第二十五章 一元二次方程(培优讲义)2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学讲义通过“知识体系全景梳理”表格和“解题方法图表记忆法”表格系统构建一元二次方程知识体系，梳理概念、解法、判别式、根与系数关系及应用五大模块，突出“降次转化”思想，呈现重难点分布与内在逻辑联系。 讲义亮点在于分层进阶练习设计，基础夯实、能力进阶、思维跃迁三级自测覆盖不同层次需求，奥数思维提升模块通过换元法解方程等实例培养推理能力与模型观念，易错避坑指南针对性解决符号错误等问题，助力学生自主复习，教师可实施精准分层教学。

第二十五章 一元二次方程 核心素养与单元目标 1 第一部分 单元核心方法论与知识体系构建 1 一、知识体系全景梳理 1 二、解题方法图表记忆法 2 三、奥数思维提升 3 第二部分 单元考点精讲与题型突破 4 考点一 一元二次方程的概念与一般形式 4 考点二 一元二次方程的解法 6 考点三 根的判别式 8 考点四 根与系数的关系 10 考点五 一元二次方程的实际应用 12 第三部分 数学活动与拓展探究 14 第四部分 单元易错避坑指南 16 易错点1：忽略一元二次方程中二次项系数不为0的隐含条件 16 易错点2：配方法中常见错误 16 易错点3：公式法中符号错误 16 易错点4：因式分解法解方程时漏根 17 易错点6：根与系数关系应用时忽略判别式前提 17 第五部分 单元分层进阶达标自测 18 第六部分 达标自测精准解析 21 学科网（北京）股份有限公司 核心素养与单元目标 核心素养 运算能力、推理能力、模型观念、应用意识、创新意识。 单元目标 1. 知识技能：理解一元二次方程的概念与一般形式，掌握配方法、公式法、因式分解法三种解法；理解根的判别式的意义，掌握一元二次方程根与系数的关系；能运用一元二次方程解决传播、增长率、面积、比赛场次等实际问题。 2. 数学思考：经历“降次”转化的过程，体会分类讨论、转化、整体代入等数学思想，发展逻辑推理能力与代数运算能力。 3. 问题解决：能建立一元二次方程模型解决实际问题，掌握“设未知数—找等量—列方程—验根”的完整解题流程，提升分析问题、解决问题的能力。 4. 情感态度：了解黄金分割数等数学文化，体会方程模型的应用价值；在探究活动中增强学习兴趣与创新意识。 第一部分 单元核心方法论与知识体系构建 本单元是初中代数方程板块的核心内容，在一元一次方程、整式运算的基础上，进一步拓展高次方程的解法与应用。本章是后续学习二次函数、高中二次不等式的重要基础，也是中考代数部分的核心考点。 一、知识体系全景梳理 知识模块 核心内容 关键方法 易错提醒 一元二次方程的概念 定义、一般形式、方程的根 定义判定法、整理一般形式 忽略“”的前提；误将分式、根式方程当作一元二次方程 一元二次方程的解法 直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法 降次转化法、根据方程特点选解法 配方法漏加常数；公式法符号错误；因式分解漏根 根的判别式 判别式公式、三种根的情况 判别式判定法、参数分类讨论法 混淆判别式与根的对应关系；忽略二次项系数不为0 根与系数的关系 两根之和、两根之积、对称式求值 整体代入法、对称式变形法 混淆和与积的符号；忽略“”的前提 实际应用 传播、增长率、面积、利润、比赛场次 建模四步法：设→找→列→验 忽略根的实际意义；未检验取舍 二、解题方法图表记忆法 方法名称 适用题型 操作步骤 技巧口诀 直接开平方法 形如或的方程 ①整理为平方等于常数的形式；②开方转化为两个一元一次方程；③求解 平方等于常数，开方正负都算 配方法 所有一元二次方程，尤其二次项系数为1、一次项系数为偶数的方程 ①移项；②二次项系数化为1；③两边加一次项系数一半的平方；④写成完全平方形式；⑤开方求解 一移二化三配方，开方求解不要忘 公式法 所有一元二次方程，尤其系数为整数、小数的一般形式方程 ①化为一般形式，确定；②计算判别式；③时代入求根公式求解 确定，算判别式，代入公式得根 因式分解法 一边为0，另一边易分解因式的方程 ①移项使右边为0；②左边分解因式；③令每个因式为0，转化为一次方程；④求解 右边化为0，左边分解掉，分别等于0，根就求到了 整体代入法 已知根与系数关系，求代数式的值 ①将所求代数式变形为含、的形式；②代入根与系数的关系；③计算 对称式变形，整体代值 三、奥数思维提升 1. 分类讨论思想：覆盖全情形，不重不漏 核心要点：当二次项系数含字母、根的情况不确定时，需按“二次项系数是否为0”“判别式的正负”分类讨论，做到不重不漏。 示例：关于的方程有实数根，需分（一元一次方程）和（一元二次方程，）两类讨论。 2. 转化思想：降次转化，复杂问题简单化 核心要点：解一元二次方程的核心是“降次”，将二次方程转化为一元一次方程；高次代数式求值时，利用方程将高次幂转化为低次幂。 示例：已知，求高次代数式的值时，可由逐步降次代入，将高次式转化为一次式。 3. 整体思想：根与系数的应用 核心要点：不解方程，利用根与系数的关系，将所求代数式整体转化为两根之和与两根之积的组合，避免解方程的复杂计算。 示例：已知方程的两根为，求的值，可整体转化为代入计算。 4. 方程模型思想：实际问题建模 核心要点：将实际问题中的等量关系抽象为一元二次方程，通过解方程解决实际问题，核心是找准等量关系，检验根的实际意义。 示例：传播问题、增长率问题、面积问题，均通过“设未知数—找等量—列方程—求解—检验”的步骤解决。 5. 非负性思想：判别式的隐含条件 核心要点：一元二次方程有实数根的隐含条件是，且二次项系数不为0；在根与系数的应用中，必须先满足的前提。 示例：已知方程有两个实数根，由得。 第二部分 单元考点精讲与题型突破 考点一 一元二次方程的概念与一般形式 典型例题1（基础型） 题目：下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 解题步骤： ① 根据一元二次方程的定义，从三个标准逐一判断：只含一个未知数、未知数最高次数为2、是整式方程； ② 选项A含两个未知数，是二元方程；选项B是分式方程；选项C符合定义；选项D整理后为，是一元一次方程； ③ 综上，只有选项C是一元二次方程。 【答案】C 【知识点睛】 ① 考点定位：一元二次方程的定义； ② 解题方法：判断一元二次方程的三个核心标准：整式方程、一个未知数、最高次数为2，且二次项系数不为0；判断前需先整理化简，不能只看表面形式； ③ 易错提醒：分式方程、根式方程不是整式方程，不属于一元二次方程；化简后二次项抵消的方程也不是一元二次方程。 典型例题2（提高型） 题目：若关于的方程是一元二次方程，求的值。 解题步骤： ① 根据一元二次方程的定义，未知数最高次数为2，且二次项系数不为0； ② 所以，且； ③ 解得，且，因此。 【答案】 【知识点睛】 ① 考点定位：一元二次方程的定义与参数问题； ② 解题方法：根据定义列两个条件：最高次数为2、二次项系数不为0，联立求解； ③ 易错提醒：易忽略二次项系数不为0的条件，只看次数导致错误。 典型例题3（奥数型） 题目：若是方程的根，求的值。 解题步骤： ① 因为是方程的根，所以将代入方程得； ② 由方程可知，两边同时除以，得，即； ③ 对两边平方，得，因此。 【答案】7 【知识点睛】 ① 考点定位：一元二次方程的根的定义、代数式求值； ② 解题方法：利用方程的根的定义，将根代入方程得到等式，通过变形得到所需的代数式，结合完全平方公式整体求解，避免求根的复杂计算； ③ 易错提醒：注意隐含条件，才能两边同时除以。 考点二 一元二次方程的解法 典型例题1（基础型） 题目：用配方法解方程：。 解题步骤： ① 移项，将常数项移到右边：； ② 配方，两边加上一次项系数一半的平方，即：； ③ 写成完全平方形式：； ④ 开方得； ⑤ 解得，。 【答案】， 【知识点睛】 ① 考点定位：配方法解一元二次方程； ② 解题方法：配方法四步：移项、二次项系数化为1、配方（两边加一次项系数一半的平方）、开方求解； ③ 易错提醒：配方时等式两边要同时加常数，不能只加左边；开方时要注意正负两个解，不能只写正的。 典型例题2（提高型） 题目：用公式法解方程：。 解题步骤： ① 方程为一般形式，确定，，； ② 计算判别式：，方程有两个不相等的实数根； ③ 代入求根公式：； ④ 所以，。 【答案】， 【知识点睛】 ① 考点定位：公式法解一元二次方程； ② 解题方法：先化为一般形式，确定的符号，再计算判别式判断根的情况，时代入求根公式求解； ③ 易错提醒：代入公式时注意的符号，本身带负号时要仔细；结果要化为最简形式。 典型例题3（奥数型） 题目：解方程：。 解题步骤： ① 观察方程，设，原方程转化为； ② 因式分解得，解得，； ③ 当时，，即，因式分解得，解得，； ④ 当时，，即，，无实数根； ⑤ 综上，原方程的实数根为，。 【答案】， 【知识点睛】 ① 考点定位：换元法解一元二次方程、因式分解法； ② 解题方法：当方程中出现重复的代数式时，可用换元法将复杂方程转化为简单的一元二次方程，求解后再回代求原未知数； ③ 易错提醒：换元后要注意新方程的根是否对应原方程有实数解，不要遗漏检验判别式。 考点三 根的判别式 典型例题1（基础型） 题目：下列一元二次方程中，有两个相等实数根的是（ ） A. B. C. D. 解题步骤： ① 分别计算每个方程的判别式； ② 选项A：，无实数根；选项B：，有两个相等的实数根；选项C：，两个不等实根；选项D：，两个不等实根； ③ 综上，选项B符合题意。 【答案】B 【知识点睛】 ① 考点定位：根的判别式的应用； ② 解题方法：先将方程化为一般形式，确定，再计算，根据的符号判断根的情况：两个不等实根，两个相等实根，无实数根； ③ 易错提醒：确定系数时要注意符号，常数项为0时，不要漏算。 典型例题2（提高型） 题目：已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，求的取值范围。 解题步骤： ① 方程是一元二次方程，所以二次项系数； ② 方程有两个不相等的实数根，所以判别式； ③ 计算，解得； ④ 综上，的取值范围是且。 【答案】且 【知识点睛】 ① 考点定位：根的判别式与参数问题； ② 解题方法：一元二次方程有两个不相等实数根的两个条件：二次项系数不为0、，两个条件缺一不可； ③ 易错提醒：易忽略“一元二次方程”的前提，漏掉的条件，只根据得出。 典型例题3（奥数型） 题目：求证：关于的方程总有两个不相等的实数根。 解题步骤： ① 方程是一元二次方程，二次项系数为，计算判别式； ② ； ③ 配方得； ④ 因为，所以，即恒成立； ⑤ 所以方程总有两个不相等的实数根。 【答案】证明见解析 【知识点睛】 ① 考点定位：判别式的恒正问题； ② 解题方法：将判别式配方，利用平方的非负性判断的符号； ③ 易错提醒：证明时要先说明二次项系数不为0，再证明的正负。 考点四 根与系数的关系 典型例题1（基础型） 题目：不解方程，求方程的两根之和与两根之积。 解题步骤： ① 方程为一般形式，确定，，； ② 根据根与系数的关系，两根之和； ③ 两根之积。 【答案】两根之和为，两根之积为 【知识点睛】 ① 考点定位：根与系数的关系； ② 解题方法：先化为一般形式，确定，再代入公式，； ③ 易错提醒：两根之和的公式前面有负号，容易漏掉负号；注意系数的符号。 典型例题2（提高型） 题目：已知方程的两根为，，求下列代数式的值： (1) ； (2) ； (3) 。 解题步骤： ① 由根与系数的关系得：，； ② (1) ； ③ (2) ； ④ (3) 。 【答案】(1)；(2)；(3) 【知识点睛】 ① 考点定位：根与系数的关系与代数式求值； ② 解题方法：将所求代数式变形为只含和的形式，再整体代入根与系数的关系；常用变形公式：，，； ③ 易错提醒：计算两根差的绝对值时，根号内是减，注意符号。 典型例题3（奥数型） 题目：已知关于的一元二次方程。 (1) 求证：方程总有两个实数根； (2) 若方程有一个根小于1，求的取值范围。 解题步骤： ① (1) 计算判别式：，所以方程总有两个实数根； ② (2) 用因式分解法解方程：，解得，； ③ 因为方程有一个根小于1，且，所以，解得。 【答案】(1) 证明见解析；(2) 【知识点睛】 ① 考点定位：根与系数的关系、含参数方程的根的分布； ② 解题方法：先通过判别式证明根的存在性，再用因式分解法求出方程的根，根据根的范围列不等式求解；也可结合二次函数图象分析根的分布； ③ 易错提醒：注意根的大小关系，不要搞反范围。 考点五 一元二次方程的实际应用 典型例题1（基础型） 题目：某次篮球联赛，每两队之间都进行两场比赛，共要比赛90场，求参赛球队的数量。 解题步骤： ① 设参赛球队有支，每支球队要与其他支球队各赛2场，总场数为； ② 根据题意列方程：； ③ 整理得； ④ 因式分解得，解得，； ⑤ 球队数量为正，舍去，所以。 答：参赛球队有10支。 【知识点睛】 ① 考点定位：一元二次方程实际应用（比赛场次问题）； ② 解题方法：双循环比赛总场数公式：；单循环为；关键是明确每两队之间比赛的场数； ③ 易错提醒：结果要检验是否符合实际意义，负根要舍去。 典型例题2（提高型） 题目：某商店经销一种商品，每件进价40元，售价60元，平均每天可售出20件。为了扩大销售，商店决定降价销售，经调查发现，每件商品每降价1元，平均每天可多售出10件。若商店要想平均每天盈利1200元，且尽量减少库存，每件商品应降价多少元？ 解题步骤： ① 设每件商品降价元，则每件利润为元，每天销量为件； ② 根据“总利润=每件利润×销量”列方程：； ③ 整理得：，即，化简得； ④ 因式分解得，解得，； ⑤ 要尽量减少库存，即销量越大越好，所以选择降价更多的。 答：每件商品应降价10元。 【知识点睛】 ① 考点定位：一元二次方程实际应用（利润问题）； ② 解题方法：利润问题核心公式：总利润=单件利润×销售量；设降价为，分别表示出单件利润和销量，根据等量关系列方程； ③ 易错提醒：要根据题目要求选择合适的根，“尽量减少库存”对应降价更多、销量更大的解，不能两个解都保留。 典型例题3（奥数型） 题目：有一块长100cm，宽50cm的矩形铁皮，在它的四角各切去一个同样大小的正方形，然后将四周折起，制作一个无盖方盒。若要使方盒的底面积为，求切去的正方形的边长。 解题步骤： ① 设切去的正方形边长为，则方盒底面的长为，宽为； ② 根据底面积列方程：； ③ 展开整理：，即，化简得； ④ 因式分解得，解得，； ⑤ 检验：当时，，不符合实际，舍去；所以。 答：切去的正方形的边长为5cm。 【知识点睛】 ① 考点定位：一元二次方程实际应用（面积问题）； ② 解题方法：面积问题关键是用含未知数的式子表示出各边长度，再根据面积公式列方程； ③ 易错提醒：求出根后必须检验是否符合实际意义，边长不能为负，且切去的边长不能超过原矩形的边长。 第三部分 数学活动与拓展探究 活动一 探究方程有公共解的条件 活动主题：探究三个系数轮换的一元二次方程恰有一个公共解的条件 活动目标： 1. 通过代入、消元，探究方程公共解的条件，提升推理能力； 2. 体会整体思想与转化思想，培养探究意识。 活动过程： 已知，方程，，恰有一个公共解。 任务1：设公共解为，将代入三个方程，得到三个等式； 任务2：将三个等式相加，因式分解，分析的取值； 任务3：推导满足的条件，并求出三个方程的解。 活动结论： 当时，三个方程恰有一个公共解，其余解分别为，，。 活动二 神奇的线段分割——黄金分割 活动主题：黄金分割的探究与应用 活动目标： 1. 通过列方程求解黄金分割比，体会方程模型思想； 2. 了解黄金分割数的数学文化，感受数学的应用价值。 活动过程： 任务1：如图，线段长为1，点在上，满足，设，列方程求的值； 任务2：计算黄金分割数的近似值，了解黄金分割在建筑、艺术、自然中的应用； 任务3：设计一个包含黄金分割的图案。 拓展阅读： 黄金分割数约为，在古希腊帕特农神庙、达芬奇《蒙娜丽莎》、人体比例中都有体现；优选法中的“0.618法”也应用了黄金分割数。 第四部分 单元易错避坑指南 易错点1：忽略一元二次方程中二次项系数不为0的隐含条件 错误示例：若关于的方程有两个实数根，求的取值范围。错误解法：，得。 正确分析：方程是一元二次方程，必须满足二次项系数，即；同时有两个实数根需要，即。所以正确范围是且。 修正方法：看到“一元二次方程”“两个实数根”等条件时，先写出二次项系数不为0的条件，再结合判别式求解。 易错点2：配方法中常见错误 错误示例：用配方法解方程，错误步骤：，，。 正确分析：配方法第一步移项后，二次项系数化为1时，方程两边每一项都要除以二次项系数，常数项也要除；正确步骤：，，，。 修正方法：配方前先将二次项系数化为1，等式两边每一项都要除以二次项系数；配方时两边同时加一次项系数一半的平方。 易错点3：公式法中符号错误 错误示例：解方程，代入公式得。 正确分析：求根公式中分子是，时，；正确结果：，即，。 修正方法：代入公式前先写出的值，注意符号；计算时，是负的要变正，是正的要变负。 易错点4：因式分解法解方程时漏根 错误示例：解方程，两边同时除以，得，。 正确分析：方程两边不能随意除以含未知数的代数式，会丢失的根；正确解法：移项得，，解得，。 修正方法：解方程时，先移项使右边为0，再分解因式；禁止两边同时除以可能为0的代数式。 易错点5：实际问题中未检验根的实际意义 错误示例：某商品降价问题，解方程得到两个正根，直接都作为答案。 正确分析：实际问题中，未知数有实际意义，如长度、时间、数量必须为正，且要符合题目限制条件（如尽量减少库存、在合理范围内等），需要检验后取舍。 修正方法：解完方程后，先检验根是否符合实际意义，舍去不符合的根，再根据题目要求选择合适的解。 易错点6：根与系数关系应用时忽略判别式前提 错误示例：已知方程的两根为，且，求的值。错误解法：，，，得。 正确分析：虽然计算结果时，成立；但如果得到，，方程无实根，就要舍去。 修正方法：应用根与系数的关系时，先确认方程有实数根，即，再进行计算。 第五部分 单元分层进阶达标自测 一、基础夯实篇（共8小题，每小题4分，共32分） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 方程的根是（ ） A. B. ， C. D. ， 3. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 两个相等的实数根 B. 两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 4. 用配方法解方程，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知方程的一个根是2，则另一个根是（ ） A. B. C. D. 6. 某厂两年内将产值从100万元提高到121万元，设平均年增长率为，可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为________。 8. 已知方程的两根为，，则________。 二、能力进阶篇（共7小题，每小题6分，共42分） 9. 用公式法解方程：。 10. 用因式分解法解方程：。 11. 已知关于的一元二次方程有实数根，求的取值范围。 12. 不解方程，求方程的两根的平方和与倒数和。 13. 一个多边形共有20条对角线，求这个多边形的边数。 14. 某商品经过连续两次降价，售价由每件200元降至128元，求平均每次降价的百分率。 15. 如图，在长为10m，宽为8m的矩形花园中，修建两条同样宽的互相垂直的道路，剩余部分种植花草，若花草面积为，求道路的宽度。 三、思维跃迁篇（共5小题，每小题5分，共26分） 16. 若是方程的根，求的值。 17. 已知关于的方程，若方程的两根分别是一个矩形的长和宽，求的取值范围。 18. 已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，且满足，求的取值范围。 19. 某西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克。为了促销，经营户决定降价销售，经调查发现，每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克。另外，每天的房租等固定成本共24元。若经营户想每天盈利200元，应将每千克西瓜的售价降低多少元？ 20. 【数学文化】黄金分割数是数学中的重要常数，定义为：点把线段分成和两段（ 第六部分 达标自测精准解析 一、基础夯实篇解析 1. 【答案】C 解题步骤： ① 根据一元二次方程的定义，从“整式方程、一个未知数、最高次数为2”三个标准判断； ② 选项A是二元一次方程，选项B是分式方程，选项D整理后为，是一元一次方程； ③ 只有选项C符合一元二次方程的定义。 【知识点睛】 ① 考点定位：一元二次方程的定义； ② 解题方法：判断时先整理化简，再按三个标准逐一验证； ③ 易错提醒：分式方程、化简后二次项抵消的方程都不是一元二次方程。 2. 【答案】B 解题步骤： ① 方程左边因式分解得； ② 令每个因式为0，得或； ③ 解得，。 【知识点睛】 ① 考点定位：因式分解法解方程； ② 解题方法：当方程有公因式时，优先提取公因式分解求解； ③ 易错提醒：不要两边同时除以，避免漏根。 3. 【答案】B 解题步骤： ① 确定，，； ② 计算判别式：； ③ 所以方程有两个不相等的实数根。 【知识点睛】 ① 考点定位：根的判别式； ② 解题方法：代入判别式公式计算，根据符号判断根的情况； ③ 易错提醒：注意系数的符号，不要算错。 4. 【答案】A 解题步骤： ① 移项得； ② 两边加一次项系数一半的平方，即，得； ③ 写成完全平方形式：。 【知识点睛】 ① 考点定位：配方法； ② 解题方法：移项后两边加一次项系数一半的平方； ③ 易错提醒：一次项系数为正，配方后括号内是加号。 5. 【答案】C 解题步骤： ① 设另一个根为，根据根与系数的关系，两根之积，两根之和； ② 解得。 【知识点睛】 ① 考点定位：根与系数的关系； ② 解题方法：已知一个根，可利用两根之和直接求另一个根； ③ 易错提醒：也可将已知根代入方程求，再解方程，根与系数的方法更简便。 6. 【答案】A 解题步骤： ① 第一年产值为万元； ② 第二年产值在第一年基础上再增长，为万元； ③ 所以列方程为。 【知识点睛】 ① 考点定位：增长率问题； ② 解题方法：连续两次增长率问题，公式为“原量×(1+增长率)²=现量”； ③ 易错提醒：不要误列成，增长率是复利计算。 7. 【答案】1 解题步骤： ① 方程有两个相等的实数根，所以； ② 计算； ③ 解得。 【知识点睛】 ① 考点定位：根的判别式； ② 解题方法：两个相等实数根对应，列方程求解； ③ 易错提醒：不要混淆和对应的根的情况。 8. 【答案】 解题步骤： ① 方程为一般形式，，； ② 根据根与系数的关系，。 【知识点睛】 ① 考点定位：根与系数的关系； ② 解题方法：直接代入两根之和公式； ③ 易错提醒：不要漏掉公式中的负号。 二、能力进阶篇解析 9. 【答案】， 解题步骤： ① 方程为一般形式，，，； ② 计算判别式：，方程有两个不相等的实数根； ③ 代入求根公式：。 【知识点睛】 ① 考点定位：公式法解方程； ② 解题方法：先确定系数，再算判别式，最后代入公式； ③ 易错提醒：结果要化为最简形式，根号外的系数与分母要约分。 10. 【答案】， 解题步骤： ① 移项得； ② 提取公因式，得，即； ③ 解得，。 【知识点睛】 ① 考点定位：因式分解法解方程； ② 解题方法：将看作整体，提取公因式分解； ③ 易错提醒：不要两边同时除以，避免漏根。 11. 【答案】且 解题步骤： ① 方程是一元二次方程，所以二次项系数，即； ② 方程有实数根，所以； ③ 计算，解得； ④ 综上，的取值范围是且。 【知识点睛】 ① 考点定位：根的判别式与参数问题； ② 解题方法：“有实数根”包含两个相等和两个不等两种情况，对应；同时注意二次项系数不为0； ③ 易错提醒：易漏掉的条件。 12. 【答案】平方和为14，倒数和为4 解题步骤： ① 由根与系数的关系得：，； ② 平方和：； ③ 倒数和：。 【知识点睛】 ① 考点定位：根与系数的关系与对称式求值； ② 解题方法：将所求代数式变形为含两根之和、两根之积的形式，整体代入； ③ 易错提醒：平方和公式是减，不要写成加。 13. 【答案】这个多边形是五边形 解题步骤： ① 设这个多边形的边数为，边形对角线总条数为； ② 根据题意列方程：； ③ 整理得，因式分解得； ④ 解得，，边数为正，舍去，所以。 答：这个多边形的边数为8。 【知识点睛】 ① 考点定位：一元二次方程实际应用（多边形对角线问题）； ② 解题方法：边形对角线公式为，根据等量关系列方程； ③ 易错提醒：记住对角线公式，结果要检验实际意义。 14. 【答案】平均每次降价的百分率为20% 解题步骤： ① 设平均每次降价的百分率为； ② 第一次降价后价格为，第二次降价后为； ③ 列方程：； ④ 解得，，所以或； ⑤ 降价率小于1，所以，。 答：平均每次降价的百分率为20%。 【知识点睛】 ① 考点定位：增长率（下降率）问题； ② 解题方法：连续两次降价公式：原售价×(1-降价率)²=现售价； ③ 易错提醒：降价率为正数且小于1，负根要舍去。 15. 【答案】道路的宽度为1m 解题步骤： ① 设道路的宽度为，将花草部分平移，可得到一个长为，宽为的矩形； ② 根据花草面积列方程：； ③ 整理得，因式分解得； ④ 解得，； ⑤ 检验：时，，不符合实际，舍去；所以。 答：道路的宽度为1m。 【知识点睛】 ① 考点定位：一元二次方程实际应用（面积问题）； ② 解题方法：道路交叉问题可通过平移将分散的面积合并为一个矩形，简化计算； ③ 易错提醒：道路宽度不能超过矩形的长和宽，注意检验。 三、思维跃迁篇解析 16. 【答案】2021 解题步骤： ① 因为是方程的根，所以，即； ② 对降次：； ③ 代入原式：； ④ 化简：。 【知识点睛】 ① 考点定位：一元二次方程的根的定义、降次思想； ② 解题方法：利用方程将高次幂逐步降为一次幂，再代入求值，避免求根的复杂计算； ③ 易错提醒：降次时要注意系数和符号，避免计算错误。 17. 【答案】 解题步骤： ① 方程的两根是矩形的长和宽，说明方程有两个正实数根； ② 首先判别式：，解得； ③ 两根之和，两根之积，均恒成立； ④ 当时，，两根相等，此时矩形为正方形，也符合题意； 综上，的取值范围是。 【知识点睛】 ① 考点定位：根的判别式、根与系数的关系、根的符号分布； ② 解题方法：矩形的长和宽为正实数，对应方程有两个正根，需满足三个条件：、两根之和为正、两根之积为正； ③ 易错提醒：不要漏掉的前提。 18. 【答案】且 解题步骤： ① 方程有两个实数根，所以，且二次项系数不为0； ② 计算，解得； ③ 由根与系数的关系：，； ④ 代入条件：，即，配方得，恒成立； ⑤ 又二次项系数为1≠0，综上的取值范围是。 【知识点睛】 ① 考点定位：根的判别式、根与系数的关系； ② 解题方法：先由确定参数范围，再代入条件验证； ③ 易错提醒：不要忽略的前提，直接根据不等式求解。 19. 【答案】应将每千克西瓜的售价降低0.3元或0.2元（若要尽量多销售，选择降价0.3元） 解题步骤： ① 设每千克西瓜的售价降低元，则每千克利润为元，每天销量为千克； ② 根据“总利润=每千克利润×销量-固定成本”列方程： ； ③ 整理得：，即，化简得； ④ 因式分解得，解得，； ⑤ 两个解均符合实际意义。 答：应将每千克西瓜的售价降低0.2元或0.3元。 【知识点睛】 ① 考点定位：一元二次方程实际应用（利润问题）； ② 解题方法：利润=（售价-进价）×销量-固定成本；设降价为，正确表示出销量和单件利润； ③ 易错提醒：不要忘记减去固定成本；降价0.1元多售40千克，要正确换算销量。 20. 【答案】(1) ；(2) 矩形面积为 解题步骤： (1) ① 设，则，由得； ② 即，整理得； ③ 解得，长度为正，所以，即。 (2) ① 长与宽的比为黄金分割数，宽为2，设长为，则； ② 解得； ③ 矩形面积。 【知识点睛】 ① 考点定位：一元二次方程的实际应用、黄金分割数学文化； ② 解题方法：根据比例关系列方程，求解后检验实际意义； ③ 易错提醒：分母有理化要正确，结果保留最简形式。 1 学科网（北京）股份有限公司 $