12.4.3 角平分线-【高效课堂】2026-2027学年八年级上册数学同步导学案（华东师大版·新教材）

63 12.4.3 01基础达标 知识点一角平分线的性质 1.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的角平分 线AD交BC于点D,CD=2,则点D到AB的 距离是 A.1 B.2 C.3 D.4 第1题图 第2题图 2.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8,DC 号AD,BD平分∠ABC,则点D到AB的距离 等于 A.4 B.3 C.2 D.1 3.(深圳中考)如图，在四边形ABCD中，∠BCD =90°，BD平分∠ABC,AB=6,BC=9,CD= 4,则四边形ABCD的面积是 A.24 B.30 C.36 D.42 D 第3题图 第4题图 知识点二角平分线的判定 4.如图，AB∥CD,点P到AB、BC、CD的距离相 等，则∠BPC A.60° B.90 C.100 D.不确定 5.如图，点P为∠AOB内部一点， ∠AOB=70°，PD⊥AO于点D, PE⊥BO于点E,且PD=PE,则 ∠AOP的度数是 角平分线 6.如图，BE⊥AC于点E,CF⊥AB于点F,BE、 CF相交于点D,BD=CD,连接AD并延长，求 证：AD平分∠BAC. 7.如图，在直线MN上找一点P,使点P到直线 AB和直线CD的距离相等. A D 易错点“点与点”之间的距离和“点与线”之间 的距离分不清楚 8.如图，点B为AM上一点，以点A为圆心、任意 长为半径画弧，交AM于点E,交AN于点D, 再分别以点D,E为圆心、大于DE的长为半 径画弧，两弧交于点F,作射线AF,在AF上取 点G,连接BG,过点G作GC⊥AN,垂足为点 C.若CG=3.5,则BG的长可能为() A.1 B.2 C.3 D.4 M C N 第8题图 第9题图 02能力提升 9.如图，点P到AE,AD,BC的距离相等，有下列 说法：①点P在∠BAC的平分线上；②点P在 ∠CBE的平分线上；③点P在∠BCD的平分 线上；④点P在∠BAC,∠CBE,∠BCD的平 分线的交点上.其中正确的个数有() A.1个B.2个 C.3个D.4个 10.点O是△ABC中∠BCA,∠ABC的平分线的 交点，已知△ABC的面积是12，周长是8，则 点O到边BC的距离是 () A.1 B.2 C.3 D.4 第10题图 第11题图 11.如图，直线11，l2,?表示三条相交叉的公路 现在要建一个加油站，要求它到三条公路的 距离相等，则可供选择的地点有 A.四处B.三处C.两处D.一处 12.如图，AB∥CD,AP、CP分别平分∠BAC和 ∠ACD,PE⊥AC于点E,且PE=2cm,则 AB与CD之间的距离是 cm. 第12题图 第13题图 13.如图，△ABC中，∠ABC和∠BCA的平分线 交于点O,则有∠BAO ∠CAO:若 ∠BCA=50°，则∠BOA= 14.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分 ∠CAB,DE⊥AB于点E,点F在AC上，BE =FC.试说明：BD=DF. 64 03思维拓展 15.如图所示，∠A=∠B=90°，P是AB的中点， 且DP平分∠ADC,连接PC. (1)试说明CP平分∠BCD; (2)线段PD与PC有怎样的位置关系？请说 明理由 65 基础专题 角的平分线与线段的垂直平分线 1.如图所示，△ABC是等腰三角形，若BA=BC, (2)求证：EN=FN. 且∠ABC>90°. (1)基本作图（不写作法，保留作图痕迹）：在线 段AC上确定一点F,使得FA=FB,连接BF; (2)在(1)的条件下，当CF=BC时，求∠ABC 的度数， 3.如图，在△ABC中，∠A=60°，点D是BC边的 中点，DE⊥BC,∠ABC的平分线BF交DE于 △ABC内一点P,连接PC. (1)若∠ABP=32°，求∠ACP的度数： (2)若∠ACP=m°，∠ABP=n°，请直接写出 m,n满足的关系式. 2.如图，在△ABC中，AC=BC,∠A=45°， ∠ACB=90°，∠ACD为△ABC的一个外角. (1)请按以下要求画出图形，并在图中标明相 应字母 ①尺规作图：作∠ACD的平分线CM(保留作 图痕迹，不写作法)； ②取线段AC的中点N,过N画AC的垂线， 与CM交于点F,与AB交于点E, DAB=AC 12.4.2线段垂直平分线， ∠B=∠C, 1.B2.A3.D4.155.C BD=CE 6.B ∴.△ABD≌△ACE(SAS): 7.连接AB,作线段AB的垂直平分 ..AD=AE 线交公路1为点C,则点C即为 【变式】9 所求，因为线段的垂直平分线上 2.证明：：AB=AC,CD,BE是两 的点到线段的两个端点的距离 腰上的中线，∴AD=AE 相等。 在△ADC和△AEB中， 8.D9.B10.C11.16 (AD-AE 12.25°或659 ∠A=∠A, 13.AD∥BC,理由略. LAC-AB 14.略 ∴.△ADC≌△AEB(SAS). 15.(1)10: .'.CD=BE. (2)①如图，点O在BC的垂直 3.证明：AB=AC,AD⊥BC, 平分线上，理由： ∴∠DAE=∠DAF, 连接AO,BO,CO,DM,EN分 又BE=CF, 别是AB,AC的垂直平分线， ∴AB+BE=AC+CF, AO=BO,OA=OC,..OB=OC, 即AE=AF. ∴.点O在BC的垂直平分线上； 在△ADE和△ADF中， ②.OMLAB,ON⊥AC, (AE=AF ∴.∠AMO=∠ANO=90°， ∠EAD=∠FAD, ∠BAC=100°， LAD-AD .∴./MON=360°-90°-90 .△ADE≌△ADF(SAS). 100°=80°， .DE-DF. 4.(1)证明：AB=AC .∠BOC=2∠MON=160°. 12.4.3角平分线 ∠B=∠C 在△BDE和△CFD中， 1.B2.C3.B4.B5.35 BE=CD 6.证明：CF⊥AB,BE⊥AC, ∠B=∠C ∴.∠BFD=∠CED=90. BD-CF 又：∠BDF=∠CDE,BD=CD, ∴.△BDE≌△CFD(SAS); .△BFD≌△CED(AAS), (2):∠A=40°， .'DF=DE. .∠B=∠C=70°. 又DF⊥AB,DE⊥AC, :△BDE≌△CFD, AD平分∠BAC ∴∠BED=∠CDF, 7.略8.D9.D10.C11.A :∠EDC=∠B+∠BED, 12.413.=115 ∴.∠EDF=∠B=70° 14.:AD平分∠BAC,DE⊥AB, 重点难点专题等腰三角形 ∠C=90°， 的存在性问题 在△DCF和△DEB中， 1.C2.C3.略.4.C DC-DE 5.(9,3)或(-1,3)或(-4,3) ∠C=∠BED: 6.D7.40°、70°或100 、CF=EB 12.4逆命题与逆定理 ∴.△DCF≌△DEB(SAS), 12.4.1互逆命题与互逆定理 .'BD=DF. 1.B2.B3.①②④4.略 15.(1)如图，过点P作PQ⊥CD于 5.如果m是有理数，那么它是自然数 点Q. 6.略 P是AB的中点，.PA=PB 7.(1)三个命题都是真命题， :DP平分∠ADC,∠A=90°， (2)选①③→②. PQ⊥CD, 证明：，AB=AC .'.PA=PQ,.PA=PQ=PB, ∠B=∠C,又BD=CE, ∠B=90°，PQ⊥CD, .△ABD≌△ACE(SAS). .CP平分∠BCD; ∴.AD=AE (2)PD⊥PC.理由： 46 :∠A=∠B=90°， 章末核心考点整合与素养提升 即∠A+∠B=180°，.AD∥BC, 1.B .∠ADC+∠BCD=180°， 2.一个点在角的平分线上它到这 :DP平分∠ADC,CP 平 个角两边的距离相等 分∠BCD, 3.全等三角形的对应角相等两直 .∠PDC= ∠ADC,∠PCD 1 线平行，内错角相等 4.D5.B6.B =∠BCD, 7.证明：先证明∠ABE=∠BAD= 135°，再证明△ABE≌△BAD .∠PDC+∠PCD= （∠ADC 1 (SAS),可得∠D=∠E,再利用 +∠BCD)=90°， AAS证△OBE≌△OAD. .∠DPC=90°， 8.C9.①②③ ∴.PD⊥PC 10.(1)图略（作AC的垂直平分线 基础专题角的平分线与线段的 交BC于点D): 垂直平分线 (2)连接AD, 1.(1)略； AB=AC,∠A=108°， (2)FA=FB,∴.∠A=∠ABF, .∠B=∠C=36°， ∴·∠BFC=∠A+∠ABF=2∠A. 由(1)得：AD=CD, .CF=BC, .∠DAC=∠C=36°， ∴.∠BFC=∠CBF=2∠A, .∠ADB=∠DAC+∠C= ∴.∠ABC=∠ABF+∠CBF= 72°，∠BAD=∠BAC-∠DAC 3∠A. =108°-36°=72°， BA=BC,∴.∠C=∠A. ∠BAD=∠BDA, :∠A+∠ABC+∠C=180°， ..AB-BD. .∠A+3∠A+∠A=180°， ∴△ABD是等腰三角形. ∠A=36°， 11.4 .∠ABC=3∠A=108°. 12.(1)证明：，AB=AC,AD是BC 2.(1)略； 边上的中线， (2)证明：∠A=45°， ∴.AD垂直平分BC, ∠ACB=90°， ,点O在AD上，.OC=OB, ∴.∠B=∠A=45° :EO垂直平分AC, .CM平分∠ACD,∠ACD=90°， ..OC=OA,..OA=OB, .∠MCA=45°， 点O在AB的垂直平分线上： .∠FCN=∠EAN, (2)18°. EF垂直平分线段AC, 13.(1)△BDC≌△AEC: ∴.AN=CN, (2)AE∥BC;(3)成立，证明略 在△ANE和△CNF中， 第13章勾股定理 I∠A=∠FCN 13.1勾股定理 AN=CN 13.1.1直角三角形三边的关系 ∠ANE=∠CNF 第1课时探索直角 ∴.△ANE≌△CNF(ASA), 三角形三边的关系 ..EN=FN. 1.(1)4ca+b 3.(1)点D是BC边的中点，DE (2)(a+b)2;2ab+c2 ⊥BC,PB=PC, (3)a2+b=c2 ∠PBC=∠PCB, (4)c=10(负值不合题意，舍去) BP平分∠ABC, 2.B3.C4.B .∠PBC=∠ABP, 5.(1)13;(2)4;(3)68;(4)4. .∠PBC=∠PCB=∠ABP=32°， 6.C7.D8.C9.C10.5 :∠A=60°，∠ABP=32°， 11.7或2512.BC=3√6. ∠ACB=180°-60°-64°=56°， .∠ACP=∠ACB-∠PCB 18.cD-号 56°-32°=24°. (2)m+3n=120. 14.Sa=BCAD=X14X 47 12=84. ∴.∠APB=∠APC(全等三角形 第2课时勾股定理的简单应用 的对应角相等)， 1.C2.D3.B 这与已知条件∠APB≠∠APC 4.(1)72π；(2)36. 5.8 矛盾，假设不成立。 6.(a+b)2=25. .PB≠PC 7.13或/198.D9.A10.C 13.2勾股定理的应用 11.812.15013.15海里， 第1课时勾股定理在 14.(1)这条“径路”AB的长为10m; 实际问题中的应用 (2)少走6+810=8（步. 1.B2.A3.D4.C5.0.7 0.5 6.沿B→C→D→B路线配送途中 15.(1)43: 飞行所需时间是40min. (2)在Rt△FMD中， 7.A8.99.14m10.5cm DM=√/DF-F 11.旗杆的高为12m. 12.超速.理由如下：在Rt△ABC =√(85)2-(45)2=12. 中，AC=60m,AB=100m, ∠C=45°，∠CAB=90°， 由勾股定理可得BC=AB一 .∠CBA=45°， AC=6400,.BC=80, 又，∠FMB=90°， .汽车速度为80÷4=20m/s= △FMB是等腰直角三角形， 72km/h, ∴.MB=FM=4√3， ,72>60,∴.这辆小汽车超速了. ∴.BD=MD-FM=12-4√5. 13.(1)农场A会受到台风的影响， 13.1.2直角三角形的判定 理由如下：过A作AH⊥BC 1.A2.D3.C 于H, 4.(1)W5;5;2√/2；25； .AB⊥AC, (2)等腰三角形：直角三角形. .∠BAC=90°， 5.,AB=15,BC=9,∠ACB=90°， .∴.BC=√/300+4002=500(km), .AC=√/15-9=12， :Sm=合BC·AH=号AB ,52+122=132, ..AD2+AC=CD2, ·AC, .500AH=300×400, ∴∠DAC=90°， △ACD是直角三角形。 .AH=240(km), 6.A .'AH<250km, 7.答案不唯一，如：5,12,13；7,24,25. .农场A会受到台风的影响； 8.C9.D10.C11.150 (2)如图，设台风从点M开始影 12.四边形ABCD的面积为216. 响该农场，到点N以后结束影 13.△AFE是直角三角形，∠AFE 响，连接AN,AM, 是直角 .'.AM=AN=250km, 14.(1)n2-1;2n;n2+1; AM=AN,AH⊥BC, (2)是直角三角形，证明略. .MH NH,MH NH= 13.1.3反证法 √/2502-2402=70(km), 1.D2.C3.C4.B5.A ∴.MN=2×70=140(km) 6.a=c :台风中心的移动速度为 7.负数>矛盾假设不成立 20km/h, 8.证明：假设EF与GH平行， ∴台风影响该农场持续时间是 EF⊥AB,GH⊥CD, 140÷20=7(小时)： .AB∥CD,这与直线AB与CD 第2课时勾股定理的综合应用 相交于点O相矛盾，故假设不成 1.C2.B3.D4.C 立，即EF与GH必相交. 5.(1)5: 9.证明：假设PB=PC. (2)AB=5,联想勾股定理逆定 在△ABP与△ACP中， 理的构造边长为3,4,5或√5,25， AB=AC(已知)，AP=AP(公共：5的直角三角形. 边)，PB=PC(已设)， 6.B .△APB≌△APC(SSS), 7.(1)△ABE是直角三角形，理由 48