精品解析：上海中学东校2026-2027学年第一学期八年级数学期中测试卷

上海中学东校2026学年第一学期中期素质评估 初二数学 试卷 （满分：100分 时间：100分钟） 一、选择题（本大题共6题，每题2分，共12分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、方程是一元二次方程，符合题意； B、方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； C、方程不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； D、当时，不是一元二次方程，因此该方程不一定是一元二次方程，不符合题意． 2. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. ； B. ； C. ； D. ． 【答案】C 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义判断，最简二次根式需满足两个条件：1被开方数不含分母，2被开方数不含能开得尽方的因数或因式，逐个验证选项即可． 【详解】解：A、，被开方数含能开得尽方的因数，故A不是最简二次根式； B、，被开方数含分母，故B不是最简二次根式； C、既不含分母，也不能分解出能开得尽方的因式，满足最简二次根式的条件，故C是最简二次根式； D、的被开方数含分母，故D不是最简二次根式． 3. 用配方法解方程时，原方程变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用配方法求解一元二次方程．掌握求解步骤是解题关键． 【详解】解：， ， ∴， 故选：B 4. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】当一元二次方程有两个不相等的实数根时，根的判别式大于0，据此列出不等式即可求出k的取值范围． 【详解】解：∵ 一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴ 根的判别式， 方程中，，， 代入得：， 化简得， 解得． 5. 《九章算术》“勾股”中记载：今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？译文：今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木根部8尺处时绳索用尽．问绳索长是多少？设绳索长为x尺，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理的应用．设绳索长为x尺，根据勾股定理列出方程，求解即可得出答案． 【详解】解：设绳索长为x尺，可列方程为 ． 故选：D 6. 如图，在中，的平分线与的平分线交于点，连接，如果要求出的度数，只需知道下列哪个角的度数（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质与判定．过点作、、所在直线的垂线，利用角平分线的性质定理可得点到、的距离相等，进而判定平分，建立与的数量关系即可求解． 【详解】解：过点作交的延长线于点，交于点，交的延长线于点． 平分，，， ． 平分，，（、、共线）， ． ． ，， 平分． ． 只要求出的度数，只需知道的度数．故选C． 二、填空题（本大题共12题，每题2分，共24分） 7. 的平方根是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平方根的定义，根据平方根的定义，一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：的平方根是， 故答案为：． 8. 我国新修订的《环境空气质量标准》中增加了监测指标，“”是指大气中危害健康的直径小于或等于2.5微米的颗粒物．2.5微米即．用科学记数法表示为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：； 故答案为：． 9. 若，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】算术平方根规律：被开方数小数点移动2位，平方根小数点移动1位，据此解答即可． 【详解】解：的小数点向左移动两位得，， ． 10. 若关于的一元二次方程的常数项为0，则m的值等于_____． 【答案】1 【解析】 【分析】关于x一元二次方程的常数项是为0，则，解出关于m的一元二次方程，并且注意而二次项系数，两者结合求得m的值． 【详解】解：∵关于x一元二次方程常数项为0， ∴， 解得，； 又∵， ∴， ∴． 故答案为：1． 【点睛】此题考查一元二次方程的一般形式是：（是常数且），特别要注意的条件；以及正确解出一元二次方程的根． 11. 已知关于x的一元二次方程的一个根是，则另一个根是______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，解题的关键是掌握：对于有两个实数根的一元二次方程，，． 利用即可解答． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根为，另一个根为a， ∴， 解得：， 则另一根是2． 故答案为：2． 12. 在实数范围内因式分解：____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式，解一元二次方程，令，求出方程的两个根即可得到答案． 【详解】解：令， 解得或， ∴， 故答案为：． 13. 已知直角三角形两边长为1和，则此直角三角形斜边上的中线长是__________． 【答案】或1##1或 【解析】 【分析】本题需分类讨论，分已知两边均为直角边和较长边为斜边两种情况，利用勾股定理求出斜边长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可． 【详解】解：分两种情况讨论： 情况1：当和均为直角边时， 由勾股定理得，斜边长为， 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， 斜边上的中线长为； 情况2：当为斜边，为直角边时， 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， 斜边上的中线长为． 综上所述，此直角三角形斜边上的中线长是或． 14. 已知最简二次根式和是同类二次根式，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查同类二次根式，解一元二次方程，根据两个最简二次根式的被开方数相同，则这两个最简二次根式为同类二次根式，得到，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：． 移项得：， 即 ， 解得或． 检验：当时，被开方数 ，二次根式无意义，不符合题意，舍去； 当时，被开方数，，且均为最简二次根式． 故． 故答案为：2． 15. 若是三角形的三边长，化简______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，根据三角形三边关系求出的范围，再根据二次根式和绝对值的性质进行化简即可，根据三角形三边关系确定出的取值范围是解题的关键． 【详解】解：，，是三角形的三边长， ， 即， ， 故答案为：． 16. 图①是超市儿童玩具购物车，图②为其侧面简化示意图，测得支架，，两轮中心的距离，则点C到的距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的面积公式，勾股定理的逆定理，点到直线的距离，解题的关键是正确的识别图形．过点作于点，则的长即点到的距离，根据勾股定理的逆定理得到为直角三角形，即，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：过点作于点，则的长即点到的距离， 在中， ∵，，， ，， ， 为直角三角形，即， ， ，即， ， 故答案为：． 17. 如图1，将面积为4的正方形分为①②③④四部分，分成的4部分恰好拼成如图2所示的矩形，则长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于图形的剪拼的一元二次方程的应用，正确理解题目的意思，然后会根据题目隐含条件找到数量关系是解题关键． 已知图中的①和②，③和④形状大小分别完全相同，结合图中数据可知①④能拼成一个直角三角形，②③能拼成一个直角三角形，并且这两个直角三角形形状大小相同，利用这两个直角三角形即可拼成矩形；利用拼图前后的面积相等列出方程求解即可得出答案． 【详解】解：如图 图1中的正方形面积为4 正方形边长为2 直角三角形①中的长直角边为2 解得：（负值已舍去） 故答案为：． 18. 如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于点，交于点，过点作于，下列四个结论： ； ； 点到各边的距离相等； 设，，则． 其中正确的是______． 【答案】 【解析】 【分析】由角平分线的定义和平行线的性质得出，，进而得出，故错误；根据角平分线的定义和三角形的内角和定理，即可求得正确；过点作于，作于，连接，由角平分线的性质定理得出，然后利用三角形的面积公式即可得出正确；由角平分线的性质定理得出于是可得结论正确． 【详解】解：∵和的平分线相交于点， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，故错误，不符合题意； ∵和的平分线相交于点， ∴，， ∴， ∴，故正确，符合题意； 如图，过点作于，作于，连接， ∵和的平分线相交于点， ∴，， ∴， ∵， ∴ ，故正确，符合题意； 由，即点到各边的距离相等，故正确，符合题意； 综上可得：正确的是． 三、解答题（本大题共7题，共64分） 19. 计算 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）负数的绝对值是它的相反数，根据二次根式混合运算的顺序进行计算； （2）除以一个数等于乘以这个数的倒数，先将二次根式进行化简再求值． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 20. 解方程 （1）； （2）． 【答案】（1） ， （2） ， 【解析】 【分析】（1）用配方法解一元二次方程； （2），用因式分解法解一元二次方程． 【小问1详解】 解： 或 ， 【小问2详解】 解： 或 ， 21. 社会实践研学活动继承和发展了我国传统游学“读万卷书，行万里路”的教育理念和人文精神，成为素质教育的新内容和新方式．秋季，我校组织初二学生去距学校的双子山参加研学活动．班所乘坐的大巴车先出发，后，班所乘坐的大巴车出发，两个班级同时到达．已知班所乘坐的大巴车的平均速度比1班所乘坐的大巴车的平均速度快，求班所乘坐的大巴车所用的时间． 【答案】班所乘坐的大巴车所用的时间为 【解析】 【分析】先统一时间单位，以两班速度差为等量关系列分式方程求解，舍去不符合题意的负根，再检验是否是分式方程的解，即可得出答案． 【详解】解：设班所乘坐的大巴车所用的时间为，，则班所乘坐的大巴车所用的时间为， ∵班所乘坐的大巴车的平均速度比1班所乘坐的大巴车的平均速度快， ∴， 去分母、整理得， 解得，（不符合题意，舍去）， 经检验，是分式方程的解，且符合题意， 答：班所乘坐的大巴车所用的时间为． 22. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 【答案】（1）证明：方程中，，，， ∴． ∵无论取何值，， ∴， 即无论取何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2） 【解析】 【分析】（1）先得到一元二次方程的判别式，再由平方非负性判定即可得证； （2）由一元二次方程根与系数关系得到，，整体代入已知等式解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：略 【小问2详解】 解：关于的一元二次方程， ，， ∵， ∴， ∴，即，解得． 23. 如图，已知在中，于，于，，分别是，的中点． （1）求证：； （2）若，，求的面积． 【答案】（1） 证明：连接、，如下图所示： ∵，点为中点， ∴， 同理可得， ∴， ∵点为中点， ∴． （2）的面积为 【解析】 【分析】本题主要考查直角三角形、等腰三角形的性质和勾股定理，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． （1）连接、，由直角三角形的性质可求得，则由等腰三角形的性质可证明； （2）由条件可求得、，在中可求得，则可求得的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵点为中点，， ∴， 由（1）得，， ∴， ∴， ∴的面积为． 24. 阅读下面的文字，解答问题． 新定义：若无理数的被开方数T（T为正整数）满足（其中n为正整数），则称无理数的“阳光区间”为；同理规定无理数的“阳光区间”为．例如：因为，所以，所以的“阳光区间”为，的“阳光区间”为． 请解答下列问题： （1）的“阳光区间”是______；的“阳光区间”是______； （2）若无理数（a为正整数）的“阳光区间”为，的“阳光区间”为，求的值； （3）实数x，y，m满足关系式：，求m的算术平方根的“阳光区间”． 【答案】（1）， （2）或3 （3） 【解析】 【分析】（1）仿照题干中的方法，根据“阳光区间”的定义求解； （2）先根据无理数和的“阳光区间”求出a的取值范围，再根据a为正整数求出a的值，代入即可求解； （3）先根据，得出，进而得出，，两式相减可得，再根据“阳光区间”的定义即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴的“阳光区间”是，的“阳光区间”是； 【小问2详解】 解：∵无理数的“阳光区间”为， ∴， ∴，即， ∵的“阳光区间”为， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵a为正整数， ∴或， 当时，， 当时，， ∴的值为或3； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 两式相减，得， ∴， ∴m的算术平方根为， ∵， ∴， ∴m的算术平方根的“阳光区间”是． 25. 某兴趣小组在学习了勾股定理之后提出∶“锐(钝)角三角形有没有类似于勾股定理的结论”的问题．首先定义了一个新的概念∶如图(1)中，M是的中点，P是射线上的点，设，若，则称k为勾股比． （1）如图(1)，过B、C分别作中线的垂线，垂足为E、D．求证∶． （2）①如图(2)，当，且时， (填一个恰当的数)． ②如图(1)，当，为锐角三角形，且时，①中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，也请说明理由； ③对任意锐角或钝角三角形，如图(1)、(3)，请用含勾股比k的表达式直接表示与的关系(写出锐角或钝角三角形中的一个即可)． 【答案】（1） 证明∶是的中点， ， 于点，交的延长线于点， ， 在和中， ， ， ． （2）①2.5； ②成立，证明∶ 如图(1)，，是的中点， ， ， ， ， ， 由(1)得， ，， 设，， 则，， ， ， ， ， ， ， ． ③锐角三角形：，钝角三角形： 【解析】 【分析】(1)由是的中点，得，而，，即可根据""证明，则； (2)①由，是的中点，得，而，则，由，得，所以，则，结合，即可得到答案；②先证明，再设，，则，，从而得到，结合，则，即可证明，所以①中的结论成立；③分为锐角三角形和钝角三角形，两种情况进行讨论求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解∶①，是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为∶． ②略； ③结论∶锐角三角形∶， 钝角三角形∶， 理由如下∶设，则， ∵于E，于D， ∴， 在中，， 在中，， ∴， 又∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，是的中线， ∴， 若是锐角三角形，则， ∴， 若是钝角三角形，则， ∴． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，读懂题目信息，在不同的直角三角形中利用勾股定理列式是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海中学东校2026学年第一学期中期素质评估 初二数学 试卷 （满分：100分 时间：100分钟） 一、选择题（本大题共6题，每题2分，共12分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. ； B. ； C. ； D. ． 3. 用配方法解方程时，原方程变形为（ ） A. B. C. D. 4. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 《九章算术》“勾股”中记载：今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？译文：今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木根部8尺处时绳索用尽．问绳索长是多少？设绳索长为x尺，可列方程为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，的平分线与的平分线交于点，连接，如果要求出的度数，只需知道下列哪个角的度数（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共12题，每题2分，共24分） 7. 的平方根是______． 8. 我国新修订的《环境空气质量标准》中增加了监测指标，“”是指大气中危害健康的直径小于或等于2.5微米的颗粒物．2.5微米即．用科学记数法表示为_______________． 9. 若，，则______． 10. 若关于的一元二次方程的常数项为0，则m的值等于_____． 11. 已知关于x的一元二次方程的一个根是，则另一个根是______． 12. 在实数范围内因式分解：____________． 13. 已知直角三角形两边长为1和，则此直角三角形斜边上的中线长是__________． 14. 已知最简二次根式和是同类二次根式，则______． 15. 若是三角形的三边长，化简______． 16. 图①是超市儿童玩具购物车，图②为其侧面简化示意图，测得支架，，两轮中心的距离，则点C到的距离为______． 17. 如图1，将面积为4的正方形分为①②③④四部分，分成的4部分恰好拼成如图2所示的矩形，则长为________． 18. 如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于点，交于点，过点作于，下列四个结论： ； ； 点到各边的距离相等； 设，，则． 其中正确的是______． 三、解答题（本大题共7题，共64分） 19. 计算 （1）； （2）． 20. 解方程 （1）； （2）． 21. 社会实践研学活动继承和发展了我国传统游学“读万卷书，行万里路”的教育理念和人文精神，成为素质教育的新内容和新方式．秋季，我校组织初二学生去距学校的双子山参加研学活动．班所乘坐的大巴车先出发，后，班所乘坐的大巴车出发，两个班级同时到达．已知班所乘坐的大巴车的平均速度比1班所乘坐的大巴车的平均速度快，求班所乘坐的大巴车所用的时间． 22. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 23. 如图，已知在中，于，于，，分别是，的中点． （1）求证：； （2）若，，求的面积． 24. 阅读下面的文字，解答问题． 新定义：若无理数的被开方数T（T为正整数）满足（其中n为正整数），则称无理数的“阳光区间”为；同理规定无理数的“阳光区间”为．例如：因为，所以，所以的“阳光区间”为，的“阳光区间”为． 请解答下列问题： （1）的“阳光区间”是______；的“阳光区间”是______； （2）若无理数（a为正整数）的“阳光区间”为，的“阳光区间”为，求的值； （3）实数x，y，m满足关系式：，求m的算术平方根的“阳光区间”． 25. 某兴趣小组在学习了勾股定理之后提出∶“锐(钝)角三角形有没有类似于勾股定理的结论”的问题．首先定义了一个新的概念∶如图(1)中，M是的中点，P是射线上的点，设，若，则称k为勾股比． （1）如图(1)，过B、C分别作中线的垂线，垂足为E、D．求证∶． （2）①如图(2)，当，且时， (填一个恰当的数)． ②如图(1)，当，为锐角三角形，且时，①中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，也请说明理由； ③对任意锐角或钝角三角形，如图(1)、(3)，请用含勾股比k的表达式直接表示与的关系(写出锐角或钝角三角形中的一个即可)． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $