第二十五章讲义·一元二次方程2026-2027学年人教版九年级上册数学

九年级数学（上）第二十五章 一元二次方程 全章讲义

人教版2024新教材 · 第二十五章 一元二次方程 · 同步学案

 一、本章思维导图

图 25-1  “一元二次方程”全章思维导图

 二、知识梳理

本章在一元一次方程的基础上，把未知数的最高次数升到 2 次，得到一类新的整式方程——一元二次方程。全章要弄清四件事：它的概念与一般形式、四种解法、根的判别式与根与系数的关系，以及如何用它解决实际问题。先通读下面的知识梳理，再进入课堂习题。

▎知识点1  一元二次方程的概念与一般形式

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程，叫做一元二次方程。例如 、 都是一元二次方程。

任何一个一元二次方程都可以化成一般形式 ：其中 是二次项、 是二次项系数， 是一次项、 是一次项系数， 是常数项。

是一般形式不可分割的一部分：若 ，方程就退化为 ，不再是一元二次方程；写系数时务必连同前面的符号，如 中 、。

使方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的根（也叫解）。判断一个数是不是根，只需把它代入方程检验；一元二次方程最多有两个实数根。

 

▎知识点2  一元二次方程的四种解法

解一元二次方程的基本思路是“降次”：通过变形把二次转化为一次。常用四种方法——直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，解题时按方程特征选最简捷的一种。

直接开平方法：形如 或 的方程，两边开平方得 或 ；当 时方程没有实数根， 不能漏写。

配方法：先把二次项系数化为 1，移项使左边只留二次项与一次项，再两边同加一次项系数一半的平方，配成 ，最后开方求解。它是推导求根公式的基础。

公式法：对 ，当 时，；因式分解法把方程化为 ，由 或 降次，最忌两边同除以含未知数的式子（会丢根）。

 

▎知识点3  根的判别式与根与系数的关系

把 叫做一元二次方程 的根的判别式。它只由系数决定，不必解方程就能判断根的情况。

时方程有两个不相等的实数根； 时有两个相等的实数根（可写成 ）； 时没有实数根。三种情况合起来就是“ 有实数根”。

*根与系数的关系（韦达定理，选学）：若方程有两个实数根 ，则 ，；使用前提是 ，先判别再代公式。

含参问题先分清“方程”与“一元二次方程”：说“关于 的一元二次方程”必须保证二次项系数不为 0；只说“关于 的方程”时，要按二次项系数是否为 0 分类讨论，不能漏掉退化为一次方程的情形。

 

▎知识点4  实际问题与一元二次方程

列一元二次方程解应用题的一般步骤：审清题意、设未知数、找等量关系列方程、解方程、检验根、写出答案。其中“检验”既要代入方程，还要看是否符合实际意义。

常见模型一——平均增长率：基数为 、平均增长率为 、两期后为 ，则 ；连续下降用 。 通常取正值且小于 1，负根要舍去。

常见模型二——面积与几何：用含 的式子表示长、宽，由面积公式列方程，如矩形面积 ；解出后必须保证各边长均为正数。

常见模型三——传播、握手与循环：传播按 增长，握手与单循环比赛按 计数。求得的根若为负数、分数或使边长非正，一律舍去，并在答案中写明理由。

 

 三、课堂习题

先自己尝试，再看解析；重点体会每题“方法点拨”里的思路，并把关键句画出来。

▎【典例精讲】

典例1．已知关于 的方程 。

(1) 当 取何值时，它是一元二次方程？并写出此时的二次项系数、一次项系数与常数项；

(2) 小明说：“ 是方程 的根。”请代入检验他的说法；

(3) 把 化成一般形式，并指出 。

解析：(1) 一元二次方程要求未知数最高次数为 2 且二次项系数不为 0，故 且 ，解得 ；此时方程为 ，二次项系数 、一次项系数 、常数项 。

(2) 把 代入左边得 ，与右边相等，所以小明的说法正确；把 代入也得 ，说明一元二次方程可以有两个根。

(3) 先移项使右边为 0：，故 、、。系数必须连同符号一起读，直接照抄原式右边的 是典型错误。