精品解析：浙江金华市永康市2026-2027学年第一学期期中考试九年级数学学科试卷

2026学年第一学期九年级期中考试数学试题卷 1．答题前，考生务必将姓名、学校、考场号、座位号、考试号填涂在答题卷相应的位置上． 2．答题必须用0.5mm黑色墨水签字笔写在答题卷指定的位置上，不在答题区域内的答案一律无效，不得用其他笔答题． 3．考生答题必须在答题卷上，答在试卷和草稿纸上一律无效． 一、选择题：（本大题共有10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列事件中，属于随机事件的是（ ） A. 宇航员在月球上所受的重力比在地球上小 B. 打开电视机，屏幕显示正好在科教频道 C. 一个负数的绝对值是正数 D. 潜水员深潜海底捞到月亮 2. 抛物线 的顶点坐标为(0，1)，则抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 3. 已知线段，的长分别为4，9，则，的比例中项线段长等于（ ） A. B. C. D. 4. 下列图形中，任意两个图形一定是相似图形的是（ ） A. 三角形 B. 平行四边形 C. 抛物线 D. 圆 5. 如图，点A、B、C在⊙O上，若∠A＝∠C＝35°，则∠B的度数等于（ ） A. 65° B. 70° C. 55° D. 60° 6. 某城市绿化部门将一种树苗移植成活的情况绘制成如下的统计图，种植这种树苗20000棵，估计可以成活的棵数为（ ） A. 16000 B. 17000 C. 18000 D. 19000 7. 若抛物线上有三点，则的大小关系为（ ）． A. B. C. D. 8. 现有一根长为的铁丝，把它弯成一个矩形，设矩形的面积为，一边长为，则y与x之间的函数表达式为（　　） A. B. C. D. 9. 如图所示，小丽将含的直角三角板放置在中，斜边恰好是一条弦，直角顶点在圆外，与相交于点，连接，测得，，则的半径是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，△ABC中，点D为边BC上的点，点E、F分别是边AB、AC上两点，且EF∥BC，若AE：EB＝m，BD：DC＝n，则（ ） A. m＞1，n＞1，则2S△AEF＞S△ABD B. m＜1，n＜1，则2S△AEF＞S△ABD C. m＞1，n＜1，则2S△AEF＜S△ABD D. m＜1，n＞1，则2S△AEF＜S△ABD 二、填空题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 已知两个相似三角形的相似比为，那么这两个三角形的面积之比为___________． 12. 已知线段，如果点P是线段的黄金分割点，且，那么的值为_____． 13. 二次函数的图象向右平移个单位长度后，再向下平移个单位长度，平移后的图象对应的二次函数解析式为________． 14. 如图．将半径为6cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心．则折痕AB的长为________． 15. 如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，为抛物线对称轴上的动点，则取最小值时，点坐标是____． 16. 如图，以为直径的半圆内有一条弦，点是弦上一个动点，连接，并延长交半圆于点，若，，则的最大值是________． 三、解答题：（本大题共8小题，共72分） 17. （1）四条线段a，b，c，d成比例，其中，求线段a的长． （2）已知，且，求a的值． 18. 在一个不透明的口袋中有标号为1，2，3，4的四个小球，除数字不同外，小球没有任何区别，摸球前先搅拌均匀，每次摸一个球 (1)摸出一个球，摸到标号为偶数的概率为 . (2)从袋中不放回地摸两次，用列表或树状图求出两球标号数字为一奇一偶的概率. 19. 已知二次函数，为常数）的图象经过点和． （1）求此二次函数解析式； （2）当时，直接写出的取值范围． 20. 在网格中建立平面直角坐标系，，，，． （1）以点为位似中心，在网格中作的位似图形，使的边长放大到原来的倍． （2）某同学在探索“函数的系数，，与图象的关系”时分别经过，，，这四个点中的三个点画出二次函数的图象，则选哪三个点的抛物线对应的函数表达式最小？请在中选择个填入横线________ 21. 如图，四边形是正方形，以边为直径作，点在边上，连接交于点，连结并延长交于点． （1）求证：； （2）若，，求的弧长（结果保留） 22. 如图①，在四边形的边上取一点（点不与点，重合），分别连接，，可以把四边形分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，那么我们把叫做四边形的边上的“相似点”；如果这三个三角形都相似，那么我们把叫做四边形的边上的“强相似点”． （1）如图②，在四边形中，． ①试判断是否为四边形的边上的“相似点”，并说明理由． ②若为边的中点，求证：为四边形的边上的“强相似点”． （2）如图③，将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，若恰好是四边形边上的一个“强相似点”，试探究线段与之间的数量关系． 23. 【问题情境】机器狗是现代人工智能机器人的代表，随着科技的进步，它的功能也越来越强大，高端科研机器狗已经实现自主跳跃．实验数据显示：机器狗从水平地面起跳，并落在水平地面，其运动路线类似于抛物线，且起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变．一只微型机器狗起跳后的最高点距地面，起跳点与落地点的距离是． 【数学建模】如图，将这只微型机器狗的运动路线抽象为抛物线，其顶点为，对称轴为直线，机器狗在水平地面上的起跳点为，落地点为，以为原点，所在直线为轴，过点与所在水平地面垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系． 【问题解决】 （1）请直接写出顶点的坐标，并求该抛物线的函数表达式． （2）如图，若机器狗从点正上方的台面点处起跳，落地点为，点在轴的正半轴上，求落地点到原点的水平距离的长． （3）实验表明：机器狗在越过障碍物时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于才能安全通过．如图，水平地面上有一个障碍物，其纵切面为矩形， ， ．机器狗从距离左侧的点处起跳，发现不能跳过障碍物，则机器狗至少要向障碍物前进 ，才能刚好安全通过障碍物．（请直接写出答案） 24. 如图所示，已知为的直径，为上的动点，为线段上的动点，且，射线交于点，连接，． （1）求的度数． （2）在上取一点，使得，连接． ①判断的形状，并说明理由． ②连接，若，求与的面积之比． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年第一学期九年级期中考试数学试题卷 1．答题前，考生务必将姓名、学校、考场号、座位号、考试号填涂在答题卷相应的位置上． 2．答题必须用0.5mm黑色墨水签字笔写在答题卷指定的位置上，不在答题区域内的答案一律无效，不得用其他笔答题． 3．考生答题必须在答题卷上，答在试卷和草稿纸上一律无效． 一、选择题：（本大题共有10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列事件中，属于随机事件的是（ ） A. 宇航员在月球上所受的重力比在地球上小 B. 打开电视机，屏幕显示正好在科教频道 C. 一个负数的绝对值是正数 D. 潜水员深潜海底捞到月亮 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：A选项中，宇航员在月球上所受重力一定比地球上小，属于必然事件，故本选项不符合题意； B选项中，打开电视机，屏幕可能显示科教频道，也可能显示其他频道，属于随机事件，故本选项符合题意； C选项中，负数的绝对值一定是正数，属于必然事件，故本选项不符合题意； D选项中，潜水员在海底捞到月亮不可能发生，属于不可能事件，故本选项不符合题意； 故选：B 2. 抛物线 的顶点坐标为(0，1)，则抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把顶点坐标代入解析式中求出c的值即可. 【详解】∵抛物线 的顶点坐标为(0，1)， ∴c=1， ∴抛物线的解析式为：. 故选A. 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法是求函数解析式常用的方法，需熟练掌握并灵活运用． 3. 已知线段，的长分别为4，9，则，的比例中项线段长等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用比例中项的性质列等式，结合线段长度为正求解． 【详解】解：设，的比例中项线段长为． ∵是，的比例中项， ∴， ∵，， ∴． ∵线段长度为正数， ∴． 4. 下列图形中，任意两个图形一定是相似图形的是（ ） A. 三角形 B. 平行四边形 C. 抛物线 D. 圆 【答案】D 【解析】 【分析】根据相似图形的定义和图形的性质对每一项进行分析，即可得出一定相似的图形． 【详解】A、任意两个三角形，对应边不一定成比例，对应角不一定相等，不符合相似的定义，故不符合题意； B、任意两个平行四边形，对应角不一定相等，对应边不一定成比例，不符合相似的定义，故不符合题意； C、两个抛物线，无法确定形状是否相等，故不符合题意； D、两个圆，形状相同，故符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查相似形的定义，熟悉各种图形的性质和相似图形的定义是解题的关键． 5. 如图，点A、B、C在⊙O上，若∠A＝∠C＝35°，则∠B的度数等于（ ） A. 65° B. 70° C. 55° D. 60° 【答案】B 【解析】 【分析】由∠A＝∠C可证明OA∥BC，从而∠B=∠AOB，再根据同弧的圆周角与圆心角的关系求解即可. 【详解】∵∠A＝∠C＝35°， ∴OA∥BC， ∴∠B=∠AOB， ∵∠C＝35°， ∴∠AOB=2∠C＝70°， ∴∠B=70°， 故选：B. 【点睛】本题考查了圆周角定理以及平行线的性质定理，正确利用圆周角定理求得∠AOB的度数是关键． 6. 某城市绿化部门将一种树苗移植成活的情况绘制成如下的统计图，种植这种树苗20000棵，估计可以成活的棵数为（ ） A. 16000 B. 17000 C. 18000 D. 19000 【答案】C 【解析】 【分析】大量重复试验下，频率会逐渐稳定在某个常数附近，这个常数就是概率．我们用稳定后的频率当作成活概率，再用总棵数 × 成活概率，得到估计成活数量． 【详解】解：观察折线统计图：随着种植数量越来越大，成活频率稳定在附近， 所以树苗成活的概率估计值是 ． 成活棵数：． 7. 若抛物线上有三点，则的大小关系为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线y=ax2+2ax+4（a＜0）可知该抛物线开口向下，可以求得抛物线的对称轴，又因为抛物线具有对称性，从而可以解答本题． 【详解】解：， ∴对称轴为， ∴关于的对称点为， 又， ∴图象开口向下，当x＜-1时，y随x的增大而增大，在抛物线上，， ， ． 故选C． 【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是明确二次函数的性质，二次函数具有对称性，在对称轴的两侧它的单调性不一样． 8. 现有一根长为的铁丝，把它弯成一个矩形，设矩形的面积为，一边长为，则y与x之间的函数表达式为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意求出矩形的另一边长，即可求解． 【详解】解：由题意得：矩形的另一边长， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用，正确理解题意是关键． 9. 如图所示，小丽将含的直角三角板放置在中，斜边恰好是一条弦，直角顶点在圆外，与相交于点，连接，测得，，则的半径是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理、等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质，证明是等边三角形是解答的关键． 连接、，根据圆周角定理和直角三角形的性质得到，，证明是等边三角形，利用等边三角形的性质得到，再根据勾股定理求得，，进而可得答案． 【详解】解：连接、，则， ∵，，， ∴，， ∴是等边三角形，， ∴，， 在中，， ∴，即的半径是， 故选：A． 10. 如图，△ABC中，点D为边BC上的点，点E、F分别是边AB、AC上两点，且EF∥BC，若AE：EB＝m，BD：DC＝n，则（ ） A. m＞1，n＞1，则2S△AEF＞S△ABD B. m＜1，n＜1，则2S△AEF＞S△ABD C. m＞1，n＜1，则2S△AEF＜S△ABD D. m＜1，n＞1，则2S△AEF＜S△ABD 【答案】D 【解析】 【分析】由EF∥BC，可得△AEF∽△ABC，利用相似三角形的面积比等相似比的平方，先计算出m＝1，n＝1时的面积关系，再逐个选项分析即可． 【详解】解：∵EF∥BC ∴△AEF∽△ABC ∵AE：EB＝m， ∴＝ 当m＝1时，EF为△ABC的中位线，此时＝； 当n＝1时，S△ABD＝S△ABC 则2S△AEF＝S△ABC＝S△ABD ∴选项A：m＞1，n＞1，时，比如m＝，n＝9， 则＝，＝，2S△AEF＝S△ABC S△ABD＝S△ABC ∴2S△AEF＜S△ABD 故A错误； 选项B：m＜1，n＜1，可取m＝，n＝，则显然结论不成立，故B错误； 选项C：m＞1，n＜1，可取m＝10，n＝，则2S△AEF＞S△ABD，故C错误； 选项D：从排除法已经可以得出D正确．分析看，当m＝1，n＝1时，2S△AEF＝S△ABC＝S△ABD ∴当m＜1，n＞1时，2S△AEF＜S△ABC，S△ABC＜S△ABD，则2S△AEF＜S△ABD 从而D正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质，是解题的关键． 二、填空题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 已知两个相似三角形的相似比为，那么这两个三角形的面积之比为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据面积比等于相似比的平方，由此即可求解． 【详解】解：根据面积比等于相似比的平方，得：这两个三角形的面积之比为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形中面积比等于相似比的平方是解题的关键． 12. 已知线段，如果点P是线段的黄金分割点，且，那么的值为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割的定义，把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值，则这个比值即为黄金分割；根据黄金分割点的定义求解，即可解题． 【详解】解：点P是线段的黄金分割点，且，， ， 即， ， 整理得或（不合题意，舍去） ， 故答案为：． 13. 二次函数的图象向右平移个单位长度后，再向下平移个单位长度，平移后的图象对应的二次函数解析式为________． 【答案】 【解析】 【分析】先将原二次函数配方为顶点式，再依据函数图象平移的“左加右减，上加下减”规则计算平移后的解析式． 【详解】解：∵， ∴根据平移规则，图象向右平移个单位长度时，将解析式中的替换为，再向下平移个单位长度时，将整体函数值减去， ∴平移后的解析式为， 化简得，展开整理即为一般式． 14. 如图．将半径为6cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心．则折痕AB的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】通过作辅助线，过点作交于点，根据折叠的性质可知，根据勾股定理可将的长求出，通过垂径定理可求出的长． 【详解】解：过点作交于点，连接， ， ， ， ． 故答案为：. 【点睛】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键 15. 如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，为抛物线对称轴上的动点，则取最小值时，点坐标是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线与轴的交点，二次函数的图象与性质，求一次函数解析式，数形结合是解题的关键．点关于抛物线对称轴的对称点是点，连接交函数对称轴于点P，则取最小值；设的函数表达式为：，求出的函数表达式，即可求出答案． 【详解】解：令，即， 解得， 令，， 故A、B、C的坐标为：， ∴函数图象对称轴是直线， ∵点关于抛物线对称轴的对称点是点， ∴连接交抛物线对称轴于点P，此时取最小值，从而点P即为所求， 设的函数表达式为：， 将代入， 得， 解得， 的函数表达式为：， 将代入，， 故点P坐标是． 故答案为：． 16. 如图，以为直径的半圆内有一条弦，点是弦上一个动点，连接，并延长交半圆于点，若，，则的最大值是________． 【答案】 【解析】 【分析】先用直径构造直角三角形求出；再由平行线得到相似，把比值转化为；固定，问题化为求垂线段的最大值；最后用“圆心到直线的距离半径”确定的上限，并说明最大值可以取到． 【详解】解：如图所示，连接，过点D作于点， 是半圆的直径， ． 在中，，， ∴； ∵， ∴， 又∵ ， ∴， ∵为定值，故只需求的最大值． 如图所示，过点O作于点S，交于点， ∴， 又∵点O为的中点， ∴， ∵点D在上， ∴当点D与点重合时，有最大值，为， ∴的最大值为． 三、解答题：（本大题共8小题，共72分） 17. （1）四条线段a，b，c，d成比例，其中，求线段a的长． （2）已知，且，求a的值． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）根据成比例线段的定义得到a：b=c：d，然后把代入进行计算即可； （2）设，则，代入，求出k的值，从而得出a的值． 【详解】解：（1）∵a，b，c，d是成比例线段 ∴， 即， ∴a=1cm； （2）设，则， ∵， ∴，解得， ∴． 【点睛】本题考查了成比例线段，关键是理解成比例线段的概念，列出比例式，用到的知识点是比例的基本性质． 18. 在一个不透明的口袋中有标号为1，2，3，4的四个小球，除数字不同外，小球没有任何区别，摸球前先搅拌均匀，每次摸一个球 (1)摸出一个球，摸到标号为偶数的概率为 . (2)从袋中不放回地摸两次，用列表或树状图求出两球标号数字为一奇一偶的概率. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）直接利用概率公式求解即可求得答案； （2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与取出的两个球上标号数字为一奇一偶的情况，再利用概率公式即可求得答案. 【详解】(1)∵有标号为1，2，3，4的四个小球标号为偶数的有两个球，且每次摸一球， ∴摸到标号为偶数的概率为P=； (2) 画树状图如下， ∵所有等可能的情况有12种，其中取出的两个球上两球标号数字为一奇一偶的情况有8种， ∴P(两球标号为一奇一偶)＝＝ 【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．注意掌握放回试验与不放回实验的区别． 19. 已知二次函数，为常数）的图象经过点和． （1）求此二次函数解析式； （2）当时，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】已知抛物线与轴两个交点，优先使用交点式求解析式，计算更简便； 根据二次项系数判断开口方向，结合轴交点，直接读出函数值小于对应的自变量范围． 【小问1详解】 解：抛物线交轴于，，且二次项系数为． 设交点式： 展开： 二次函数解析式为：． 【小问2详解】 解：，抛物线开口向上，与轴交点为，． 时，． 20. 在网格中建立平面直角坐标系，，，，． （1）以点为位似中心，在网格中作的位似图形，使的边长放大到原来的倍． （2）某同学在探索“函数的系数，，与图象的关系”时分别经过，，，这四个点中的三个点画出二次函数的图象，则选哪三个点的抛物线对应的函数表达式最小？请在中选择个填入横线________ 【答案】（1）如图所示： （2） 【解析】 【分析】第问考查以原点为位似中心的位似变换，位似比为时，对应点坐标就是原坐标乘以； 第问需要把个三点组合全部枚举，分别求二次项系数，再比较数值大小，负数比正数小，负得越多，越小． 【小问1详解】 解：图见答案 作图思路：位似作图：以原点为位似中心，放大倍，坐标直接乘：，，，依次连接，，，得到． 【小问2详解】 解：四点中任取三点共可组成四组，逐一求出二次项系数： 选、、：过、，设，代入得，． 选、、：设，由解得． 选、、：设，代入得，． 选、、：设，代入三点坐标得，解得． 比较得，最小的一组为、、， 故填、、． 21. 如图，四边形是正方形，以边为直径作，点在边上，连接交于点，连结并延长交于点． （1）求证：； （2）若，，求的弧长（结果保留） 【答案】（1）证明：四边形是正方形， ，， 是的直径， ， ， ， ， ． 在和中 ， ， （2） 【解析】 【分析】第问利用正方形性质、直径所对的圆周角是直角，结合同角的余角相等推导角相等，通过证明三角形全等，证得线段相等； 第问先在直角三角形中求出圆周角，结合等腰三角形性质、三角形外角性质求出圆心角，再代入弧长公式计算弧长． 【小问1详解】 证明见答案 【小问2详解】 解：如图所示：连接 ， ， ， ， ， ， 的长为． 22. 如图①，在四边形的边上取一点（点不与点，重合），分别连接，，可以把四边形分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，那么我们把叫做四边形的边上的“相似点”；如果这三个三角形都相似，那么我们把叫做四边形的边上的“强相似点”． （1）如图②，在四边形中，． ①试判断是否为四边形的边上的“相似点”，并说明理由． ②若为边的中点，求证：为四边形的边上的“强相似点”． （2）如图③，将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，若恰好是四边形边上的一个“强相似点”，试探究线段与之间的数量关系． 【答案】（1）①是四边形的边上的“相似点”． 理由：设，则， ． ． 又， ． 是四边形的边上的“相似点”． ②证明：由①，得． ． 为的中点，． ，． 又， ． ． 为四边形的边上的“强相似点”． （2） 【解析】 【分析】（1）要证明点是四边形的边上的相似点，只要证明有一对三角形相似就行，根据两角对应相等，容易证明，再由“强相似点”的定义证明即可． （2）由点是四边形的边上的一个强相似点，得，根据相似三角形的对应角相等，可求得，利用含角的直角三角形性质可得与边之间的数量关系． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：由折叠的性质和矩形的性质，得， ，． 恰好是四边形的边上的一个“强相似点”， ， ， ，， ， ． 23. 【问题情境】机器狗是现代人工智能机器人的代表，随着科技的进步，它的功能也越来越强大，高端科研机器狗已经实现自主跳跃．实验数据显示：机器狗从水平地面起跳，并落在水平地面，其运动路线类似于抛物线，且起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变．一只微型机器狗起跳后的最高点距地面，起跳点与落地点的距离是． 【数学建模】如图，将这只微型机器狗的运动路线抽象为抛物线，其顶点为，对称轴为直线，机器狗在水平地面上的起跳点为，落地点为，以为原点，所在直线为轴，过点与所在水平地面垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系． 【问题解决】 （1）请直接写出顶点的坐标，并求该抛物线的函数表达式． （2）如图，若机器狗从点正上方的台面点处起跳，落地点为，点在轴的正半轴上，求落地点到原点的水平距离的长． （3）实验表明：机器狗在越过障碍物时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于才能安全通过．如图，水平地面上有一个障碍物，其纵切面为矩形， ， ．机器狗从距离左侧的点处起跳，发现不能跳过障碍物，则机器狗至少要向障碍物前进 ，才能刚好安全通过障碍物．（请直接写出答案） 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据起跳点与落地点的距离为，得到对称轴为直线，根据运动路线的最高点距地面，即顶点N的纵坐标为50，从而写出顶点坐标；设出顶点式，把代入即可求得函数解析式； （2）根据抛物线的形状不变，利用平移思想，写出新的函数解析式，令，求出x的值，进而求出的长即可； （3）设机器狗至少要向障碍物前进，根据题意，得到新的抛物线的解析式为：，再确定机器狗刚好安全通过该障碍物时，抛物线过点，然后代入求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，得：抛物线的对称轴为直线，顶点纵坐标为50， ∴顶点坐标为， 设抛物线的函数解析式为：， ∵抛物线经过原点， ∴，解：， ∴． 【小问2详解】 解：∵抛物线的形状不变，点， ∴函数图像可以看作由抛物线向上平移22个单位长度得到的， ∴新的抛物线的解析式为： ， 当时，，解得：，（舍去）； ∴落地点到原点的水平距离的长． 【小问3详解】 解：设机器狗至少要向障碍物前进，新抛物线是由抛物线向右平移得到的， 设新的函数解析式为：， ∵纵切面为矩形，，，机器狗从距离左侧的点处起跳， ∴即抛物线经过点D上方点的横坐标为160， ∵障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于才能安全通过， ∴抛物线经过点时，机器狗恰好通过障碍物， ∴，解得：或100， ∴机器狗至少要向障碍物前进，才能刚好安全通过障碍物． 24. 如图所示，已知为的直径，为上的动点，为线段上的动点，且，射线交于点，连接，． （1）求的度数． （2）在上取一点，使得，连接． ①判断的形状，并说明理由． ②连接，若，求与的面积之比． 【答案】（1） （2）是直角三角形，理由如下： 连接，如图， ， ， ， 是等边三角形． ， 即， ， ， ， ， ， ， 是直角三角形． ②． 【解析】 【分析】第问直接利用直径所对圆周角是直角，作角度减法； 第①利用同弧圆周角相等得到对应角相等，结合边的比例关系证明，进而判定是直角三角形； ②两个三角形共底，面积之比转化为两条高与的比值，结合直角三角形边长计算完成比值求解． 【小问1详解】 解：AB为的直径， ， ， ． 【小问2详解】 解：①理由见答案 ②过点B作于点G， 和共底DF， 故 设， ， ， 为等边三角形， ， ， 在中：， 在中：， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $