微专题圆锥曲线高考满分答题规范与易错复盘导学案-2027届高三数学一轮复习

微专题：圆锥曲线高考满分答题规范与易错复盘 学生版 北师大版（2019）选择性必修第一册·第二章 圆锥曲线 ｜ 定位：课堂微拓展 内容导航：明·模型定位｜记·模型与结论｜破·典型题型｜结·方法总结｜练·分层小训练 第一部分　明·模型定位 教材位置：北师大版（2019）选择性必修第一册第二章的例题，解的过程是完整的：设直线、代入、整理、写判别式、写韦达、代回求值，一步不缺。考场上写出来的却常常只剩首尾——「设直线 ，联立得……」之后直接跳到答案。本讲不教新方法，只把教材例题里那些被省略的行补回来，并说明每一行各管什么。 考查形式：圆锥曲线解答题给分点几乎全落在一条链上：联立后的整式方程、判别式与参数范围、两根和与两根积、向量或面积条件的坐标翻译、结论与取舍。链上断一处，后面算对也接不上。选择填空里的同型题，失分集中在两处：判别式漏写导致参数范围空着，设法单一漏掉竖直（或水平）直线导致漏解。本讲按四组题型把这四处逐一拆开，配纠错例题与分层练习，供一轮复习复盘使用。 第二部分　记·模型与结论 一、阅卷看的是过程能否追溯，不是答案 一道圆锥曲线解答题，答案通常只占末尾一分。中间的分数挂在几个可以辨认的动作上：直线方程设出来没有，联立后的整式方程写全没有，判别式与参数范围交代没有，韦达定理写对没有，条件翻成坐标式没有。阅卷按这些点找分，找不到就跳过。 由此出现一种常见倒挂：答案对、步骤跳的卷子，得分低于答案错、步骤全的卷子。规范不是形式要求，它把思路拆成旁人能复核的小步，也给自己的回头检查留下坐标。 二、联立的四行写法：设、代、整理、标注 第一行设直线，写明用哪种设法，并交代为什么不漏情形，这一点在第六条展开。第二行代入，把直线方程代进曲线方程，写成一个等式，不跳步。第三行整理，化成标准的一元二次方程，把二次项系数、一次项系数、常数项摆明。第四行标注，写出二次项系数不为零与判别式为正，并解出参数范围。 四行齐全，后面的韦达与弦长才有出处。缺第三行，第四行的判别式就没有依附的对象；缺第四行，写两根和与两根积时不知道参数该落在哪个范围里。 三、判别式不是形式，它同时给出参数范围 判别式一次写，办成两件事：说明交点确实有两个（或一个、或没有），同时把参数的范围算成不等式。范围一旦写下，后面的结论都在这个范围内做，取舍时直接拿来筛，不必另起一段。 相切写判别式等于零，两个交点写大于零，没有交点写小于零。三种都要落成具体的式子，只写「由题意」三个字，等于把这一分交出去。 判别式里常含参数，解不等式时先化成最简形式再比较端点。若判别式恒正，也要写一句「对一切实数成立」，把前提钉住。 四、韦达定理的书写：先判别式，再两根 韦达定理成立的前提是方程有两个实根，所以顺序固定：先写判别式及其范围，再写两根和与两根积。符号跟着三个系数走，整理时把二次项系数化正，负号出错的机会少一半。 两项成对写。只用两根和、不写两根积，遇到 类条件就接不上；反过来只用两根积亦然。中点与弦长用两根和，数量积与斜率积用两根积，两式在手，翻译条件时随手取用。 五、向量条件的三种翻译 向量条件先翻成坐标式，再与韦达对接。常见三种： 其一，垂直，即数量积为零：。其中 要用 展开成 ，三项都要写全。 其二，定比分点，即两向量共线： 给出 与同型的纵坐标关系，两个坐标的关系都要写。 其三，向量和，即平行四边形或中点： 给出 ，把点 的坐标代回曲线方程，得到参数之间的关系。 三种翻译都排在联立之后，因为都要借用两根和与两根积。把翻译写在联立之前，式子里混着四个未知量，越化越乱。 六、设法决定覆盖范围：两种设法各管一半 设 ，覆盖不了竖直线 ；设 ，覆盖不了水平线 。题目没有额外限制时，设法之后补一句「斜率不存在（或斜率为零）时单独验证」，这一句就是防漏解的那道闸。 经验上，椭圆、双曲线过焦点或过 轴上定点的问题，设 更省事：竖直线恰好是必须单独验的那条，而这个设法把它含进来了，只需补一句说明。抛物线开口向右时同理。 七、结果取舍：回代验三件事 解出参数之后，把每个值代回原题验三件事：判别式是否仍为正（或恰为零），点是否在曲线上或曲线内，几何位置是否符合题意（同支还是分居两支、在内部还是外部）。任一件不成立，该值舍去，并把舍去的理由写成一句话。 三件事都过，就都留。题目没有给出足以排除的条件时，两个值都写进答案；只写一个，按分类讨论未完成扣分。 舍与留都要有字。把解轻轻划掉，卷面上看不到理由，这一步的分给不出；写明「因为此时判别式为负，所以舍去」，同样一句话，性质不同。 八、一份满分卷的骨架 设直线并交代特殊情况，联立并整理成标准式，写二次项系数与判别式及参数范围，写韦达，翻译条件成坐标式，代韦达化简，得出结论，回代取舍，作答。九步，缺一步扣一处。 篇幅上，主体三到五行，化简两到三行，结论一行。步骤全而不啰嗦，是这一讲要达到的样子：让阅卷的人顺着行次找到每个给分点，也让自己的错误在一半处就能发现。 第三部分　破·典型题型 题型一　联立与韦达：四行写全，一步不省 【解题技巧】这一型的题不难，难在把过程写成旁人能复核的样子。做题时把四行写在卷面的显眼处：设、代、整理、标注。整理后的整式方程与判别式是后面所有结论的出处，写清楚，每一步都能回头查。 【典例1-1】（原创改编·对标解答题第一问的书写要求） 已知椭圆 ，直线 与 交于 、 两点，且 ，求 的值。 【变式1-1】（原创改编·直线与双曲线公共点个数） 已知直线 与双曲线 恰有一个公共点，求 的值。 【变式1-2】（原创改编·抛物线焦点弦） 已知抛物线 的焦点为 ，过 的直线 与 交于 、 两点，且 ，求 的方程。 题型二　向量条件的翻译：先联立，再代坐标 【解题技巧】这一型的分水岭不在翻译，而在翻译的时机。先把直线与曲线联立、拿到两根和与两根积，再把向量条件写成坐标式，两式一对接就化简。顺序反过来，坐标式里混着四个未知量，越化越乱。 【典例2-1】（原创改编·垂直条件的坐标翻译与定值证明） 已知椭圆 ，直线 与 交于 、 两点，且 （ 为原点）。证明：原点 到 的距离为定值。 【变式2-1】（原创改编·定比分点条件） 已知椭圆 ，过点 的直线 与 交于 、 两点，且 ，求 的方程与 。 【变式2-2】（原创改编·数量积为零求参数） 已知椭圆 ，直线 与 交于 、 两点，且 （ 为原点），求 的值。 题型三　范围的讨论：设法与参数范围 【解题技巧】这一型的答案常常藏在「另一种设法」里。做题时先问一句：这条直线有没有可能是竖直的（或水平的）？把这一情形单独写出来验一次，再写通法。范围类的题反过来做：先把判别式解成参数的不等式，再用曲线本身的位置条件收窄。 【典例3-1】（原创改编·漏掉竖直线致无解） 已知椭圆 ，过点 的直线 与 交于 、 两点，且 ，求 的方程。 【变式3-1】（原创改编·过椭圆外定点的直线与交点个数） 已知椭圆 ，过点 的直线 与 交于两个不同的点，求 的斜率 的取值范围。 【变式3-2】（原创改编·双曲线两支各一个交点） 已知双曲线 ，直线 与 的左、右两支各有一个交点，求 的取值范围。 题型四　结果的取舍：算完必须回验 【解题技巧】这一型考的不是算，是判。解出参数之后，把每个值代回原题验三件事：判别式、点的位置、几何意义。任一件不成立就舍，并把理由写成一句话。若没有排除的理由，两个值都留，分类讨论写完整。 【典例4-1】（原创改编·数量积为零定点问题） 已知抛物线 ，直线 与 交于 、 两点，且 （ 为原点）。 （1）证明 过定点； （2）求 面积的最小值。 【变式4-1】（原创改编·判别式筛掉增解） 已知抛物线 ，过点 的直线 与 交于 、 两点，且 （ 为原点），求 的方程。 【变式4-2】（原创改编·分类讨论决定取舍方向） 已知椭圆 的离心率为 ，求 的值。 第四部分　结·方法总结 复盘这一讲，考场上的失分点集中在六处，按出现顺序记。 一、联立不写整式方程 判别式无处依附，后面的分都接不上。改法：整理成标准形式，三个系数写出来。 二、判别式只写「由题意」 参数范围空着，取舍时无从下手。改法：算出判别式，解不等式，把范围写在卷面右侧。 三、韦达只写两根和 数量积类条件接不上。改法：两根和与两根积成对写，符号跟着三个系数走。 四、先翻译条件再联立 式子里混着四个未知量，越化越乱。改法：先联立取韦达，再代坐标式。 五、设法单一漏竖直（水平）线 最值常在该处取到。改法：设法之后补一句单独验证，把竖直线或水平线写进卷面。 六、结果不取舍或舍错 判别式、曲线内外、同支还是两支，三处逐一回代。改法：舍与留都写一句理由。 六处的共同点：都不是算错，而是没写。规范题的分不在难度上，在完整性上。把这六处写成考场上的固定动作，圆锥曲线的解答题就能从「算得出」变成「拿得满」。 第五部分　练·分层小训练 一、基础小练（20 分钟） 1．（单选）已知直线 与椭圆 有两个不同的交点，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 或 2．（单选）已知直线 与抛物线 交于 、 两点，则 （　　） A． B． C． D． 3．（单选）直线 被椭圆 截得的弦长为（　　） A． B． C． D． 4．（单选）已知直线 与椭圆 交于 、 两点，则 （　　） A． B． C． D． 5．（多选）关于圆锥曲线解答题的书写，下列说法正确的是（　　） A．联立后要写成标准的一元二次方程 B．韦达定理只写两根和即可 C．判别式同时给出参数的范围 D．设 时竖直方向不用讨论 6．（填空）已知直线 与椭圆 相切，则 ______。 7．（解答）已知抛物线 ，过点 的直线 与 交于 、 两点，求 的最小值，并求此时 的方程。 二、培优小练（20 分钟） 8．（解答）已知抛物线 的焦点为 ，过 的直线 与 交于 、 两点，求 面积的最小值（ 为原点）。 9．（解答）已知椭圆 ，直线 与 交于 、 两点，且 （ 为原点），求 面积的最大值。 10．（解答）已知椭圆 的右焦点为 ，过 的直线 与 交于 、 两点，求 面积的最大值（ 为原点）。 11．（解答）已知双曲线 ，直线 与 交于 、 两点，若 、 在 的同一支上，求 的取值范围。 12．（解答）已知椭圆 ，、 是 上两点， 为原点，四边形 为平行四边形，且点 在 上。求原点 到直线 的距离的取值范围。 答题规范与复盘 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题：圆锥曲线高考满分答题规范与易错复盘 教师解析版 北师大版（2019）选择性必修第一册·第二章 圆锥曲线 ｜ 定位：课堂微拓展 内容导航：明·模型定位｜记·模型与结论｜破·典型题型｜结·方法总结｜练·分层小训练 第一部分　明·模型定位 教材位置：北师大版（2019）选择性必修第一册第二章的例题，解的过程是完整的：设直线、代入、整理、写判别式、写韦达、代回求值，一步不缺。考场上写出来的却常常只剩首尾——「设直线 ，联立得……」之后直接跳到答案。本讲不教新方法，只把教材例题里那些被省略的行补回来，并说明每一行各管什么。 考查形式：圆锥曲线解答题给分点几乎全落在一条链上：联立后的整式方程、判别式与参数范围、两根和与两根积、向量或面积条件的坐标翻译、结论与取舍。链上断一处，后面算对也接不上。选择填空里的同型题，失分集中在两处：判别式漏写导致参数范围空着，设法单一漏掉竖直（或水平）直线导致漏解。本讲按四组题型把这四处逐一拆开，配纠错例题与分层练习，供一轮复习复盘使用。 第二部分　记·模型与结论 一、阅卷看的是过程能否追溯，不是答案 一道圆锥曲线解答题，答案通常只占末尾一分。中间的分数挂在几个可以辨认的动作上：直线方程设出来没有，联立后的整式方程写全没有，判别式与参数范围交代没有，韦达定理写对没有，条件翻成坐标式没有。阅卷按这些点找分，找不到就跳过。 由此出现一种常见倒挂：答案对、步骤跳的卷子，得分低于答案错、步骤全的卷子。规范不是形式要求，它把思路拆成旁人能复核的小步，也给自己的回头检查留下坐标。 二、联立的四行写法：设、代、整理、标注 第一行设直线，写明用哪种设法，并交代为什么不漏情形，这一点在第六条展开。第二行代入，把直线方程代进曲线方程，写成一个等式，不跳步。第三行整理，化成标准的一元二次方程，把二次项系数、一次项系数、常数项摆明。第四行标注，写出二次项系数不为零与判别式为正，并解出参数范围。 四行齐全，后面的韦达与弦长才有出处。缺第三行，第四行的判别式就没有依附的对象；缺第四行，写两根和与两根积时不知道参数该落在哪个范围里。 三、判别式不是形式，它同时给出参数范围 判别式一次写，办成两件事：说明交点确实有两个（或一个、或没有），同时把参数的范围算成不等式。范围一旦写下，后面的结论都在这个范围内做，取舍时直接拿来筛，不必另起一段。 相切写判别式等于零，两个交点写大于零，没有交点写小于零。三种都要落成具体的式子，只写「由题意」三个字，等于把这一分交出去。 判别式里常含参数，解不等式时先化成最简形式再比较端点。若判别式恒正，也要写一句「对一切实数成立」，把前提钉住。 四、韦达定理的书写：先判别式，再两根 韦达定理成立的前提是方程有两个实根，所以顺序固定：先写判别式及其范围，再写两根和与两根积。符号跟着三个系数走，整理时把二次项系数化正，负号出错的机会少一半。 两项成对写。只用两根和、不写两根积，遇到 类条件就接不上；反过来只用两根积亦然。中点与弦长用两根和，数量积与斜率积用两根积，两式在手，翻译条件时随手取用。 五、向量条件的三种翻译 向量条件先翻成坐标式，再与韦达对接。常见三种： 其一，垂直，即数量积为零：。其中 要用 展开成 ，三项都要写全。 其二，定比分点，即两向量共线： 给出 与同型的纵坐标关系，两个坐标的关系都要写。 其三，向量和，即平行四边形或中点： 给出 ，把点 的坐标代回曲线方程，得到参数之间的关系。 三种翻译都排在联立之后，因为都要借用两根和与两根积。把翻译写在联立之前，式子里混着四个未知量，越化越乱。 六、设法决定覆盖范围：两种设法各管一半 设 ，覆盖不了竖直线 ；设 ，覆盖不了水平线 。题目没有额外限制时，设法之后补一句「斜率不存在（或斜率为零）时单独验证」，这一句就是防漏解的那道闸。 经验上，椭圆、双曲线过焦点或过 轴上定点的问题，设 更省事：竖直线恰好是必须单独验的那条，而这个设法把它含进来了，只需补一句说明。抛物线开口向右时同理。 七、结果取舍：回代验三件事 解出参数之后，把每个值代回原题验三件事：判别式是否仍为正（或恰为零），点是否在曲线上或曲线内，几何位置是否符合题意（同支还是分居两支、在内部还是外部）。任一件不成立，该值舍去，并把舍去的理由写成一句话。 三件事都过，就都留。题目没有给出足以排除的条件时，两个值都写进答案；只写一个，按分类讨论未完成扣分。 舍与留都要有字。把解轻轻划掉，卷面上看不到理由，这一步的分给不出；写明「因为此时判别式为负，所以舍去」，同样一句话，性质不同。 八、一份满分卷的骨架 设直线并交代特殊情况，联立并整理成标准式，写二次项系数与判别式及参数范围，写韦达，翻译条件成坐标式，代韦达化简，得出结论，回代取舍，作答。九步，缺一步扣一处。 篇幅上，主体三到五行，化简两到三行，结论一行。步骤全而不啰嗦，是这一讲要达到的样子：让阅卷的人顺着行次找到每个给分点，也让自己的错误在一半处就能发现。 第三部分　破·典型题型 题型一　联立与韦达：四行写全，一步不省 【解题技巧】这一型的题不难，难在把过程写成旁人能复核的样子。做题时把四行写在卷面的显眼处：设、代、整理、标注。整理后的整式方程与判别式是后面所有结论的出处，写清楚，每一步都能回头查。 【教学提醒】讲这一型时，先让学生照着四行抄一遍典例，再自己写变式，写完同桌互批：只查四行齐不齐，不看答案。四行写成习惯之后，算错的概率会明显下降。 【典例1-1】（原创改编·对标解答题第一问的书写要求） 已知椭圆 ，直线 与 交于 、 两点，且 ，求 的值。 解析：按四行写。设直线 ；代入椭圆方程，得 。 两边乘 整理：。二次项系数 恒成立。 判别式 ，令 得 。这个范围先记在卷面右侧，后面解出的 逐个放回来验。 由韦达定理，，。 弦长用 ，这里 ，，故 。 令其等于 ，两边约去 ，得 ，即 ，。 回代：，两个值都满足判别式为正，均保留。 参考答案： 或 。 【学情易错提醒】两处。其一，省略整理这一步，直接从「联立得」跳到弦长公式，阅卷时找不到判别式的出处，这一分给不出。其二，解出 之后不回看范围，只要题目数据稍改，解出的值就可能落在 之外，此时必须舍去，不回看就无从发现。 【变式1-1】（原创改编·直线与双曲线公共点个数） 已知直线 与双曲线 恰有一个公共点，求 的值。 解析：先把二次项系数看清楚。代入得 ，乘 整理：。 情形一：二次项系数为零，即 。此时方程退化为一次方程 ，有唯一解。以 验：，，代回直线得交点为 ，确实只有一个。几何上，此时直线与一条渐近线平行。 情形二：二次项系数不为零，方程是二次方程。恰有一个公共点要求重根，即 ，得 ，。此时直线与双曲线相切。 两种情形各自独立，合起来共四个值。 参考答案： 或 。 【学情易错提醒】两处。其一，直接令判别式为零，只得到 两个值。「恰有一个公共点」在二次项系数为零时同样会发生，直线与渐近线平行时只有一个交点，漏掉这一情形就是漏解。其二， 时把唯一解 代回双曲线，得 ，点确实在曲线上；不代回，无法确认这一次方程的解不是增根。 【变式1-2】（原创改编·抛物线焦点弦） 已知抛物线 的焦点为 ，过 的直线 与 交于 、 两点，且 ，求 的方程。 解析：抛物线 中 ，焦点 。过 的直线设为 ，这一写法包含竖直线 （对应 ）。 代入得 ，即 。二次项系数为 ；判别式 对一切实数 成立。 由韦达定理，，。 焦点弦长写作 ，而 ，故 。 令 ，得 ，。 回代： 时 ，即 ； 时 ，即 。两条都满足判别式为正，均保留。 参考答案： 或 。 【学情易错提醒】两处。其一，设 ，竖直线 就落在讨论范围之外。本题两条答案都不是竖直线，结论侥幸没有丢；但设法上的缺口留着，换一道题就会漏解。其二， 恒正也要写一句，否则「判别式为正」在卷面上是空话，交点存在这一前提没有交代。 题型二　向量条件的翻译：先联立，再代坐标 【解题技巧】这一型的分水岭不在翻译，而在翻译的时机。先把直线与曲线联立、拿到两根和与两根积，再把向量条件写成坐标式，两式一对接就化简。顺序反过来，坐标式里混着四个未知量，越化越乱。 【教学提醒】讲这一型时把三种翻译并排写在黑板上：垂直、定比、向量和，各自配一行坐标式。学生常把三种混成一种，不管什么条件都写 。并排写一遍，对应关系就清楚了。 【典例2-1】（原创改编·垂直条件的坐标翻译与定值证明） 已知椭圆 ，直线 与 交于 、 两点，且 （ 为原点）。证明：原点 到 的距离为定值。 解析：联立：，乘 整理得 。 判别式 ，先留着，等垂直条件化简完再代回。 韦达：，。 翻译条件： 即 。由 得 ，三项都不能省。 代入化简：。 于是 ，得 。 距离 ，把 代入，，，与 无关。 回验：把 代回判别式， 恒成立，、 确实存在，定值成立。 参考答案：原点 到 的距离为定值 。 【学情易错提醒】三处。其一，题目给的 不是多余条件： 时 过原点，距离为零，垂直条件退化成原点在直线上的情形。其二，最后不代回判别式，「、 存在」就没有交代，定值可能是空条件下的产物。其三，化简 时漏掉负号，会得到 ，距离随之随 变化，与「定值」当场矛盾。 【变式2-1】（原创改编·定比分点条件） 已知椭圆 ，过点 的直线 与 交于 、 两点，且 ，求 的方程与 。 解析：点 满足 ，在椭圆内，过它的直线必与椭圆交于两点。设 ，这一写法包含竖直线 。 代入：，乘 整理得 。 判别式 恒成立。 韦达：，。 翻译条件： 且 ，纵坐标上给出 ，即 ；横坐标上给出 ，这一式留作校验。 两根和给出 ；两根积给出 ，即 。 两式消去 ：，约去得 ，即 ，，。 弦长：，代入 得 。 参考答案： 或 ，。 【学情易错提醒】两处。其一，只写纵坐标关系 就往下算，横坐标关系 没有交代。分点条件在两个坐标上同时成立，只用一半，另一半信息闲置，也失去了校验的机会。其二， 解出两个 ，对应两条关于 轴对称的直线，两条都要写；只取正号等于丢一半答案。 【变式2-2】（原创改编·数量积为零求参数） 已知椭圆 ，直线 与 交于 、 两点，且 （ 为原点），求 的值。 解析：联立：，乘 整理得 。 判别式 ，令 得 。 韦达：，。 翻译： 即 。由 得 。 于是 ，得 ，。 回验：，判别式 ，两个值都保留。 参考答案： 或 。 【学情易错提醒】两处。其一， 里的 一项漏掉，只剩 ， 的方程会变样，答案跟着错。其二， 落在 内，两个值都留；若不验范围，遇到 的数据会把增解写进答案。 题型三　范围的讨论：设法与参数范围 【解题技巧】这一型的答案常常藏在「另一种设法」里。做题时先问一句：这条直线有没有可能是竖直的（或水平的）？把这一情形单独写出来验一次，再写通法。范围类的题反过来做：先把判别式解成参数的不等式，再用曲线本身的位置条件收窄。 【教学提醒】这一型适合让学生先错一次。故意只设 ，一路算到左右两边常数对不上，再回头看漏了哪条直线。矛盾出现的位置，就是漏解的位置，这一步比讲十遍都管用。 【典例3-1】（原创改编·漏掉竖直线致无解） 已知椭圆 ，过点 的直线 与 交于 、 两点，且 ，求 的方程。 解析：先按通法。设 ，代入并乘 整理：。 判别式 恒成立。 弦长：。 令其等于 ：左边乘开是 ，右边乘开是 ，两边的 项完全相同，常数项一个 一个 ，对不上。这说明满足条件的直线没有斜率。 矛盾不是无解，是设法的覆盖范围不够。单独验竖直线 ：代入得 ，，，两点间距离为 ，正好符合。 参考答案：。 【学情易错提醒】两处。其一，算到两边常数项对不上，写「无解，故不存在这样的直线」，把唯一答案丢掉。其二，把 当成椭圆上的点：它满足 ，在椭圆内部，过它的直线必与椭圆交于两点，所以判别式恒正；换成椭圆外的定点，判别式就会给出 的范围，这一步的结论完全不同。 【变式3-1】（原创改编·过椭圆外定点的直线与交点个数） 已知椭圆 ，过点 的直线 与 交于两个不同的点，求 的斜率 的取值范围。 解析：点 满足 ，在椭圆外。设 。 代入：，乘 整理得 。 两个不同交点要求 ，得 ，即 或 。 再验竖直线 ：代入得 ，，交于两点，也满足「两个不同的点」。这条直线没有斜率，不在 的讨论范围里，作答时说明一句即可。 参考答案： 或 。 【学情易错提醒】两处。其一， 解成 ，不等号方向反了。用 回代检验：此时 ，确实没有交点，可见 不该在范围内。其二，题目问的是斜率的取值范围，竖直线无斜率，只能作补充说明；而 时 ，只有一个交点，等号取不到，写成含等号的形式就错了。 【变式3-2】（原创改编·双曲线两支各一个交点） 已知双曲线 ，直线 与 的左、右两支各有一个交点，求 的取值范围。 解析：代入：，乘 整理得 。 两支各一个交点，等价于两个交点的横坐标异号，即 。由韦达，。 分子 恒成立，故 等价于 ，即 。 再看判别式：，在 时每一项都为正，判别式自动为正，无需另求。 二次项系数为零的情形由严格不等式排除， 也确实与曲线交于两点。结论与 无关，取 验： 时交于 ，一左一右，符合。 参考答案：。 【学情易错提醒】两处。其一，用判别式单独求范围，得到的是含 的不等式，与「两支」这件事没有关系。判定两支的标准是 ，这一条比判别式更强。其二，结论与 无关这一点要在卷面上点明：分子恒正， 取任何值都不改变 的范围。 题型四　结果的取舍：算完必须回验 【解题技巧】这一型考的不是算，是判。解出参数之后，把每个值代回原题验三件事：判别式、点的位置、几何意义。任一件不成立就舍，并把理由写成一句话。若没有排除的理由，两个值都留，分类讨论写完整。 【教学提醒】讲这一型时把「舍」写成固定句式：因为……，所以舍去。学生常把舍写成把字划掉，卷面上看不出理由，这一步的分给不出。句式练两遍，格式就稳了。 【典例4-1】（原创改编·数量积为零定点问题） 已知抛物线 ，直线 与 交于 、 两点，且 （ 为原点）。 （1）证明 过定点； （2）求 面积的最小值。 解析：设 ，这一设法包含竖直线（）。 代入：，即 ，二次项系数为 ，判别式 。 韦达：，。 翻译：。由 得 。 代入得 ， 或 。 取舍： 时 过原点，方程 的两根为 与 ，其中一个交点就是 ，向量 或 是零向量，垂直条件失去意义，舍去。 时 恒过 ，且 恒成立。 第（2）问： 到 的距离 ，。 面积 ，等号在 时取到，此时 。 参考答案：（1） 恒过定点 ；（2） 面积的最小值为 ，此时 。 【学情易错提醒】三处。其一， 不舍去，把原点当成交点之一，垂直条件失去意义。其二， 与 都留，定点就写成两个，与「过定点」直接矛盾。其三，第（2）问里 对应竖直线，点线距公式照常成立，不需要另设一套。 【变式4-1】（原创改编·判别式筛掉增解） 已知抛物线 ，过点 的直线 与 交于 、 两点，且 （ 为原点），求 的方程。 解析：设 ，这一设法包含竖直线 （）。 代入：，即 ，判别式 。 韦达：，；。 翻译：，即 ，。 取舍：，要求 或 。 约等于 ，满足； 约等于 ，落在 与 之间，判别式为负，两个交点不存在，舍去。 参考答案：。 【学情易错提醒】两处。其一， 不验判别式就写进答案。这个值落在判别式为负的区间，「、 两点」的前提已经破，答案也就不成立。其二，设 只覆盖有斜率的直线；本题竖直线 使 ，只有一个交点，本来就不合题意，但这一判断要靠单独验，不能默认略过。 【变式4-2】（原创改编·分类讨论决定取舍方向） 已知椭圆 的离心率为 ，求 的值。 解析：题目没有说明焦点在哪条轴上， 与 的大小决定长轴的方向，需要分两类。 情形一：。此时 ，，，，得 ，落在 内。 情形二：。此时 ，，，，得 ，落在 内。 两类各得一解，都落在各自的限定范围里，均保留。回代核对： 时 ，，，离心率为 ； 时 ，，，离心率同为 ，与题设一致。 参考答案： 或 。 【学情易错提醒】两处。其一，默认焦点在 轴上，只算出 。题干只给了标准式与离心率，长轴方向未定，漏一类就少一半答案。其二， 时 ，，，离心率为 ，与题设一致；不回代核对，容易把 误归到 那一类。 第四部分　结·方法总结 复盘这一讲，考场上的失分点集中在六处，按出现顺序记。 一、联立不写整式方程 判别式无处依附，后面的分都接不上。改法：整理成标准形式，三个系数写出来。 二、判别式只写「由题意」 参数范围空着，取舍时无从下手。改法：算出判别式，解不等式，把范围写在卷面右侧。 三、韦达只写两根和 数量积类条件接不上。改法：两根和与两根积成对写，符号跟着三个系数走。 四、先翻译条件再联立 式子里混着四个未知量，越化越乱。改法：先联立取韦达，再代坐标式。 五、设法单一漏竖直（水平）线 最值常在该处取到。改法：设法之后补一句单独验证，把竖直线或水平线写进卷面。 六、结果不取舍或舍错 判别式、曲线内外、同支还是两支，三处逐一回代。改法：舍与留都写一句理由。 六处的共同点：都不是算错，而是没写。规范题的分不在难度上，在完整性上。把这六处写成考场上的固定动作，圆锥曲线的解答题就能从「算得出」变成「拿得满」。 第五部分　练·分层小训练 一、基础小练（20 分钟） 1．（单选）已知直线 与椭圆 有两个不同的交点，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 或 解析：联立：，乘 整理得 。 两个不同交点要求 ，即 ，解得 。 参考答案：A 2．（单选）已知直线 与抛物线 交于 、 两点，则 （　　） A． B． C． D． 解析：代入得 ，整理成 。 由韦达定理，。常数项就是两根之积，符号跟着常数项，不再另加负号。 参考答案：A 3．（单选）直线 被椭圆 截得的弦长为（　　） A． B． C． D． 解析：联立：，乘 整理得 。 判别式 ，弦长 。 参考答案：A 4．（单选）已知直线 与椭圆 交于 、 两点，则 （　　） A． B． C． D． 解析：联立：，乘 整理得 。 由韦达定理，。常数项为负，两根之积为负，两条交点分居 轴两侧。 参考答案：B 5．（多选）关于圆锥曲线解答题的书写，下列说法正确的是（　　） A．联立后要写成标准的一元二次方程 B．韦达定理只写两根和即可 C．判别式同时给出参数的范围 D．设 时竖直方向不用讨论 解析：A 正确：标准形式是判别式与韦达的共同前提，二次项系数为零时方程退化，需另行讨论。 B 错误：两根和与两根积由三个系数共同决定，一个关系推不出另一个，两项都要写。 C 正确：判别式为正解出的不等式就是参数范围，一步两用。 D 错误： 覆盖不了竖直线 ，这一情形必须单独验证。 参考答案：AC 6．（填空）已知直线 与椭圆 相切，则 ______。 解析：联立：，乘 整理得 。 相切即重根，，得 ，。 参考答案： 7．（解答）已知抛物线 ，过点 的直线 与 交于 、 两点，求 的最小值，并求此时 的方程。 解析：设 ，包含竖直线 。代入得 ，判别式 恒成立。 弦长 。 因为 ，所以 ，等号在 时取到，故 的最小值为 ，此时 。 参考答案： 的最小值为 ，此时 。 二、培优小练（20 分钟） 8．（解答）已知抛物线 的焦点为 ，过 的直线 与 交于 、 两点，求 面积的最小值（ 为原点）。 解析：焦点 ，设 ，包含竖直线。 代入得 ，，。 到 的距离 ，。 面积 ，等号在 时取到，此时 轴。 参考答案：最小值为 ，此时 。 9．（解答）已知椭圆 ，直线 与 交于 、 两点，且 （ 为原点），求 面积的最大值。 解析：联立得 ，，。 垂直条件给出 ，同典例 2-1 的化简，得 。 此时 到 的距离满足 ，即 为定值；判别式化为 。 弦长 ，于是 。 令 ，记 ，求导得 在 处取最大值 。 故 ，等号在 时取到。 参考答案：最大值为 ，此时 。 10．（解答）已知椭圆 的右焦点为 ，过 的直线 与 交于 、 两点，求 面积的最大值（ 为原点）。 解析：由 ， 得 ，。设 ，包含竖直线。 代入得 ， 恒成立，。 面积 。 令 ，则 ，。由基本不等式 ，等号在 时取到，此时 满足 。 代入得 ，等号在 时成立，即 ，。 参考答案：最大值为 ，此时 的斜率为 。 11．（解答）已知双曲线 ，直线 与 交于 、 两点，若 、 在 的同一支上，求 的取值范围。 解析：代入：，乘 整理得 。 同一支等价于两个交点的横坐标同号，即 。由韦达，，故 ，即 。 交点存在要求 ，即 。 两条件合起来 ，解得 。二次项系数为零即 ，已被严格不等式排除。 参考答案： 或 。 12．（解答）已知椭圆 ，、 是 上两点， 为原点，四边形 为平行四边形，且点 在 上。求原点 到直线 的距离的取值范围。 解析：设 （），联立得 ，。 平行四边形 给出 的坐标：，而 。 点 在椭圆上：，化简得 ，即 。 距离 ，于是 。 当 时 ，；随 增大， 单调递增并以 为极限，取不到 。故 的取值范围是 。 参考答案：。 答题规范与复盘 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $