17/25 B5、 关于的方程-3与子1=1的解之差的绝对值为3，求的值 X+2 B6、关于的方程=3与治-2都有解且同解，且a-2b=1,京a、6及共同的解。 a.a-2x+1 B7、若关于x的分式方程x-2x+2X.4的解满足-3<x≤3，求a的取值范围。 18/25 B8、 若关于x的分式方程Q:1X-2的解小于1，求a的取值范围。 X-1 B9、 已知为整数。若关于×的分式方程号a-2的解为正整数。求a的所有可能值 B10、 已知0为正整数。若关于的分式方程名子的解为整数来的所有可能值 及对应的解。 19125 B11、已知由不等式x≥0和x<a+1组成的不等式组恰有2个整数解，且关于x的分式方 程之片了的解为负数泉的取值施园。 B12、已知a为不小于-2的整数，由不等式x之a-1和x≤2组成的不等式组有解，且关于x 的分式方程：)x=2的解为负数，求的所有可能值。 X+2 20/25 C、方法进阶 C1、 已知x=2和x=3春是关于x的方程mX”=2的解。 X-1 (1)求m、n; (2）当m、n取上述值时，写出原方程的所有解。 C2、 已知x=m+1是方程一m+1的解，求m的值和原方程的所有解。 21/25 C3、 关于x的方程3X-4与2x0=1都有解，且两个解的和为5。求a的取值范围。 x-1 X+1 C4、 若关于x的分式方程Q,X-9:号+1的解满足0≤X<2,求0的完整取值范围。 x-2X-2 22125 C5、 若关于×的分式方程文-a的解是小于6的正整数求实数a的所有可能值。 C6、 已知由不等式x>-2和x≤号组成的不等式组恰有3个整数解，且关于x的分式方程 2的解为整数。求实数0的值。 23/25 C7、若整数a使由不等式x>a-1和x≤2组成的不等式组有解，且关于x的分式方程 X是2X中的解为丰正整数求所有符合条件的的和。 D、真题精选 D1、(2025年南京中考第10题) 已知=2是方程。+品的解，则的值是 D2、(2026年黑龙江龙东中考第6题) 已知关于的分式方程号器-1的解为正 数，则k的取值范围为（) A.k>-6B.k<-6 C.k>-6且k≠-4D.k<-6且k≠-4 24125 3x-1 D3、(2025年四川眉山中考第11题)若关于x的不等式组2 ≤x+2」 至少有两个正 x+1≥-x+a 整数解，且关于x的分式方程：=2,3 X-1 亡×的解为正整数，则所有满足条件的整数α的值之 和为() A.8B.14C.18D.38 25/25