精品解析：上海市浦东模范中学2025-2026学年八年级上学期期中考试数学试题

2025学年第一学期期中质量检测 八年级数学试卷 （完成时间：90分钟，满分：100分） 一、选择题（每题2分，共12分） 1. 二次根式，，，中，其中是最简二次根式的有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式的定义，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键． 判断每个二次根式是否满足最简二次根式的条件：被开方数不含分母、不含能开得尽方的因数或因式，据此逐一判断即可． 【详解】解：对于：被开方数可因式分解为，但无完全平方因式，故为最简二次根式； 对于：被开方数含（因），可化为，故不是最简二次根式； 对于：被开方数，分母4是平方数，可化为，故不是最简二次根式； 对于：被开方数为分式，含分母，故不是最简二次根式； 综上，只有1个是最简二次根式， 故选：B． 2. 下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是（ ） A. 与 B. 与（其中） C. 与 D. 与（其中，） 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查同类二次根式的定义，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 判断二次根式是否为同类，需将它们化为最简二次根式，比较被开方数是否相同，据此逐项判断即可． 【详解】解：同类二次根式需化简后被开方数相同， 选项A：与，被开方数分别为和7，不同，故不是同类二次根式； 选项B：与（其中），可化为，被开方数分别为和，不同，故不是同类二次根式； 选项C：，，两者最简形式被开方数均为6，故是同类二次根式； 选项D：，，其中，，被开方数分别为和，不同，故不是同类二次根式； 故选：C． 3. 下列命题正确的是（ ） A. 两个无理数的积一定是无理数； B. 1的平方根是它本身； C. 是关于的一元二次方程； D. 的一个有理化因式是． 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查无理数的性质、一元二次方程的定义、有理化因式的定义，熟练掌握这些定义是解题的关键． 选项A、B、C均存在反例或定义错误，选项D符合有理化因式的定义，据此解答即可． 【详解】解：A：由于存在无理数，其积为有理数，则A错误； B：由于1的平方根是，不全是它本身，则B错误； C：当时，方程不是一元二次方程，则C错误； D：由于为有理式，所以是它自己的有理化因式，则D正确， 故选：D． 4. 关于的方程是一元二次方程，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 方程为一元二次方程，需满足最高次项为二次且二次项系数非零，据此计算求解即可． 【详解】解：由于方程是一元二次方程， 则最高次项次数：，且二次项系数， 方程，解得或， 不等式，解得， 因此， 故答案为：D． 5. 设的整数部分为a，小数部分为b，则的值是（ ） A. 6 B. C. 12 D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据的整数部分可确定的值，进而确定的值，然后将与的值代入计算即可得到所求代数式的值． 【详解】∵， ∴， ∴的整数部分， ∴小数部分， ∴． 故选：． 【点睛】本题考查了二次根式的运算，正确确定的整数部分与小数部分的值是解题关键． 6. 我们把形如（，为有理数，为最简二次根式）的数叫做型无理数，如是型无理数，则是（ ） A. 型无理数 B. 型无理数 C. 型无理数 D. 型无理数 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式和二次根式的化简，关键是将结果化为指定形式． 先利用完全平方公式展开，再化简二次根式，得到结果的形式后判断类型． 【详解】解： ， 故为型无理数， 故选：B． 二、填空题（每题2分，共24分） 7. 式子在实数范围内有意义，则的取值范围是___________． 【答案】且 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件进行求解即可． 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义， ∴， ∴且， 故答案为：且． 【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不为0，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0是解题的关键． 8. 方程的根为________． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 将方程移项化为一般形式，再通过因式分解法进行计算求解即可． 【详解】解：原方程为， 移项得：， 因式分解得：， 由零乘积性质， 得：或， 解得：或， 故答案为：，． 9. 方程的根为________． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了公式法解一元二次方程，利用公式法求解即可，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】解：， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴，， 故答案为：，． 10. 方程根的判别式的值为________． 【答案】32 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式公式是解题的关键． 直接应用一元二次方程根的判别式公式计算即可． 【详解】解：方程， 根的判别式为：， 故答案为：． 11. 我们生活在物质的世界里，所有的物质都是由一些看不见的微小粒子构成的，例如水就是由水分子构成的．科学家们通过测量发现一个水分子的直径仅约，其中用科学记数法表示为______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：用科学记数法表示为， 故答案为：． 12. 将下列各数、、用“”连接：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的大小比较．根据实数的大小比较法则解答即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为： 13. 已知数、在数轴上对应的点如图所示，化简________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算与数轴，算术平方根的非负性，化简绝对值等知识点，正确化简各式是解本题的关键． 观察数轴得：，可得，从而原式变形为，即可求解． 【详解】解：观察数轴得：， ∴， ∴ ． 故答案为：3． 14. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是__________________． 【答案】且． 【解析】 【详解】试题分析：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，∴且△=，解得：且．故答案为且． 考点：1．根的判别式；2．一元二次方程的定义． 15. 不等式的解集是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键． 通过移项、合并同类项后，由于系数为负数，需改变不等号方向，并有理化分母即可． 【详解】解：移项得， 合并同类项得， 由于，除以负数时不等号方向改变， 得， 有理化分母：， 故解集为：． 16. 若关于x的方程的两根互为倒数，则m的值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据方程的两根互为倒数结合根的判别式以及根与系数的关系，即可得出关于m的一元二次不等式以及一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的两根互为倒数， ∴，且， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，根据根的判别式及根与系数的关系找出关于m的一元二次不等式以及一元二次方程是解题的关键． 17. 定义一种新的运算“@”，“@”的运算法则为：，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据新定义运算法则列式计算，先算小括号里面的，然后算括号外面的． 【详解】解：原式， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查利用二次根式的性质化简，解题的关键是理解新定义运算法则，掌握二次根式的性质，正确化简二次根式． 18. 若方程（x﹣1）（x2﹣2x+m）=0的三个根可以作为一个三角形的三边之长，则m的取值范围：　　． 【答案】＜m≤1 【解析】 【分析】首先根据题意得出方程的一个根为1，然后设另一个一元二次方程的两个根为a和b，根据根的判别式△=4﹣4m≥0和三角形三边的关系得出m的取值范围． 【详解】解：∵（x﹣1）（x2﹣2x+m）=0， ∴x﹣1=0或x2﹣2x+m=0， ∴原方程的一个根为1， 设x2﹣2x+m=0的两根为a、b， 则△=4﹣4m≥0，解得m≤1， ∵a+b=2，ab=m， 又∴|a﹣b|=＜1， ∴4﹣4m＜1， 解得m＞， ∴＜m≤1． 故答案为＜m≤1． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系以及三角形的三边关系等知识，属于常考题型，熟练掌握上述知识是解题的关键． 三、计算题（每题5分，共30分） 19. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的化简方法是解题的关键． 先化简至最简二次根式，再合并同类项计算即可． 【详解】解： ． 20. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除混合运算，熟练掌握二次根式的化简方法和乘除运算法则是解题的关键． 先将各项根式化为最简形式，再根据二次根式的乘除运算法则，从左到右依次进行计算． 【详解】解： ． 21. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算是解题的关键． 首先对分母进行有理化，然后计算 ，最后合并同类项． 【详解】解： ． 22. 解方程： 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 该方程可通过平方差公式因式分解，通过零乘积的性质进行计算求解即可． 【详解】解： 整理得， 因式分解得， 化简得， 令或 解得，． 23. 用配方法解方程：． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题主要考查了用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的步骤（化二次项系数为、配方、开方求解）是解题的关键． 先将二次项系数化为，再在方程两边加上一次项系数一半的平方，将方程左边配成完全平方式，最后用直接开平方法求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ∴，． 24. 解方程： 【答案】或或或 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 通过换元法，设，将原方程转化为关于y的二次方程求解，然后代回解关于x的方程． 【详解】解：设， 则， 因式分解，， 解得或， 当时，即 移项得，， 因式分解得， 解得或， 当时，即 移项得，， 因式分解得， 解得或， 综上，原方程的解为或或或． 四、解答题（共34分） 25. 已知实数a、b、c、d、e、f，且a、b互为倒数，c、d互为相反数，的绝对值为，的算术平方根是8，求的值． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，熟练掌握代数式的化简求值是解题的关键． 根据条件，a、b互为倒数，则；c、d互为相反数，则；的绝对值为，则；的算术平方根是8，则，代入表达式计算即可． 【详解】解：根据题意得，a、b互为倒数，则， c、d互为相反数，则， 的绝对值为，则，即， 的算术平方根是8，则，， ． 26. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，解题关键是利用乘法公式化简． 先利用平方差公式、完全平方公式进行约分，然后合并同类二次根式，再代入求解． 【详解】解：原式 ， 当，时，原式． 27. 请证明：无论取何值时，关于的方程有实数根，并解出此时方程的根． 【答案】 变为一般形式：， ，，， ， ∵， ∴， ∴关于的方程有实数根， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．根据根的判别式进行证明即可，用公式法解一元二次方程即可． 【详解】略 28. 关于的方程有两个实数根、，请求下列各式的值： （1）填空：________；________； （2）； （3）． 【答案】（1） 2， （2） （3） 8 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，掌握根与系数的关系，乘法公式的变形计算是关键． （1）确定一元二次方程二次项，一次项，常数项的值，根据根与系数的关系（）代入求值即可； （2）运用乘法公式变形计算即可求解； （3）根据分式的计算法则得到，代入计算即可． 【小问1详解】 解：关于的方程有两个实数根、， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：∵， ∴原式． 29. 对于三个数a，b，c，用表示这三个数的平均数：用表示这三个数中最小的数．如：，． （1）填空：________，________； （2）如果，求的值． （3）解方程． 【答案】（1）, （2）或 （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了平均数的计算、数的大小比较、解一元二次方程，熟练掌握平均数公式、分情况讨论的方法是解题的关键． （1）第一空根据平均数公式计算三个数的平均数；第二空比较三个数的大小得出最小值． （2）先根据平均数公式表示出，再分情况讨论，结合等式求解 （3）先分析的取值情况，再分情况解方程． 【小问1详解】 解：， ∵，，， ∴， 故答案为：,； 【小问2详解】 解：， 分情况讨论： 当时，，则，解得，符合 当时，，则，解得，不符合，舍去． 当时，，则，解得，符合 综上，或； 【小问3详解】 解：∵， ∴为或， 分情况讨论： 当，即时，， ∴，即， ， 解得（舍去，因为）或 当，即时，， ∴， 解得或（舍去，因为）． 综上，或 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期期中质量检测 八年级数学试卷 （完成时间：90分钟，满分：100分） 一、选择题（每题2分，共12分） 1. 二次根式，，，中，其中是最简二次根式的有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 2. 下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是（ ） A. 与 B. 与（其中） C. 与 D. 与（其中，） 3. 下列命题正确的是（ ） A. 两个无理数的积一定是无理数； B. 1的平方根是它本身； C. 是关于的一元二次方程； D. 的一个有理化因式是． 4. 关于的方程是一元二次方程，则（ ） A. B. C. D. 5. 设的整数部分为a，小数部分为b，则的值是（ ） A. 6 B. C. 12 D. 6. 我们把形如（，为有理数，为最简二次根式）的数叫做型无理数，如是型无理数，则是（ ） A. 型无理数 B. 型无理数 C. 型无理数 D. 型无理数 二、填空题（每题2分，共24分） 7. 式子在实数范围内有意义，则的取值范围是___________． 8. 方程的根为________． 9. 方程的根为________． 10. 方程根的判别式的值为________． 11. 我们生活在物质的世界里，所有的物质都是由一些看不见的微小粒子构成的，例如水就是由水分子构成的．科学家们通过测量发现一个水分子的直径仅约，其中用科学记数法表示为______________． 12. 将下列各数、、用“”连接：________． 13. 已知数、在数轴上对应的点如图所示，化简________． 14. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是__________________． 15. 不等式的解集是________． 16. 若关于x的方程的两根互为倒数，则m的值为___________. 17. 定义一种新的运算“@”，“@”的运算法则为：，则______． 18. 若方程（x﹣1）（x2﹣2x+m）=0的三个根可以作为一个三角形的三边之长，则m的取值范围：　　． 三、计算题（每题5分，共30分） 19. 计算： 20. 计算： 21. 计算：． 22. 解方程： 23. 用配方法解方程：． 24. 解方程： 四、解答题（共34分） 25. 已知实数a、b、c、d、e、f，且a、b互为倒数，c、d互为相反数，的绝对值为，的算术平方根是8，求的值． 26. 先化简，再求值：，其中，． 27. 请证明：无论取何值时，关于的方程有实数根，并解出此时方程的根． 28. 关于的方程有两个实数根、，请求下列各式的值： （1）填空：________；________； （2）； （3）． 29. 对于三个数a，b，c，用表示这三个数的平均数：用表示这三个数中最小的数．如：，． （1）填空：________，________； （2）如果，求的值． （3）解方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $