精品解析：浙江杭州市钱江外国语教育集团2026-2027学年九年级上学期期中数学试卷

杭州钱江外国语教育集团2026A期中小能手展示 九年级数学试题卷 一．选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 汉语是中华民族智慧的结晶，成语又是汉语中的精华，是中华文化的一大瑰宝，具有极强的表现力．下列成语描述的事件属于不可能事件的是（　　） A. 百步穿杨 B. 瓜熟蒂落 C. 瓮中捉鳖 D. 水中捞月 2. 将抛物线 先向左平移1个单位， 再向上平移2个单位， 两次平移后得到的抛物线 表达式为 （ ） A. B. C. D. 3. 如图，内接于，是的直径，连接，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 某商场进行抽奖活动，每名顾客购物满元可以获得一次抽奖机会．抽奖箱中只有两种卡片：“中奖”和“谢谢惠顾”（两种卡片形状大小相同、质地均匀）．下表是活动进行中的一组统计数据： 抽奖次数 抽到“中奖”卡片的次数 中奖的频率 根据频率的稳定性，估计抽奖一次就中奖的概率约是（ ） A. B. C. D. 5. 四边形内接于，，则m，n满足条件（ ） A. B. C. D. 6. 已知二次函数（a，b，c是常数，），该函数y与x的部分对应值如上表：下列各选项中，正确的是（ ） x … 0 1 3 … y … 3 … A. 这个函数的图象开口向下 B. 这个函数的最小值为 C. 当时， D. 当时，y的值随x值的增大而减小 7. 已知二次函数经过点，点，点，那么的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 在同一直角坐标系中，一次函数与二次函数的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，已知是的直径，弦，垂足为E，，，则的长为（ ） A. B. 2 C. D. 10. 已知点的坐标分别为，连接，若线段与函数的图象有且仅有两个公共点，则的取值范围为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 二、填空题（本题共6小题，每题3分，共18分） 11. 已知圆O的面积为，若，则点P与圆O的位置关系是________． 12. 一个正多边形的每个内角均为 ，则这个多边形的边数是______． 13. 如图，的半径为，弦的长为，是弦上的动点，则线段长的最小值为___________． 14. 已知抛物线，则当时，函数的最大值与最小值的差为______． 15. 已知二次函数（是常数），若自变量取任意实数，函数值始终为正数，则的取值范围是___________． 16. 如图，是的直径，点，点是半圆上两点，连结相交于点，连结． 已知于点，；下列结论：①；②若点为的中点，则；③若，则；④；其中正确的是_______________． 二．解答题（共8题，共72分） 17. 有三种款式的衣服，三种款式的裤子，小江任意选一件衣服和一件裤子． （1）请用列表法或画树状图的方法表示小江有多少种不同的可能； （2）求恰好选中款衣服和款裤子的概率． 18. 二次函数的图象与轴交于，两点，其中点坐标为． （1）求点的坐标和的值； （2）当时，直接写出的取值范围． 19. 如图，， 交于点C，D，是半径，且于点F． （1）求证：． （2）若，求的半径． 20. 毛泽东故居景区有一商店销售一种纪念品，这种商品的成本价为10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于20元/件，市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示． （1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 21. 如图是一根圆形下水管道的横截面，管内有少量的污水，此时的水面宽为米，污水的最大深度为米． （1）求此下水管横截面的半径： （2）随着污水量的增加，水位又被抬升米，求此时水面的宽度增加了多少？ 22. 如图，已知二次函数的图象经过点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）点D为抛物线的顶点，求的面积； （3）抛物线上是否存在点P，使，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 23. 已知二次函数． （1）若图象过点，求抛物线顶点坐标； （2）若图象与坐标轴只有两个交点，求的值； （3）若函数图象上有两个不同的点，且，求证：． 24. 如图1，在直角坐标系中，以原点为圆心，半径为10作圆，交轴于点，（点在点的左边）．点为直径上一动点，过点作弦（点在点上方），连接，过点作交于另一点，记为点．直线交轴于点，连接，，． （1）若，求的度数； （2）求证：； （3）已知点横坐标是6，求直线与轴交点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 杭州钱江外国语教育集团2026A期中小能手展示 九年级数学试题卷 一．选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 汉语是中华民族智慧的结晶，成语又是汉语中的精华，是中华文化的一大瑰宝，具有极强的表现力．下列成语描述的事件属于不可能事件的是（　　） A. 百步穿杨 B. 瓜熟蒂落 C. 瓮中捉鳖 D. 水中捞月 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 根据事件发生的可能性大小判断． 【详解】解：A、百步穿杨是随机事件； B、瓜熟蒂落是必然事件； C、瓮中捉鳖是必然事件； D、水中捞月是不可能事件； 故选：D． 2. 将抛物线 先向左平移1个单位， 再向上平移2个单位， 两次平移后得到的抛物线 表达式为 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律，进而得出平移后抛物线的解析式即可． 【详解】解：抛物线先向左平移1个单位得到解析式：，再向上平移1单位得到抛物线的解析式为：． 故选：A． 【点睛】此题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减． 3. 如图，内接于，是的直径，连接，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查同弧所对的圆周角相等、直径所对的圆周角等于． 由是的直径，得，而，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：是的直径， ， ， ， 故选：D． 4. 某商场进行抽奖活动，每名顾客购物满元可以获得一次抽奖机会．抽奖箱中只有两种卡片：“中奖”和“谢谢惠顾”（两种卡片形状大小相同、质地均匀）．下表是活动进行中的一组统计数据： 抽奖次数 抽到“中奖”卡片的次数 中奖的频率 根据频率的稳定性，估计抽奖一次就中奖的概率约是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率； 利用频率估计概率求解即可． 【详解】解：根据频率的稳定性，估计抽奖一次就中奖的概率约是， 故选：C． 5. 四边形内接于，，则m，n满足条件（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆内接四边形的对角互补，可得，所以所占的份数一定和所占的份数相等，则． 【详解】解：∵ 圆内接四边形， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 6. 已知二次函数（a，b，c是常数，），该函数y与x的部分对应值如上表：下列各选项中，正确的是（ ） x … 0 1 3 … y … 3 … A. 这个函数的图象开口向下 B. 这个函数的最小值为 C. 当时， D. 当时，y的值随x值的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系． 通过待定系数法求出函数解析式，从而可得抛物线开口方向及对称轴，进而求解． 【详解】将代入得： 解得： ∴抛物线开口向上，选项A错误， 将代入得 ∴C错误， ∵抛物线经过， ∴抛物线对称轴为直线， 将代入得 ∴函数最小值为，选项B错误， ∵抛物线对称轴为直线， ∴时，随增大而减小，选项D正确． 故选：D． 7. 已知二次函数经过点，点，点，那么的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：将代入，得； 将代入，得； 将代入，得， ∵， ∴， ∴． 8. 在同一直角坐标系中，一次函数与二次函数的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题可先由一次函数图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比是否一致． 【详解】解：A．由抛物线可知，，即，由直线可知，，即，故本选项不符合题意； B．由抛物线可知，，即，由直线可知，，即，故本选项不符合题意； C．由抛物线可知，，即，由直线可知，，即，故本选项不符合题意； D．由抛物线可知，，即，由直线可知，，即，故本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的图象以及一次函数图象与系数的关系，根据a、b的正负确定一次函数图象经过的象限是解题的关键． 9. 如图，已知是的直径，弦，垂足为E，，，则的长为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，由圆周角定理得出，根据垂径定理可得，证出为等腰直角三角形，利用特殊角的三角函数可得答案． 【详解】解：如图，连接， 是的直径，弦，， ，， ， ， 为等腰直角三角形， ，即， ， ， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了圆周角定理、垂径定理、三角形的外角性质，以及勾股定理的应用， 10. 已知点的坐标分别为，连接，若线段与函数的图象有且仅有两个公共点，则的取值范围为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】先求直线与分段函数的交点坐标，再结合线段的长度与位置，分情况讨论公共点个数为2时的取值范围． 【详解】解：令， 当时，， 整理得， 解得（不符合，舍去）， 当时，， 整理得， 解得或， 即直线与函数图象的交点为，，， ∵线段的纵坐标恒为，横坐标范围是， ∴线段与函数的公共点即为上述交点中横坐标满足的点， 分两种情况讨论有且仅有两个公共点的情况： 1. 包含和，不包含， ∵需满足，，， ∴解得； 2. 包含和，不包含， ∵需满足，，， ∴解得， 综上，的取值范围为或． 二、填空题（本题共6小题，每题3分，共18分） 11. 已知圆O的面积为，若，则点P与圆O的位置关系是________． 【答案】圆外 【解析】 【分析】先求出圆的半径，再根据点和圆的位置关系进行判断即可． 【详解】解：∵圆O的面积为， ∴圆O的半径为5， ∵， ∴点P与圆O的位置关系是圆外， 故答案为：圆外． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，判断点和圆的位置关系时，关键是比较点到圆心的距离与圆的半径的大小，再根据大小关系进行作答． 若点到圆心的距离为d，圆的半径为r，则 时，点在圆外，当时，点在圆上，当时，点在圆内． 12. 一个正多边形的每个内角均为 ，则这个多边形的边数是______． 【答案】 【解析】 【分析】先由内角度数得到每个外角的度数，再用外角和除以单个外角的度数即可求得边数． 【详解】解：∵正多边形的内角与外角互为邻补角， ∴正多边形的每个外角为， 又∵任意多边形的外角和为， ∴该正多边形的边数为． 13. 如图，的半径为，弦的长为，是弦上的动点，则线段长的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】过作于，根据垂线段最短知线段的最小值为，连接，根据垂径定理得，再由勾股定理求出即可． 【详解】解：过作于，根据垂线段最短知线段的最小值为，连接， ∵， ∴， 在中，， 由勾股定理得：， 即线段的最小值为． 【点睛】本题考查垂径定理、勾股定理、垂线段最短，熟练掌握垂径定理，熟知垂线段最短是解答的关键. 14. 已知抛物线，则当时，函数的最大值与最小值的差为______． 【答案】4 【解析】 【分析】把解析式化为顶点式得到抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，则可确定当时，函数有最大值，求出最大值，再根据顶点坐标得到最小值，进而可得答案． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴在满足的条件下，当时，函数有最大值，最大值为， ∵， ∴函数的最小值为， ∴当时，函数的最大值与最小值的差为． 15. 已知二次函数（是常数），若自变量取任意实数，函数值始终为正数，则的取值范围是___________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据二次函数开口向上，当取任意实数时，都有，则，即可求解． 【详解】解：∵ 二次函数的二次项系数， ∴ 抛物线开口向上， ∵ 自变量取任意实数时，函数值y始终为正数， ∴ 抛物线与轴无交点，即判别式， ∵，，， ∴， 整理，得， 解得． 16. 如图，是的直径，点，点是半圆上两点，连结相交于点，连结． 已知于点，；下列结论：①；②若点为的中点，则；③若，则；④；其中正确的是_______________． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】由垂径定理，圆周角定理的推论得出，由是的直径，进而根据等角的余角相等进而判断①；点为的中点，得出，进而证明全等三角形的判定和性质，得出，进而根据三角形中位线定理得出，等量代换得出即可判断②，连接，根据垂径定理得出，根据得出，则，得出为等边三角形，由，即可得出继而判断③；勾股定理得出，当时，，即可判断④． 【详解】解：①∵， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴，故①正确，符合题意； ②∵点为的中点， ∴， ∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确，符合题意； ③连接， ∵ ∴ ∵， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∵， ∴，故③正确，符合题意； ④∵， ∴， 当时，，故④错误，不符合题意； 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理的推论，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，关键是掌握并熟练应用以上知识点． 二．解答题（共8题，共72分） 17. 有三种款式的衣服，三种款式的裤子，小江任意选一件衣服和一件裤子． （1）请用列表法或画树状图的方法表示小江有多少种不同的可能； （2）求恰好选中款衣服和款裤子的概率． 【答案】（1）列表如下：一共有9种不同的可能， （2）． 【解析】 【分析】（1）根据题意列表得出所有可能选中的结果即可； （2）由（1）得共有9个等可能的结果，恰好选中款衣服和款裤子有1个，再由概率公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）由（1）得：小江有共有9个等可能的结果，恰好选中款衣服和款裤子的结果有1个， ∴恰好选中款衣服和款裤子的概率为． 【点睛】此题考查了用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 18. 二次函数的图象与轴交于，两点，其中点坐标为． （1）求点的坐标和的值； （2）当时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）点的坐标为， （2）的取值范围为1 【解析】 【分析】本题考查的是抛物线与轴的交点，二次函数的性质． （1）根据二次函数的对称性即可求得点坐标，再把点坐标代入解析式可求出的值； （2）根据二次函数的性质结合函数图象可得结论． 【小问1详解】 解：二次函数的对称轴为直线，点坐标为， 点的坐标为， 把点坐标代入得，， 解得； 【小问2详解】 ∵，二次函数的图象与轴交点为和， 当时，的取值范围为． 19. 如图，， 交于点C，D，是半径，且于点F． （1）求证：． （2）若，求的半径． 【答案】（1） 证明：∵，是半径， ∴， ∴ ∴ （2）5 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，等腰三角形的性质，勾股定理等,掌握定理及性质，能用勾股定理求解是解题的关键． （1）由垂径定理得，由等腰三角形的性质得，即可求证； （2）由勾股定理得，即可求解； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设的半径是，如图，连接 ， ∵ 由垂径定理得：， ∵ ∴ ∴ ∴的半径是5. 20. 毛泽东故居景区有一商店销售一种纪念品，这种商品的成本价为10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于20元/件，市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示． （1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）每件销售价为20元时，每天的销售利润最大，最大利润是200元 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及根据相等关系列出二次函数解析式及二次函数的性质． （1）利用待定系数法求解可得关于y与x的函数解析式； （2）根据“总利润每件的利润销售量”可得函数解析式，将其配方成顶点式，利用二次函数的性质进一步求解可得． 【小问1详解】 解：设y与x的函数解析式为， 将、代入，得： 解得：， 所以y与x的函数解析式为； 【小问2详解】 解：根据题意知，， ， 当时，W随x的增大而增大， ， 当时，W取得最大值，最大值为200， 答：每件销售价为20元时，每天的销售利润最大，最大利润是200元． 21. 如图是一根圆形下水管道的横截面，管内有少量的污水，此时的水面宽为米，污水的最大深度为米． （1）求此下水管横截面的半径： （2）随着污水量的增加，水位又被抬升米，求此时水面的宽度增加了多少？ 【答案】（1）米 （2）米 【解析】 【分析】（1）过点O作于点C，交圆O于点D，连接，则米，根据垂径定理可得米，设此下水管横截面的半径为r米，则米，可得米，在中，由勾股定理，即可求解； （2）过点O作于点H，根据垂径定理可得，再由勾股定理求出的长，即可求解． 【小问1详解】 解：过点O作于点C，交圆O于点D，连接，则米， ∴米， 设此下水管横截面的半径为r米，则米， ∴米， 在中，， ∴， 解得：， 即此下水管横截面的半径为米； 【小问2详解】 解：如图，过点O作于点H， ∴， 根据题意得：米，米， ∴米， ∴米， ∴米， ∴此时水面的宽度增加了米． 【点睛】本题考查的是垂径定理、勾股定理的应用，掌握垂径定理的推论是解题的关键． 22. 如图，已知二次函数的图象经过点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）点D为抛物线的顶点，求的面积； （3）抛物线上是否存在点P，使，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）3；（3）存在，P1（2，3），P2（4，-5） 【解析】 【分析】（1）运用待定系数法将代入，即可求解； （2）先求出点C的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式，运用配方法将抛物线解析式化为顶点式即可求得顶点坐标，过点D作轴交直线于点E，求得，利用，即可求得答案； （3）先求出点C关于对称轴的对称点；先运用待定系数法求出直线的解析式，再根据互相平行的两直线的关系求出与平行的直线的解析式，联立抛物线解析式即可求解． 【详解】解：（1）∵二次函数的图象经过点A（-1，0），B（3，0）， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）在中，令时，得：， ∴C（0，3）， 设直线的解析式为， ∵B（3，0），C（0，3）， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵， ∴D（1，4）， 过点D作轴交直线于点E， ∴E（1，2）， ∴， ∴； （3）抛物线上存在点P，使， ①当点P是抛物线上与点C对称的点时，则有， ∵点C（0，3）关于对称轴的对称点坐标为（2，3）， ∴， ②当直线时，则有， ∵直线的解析式为， ∴直线的解析式中一次项系数为， 设与平行的直线的解析式为， 将A（-1，0）代入，得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立抛物线解析式得：， 解得：，（舍去）， ∴． 综上所述，P1（2，3），P2（4，-5）． 【点睛】本题考查了二次函数综合题，运用待定系数法求一次函数和二次函数解析式，配方法，三角形面积，互相平行的两直线的关系等，熟练掌握二次函数图象和性质，利用待定系数法求函数解析式等相关知识，灵活运用方程思想和分类讨论思想是解题关键． 23. 已知二次函数． （1）若图象过点，求抛物线顶点坐标； （2）若图象与坐标轴只有两个交点，求的值； （3）若函数图象上有两个不同的点，且，求证：． 【答案】（1） （2） （3） 证明：把分别代入得 ，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴抛物线开口向上， ∴当时，有最小值为， 但是，∵，不同的点， ∴， ∴ ∴． 【解析】 【分析】（1）把代入求出a值，从而得到解析式，再把解析式化成顶点式即可得出答案； （2）根据图象与坐标轴有两个交点，则图象与x轴只有一个交点，所以，求解即可； （3）把分别代入得，，则，再根据，所以，根据二次函数的性质即可得出结论． 【小问1详解】 解：把代入得 ， 解得：， ∴， ∴抛物线顶点坐标为； 【小问2详解】 解：∵图象与坐标轴有两个交点， ∴与x轴只有一个交点， ∴， 解得：； 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，抛物线与坐标交点问题，抛物线的性质，抛物线与一元二次方程关系，熟练掌握抛物线与一元二次方程关系是解题的关键． 24. 如图1，在直角坐标系中，以原点为圆心，半径为10作圆，交轴于点，（点在点的左边）．点为直径上一动点，过点作弦（点在点上方），连接，过点作交于另一点，记为点．直线交轴于点，连接，，． （1）若，求的度数； （2）求证：； （3）已知点横坐标是6，求直线与轴交点的坐标． 【答案】（1） （2）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∵，是的直径， ∴垂直平分， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）点的坐标为 【解析】 【分析】（1）根据垂径定理可得，再根据圆周角定理可得，可得，再由，即可求解； （2）连接，由，可得，再由，可得，则可得，得，再由，可得，则可得，即可得； （3）连接，由的半径为10，可得点的坐标，利用垂径定理可得，，可得直线的解析式为，根据，可得直线的解析式为，设，再根据，可得，可得直线的解析式为，即可求解． 【小问1详解】 解： ∵，是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，连接， ∵点横坐标是6，的半径为10， ∴，， ∴，， ∵，是的直径， ∴，， ∴在中，， ∴，， 设直线的解析式为， 把，代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， ∵， ∴设直线的解析式为， 把代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， ∵点在直线上， ∴设， ∵， ∴，整理得， 解得，， 当时，，则， 当时，，则，与点重合，舍去， 设直线的解析式为， 把，代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， ∴点的坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $