12.4.3 角平分线（第1课时：角平分线的性质定理） 同步练 2026-2027学年华东师大版数学八年级上册

12.4.3角平分线（第1课时：角平分线的性质定理) 同步练 2026-2027学年华东师大版数学八年级上册 【基础夯实】 一、单选题 1.如图，OC平分∠AOB,P是OC上一点，PH⊥OB于点H,若PH=9,则点P与射线OA上某一点连线的长度可 以是() B H 0 A.6 B.7 C.8 D.10 【答案】D 【分析】根据角平分线的性质可知点P到OA的距离为9，进而得出答案. 【详解】解：过P作PD⊥LOA于点D,M是OA上任一点，连接PM, B H M D ,OC平分∠AOB,PH⊥OB, .'PD=PH=9. .PM≥PD, ∴点P与射线OA上某点连线的长度大于等于9， 选项中只有D符合题意。 2.如图，己知△ABC中，AD平分∠BAC,DE⊥AB于点E,若AC=5,DE=2,则△ACD的面积为() 答案第1页，共2页 B A.2.5 B.5 C.6 D.10 【答案】B 【分析】根据角平分线的性质和三角形的面积公式即可得到结论. 【详解】解：如图，过D作DF⊥AC于F, B D FC :AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC, ∴.DF=DE=2, 六a4CD的面积24C-DF 1 2x5x2=5 3.如图，CP为△ABC的角平分线，若AC=6,BC=4,PA=3,则BP的长为() D A.2 B.4 C.6 D.8 【答案】A S4c_3 【分析】作PE⊥AC,PF⊥BC,CH⊥AB,垂足分别是E,F,H,得出PE=PF,再求出Smc2,即可求出结论. 【详解】解：作PE⊥AC,PF⊥BC,CH⊥AB,垂足分别是E,F,H 答案第2页，共2页 □B P H :CP为△ABC的角平分线， .PE =PF, .·AC=6,BC=4, 1 S.APC= ×6-PE 21 3 S.Bpc 2*4PF 2 PA=3, S4匹-3- 2x3.CH 3 ·Sc2 x BP.CH BP, 2 ∴BP=2 4.如图，点E是BC上一点，AB⊥BC,DC⊥BC,AE平分∠BAD,DE平分∠ADC.若BC=9,则BE的长度为 () D C A.3 B.4 C.4.5 D.5 【答案】C 【分析】利用角平分线的性质定理，过点E作AD的垂线，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，得出BE=CE 进而求解。 【详解】解：过点E作EF⊥AD于点F 答案第3页，共2页 D dC.·AB⊥BC,DC⊥BC .EB L AB,EC⊥DC :AE平分∠BAD,EF⊥AD,EB⊥AB ∴.EB=EF DE ∠ADC,EF⊥AD,EC⊥DC 平分 ∴.EC=EF ∴.EB=EC .BC=9 BEC-45 BD 5.如图，AD是AABC的角平分线，若AB=7,AC=5,则CD() 12 A.7 1 c. D. 【答案】C 【分析】作DE⊥AB,DF⊥AC,AH⊥BC,垂足分别为点E,F,H,由角平分线的性质定理得到DE=DF,进一步根 BDAB 据三角形面积公式即可得到DCAC· 【详解】解：作DE⊥AB,DF⊥AC,A⊥BC,垂足分别为点E,F,H, 答案第4页，共2页 A F B DH :AD是△ABC的角平分线， .DE DF, Sm号B-DE-BD-Aam号4c-DF-Dc,Ah, 1 1 1 AB·DE 1BD·AH SABD二 :SACD 1 AC.DF DC·AH 2 AB BD AC-DC' AB=7,AC=5, BD AB 7 .DCAC5· 6.如图，在△ABC中，D、E为边AC上两点，连接BD、BE,DF⊥BE于点F,若∠A=90°，AD=DF, ∠DBF=25°，则∠BEC的度数为() A A.115° B.120° C.125° D.140° 【答案】D 【分析】根据己知得出BD是∠ABE的角平分线，进而得出∠ABE=2∠DBF=50°，再根据直角三角形的两个锐角互余 求得∠AEB=40°，最后根据邻补角的定义，即可求解. 【详解】解：DF⊥BE, ∠DFB=90°， :∠A=90°， 在RIAADB和RIAFDB中， 答案第5页，共2页 BD=BD AD=DF, ∴.Rt△ADB≌RIAFDB(HL) ∴.∠ABD=∠FBD, ∴.BD是∠ABE的角平分线， ∠DBF=25°， .∠ABE=2∠DBF=50°. .∠AEB=∠A-∠ABE=90°-∠ABE=90°-50°=40°， ∴.∠BEC=180°-∠AEB=180°-40°=140° 二、填空题 7.如图，P为∠AOB的平分线上一点，PC1OA于点C,∠OAP+∠OBP=180°.若OA+OB=10,则OC的长为 【答案】5 【分析】作PD⊥OB于点D,根据角平分线的性质可得PC=PD,再由∠OAP+∠OBP=18O°可得∠OAP=∠DBP, 即可证明 PCA2APDB(AAS)得到4C=BD,即可证明40+B0=20C,求解即可. 【详解】解：作PD⊥OB于点D, A P B D ,P为∠AOB的平分线上一点，PC⊥OA于点C, ∴.∠POC=∠POD,∠PCO=∠PD0=90°， .PO=PO △POC2APOD(AAS) ∴.PC=PD,OC=OD 答案第6页，共2页 .∠OAP+∠OBP=180°，∠DBP+∠OBP=180°， .∠OAP=∠DBP, .∠PCA=∠PDB=90°， △PCA≌△PDB(AAS) .AC=BD ..A0+BO=OC+AC+OD-BD=20C=10. .0C=5 8.如图，学校劳动实践基地有一块直角三角形花坛，∠C=90°，AC=6米，BC=8米，AB=10米.管理员在 ∠BAC和∠ABC的平分线交点P处安装喷头，并从点P分别向边BC,AC各铺设一条垂直水管，水管分别为PE, PF,垂足分别为E,F,则水管的总长是米 B E 【答案】4 【分析】根据角平分线的性质可知点P到三角形三边的距离相等，即PE=PF=PD,设PE=PF=PD=a米，利用 三角形面积公式建立方程求出a的值，进而求得PE+PF的值. 【详解】解：如图：过点P作PD⊥AB于点D, :点P是∠BAC和∠ABC的平分线的交点， 点P到AB、BCAC的距离相等， ∴.PE=PF=PD, 设E-Pe-D-a米，则4Cac-4a+ca+ 1 C-a. ÷6x8-10u+分a+xo,解得：a2 1 1 ∴.PE=PF=PD=2米， 答案第7页，共2页 ∴.PE+PF=4米，即水管的总长是4米. 9.如图，OP平分∠AOB,PM⊥OA于点M,点D在OB上，DH⊥OP于点H.若OD=4,OP=7,PM=3,则 DH的长为 M A P H D B 2 【答案】7 【分析】作PE⊥OB于点E,利用角平分线的性质得出PE=PM,再利用等面积法求解DH的长. 【详解】解：如图，作PE⊥OB于点E, M P 平分 D E B..OP ∠10B PM⊥OAPE⊥OB ∴.PE=PM=3」 S.oM-ODPE=OP.DH 2 x4x3-1x7xDH 2 DH=12 7· 10.如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D,DE⊥BC于点E.若△ABC的面积为2L,DE=3,BC=9, 则AC的长是 【答案】 5 【分析】过点D作DF上AC于点F,利用角平分线的性质得出 F=DE=3 再根 S=So+S.列方程求解 【详解】解：过点D作DF⊥AC于点F, 答案第8页，共2页 B D :CD平分∠ACB,DE LBC,DF⊥AC, ..DF=DE=3. S.c=S.cn+8.c :21=4C-Dr+56C-DE. 2 21=)ACx3+5x9x3 2 :21-=3Ac+27 2 2, 3AC=15, 解得AC=5. 三、解答题 1L.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E,点F在AC上，且BD=DF. E (I)求证：CF=EB (2)已知AB=5与AF=3,则EB的长为 【答案】()证明：·∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB, ∴CD=DE 又，BD=DF RtACDF兰RtAEDB(HL) ..CF=EB (2)1 答案第9页，共2页 【分析】(1)根据角平分线的性质得CD=DE,再用HL证明全等三角形，进而得到结论： (2)先证明RIAACD兰Rt△AED,可得AC=AE,结合CF=EB,即可得到答案 【详解】(1)略： (2)解：：AD=AD,CD=ED Rt△ACD≌Rt△AED(HL) ..AC=AE .'AF+CF=AB-EB, .CF=EB .3+EB=5-EB, ∴.EB=1 12.如图，AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为点E,F,DB=DC, (1)求证：BE=CF: (2)如果BD∥AC,CF=a,直接写出AC-AB= (用含a的代数式表示) 【答案】(I)证明：，AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC, .DE=DF ∴.∠E=∠DFC=90° 在RtABDE和RtACDF中 DB=DC DE=DF RtaBDES≌RtACDF(HL) .BE=CF (2)2a 【分析】(I)先利用角平分线的性质得到DE=DF,结合条件DB=DC,用HL证明Rt△BDE与RtACDF全等， 得到对应边BE=CF. (2)先利用AAS证明△ADE与△ADF全等，得到AE=AF,再代入AE=AB+BE、AF=AC-CF以及 答案第10页，共2页 BE=CF=a,整理求出AC-AB=2a 【详解】(1)略. (2)解：：AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC ∴.∠EAD=∠FAD,∠E=∠AFD=90° 在△ADE和△ADF中 ∠E=∠AFD ∠EAD=∠FAD AD=AD △ADE≌△ADF(AAS) ∴AE=AF, ·AE=AB+BE,AF=AC-CF, 、AB+BE=AC-CF 由(1)可知BE=CF=a, ∴.AB+a=AC-a, .AC-AB=2a 13.如图，在Rt△ACE中，∠E=90°，AD是∠EAC的平分线，DF⊥AC于点F,DB=DC E B (I)求证：△BDE≌△CDF (2)∠C=40°，求∠ADB的度数. 【答案】(I)证明：：AD是∠EAC的平分线，∠E=90°，DF⊥AC, ∴.DE=DF, 在Rt△BDE和RtACDF中， DB=DC DE=DF, ,RtABDES≌RtACDF(HL) (2)∠ADB=15° 答案第11页，共2页 【分析】(I)先证明DE=DF,即可证明全等： (2)求出∠DAE=∠DAF=25°，∠C=∠EBD=40°，再得出∠ABD=140°，根据三角形内角和求出结论： 【详解】(1)略 (2)解：在RtAACE中，∠E=90°，∠C=40°，AD是∠EAC的平分线， .∠CAE=90°-40°=50°， :∠DAE=∠DAF=25°， .△BDE≌△CDF, .∴LC=∠EBD=40 ∴.∠ABD=180°-40°=140° ∴∠ADB=180°-∠DAE-∠ABD=180°-25°-140°=15° 14.如图，在△ABC中，边BC的垂直平分线DE与∠BAC的平分线相交于点E,过点E作EF⊥AB,与AB的延长线 相交于点F,作EG⊥AC,垂足为G, G B D E (①)求证：BF=CG: (2)求证：AB+AC=2AF 【答案】(I)证明：如图，连接BE,CE, D ,AE平分∠BAC,EF⊥AB,EG⊥AC, .EF=EG,∠BFE=∠CGE=90° ,DE垂直平分BC, .'.BE=CE 在RIBEF和RIACEG中， 答案第12页，共2页 BE=CE EF=EG RtABEF≌RIACEG(HL) .BF=CG (2)证明：在RI△AEF和RIAAEG中， (AE=AE EF=EG. Rt△AEF≌Rt△AEG(HL) .AF=AG AB=AF-BF,AC=AG+CG .AB+AC=AF-BF+AG+CG=AF-CG+AF+CG=2AF 【分析】(I)连接BE,CE,根据角平分线的性质定理证明EF=EG,由线段垂直平分线的性质证明BE=CE,可 t△BEF≌RIACEG(HL) 证明 即可得证： (2)证 R△MBF≌△MBG(皿)，得到AF=AG,然后根据线段的和差关系等量代换证明即可. 【详解】(1)略 (2)略 答案第13页，共2页12.4.3角平分线（第1课时：角平分线的性质定理) 同步练2026-2027学年华东师大版数学八年级上册 【基础夯实】 一、单选题 1.如图，OC平分∠AOB,P是OC上一点，PH⊥OB于点H,若PH=9,则点P与射线OA上某一点连线的长度可 以是() B H A.6 B.7 C.8 D.10 2.如图，己知△ABC中，AD平分∠BAC,DE⊥AB于点E,若AC=5,DE=2,则△ACD的面积为() D A.2.5 B.5 C.6 D.10 3.如图，CP为△ABC的角平分线，若AC=6,BC=4,PA=3,则BP的长为() A.2 B.4 C.6 D.8 4.如图，点E是BC上一点，AB⊥BC,DC⊥BC,AE平分∠BAD,DE平分∠ADC.若BC=9,则BE的长度为 () 答案第1页，共2页 A.3 B.4 C.4.5 D.5 BD 5、如图，AD是△ABC的角平分线，若AB=7,AC=5,则CD() D 12 A.7 号 7 c.5 n.} 6.如图，在△ABC中，D、E为边AC上两点，连接BD、BE,DF⊥BE于点F,若∠A=9O°，AD=DF, LDBF=25°，则∠BEC的度数为() A D A.115o B.120° C.125 D.140° 二、填空题 7.如图，P为∠AOB的平分线上一点，PC1OA于点C,∠OAP+∠OBP=180°.若OA+OB=10,则OC的长为 B 8.如图，学校劳动实践基地有一块直角三角形花坛，∠C=90°，AC=6米，BC=8米，AB=10米.管理员在 ∠BAC和∠ABC的平分线交点P处安装喷头，并从点P分别向边BC,AC各铺设一条垂直水管，水管分别为PE, PF,垂足分别为E,F,则水管的总长是米 答案第2页，共2页 E 9.如图，OP平分∠AOB,PM⊥OA于点M,点D在OB上，DH⊥OP于点H.若OD=4,OP=7,PM=3,则 DH的长为， M A P H D B 10.如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D,DE⊥BC于点E.若△ABC的面积为21，DE=3,BC=9, 则AC的长是 ·B 三、解答题 11.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E,点F在AC上，且BD=DF E D B (I)求证：CF=EB, (2)已知AB=5与AF=3,则EB的长为 12.如图，AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为点E,F,DB=DC. 答案第3页，共2页 (I)求证：BE=CF: (2)如果BD∥AC,CF=a,直接写出AC-AB= (用含a的代数式表示) 13.如图，在RtAACE中，∠E=90°，AD是∠EAC的平分线，DF⊥AC于点F,DB=DC. D (I)求证：△BDE≌△CDF (2)∠C=40°，求∠ADB的度数. 14.如图，在△ABC中，边BC的垂直平分线DE与∠BAC的平分线相交于点E,过点E作EF⊥AB,与AB的延长线 相交于点F,作EG⊥AC,垂足为G. B E (①)求证：BF=CG: (2)求证：AB+AC=2AF 答案第4页，共2页 答案第5页，共2页