专题03 圆锥曲线大题（九大题型）（高效培优期中专项训练）数学北师大版高二选择性必修第一册

可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02 圆锥曲线大题（九大题型） 考点归纳 考点01直线与圆锥曲线的位置关系 考点02弦长、焦点弦问题 考点03中点弦问题 考点04参数范围及最值 考点05定点、定值 考点06圆锥曲线中的定直线问题 考点07向量问题 考点08定义相关问题 考点09新定义问题 考点专练 考点01直线与圆锥曲线的位置关系 一、解答题 x2.y2 1.己知椭 E:+万1(a>>0)的离心率为，左、右焦点分别为F、5,点到E的4个顶 点的距离的中位数为2. (1)求E的方程： (2)过点作斜率存在且不为零的直线与E交于两点A,B, (i)若AE,AF的斜率分别为k,k2,当k=5k时，求AB: (ⅱ)记线段AB的中点为N,O为坐标原点，直线ON交直线x=4于点M,直线MF与E交于C、D 两点，求四边形ACBD面积的取值范围. 2. 已知椭圆E:二+a>b>0过点A3,0,焦距为2发 (1)求椭圆E的方程； (2)过点P(L,0)且不与x轴重合的直线1交椭圆E于两点C,D,连接CO并延长交椭圆E于点M,直线 AM与I交于点V,Q为OD的中点，其中O为原点设直线NQ的斜率为k,求k的最大值 1/25 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.在直角坐标系xOy中，点F(-1,0),动点P在直线x=5的左侧，且到直线x=5的距离恒为10-V5PF, 记P的轨迹为C. (1)求C的方程： 2)设不经过F的直线1的方程为y=+m(k>0),已知1交C于M,N两点，设M(:,),N(x,), 且x+x号的值与m的值无关。 (i)求k的值： (i)是否存在实数m,使得∠FMN=2∠FNM？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由. x2,y2 4.己知椭圆C京+？=1(a>h>)的离心率为写，以其左顶点K为圆心，V6为半径作圆K,圆K交椭 3 圆于AB两点，且线段AB中点的横坐标为2 (1)求椭圆C的标准方程； 9 (2)圆K交直线x=-2于C、D两点，点p在线段CD上，过点p作椭圆的两条不同切线PE、PFE、F 为切点)，求△PEF面积的取值范围 x2.y2 5.已知椭圆c:4+厅=1(6>0)，且焦点在，轴上，过点(-2，) (1)求椭圆C的方程： (2)过点P(0,-2)的直线1与椭圆交于M,N两点，O为坐标原点，若S.w=V2,求直线I的方程及弦长 MN. 6已知能厦C号+茶=a>6>0的右您点为5,0叭离心年为写 (1)求椭圆C的标准方程； (2)若动点P(o,)为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程. 7已知双曲线p:2- =1,0为原点. 2 (1)求「的右顶点到一条渐近线的距离； (2)若点P在第一象限且Pr,若P、E(-山，0)、F(2,0)为一个等腰三角形的三个顶点，求点P的横坐标： (3)过双曲线右顶点A作两条相互垂直的直线，分别与双曲线交于M、N两点，求证：直线MN过定点， 并求出定点坐标。 2/25 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8.已知双陆线「：x-号1,0为坐标原点 2 (1)求「的右焦点到渐近线的距离： (2)若点P是「上位于第一象限的一点，且P、E(-山，0)、F(2,0)为一个等腰三角形的三个顶点，求点P的 横坐标： (3)若过点(0，)的直线与「交于不同的两点A、B,求OAOB的取值范围. 9.已知抛物线C:y=2pr(p>0)与直线y=2x在第一象限交于点P,O为坐标原点，O=2W5 (1)求C的方程. (2)已知点T(6,0),直线PT与C交于另外一点2.若C上恰有4个不同的点M1,M2,M,M4,使得 △M,Pg,△M,P9,△M,P9,△M,PO的面积均为定值S,求S的取值范围， (3)已知点A,B是C上异于P的两点，且以AB为直径的圆过点P,证明：直线AB过定点， 10.已知点A(2,1)在抛物线C:x2=2p(p>0)上，过点A作抛物线C的切线交y轴于点B. (1)求抛物线C及切线AB的方程： (2)过抛物线C的焦点F作直线IAB,且l与C交于P,Q两点，求△PQB的面积. 考点02弦长、焦点弦问题 一、解答题 x2,y2 1.已知椭圆c:京+F=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F(仁1,0)，5,0)，长轴长为4， (1)求椭圆C的标准方程： (2)若直线L:x+y-1=0与椭圆C相交于M,N两点，求△MN的面积. 已知F,E分别为椭圆C:+左1Q>b>0)的左、右焦点，椭圆c的离心率为，过F且匪 长轴的椭圆C的弦长为3。 (1)求椭圆C的标准方程： (2)过F的直线与椭圆C相交的交点A、B与右焦点F2所围成的三角形的内切圆面积是否存在最大值？若 存在，试求出最大值；若不存在，说明理由 3.设复数2=x+ⅵ(x,yER)与复平面上点P(x,y)对应.设复数Z满足条件Z-V+Z+V=4、动 点P(x,)的轨迹为椭圆T.椭圆T的短轴端点分别为A,B(如图)·直线AM,BM分别与椭圆T交于 3/25 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 ,F两点，其中点Mm,2)满足m≠0且m≠士5 A (1)求椭圆「的方程： (2)证明直线EF与'轴的交点N的位置与m无关，并求出点N的坐标： (3)若△BME面积是△AMF面积的5倍，求m的值. 4.已知防园方程E:香号1的先蛋点为p能膜￡上一点4位于第一象限点4关于鼠点的时你点 记作点B,直线BF与椭圆E的另一交点为C,且点C关于原点O的对称点为D, (1)设直线BC,AC的斜率分别为k,k,求k·k2的值 (2)求△BCD面积的最大值. 5.己知动圆C与圆C:(c-+y2=9内切，同时与圆C2:(x++y=1外切，圆心C的轨迹为曲线E, A(2,0),B(-1,0)」 (1)求曲线E的方程； ,12V5 2]直线，经过B与曲线E交于M'N两点，AAMN的面积为5，求直线，方程： 3)设P(,%),(以≠0)为曲线E上一点，在P处切线为. (i)证明：切线马的方程3xox+4yy-12=0 (i)若切线马交直线2：x=2于点Q,PA与BQ交于点R,O为坐标原点，求OR的最小值. x2,y2 3 6.己知椭圆c:+存=1(a>b>0)的离心率为2，且经过点A(0,5),坐标原点为O (1)求椭圆C的方程； (2)点P,Q是椭圆C上两个不同的点.若三角形AQ的垂心为O,求三角形APQ的面积. 乙，设双曲线的方程为x片引，其左、右焦点分别为F、E,过E作斜率不为零的直线，与双曲线 4/25 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 T交于A、B两点. (1)写出双曲线「的离心率以及两条渐近线的夹角： (2)若点A在第一象限，且AE上4，求AB的长： (3)设1'：x=t(其中1∈(-l,)),过A、B分别作1'的垂线，垂足分别为C、D.是否存在t,使得直线 AD与BC的交点总在x轴上？若存在，求出所有符合条件的的值；若不存在，说明理由. 8.已知动点M(k,)与定点FB2.0)的距离与它到定直线1：x-33 2 的距离的比是常数2： (1)求动点M的轨迹方程： (2)过上述轨迹上一点P作轨迹的切线与两直线y=±x分别交于A,B两点，证明：三角形AOB的面积是 定值。 9.设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过点P(4,0)的动直线1交抛物线C于A,B两点，点T(3,2). 当直线AT垂直于x轴时，AF=5. (1)求抛物线C的标准方程： (2)求△FAB的面积的最小值： (3)若直线FT平分∠AFB,求直线的斜率， 10.若O为坐标原点，A、B为抛物线y=2x上不同的两点，直线OA、OB的斜率分别为k,k2, 6=- 41 (1)证明直线AB恒过定点M;并求出定点M坐标： (2)若抛物线y=2x的焦点为F,求△ABF面积的最小值；并求出△ABF面积取最小值时的直线AB方程. 考点03中点弦问题 一、解答题 1.已知椭圆。+左=a>6>0)的离心率e=2 x2y2 ,点(2,2)在椭圆上. (1)求椭圆的标准方程： (2)椭圆上的两点A,B关于直线2r-y-1=0对称，求弦AB的中点坐标. x2.y2 √2 2.已知椭圆E:京+F=1(a>b>0)过点(0,5)，离心率为 (1)求椭圆E的方程： 5/25 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2)过点M(V2,的直线1与椭圆交于A,B两点，若点M为线段AB的中点，求直线1的方程： (3)过点N(2,0)的直线1与椭圆交于C,D两点，若原点O总在以CD为直径的圆内，求直线1斜率的取值范 围 3. 已知椭圆C:。+方=a>b>0,R,月分别为C的左有焦点，点M52在C上，且M,⊥x轴。 (1)求C的标准方程； (2)过点V的直线与椭圆C交于P,Q两点， (i)若N号)是p0的中点，求直线P0的方程， (ⅱ)若N是椭圆C的右焦点E,且PN=AN@,A,B为椭圆的左、右顶点，设△4PB和△PBQ的面积为 S,S2:当1∈[，3]时，求S,的取值范围. 4.已知椭圆C的左、右顶点分别为(22,0)，(22,0)，点P2,1)在C上， (1)求椭圆C的离心率： (2)A,B两点是椭圆C上的两个动点，且直线AP的斜率与直线BP的斜率和为0，若C在点P(2,)处的切线 PQ交直线AB于Q,M为AB的中点，O为坐标原点， (i)证明：OM∥PQ: (i)记△APM,△QPM的面积分别为S,S,当S,S,最大时求直线AB的方程. x2 y 5.已知椭圆c:京+F=1(a>b>0)的离心率为了，且过点P0,5): (1)求C的标准方程； (2)设0为坐标原点，D(-3,0),直线x=少+2（≠0）与C交于A,B两点，线段AB的中点为N,△ABD 的外心为M,直线OM的斜率为k,直线ON的斜率为k2. (i)试用t表示点N的坐标； K ()试判断无，是否为定值.若是，求出该定值；若不是，请说明理由。 x2y2 V2 6.已知椭圆B:。+F-1(a>b>0)的一个焦点为F(L0),离心率为2· (1)求椭圆E的方程： 6/25 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)过点E作斜率为k(k≠0)的直线交椭圆E于两点A,B,AB的中点为M,设O为原点，射线OM交椭 圆E于点C.当△ABC与△ABO的面积相等时，求k的值， x2 y2 4v15 7.已知双曲线c:京=1(a>0,b>0)的店轴长为2，离心率为S. (1)求C的方程： (2)若直线y=5x-1与C交于A'B两点，线段4B的中点为D'O为坐标原点，求OD: 8已表双食饭c号若=0>06>0M面为2N5:直线1-5y-0的颜角是有线0角的，的， 其中B(0,b) D (1)求C的方程： (2)是否存在过点D的直线I与C交于M,N两点，使得△BMN构成以B为顶点的等腰三角形？若存在，求 出所有直线的方程；若不存在，请说明理由. 9.在平面直角坐标系xOy中，己知曲线E:(+x+)=0,直线1：y=+b与E交于三个不同的点 A,B,C. a若6求4的取值范同。 (2)若b=1,AB=BC,求k的值. 10,已知0为坐标原点，椭圆C+广 京+京=1(a>b>0)与抛物线r:x=2pp>0)在第一象限的交点为 A(4,),其中椭圆的长轴长是短轴长的两倍。 (1)求椭圆C和抛物线「的标准方程； (2)设直线I:mr+4y-6=0交抛物线「于两点P,Q,若P,Q的中点R在椭圆C上，求R的坐标。 考点04参数范围及最值 一、解答题 x2,y2 1.已知椭圆京+-1(a>b>0)的左、右焦点分别为F,F,左、右顶点分别为4：4，椭圆上动点p 满足点P到点F的距离的最大值为3，且该椭圆的离心率为2， (1)求该椭圆的标准方程. 7/25 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)过该椭圆的右焦点F作斜率不为0的直线I交该椭圆于M,N两点，设直线M4与NA,交于点T,证明： 点T在定直线上 (3)在(2)的条件下，求∠4T4,的最大值. 之在平百白角生标系0中，箱c前一个生点为F同，高心为识 (1)求C的方程： (2)设P(x%)是曲线C在第一象限上的动点，曲线C在点P处的切线I与x,y轴的交点分别为点A,B. （①证明：，的斜率k=-4 (i)设M为AB中点，求△OAB的中线OM的长度取值范围， 3.已知装园C:于+号1，p为桶反C的右陆点，椭国c上有两丙不重合的A及.C,D四点 (1)设点P(-3,0),若直线AB过点F,当∠PAB=90时，求：点A的坐标： (2)若原点O是△ABC的重心，求：|FA+FB+FC的值： (3)若AB与CD交于椭圆C的左焦点，且AB.CD=0,求：AB+|CD的取值范围， 4.已知椭圆： Xy。,B为「的左、右焦点，点A在椭圆「P 42 (1)求△4EE的周长： (2)求|4AF的取值范围 x2.y2 5.在平面直角坐标系x0中，已知椭圆E:4+31的左、右焦点分别为F,B,点4在椭圆E上且 在第一象限内，AE⊥FE,直线AF与椭圆E相交于另一点B. (1)求△AF5的周长： 8/25 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)设点M在椭圆E上，记aOAB与AMAB的面积分别为S,S2,若S,=3S,求点M的坐标： (3)设点C与点B关于原点O对称，点P在椭圆E上运动，若直线PB的斜率k,∈[-2，-刂，求直线PC的斜 率k2的取值范围. x2.y2 6.己知椭园c:京+京=1(>b>0)的左、右焦点分别为F,E,上、下顶点分别为AB'FF=4, △AFF2为直角三角形. (1)求C的方程. (2)设O为坐标原点，过点P(0,4)且斜率为k的直线与C交于M,N两点 (i)求△OMN面积的最大值； (i)证明：直线BM与AN的交点G在定直线上，并求出该定直线的方程. 7.已知动点P(x,y),点F(3,0),点P到直线：r=3的距离为4，满足PF=3d的点P的轨迹为曲线C, 过F的直线与曲线C交于A(,),B(x,)两点. (1)求C的方程： 4FBA=1,P关于y轴的对称点为F (2记AB (i)若x>0,七2>0，求t的最大值及t取最大值时∠AFB的正切值； (i)若(<0，且A不是C与x轴的交点，t=1,证明：△AF'B为等腰三角形. 8.在平面直角坐标系xOy中，己知点F0,-3),F(0,3),点M满足M-MF=2V2,记点M的轨迹为 C (1)求C的方程. (2)设点A(0,-V2),4,(0,V2),过点F的直线1与C交于P,9两点，点B,B均在y轴上，且与4，A 均不重合，P4=PB,直线P4,QA,PB,QB,的斜率之积为49 (i)证明：直线Q4,与QB,的斜率之和为定值. (ii)求△PA,B与△QA,B2的面积之和的最小值 9.已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,且F与圆M:x2+(y+4=1上点的距离的最小值为4. (1)求P: 9/25 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)从抛物线C上任取一点Q(x,%),过点0作C的切线L,证明：1的方程为x=Py+p%, (3)若点P在M上，PA,PB是C的两条切线，且A,B是切点，求△PAB面积的最大值 10,如图，抛物线C三4w>0的雅线L与X轴交于椭圆C千+片a>b>0的右点F,月 为C,的左焦点，离心率为=2，抛物线C与椭圆C,交于x轴上方一点卫，连接PF并延长交C于点O,M 为C上一动点，且在P,Q之间移动，若△PFB的边长恰好是三个连续的自然数，求△MPO的面积的最大 值， 考点05定点、定值 一、解答题 x2,y2 1.已知椭圆c:京+F1（a>b>0)的离心率为2，点A'B在椭圆c上，当直线4B过椭圆c的一 个焦点且垂直于x轴时，弦长4B=3 (1)求椭圆C的方程： (2过点(1,0)且斜率不为0的直线I交椭圆C交于D,E两点，点D关于x轴的对称点为D,直线D'E与x 轴的交点为P,求点P的坐标 x2,y2 4v5 2,已知c:+1（a> >b> 0)的左、右焦点分别为F(←1,0)B(L,0):且经过点 5/直 线l过点与椭圆C交于P,Q两点 (1)求椭圆C的标准方程； 40 (2)若△FPQ的面积为2i,求直线PQ的方程； (3)在x轴上是否存在一点T,使得r+k。r=0恒成立？若存在，求出点T坐标，若不存在，请说明理由. 1 3.设A,A,两点的坐标分别为(-2,0)和(2,0)，直线DA与D4,相交于点D’且它们的斜率之积是一4 (1)求点D的轨迹方程； 10/25 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)设点D的轨迹是曲线C,过原点O的直线交曲线C于P,Q两点，过线段OP的中点M的直线交曲线C 于E:F两点、已知直线P0:Er的斜率分别为k:与：且长。=子 ()证明：点M为线段EF的中点； (i)判断四边形EPF的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. x2,y2 4.已知椭圆c:+=1(a>b>0).过定点T化，0)的直线交椭圆于p'Q两点，其中1∈0.a) y T X Q 35 (1)若椭圆短轴长为4且经过点 求椭圆方程； (2对(1)中的椭圆，若1=V5,求△OP2面积的最大值； (3)若直线PQ与x轴不垂直，在x轴上是否存在点S(s,0)使得∠PST=∠QST恒成立？如果存在，求出s,t 的关系；如果不存在，说明理由， 5.如图，圆E:(c++y2=16,F(1,0)是圆E内一个定点，M是圆E上任意一点线段MF的垂直平分线 和半径EM相交于点N,当点M在圆上运动时，记动点N的轨迹为曲线C. M (1)求曲线C的方程： 1 (2)记C的左顶点为A,直线1与C交于P,两点，直线A,A0的斜率之积为4： (i)证明：直线1过定点： (i)若P在x轴上方，直线PE与圆E交于点B,点B在x轴上方，是否存在点P,使得△PBF与△QEF 11/25 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 的面积之比为3：5？若存在，求出点P坐标；若不存在，说明理由. 6,已知椭圆r:+y 9+5=1的左右焦点为E、F,0为原点. 10 (1)垂直于x轴的直线m交椭圆于A、B两点，且。4OB的面积S6408=3,求直线m的方程： 2诺椭圆T上有在点D,且∠FD5=号，求D的纵坐标： 1 1 3)直线过F:且交椭圆r于pQ两点，求证：P明QF为定值。 7.己知双曲线C的中心为原点0，实轴在x轴上，两条渐近线互相垂直，焦距为4V2,其左、右顶点分 别为A、B,左、右焦点分别为、F (1)求C的方程： (2)Q为不在x轴上的点，在直线QA、QB上分别取点D、E,使DEx轴.P为DE的中点，记 PD=r(>O)过P作y轴的平行线，过作x轴的平行线，两直线交于点R· (i)若(1,2)，且点P在直线x+y=1上，求r (i)若R-PR=r2，,求lOr-№F的值： x2 y 8.己知双曲线E:。方-1(a>0,6>0)的实轴长为22，左焦点到渐近线的距离为1. (1)求双曲线E的标准方程； (2)记双曲线E的左顶点为A,直线：x=(>0)交x轴于点D,过点D的直线交双曲线E的右支于点B,C, 直线AB,AC分别交直线I于点G,H. ①若0c-0丽-，求，的值： ②若O,A,G,H四点共圆，求证t为定值，并求出该定值. 9.己知抛物线H:y2=4x的焦点为F.过点(2,0)的直线与抛物线H交于A,B两点，点A在第一象限. (1)抛物线H上一点P到准线距离为4，求点P到x轴的距离： (2)直线FB与抛物线H的另一个交点为T,当TA=V3时，求直线AB的方程： (3)是否存在定点卫，使得直线AQ与B斜率互为相反数，如果存在，请求出点卫的坐标；如果不存在， 请说明理由. 12/25 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x2.y2 10.已知椭圆C:。+存1（a>b>0)的离心率为2，其右顶点为7N2,0):直线，过抛物线C,: y=4x的焦点，且与C2交于M,N两点，直线OM,ON分别与椭圆C在y轴的右侧部分交于P,2两 点(O为坐标原点)· (1)求椭圆C的标准方程： (2)记直线OM,ON的斜率分别为k,k2,求证：k·k为定值： (3)记△0TP,△0T0的面积分别为S,S2,求S·S的最大值. 考点06圆锥曲线中的定直线问题 一、解答题 1。.已知稀题c:号茶=e>>0)的右焦点为r00且经过点小引 (1)求椭圆C的方程。 (2)过F的直线！（不与x轴重合）交C于P、Q两点，分别过P、作C的切线，两切线交于点T,记P№ 的中点为M,O为坐标原点. ()证明：点T在定直线上. (i)求OM外：OT的取值范围， x2 v 2.已知椭圆京+-(a>b>0)的左、右焦点分别为F,E,左，右项点分别为A,4,椭圆上动点p满足 |PF+PF=8,且两个焦点F,E与短轴的上顶点构成等边三角形. M A F 0 F 7A2 (1)求椭圆的标准方程： (2)如图，过椭圆的右焦点E作斜率不为0的直线I交椭圆于M,N两点，设直线MA与NA,交于点T,证明： 点T在定直线上： (3)求∠AT4的最大值. 3.已知情顺C:亏+y=1,过点DL0日不过点B,)的直线与桶版C交于有g两点，过点g作直线， 13/25 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 使得I1IDE,直线I与直线AE相交于点M. (1)求椭圆的离心率： (2)若三角形ADE与四边形DEMB的面积比为4：5，求直线AB的方程： (3)证明：点M在直线x=3上。 x2.y2 5 4,已知椭圆E:+存1（a>b>0)的左、右焦点分别为F和乃：离心率为，上顶点为4'且点 F到直线AE的距离为V3. (1)求椭圆E的方程： (2)已知M,N为椭圆E上的两个动点. (i)当MA+NA取得最大值时，求cos∠MAN的值： (i)当直线MN在x轴上的截距为4时，若椭圆E在点M,N处的两条切线的交点P在直线y=1上，求 直线MN的方程. x2.y2 5.已知椭圆c:4+3=1的左、右顶点分别为4,4，p是c上与小：4不重合的一动点. (1)证明：直线AP与A,P的斜率之积为定值： (2)直线4P,4,P与直线x=4分别交于点G,H,求GH的最小值： (3)若不过点A且斜率为2的直线与C交于M,N两点，证明：△AMN的外心在定直线上. 6.在平面直角坐标系xO中，点P到点F(2,0)的距离与到直线1：x=5的距离之比为2，记点P的轨迹 为曲线T (1)求T的方程： 2点M(0小过点0的直线与7交于B两点 (i)当MOFO=AOBO时，求r的方程： (ⅱ)若直线I斜率不为0，且直线AM与过点B且垂直于I的直线交于点W,判断点N是否在定直线上， 并说明理由， 7.己知双曲线C的中心为坐标原点，上焦点为(0,25)，离心率为5.记C的上、下顶点分别为4,4， 过点(0,4)的直线与C的上支交于M,N两点. (1)求C的方程： 14/25 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2)直线4M和4，N的斜率分别记为k和K,求+k的最小值： 3 3)直线AM与4，N交于点P,证明：点P在定直线上. &已如人B分别总双鱼说c:是茶-0>06>0的本、布项点 点P 2 是双曲线。上的一点， Han-, (1)求双曲线C的方程： (2)已知过点(4,0)的直线1：x=my+4,交双曲线C的左、右两支于D,E两点（异于A,B)· (i)求m的取值范围； (ⅱ)设直线AD与直线BE交于点Q,求证：点Q在定直线上. 9.如图的封闭图形的边缘由抛物线「和垂直于抛物线对称轴的线段AB组成，已知AB=4,抛物线的顶点 到线段AB所在直线的距离为2. (1)请建立适当的平面直角坐标系，用方程表示这个封闭图形的边缘； (2)求证：抛物线「的任何两条相互垂直的切线的交点都在同一条直线上. 10.己已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,C上的点P(4,4)到F的距离为5. (1)求2的值： 2)若5，>0，A'B为C上异于点P的两点，直线4B的斜率为2· ①证明：△PAB的重心在定直线上运动： ②设直线AB与x轴交于点Q,线段AB的中点为T,线段PO的中点为R,过点P向直线TR作垂线，垂足 为H.求点H的轨迹方程. 考点07向量问题 一、解答题 x2,y2 1.己知椭圆E:a6 =1(a>b>0)的左、右焦点分别为E,E,长轴长为4，E上一点与F,F,所构 成三角形的周长为4+2√2.设直线：y=+m与E交于A,B两点，O为坐标原点. 15/25 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求E的方程： 2)若1过E的上顶点和F,T为线段AB上一点，直线OT与E交于点M,且M7=(1+2)OT,求T的坐 标. 2.已知稀圆C:千+茶-1《a>b>0),直线1：。名=1被椭国C截得的弦长为2万且满足分5， x2,y2 过椭圆C的右焦点且斜率为V3的直线2与椭圆C交于A,B两点. (1)求椭圆C的标准方程： (2)求OA.0B. 3.已知椭圆r:女+ 。+F=1a>b>0)的左右焦点是F(-1,0)、FQ,0:离心率为2 (1)求椭圆「的标准方程： 24 (2)若直线y=x+m被椭圆r截得的线段长为7，求m的值： (3)若O为坐标原点，直线过且与椭圆「交于A、B两点，求OAOB的最大值. x2.y2 3V2 4.已知椭圆M:。+左=1(a>b>0),若其焦距为22 ,且点 2 在椭圆，，上， (1)求M的方程： (2)已知直线l过点E(O,1),与x轴交于点N,与椭圆M相交于C,D两点.若NC=DE,求直线l方程. ·已知椭圆C:× (1)求椭圆C的标准方程： (2)已知直线l:xcos0+sin0+V2=0与椭圆相交于P,R两点，O为坐标原点： (i)证明：OP⊥OR, PR (i设点g与点p关于原点对称，求QR的值. 16/25 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 + 6.已知椭圆6+21的左、右焦点分别为F,乃： (1)求椭圆的离心率e: (2)设点P为第一象限内椭圆上的点，若PF1PE,求点P的坐标： (3)过右焦点F2的直线与椭圆交于A,B两点，在x轴上是否存在定点T,使得TATB的值为定值？若存在， 求出定点T的坐标及该定值；若不存在，请说明理由 x2 y2 7.己知双曲线「：22 =1, (1)求双曲线离心率： (2过点M(m,0)作不垂直于x轴的直线1交双曲线T于4，B两点.若点A(N5,),点B在双曲线的右支上， 且B是AM的中点，求直线的斜率； (3)点P在Γ上，F,E分别为双曲线的左、右焦点.若PFPF=4,求S△所 x2 y2 8.已知双曲线：京F=1（a>0'b>0)的离心率为5且点P(5,)在双曲线上，过点M(m0) 作不垂直于x轴的直线！交双曲线「于A、B两点. (1)求双曲线的方程： 2)若m=2,且AB=4W2,求直线1的斜率： (3)若m>0,F,F分别是双曲线「的左、右焦点，A是A关于y轴的对称点，若存在直线I使得 FAFB=0,求m的取值范围。 x2 y2 9.已知双曲线M:正存=1（a>0b>0)的离心率为、V2,焦距为4. (1)求M的方程： 2)已知O为坐标原点，过点C(2,0)且斜率不为0的直线1与M的右支交于A,B两点，且4C=2BC, 求l的斜率， 10.已知抛物线「：y2=4x的焦点为F. (1)若点D(,25)在抛物线r上，求：直线OD与直线DF的夹角： (2)设m,n∈R,直线AB:x=y+n与抛物线T交于A(,小B(x,h)两点，若抛物线上存在点C(:,乃) 满足FA+FB+F℃=0，求证：为<2： 17/25 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)设四边形MNPO的顶点均在抛物线Γ上，直线MN过抛物线Γ的焦点F,对角线MP、NQ交于点(3，O), 若点M的横坐标的取值范围是 2 求：直线PQ斜率的取值范围。 考点08定义相关问题 一、解答题 6 1.已知平面上动点D(k)到定点F(3,0)的距离与点D到直线x=2的距离比为2, 动点D的轨迹为曲 线E (1)求曲线E的方程： (2)已知点P为直线x=2上任一点，过点P作曲线E的两条切线PA,PB,切点分别为A,B,过曲线E的右 顶点O作垂直于x轴的直线与直线PA,PB分别交于M,N两点，点M,N的纵坐标分别为m,n.求n 3 的值.并求MgNg的最小值. 2.设圆锥的内切球与圆锥面切于小圆AH,记小圆AH的平面为M,圆锥母线与平面M的线面角为C, 斜截面与平面M的二面角为P,点P为截面与圆锥面截线上任意一点，母线OP交小圆于点Q,截面与球 的切点为F,连接PF.求点P的轨迹. 3、设椭圆C:￡+y 2 京+京=1(a>b>0)的右焦点为F(L,0),离心率为 (1)求C的方程： (2)设P为C上任意一点，证明：P到直线x=2的距离等于V2PF: 3)过点 ,2的直线与C交于A,B两点，若FA+lFB-22,求，的方程. 4.已知动点M,)与定点F反，0)的距离与它到定直线：x=3 2的距离的比是常数√2， (1)求动点M的轨迹： (2)过上述轨迹上一点P作轨迹的切线与两直线y=±x分别交于A、B两点，证明：三角形AOB的面积是 18/25 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 定值. 5.(1)在平面直角坐标系中，点P(,)绕坐标原点0逆时针旋转0得到点(x,).试证明：点 x=xo cos0-yo sine Qx,)的轨迹方程为=sin0+%cos9 (2)若点P在曲线y= 2元上运动，现将点P绕坐标原点O顺时针旋转45得到点M,求点M的轨迹方程 (3)若直线1过点F(V2,0)且与(2)中M点的轨迹在y轴右侧交于A,B两点，AF=2FB,求直线1的 方程 。包O为坐标原点，椭圆C多+a>b>0的离心e力 之，椭圆C的左，右焦点分别为 F,F,P是椭圆C上一动点，且PRPF的最大值为2. (1)求椭圆C的方程： (2)记O到椭圆C在P点处切线的距离为d,求d PFPF的值： (3)若射线OP与直线x=2交于点Q,点R在射线OP上，满足JOR-o=OP.过点R作直线1与椭圆C相 交于点A,B,且点R为弦AB的中点，证明：直线过定点 又.已期相假C号产2=a>0过点RP方C在点pFL热且me1如周注p的西 条动直线交椭圆于A(:,),B(x2,y2)】 (1)求实数a的值： MF 2]设M是c的动点，过点M作直线x=2的垂线MN,N为垂足，求MN: 3)i记∠FBA=a,∠FAB=B,若直线4B的斜率为2，求sina-sinB的最大值： 19/25 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x2 y 8.如图，已知双曲线c:京F=1(a>0,b>0),点B是C的左顶点，点F是C的右焦点，点A是C上 的一个动点（在第一象限内），1是C的右准线，直线4B与，的交点为卫过点A作直线y=。x的平行线1， 与1的交点为2,4与x轴的交点为S (1)证明：当点A在C上运动时，∠PF的大小为定值. (2)探讨∠PF与∠ASF的大小关系， 9.已知FB分别是椭圆C:+ :京+F=1a>b>0)的左、右焦点，点P(k,)在C上 (1)证明：PF=a-x,(其中e为C的离心率)： 2)当a=5,b=V15时，是否存在过点F的直线1与C交于A(,片)，B(:,)两点，其中x>0,x<0,使得 A风BFAB成立？若存在，求出直线，的方程：若不存在，请说明理由。 10.我们给予圆锥曲线新定义：动点到定点的距离，与它到定直线（不通过定点）的距离之比为常数 （离心率)我们称此定点是焦点，定直线是准线已知双曲线E:3x2-y2-24x+36=0. (1)求双曲线E的准线： (2)设双曲线E的右焦点为F,右准线为I.椭圆C以F和为其对应的焦点及准线过点F作一条平行于y=x 的直线交椭圆C于点A和B.已知C的中心P在以AB为直径的圆内，求椭圆C的离心率的取值范围， 考点09新定义问题 一、解答题 1,己知在平面直角坐标系xOy中，将平面内一点P(x,y)绕坐标原点0沿顺时针方向旋转角0（日为任意 「x'=xcos0+ysin0 正角)，称为顺旋g'且将P(x,y)顺旋g得到的点记为P'(x,y),其坐标满足y=-xsin0+心os6 (1)设P(0,a)(a≠0)为y轴上一点.若将点p顺旋4得到点p,求点p的坐标（用a表示）· 20/25 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2尼知反比例函数)，其图象记为曲线C,若将曲线C顺能子（即曲线C上每一点顺旅子），得到曲 线C. (i)求曲线C的方程。 (ⅱ)当A,B,C三点都在曲线C上，且任意两点的横坐标都不相同，△ABC的垂心为H.证明：H 也在曲线C上 x2y2 2.如图，在平面直角坐标系x0中，己知椭圆r:京+京=1(a>b>0)的左，右焦点分别为F,F,左、 右顶点分别为4,4，正方形FEEE的面积为6,44=25对椭圆r上不与4，A重合的任意点P, 定义其对应的“对偶直线”L(P)如下：设直线PA交直线x=a于点R,直线PA交直线x=-a于点Q,直 线R定义为L(P). F 0 x E (1)求椭圆「的方程： 2)记点pE,E,到直线L(P)的距离分别为d'd,d,求dd,的最大值： (3)平面上是否存在一个定点T,满足：对正方形FEFE2边界上的任一点S,总存在椭圆『上的两个不同 的点P,P'使得直线PP经过点S,且对偶直线L(P)与L(P)相交于定点T若存在，请求出点T的坐标： 若不存在，请说明理由 3.定义：若圆心在坐标原点的圆O与焦点在坐标轴上的圆锥曲线「在两个不同点具有公切线，则称圆O x2 为圆锥曲线。的“开口圆”：己知椭圆C的“开口圆”与双曲线4y=1的“开口圆”相同。椭圆C的 短轴长为2，过点P作椭圆C的两条切线12，作倾斜角为锐角的直线I交椭圆于B,C两点，设B,C中 21/25 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 点为M. (1)请直接写出椭圆C及其“开口圆”的标准方程； (2)若椭圆C除顶点外的点都在其“开口圆”内： ①：若P在y轴上，且椭圆上存在点Q使得OM∥P见，设P(O,),求：t的取值范围： ②：若P在椭圆C的“开口圆”上，记OP,,山的斜率为ko,k,k2,求证：，（亿+k)=-2. 4.已知过点H(-21)且斜率为-1的直线被圆0：x2+y2=r2截得的弦长为√14 (1)求过点H的圆O的切线方程： PA 2已知两个定点A(a,2:B(m,l,其中a∈R'm>0p为圆0上任意一点，P8 =n(为常数)· n ①求常数n的值： ②“曼哈顿距离”也叫“出租车距离”，是19世纪德国犹太人数学家赫尔曼闵可夫斯基首先提出来的名 词，用来表示两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，即在直角坐标平面内，若C(:,乃)，D(:,),则 C,D两点的“曼哈顿距离”为d(C,D)=,-x+-,若过点E(a,-)作直线1与圆C:x2+y2=m交 于M、N两点，且M点恰好是线段NE的中点，又已知点F(,),求d(E,F的取值范围， 5.在平面直角坐标系xOy中，对于直线：ax+by+c=0和点(x,)B(x2,),记 司=5十兰=L2),若石8<0：则称点R乃装直线，分隔若亩我。与直线设有公共点、且曲毁C va2+b2 上存在点，B被直线1分隔，则称直线I为曲线C的一条分隔线， (1)若直线y=:是曲线x2-4y=1的分隔线，求实数k的取值范围： (2)已知动点M到点(0,2)的距离与到y轴的距离之积为1.设点M的轨迹为曲线E,求证：通过原点的直 线中，有且仅有一条直线是E的分隔线 椭圆E:+y=1l,O是坐标原点，若4BC的三个顶点都在椭圆E上，且满足OA+OB+OC=O:夏 该三角形为“核心三角形”· (1)是否存在“核心三角形”，其中两个顶点恰好是椭圆E的两个顶点，并说明理由： (2)已知△ABC是“核心三角形”. (i)证明：△ABC的面积是定值； (i)若△ABC为等腰三角形，这样的三角形有几个？并说明理由. 22/25 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 cos20 sin20 sin20 cos20 (sin20sin20 7.已知椭圆E b2 b2 g. b2 y=1(a>b>0)可由椭圆 +片=1绕原点0 逆时针转900 x=cose.x+sine.y E: 得到经过()变换： (乃=cos0.y-sin0x可将椭圆 的方程转化为E的方程 4若0=石E上的点(，g)经过()变换后得到E,上的对应点的坐标为(-2，)，求p+g的值： 6 (2)设椭圆C:2x2+2y2-2y=3的焦点为F,F(其中B在第一象限)· (i)求F,F的坐标： (i)过C在第一象限内的顶点A作切线m,过A作x轴的垂线l,在l上且在C外的一点T作C的两条切 线，切点分别为P,M,直线TP和TM分别交直线m于，N两点证明：直线NP和M的交点在定直线上. 8.对于元>0,0∈[0,2m),定义曲线2（亿，0）：Vx2+y2=入xcos0+sin0-2. 求曲线与直线，=+2的公关点的坐标 2)记L(8)为曲线2 被、 轴所截得的线段长度与被v轴所截得的线段长度之和，求当g变化时，L() 的最小值： (3)设坐标原点为0，若对于任意0∈[0,2π)，曲线2(2,0)上均存在不同两点4，B,使得04=0B∈[L,2], 且∠AOB∈ 2π」 3, 求，的取值范围。 9.曲率半径可用来描述曲线上某点处的弯曲变化程度，曲率半径越大，则曲线在该点处的弯曲程度越小. 已知椭圆C:士 处的曲率半径公式为R=ab2 已知椭圆上 C 2 所有点相应的曲率半径的最大值为9√2，最小值为3， (1)求椭圆C的标准方程： (2)若直线与椭圆C相交于A,B两点，且线段AB的中点坐标为(-2，-)，求直线1的方程： (3)记椭圆C的左焦点为F,P为椭圆C上一动点，定点M(L,),求PF+PM的最大值. 10.法国数学家笛莎格在《圆锥曲线论稿》中给出了这样的定义：给定一点P(,%)和一条直线 23/25 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1等+器-1，将宜线，商为点pX于回C号+后=a>6>0的袋线E知点n40关于 c专·兰-1的股线为直线 (1)求1的方程： (2)若Q为1上任意一点. ①过点P作椭圆的割线马交椭圆C于A,B两点，记PO,OA,OB所在直线的斜率依次为KQ,k24,kos,求 证：2kpg=ke4+k2s. ②过点Q作直线2和椭圆C相交于E,F两点，分别连接PE,PF交C于点M,N,记EF,N,PQ和y 轴的交点依次为T,T,T,求证：T为线段TT2的中点 又椭圆方程可化为 (x-2+2)2+2(y-m+m)2=8 即(x-2)}+2(y-m)2+4(x-2)+4m(y-m)+2m2-4=0, (x-2)2+2y-m)2+4(x-2)+4my-m)+2m2-4=0 由 s(x-2)+ty-m)=1 得(c-2)2+20y-m2+4(x-2)+m0y-m]s(x-2)+i0y-m]+(2m2-4[s(x-2)+1y-m)=0, 设k=m =x-2,则1+2k2+40+mk)s+k)+2(m2-2)s+k)2=0(★) 故为（★）的两个解， 4t+4ms+2(m2-2）2st2t+2ms+2(m2-2)st 所以ko4+kgB=- 2+4mt+2(m2-2）t2 1+2mt+(m2-2）t2 由①中的结论可知 2kpo=kow +koe:2kpo=kov +kor 24/25 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 25/25 专题02 圆锥曲线大题（九大题型） 考点01 直线与圆锥曲线的位置关系 考点02 弦长、焦点弦问题 考点03 中点弦问题 考点04 参数范围及最值 考点05 定点、定值 考点06 圆锥曲线中的定直线问题 考点07 向量问题 考点08 定义相关问题 考点09 新定义问题 考点01 直线与圆锥曲线的位置关系 一、解答题 1．已知椭圆：（）的离心率为，左、右焦点分别为、，点到的4个顶点的距离的中位数为2． (1)求的方程； (2)过点作斜率存在且不为零的直线与交于两点，． （ⅰ）若，的斜率分别为，，当时，求； （ⅱ）记线段的中点为，为坐标原点，直线交直线于点，直线与交于、两点，求四边形面积的取值范围． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）利用离心率先得到，然后借助左焦点到四个顶点的距离的中位数即可求得. （2）（ⅰ）设点坐标，由两点斜率公式结合求出点横坐标，再联立过焦点的直线与椭圆，利用弦长公式即可计算弦长； （ⅱ）先求出弦的中点，得到与点，证得，写出四边形面积的表达式，通过换元转化为二次函数，即可得到面积的取值范围. 【详解】（1）因为椭圆的离心率为，即，即， 又因为左焦点到左右两个顶点的距离为，到上下两个顶点的距离都是，即四个距离分别为， 代入得，按从小到大排列为，则中位数为，即，， 所以，则椭圆的标准方程为. （2）（ⅰ）由（1）知，，设点， 则，因为，则， 因为，所以，即，代入椭圆方程， 即，解得. 设过点的直线为：，联立方程组， 得，所以， 又，则，所以， 所以. （ⅱ）由（ⅰ）知，线段的中点满足， 所以直线为， 交于点. 因为直线过和，且， 所以方程为， 因为，所以，即， 由（ⅰ）知，同理可得， 所以四边形面积为， 令，， 令，则分母为开口向下的二次函数，对称轴为， 所以最大值为， 而时，，当时，， 即，所以. 2． 已知椭圆过点，焦距为. (1)求椭圆的方程； (2)过点且不与轴重合的直线交椭圆于两点，，连接并延长交椭圆于点，直线与交于点，为的中点，其中为原点.设直线的斜率为，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意根据长轴顶点坐标、焦距以及平方关系列方程即可求解. （2）不妨设直线的方程为，，，则.联立直线的方程与椭圆方程，由韦达定理得，联立直线与直线的方程得点的坐标，由中点坐标公式得点的坐标，由斜率公式以及韦达定理可得斜率的表达式（只含有参数），对分类讨论即可求解. 【详解】（1）由题意知，. 所以，. 所以椭圆的方程为 （2） 设直线的方程为，，，则. 由，得. 所以. 由得直线的方程为. 由得. 因为， 所以，. 所以. 因为为的中点，且， 所以. 所以直线的斜率 . 当时，. 当时， 因为，当且仅当时，等号成立. 所以. 所以当时，取得最大值. 3．在直角坐标系中，点，动点在直线的左侧，且到直线的距离恒为，记的轨迹为． (1)求的方程； (2)设不经过的直线的方程为，已知交于，两点，设，，且的值与的值无关． （i）求的值； （ii）是否存在实数，使得？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）不存在，若存在实数符合题设， 则， 所以， 因为， 所以， 在中，由正弦定理， 得， 易知，且，所以， 所以， 所以， 所以，即， 所以，即， 由(1)可知，所以，， 故，，从而的方程为， 显然这与不经过矛盾，所以不存在符合题设的实数． 【分析】（1）设，由已知，得，平方后整理即可求解； （2）（i）设，，由(1)可知，，得出，再根据韦达定理得出，即可求解； （ii）若存在实数符合题设，进而得出，根据正弦定理得出，进而得出的方程，即可说明理由． 【详解】（1）设，由已知，得， 所以，两边平方，化简得的方程为． （2）(i)设，，由（1）可知，， 所以， 由得， 所以， 且，， 因此， 因为的值与无关， 所以，解得（负值舍去）． (ii)略 4．已知椭圆C的离心率为，以其左顶点为圆心，为半径作圆，圆交椭圆于、两点，且线段中点的横坐标为. (1)求椭圆的标准方程; (2)圆交直线于、两点，点在线段上，过点作椭圆的两条不同切线、(、为切点)，求面积的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用离心率消元，根据题意得到对称性再联立求解； （2）先求出切点弦的方程以及弦长，点到线的距离，利用面积公式求解。 【详解】（1）设，则，， 联立消去得：， 由于椭圆是关于轴对称的图像，且圆的圆心在轴上，即圆也是关于轴对称的， 则点和点关于轴对称，即中点为， 代入，解得， 从而椭圆方程为：. （2）易知，，设，则. 注意到直线方程为， 与椭圆方程联立，消去得， 点到线段的距离 从而，其中， 设， 则， 故在上为增函数，故， 所以.    5．已知椭圆：，且焦点在轴上，过点 (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，若，求直线的方程及弦长． 【答案】(1). (2)直线的方程为或,弦长. 【分析】（1）由椭圆焦点在轴上得,将点代入方程求. （2）设,联立椭圆方程,由韦达定理表示,利用求,再求弦长. 【详解】（1）椭圆的焦点在轴上,所以. 将点代入方程,得,即,所以. 因此椭圆的方程为. （2）当直线的斜率不存在时,与椭圆交于,此时共线,,不合题意. 设,交点为. 将代入,整理得. 由韦达定理得. 又,所以. 由得,于是. 代入韦达定理的结果,得,即. 令,得,即,所以,即. 因此或,此时， 直线的方程为或. 弦长. 6．已知椭圆的右焦点为，离心率为. (1)求椭圆的标准方程; (2)若动点为椭圆外一点，且点到椭圆的两条切线相互垂直，求点的轨迹方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用题中条件求出的值，然后根据离心率求出的值，最后根据三者的关系求出的值，从而确定椭圆的标准方程； （2）第一情况种是在从点所引的两条切线的斜率都存在的前提下，设两条切线的斜率分别为、，切线为，将此直线的方程与椭圆的方程联立得到关于的一元二次方程，利用和韦达定理得到点的轨迹方程；第二种情况是在两条切线与坐标轴垂直的情况下求出点的坐标，并验证点是否在第一种情况下所得到的轨迹上，从而得到点的轨迹方程. 【详解】（1）依题意知，求得，，所以椭圆的方程为. （2）①当两条切线斜率均存在时，设为、，设过点的切线为， 代入椭圆得:，， 整理得， 所以，整理得①， 易知、同时满足①式，故、是①式的两个根，所以，所以. ②当两条切线中有一条斜率不存在时，即、两点分别位于椭圆长轴与短轴的端点， 的坐标为把点代入亦成立，所以点的轨迹方程为:. 7．已知双曲线：，为原点． (1)求的右顶点到一条渐近线的距离； (2)若点在第一象限且，若、、为一个等腰三角形的三个顶点，求点的横坐标； (3)过双曲线右顶点作两条相互垂直的直线，分别与双曲线交于、两点，求证：直线过定点，并求出定点坐标． 【答案】(1) (2) (3)直线过定点，且定点坐标为. 由题知，，显然过点的直线斜率存在且不为， 设过点的直线为，则过与其垂直的直线为， 令与双曲线交点为，与双曲线交点为， 则联立方程， 解得，则，， 所以，即， 将换成，即可得到， 所以， 且， 所以直线斜率， 所以直线方程为， 整理可得， 当时，， 所以直线过定点，且定点坐标为. 【分析】（1）根据双曲线方程，求得右顶点坐标以及渐近线方程，然后利用点到直线的距离公式求解即可； （2）根据图像直接舍去一种三角形，然后根据满足条件的两种三角形，利用两腰相等，结合两点之间距离公式，即可求出结果； （3）由题可知，过点的直线斜率存在且不为，设出过的两条相互垂直的直线方程，以及坐标，联立方程解得坐标，表示出直线的方程，即可得证. 【详解】（1）由双曲线方程为，可得其右顶点为， 且其渐近线方程为， 根据对称性，右顶点到两渐近线的距离相等， 不妨求到的距离， 则化为一般式为， 所以到的距离为， 即的右顶点到一条渐近线的距离为. （2）因为点在第一象限且， 且、、为一个等腰三角形的三个顶点， 则根据草图分析，满足条件的点有两种， 分别为以及两种， 设点坐标为， 则或， 解得（舍去），或， 综上，点的横坐标为. （3）略 8．已知双曲线，O为坐标原点． (1)求的右焦点到渐近线的距离； (2)若点P是上位于第一象限的一点，且、、为一个等腰三角形的三个顶点，求点P的横坐标； (3)若过点的直线与交于不同的两点A、B，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）计算右焦点的坐标，使用点到直线的距离求解； （2）分析等腰三角形的边长，使用坐标法求解； （3）联立直线与双曲线的方程，消元，使用韦达定理求解. 【详解】（1）由题知，，右焦点为，渐近线方程为， 根据双曲线对称性不妨取，则右焦点到渐近线的距离. （2）设，则，， 若，，解得， 若，则，代入双曲线方程解得，矛盾； 若，，解得， 综上，点P的横坐标为或. （3）易知直线的斜率存在，故设直线的方程为， 得， 令且，得且， 设，则，， ， 当时，，当时，， 所以的取值范围为：. 9．已知抛物线：（）与直线在第一象限交于点，为坐标原点，． (1)求的方程． (2)已知点，直线与交于另外一点．若上恰有4个不同的点，，，，使得，，，的面积均为定值，求的取值范围． (3)已知点，是上异于的两点，且以为直径的圆过点，证明：直线过定点． 【答案】(1) (2) (3)设，．易知，，则，同理． 因为以为直径的圆过点，所以，所以， 整理，得．（*）     设直线：，代入，得， 则，．     代入（*）中，得，整理得． 于是直线：，过定点． 【分析】（1）由题意确定坐标，进而可求解； （2）确定，再考虑与平行的直线：，代入，联立计算求解即可； （3）设，．通过垂直关系，得到，再设：，联立抛物线方程，结合韦达定理即可求解. 【详解】（1）由得或所以．     由题意得，解得． 故的方程为． （2）    由题意可知直线的方程为． 代入，得，解得或18．由（1）知，故． 因此．     考虑与平行的直线：，代入，得， 令，得．即时，与相切． 此时与直线的距离．     当在上方时，与恒有两个交点． 当在下方时，若，与有两个交点；若，与有一个交点；若，与没有交点． 因为面积相同的三角形有4个，所以．     又，所以，即的取值范围为． （3）略 10．已知点在抛物线上，过点作抛物线的切线交轴于点． (1)求抛物线及切线的方程； (2)过抛物线的焦点F作直线，且与交于两点，求的面积． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）将点的坐标代入解出可得抛物线的方程，联立后利用可求得切线的方程； （2）求出直线的方程为，设，，将与的方程联立，利用韦达定理及即可求解． 【详解】（1）将点的坐标代入，得，解得， 所以C的方程为， 显然切线的斜率存在，设其方程为， 由，消去得， 则，故， 因此切线的方程为． （2）由（1）得C的焦点为，由于，故直线的方程为， 设，， 由，消去得， 则，， 故， 又切线的方程为，则，故 因此的面积．    考点02 弦长、焦点弦问题 一、解答题 1．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，长轴长为4． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线：与椭圆相交于，两点，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件确定的值，确定椭圆方程. （2）将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理求出，再利用求的面积即可. 【详解】（1）由题知，，则， 又因为， 所以椭圆的标准方程为． （2）由题意知，直线过右焦点，如图，作出符合题意的图形， 设，，联立， 消去得，所以由韦达定理得，， 则由弦长公式得， 所以的面积． 2．已知，分别为椭圆的左、右焦点，椭圆的离心率为，过且垂直于长轴的椭圆的弦长为． (1)求椭圆的标准方程； (2)过的直线与椭圆相交的交点、与右焦点所围成的三角形的内切圆面积是否存在最大值？若存在，试求出最大值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) 存在，最大值为 ， 设的内切圆半径为， 由椭圆的定义，​的周长. 根据三角形内切圆面积公式，的面积，即. 由（1）得焦点，设过​的直线方程为， 代入椭圆方程整理得：，设， 由韦达定理得，， 所以. 又因为的面积可表示为， 所以，令， 则，因为对勾函数在上单调递增， 所以当，即时，函数有最小值，即， 所以，因此，的内切圆面积. 因此当时，的内切圆面积有最大值. 【分析】（1）直接根据椭圆的几何性质计算椭圆的基本量，进而可得椭圆方程； （2）先由椭圆的定义可得内切圆半径，再设直线方程，并与椭圆方程联立，结合根与系数关系可得，再由对勾函数的单调性可得最大值. 【详解】（1）由椭圆的离心率为，得， 过左焦点且垂直长轴的直线代入椭圆方程，得，解得， 因此该弦长为​，所以； 结合椭圆恒等式，将代入得​，即， 解得，所以，椭圆方程. 因此椭圆标准方程为. （2）略 3．设复数（x，）与复平面上点对应．设复数满足条件、动点的轨迹为椭圆．椭圆的短轴端点分别为A，B（如图）．直线，分别与椭圆交于E，F两点，其中点满足，且． (1)求椭圆的方程； (2)证明直线与轴的交点N的位置与无关，并求出点N的坐标； (3)若面积是面积的5倍，求的值． 【答案】(1) (2)因为，，，且， ∴直线的斜率为，直线的斜率为， ∴直线的方程为，直线的方程为， 由，得， ∴（舍去）或， 此时，， ∴， 由，得， ∴（舍去）或，此时， ∴； 据已知，， ∴直线的斜率， ∴直线的方程为， 令，得，即. ∴与轴交点的位置与无关. 点N的坐标为. (3) 【分析】（1）根据复数的几何意义及椭圆的定义求出即可得解； （2）求出与轴交点，根据直线与椭圆交点得，，再根据两点式求直线的方程，最后令，得， （3）先将面积比转化为对应边的比，再根据弦长公式将对应边的比转化为对应坐标的比，解得. 【详解】（1）由题意，动点到点的距离之和为定值，且, 所以动点的轨迹为椭圆，且， 故， 所以所求椭圆的方程为. （2）略 （3），，， ，∴，∴， ∴， ∵， ∴整理方程得，即， 又有，∴，∴，∴为所求． 4．已知椭圆方程的左焦点为，椭圆上一点，位于第一象限，点关于原点的对称点记作点，直线与椭圆的另一交点为，且点关于原点的对称点为． (1)设直线，的斜率分别为，，求的值 (2)求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出，，则，表达出，，由点差法得到的值； （2）三角形面积等于三角形的面积倍，设直线方程为，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，求出，令换元后，结合对勾函数性质求出最值，得到答案. 【详解】（1）由椭圆方程，得，所以，， 若，此时直线的斜率不存在，不符合要求，舍去. 设，，，此时， 则，由斜率公式得，， 又因为，在椭圆上，所以①，②， 式子②－①，得， 所以. 因此. （2）因为点关于原点的对称点为，所以点到的距离是点到的距离的倍， 因此三角形面积等于三角形的面积的倍. 椭圆左焦点为，因为点关于原点的对称点记作点，且在第一象限， 因此直线的斜率不为，设直线方程为， 联立方程组， 即，， 故，， 所以三角形的面积为 ， 令，， 由对勾函数性质可得在上单调递增， 因此当且仅当时取得最小值， 所以，当且仅当，即时成立， 三角形的面积的最大值为， 所以面积的最大值为. 5．已知动圆与圆：内切，同时与圆：外切，圆心的轨迹为曲线，，． (1)求曲线的方程； (2)直线经过与曲线交于，两点，的面积为，求直线方程； (3)设，为曲线上一点，在处切线为． （i）证明：切线的方程； （ii）若切线交直线：于点，与交于点，为坐标原点，求的最小值． 【答案】(1) (2)或. (3)（i）点在椭圆上，故满足，即， 设切线的方程为，即，记，则， 代入椭圆方程，得，整理得， 因为直线与椭圆相切，所以判别式， 展开并化简得，即， 因为，所以，即， 移项整理为关于的方程得， 由于，有， 故该方程判别式， 所以，又由得，代入得， 将切线斜率代入切线方程得，所以， 即， 所以切线的方程为，得证. （ii） 【分析】（1）利用两圆内切、外切的距离关系，得到动圆圆心到两定点距离之和为定值，依据椭圆定义确定轨迹，求出并剔除取不到的左顶点，写出曲线方程；（2）分直线斜率存在、不存在两类讨论，联立直线与椭圆方程，用韦达定理和弦长公式求弦长、点到直线距离求高，由三角形面积建立方程解出斜率，得到直线方程；（3）（i）设出椭圆上点处的点斜式切线方程，与椭圆方程联立，利用直线与椭圆相切时判别式为 0 的条件求出切线斜率，再代回点斜式，结合点在椭圆上的条件化简，最终得到切线方程；（ii）先求切线与定直线的交点Q，写出直线PA、BQ的方程并联立，得到交点R的坐标，将表示为关于的函数，通过换元转化为二次函数，利用二次函数性质求出最小值. 【详解】（1）设动圆的半径为，圆心，圆的圆心为，半径；圆的圆心为，半径， 由动圆与内切，得，由动圆与外切，得， 两式相加得， 因为，且，根据椭圆的定义，圆心的轨迹是以为焦点的椭圆， 其中，焦距，则， 又动圆半径，故轨迹去掉左顶点， 故曲线的方程为. （2）直线过点，曲线的方程为. ①当直线的斜率不存在时， 直线，代入的方程得，则， 点到直线的距离为，面积，不符合题意； ②当直线的斜率存在时，设直线，， 联立，消去整理得， 判别式，由韦达定理， 由弦长公式得， 点到直线的距离为， 故三角形面积， 令，平方化简得，解得（负根舍去），即， 所以直线的方程为 ，或，即或. （3）（i）略 （ii）切线的方程为，将代入切线的方程，得， 和，所以的方程为； 和，斜率，所以的方程为； 联立两直线方程，利用化简，可得， ，代入，整理得， 令（），则， 代入得，令，则是开口向上的二次函数，对称轴为，代入得最小值为，所以即. 故的最小值为. 6．已知椭圆：的离心率为，且经过点，坐标原点为． (1)求椭圆的方程； (2)点，是椭圆上两个不同的点．若三角形的垂心为，求三角形的面积． 【答案】(1) (2)54 【详解】（1）点在椭圆上，故． 又，则，所以， 故椭圆方程为． （2）因为是的垂心，所以，而为轴，故平行于轴． 设，，其中． 再由，得，即； 又在椭圆上，故． 两式联立得，即或． 当时，不合题意； 故，且，即，（两点次序可交换）． 因此． 7．设双曲线的方程为，其左、右焦点分别为、，过作斜率不为零的直线，与双曲线交于、两点． (1)写出双曲线的离心率以及两条渐近线的夹角； (2)若点在第一象限，且，求的长； (3)设（其中），过、分别作的垂线，垂足分别为、．是否存在，使得直线与的交点总在轴上？若存在，求出所有符合条件的的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)双曲线的离心率，双曲线两条渐近线的夹角为； (2) (3)存在，使得直线与的交点总在轴上，理由如下： 当直线不存在斜率时，此时方程为，显然与直线平行， 又因为双曲线关于横轴对称，因此四边形是矩形， 显然直线与的交点总在轴上，符合题意，此时； 设直线存在斜率时，设为，设方程为，与该双曲线方程联立，得 ， ， 设，由题意可求得：， 则有， 直线方程为：， 令， 即， 直线方程为：， 令，同理可得：， 由假设得：， 化简，得， 把，代入得 ， 化简，得， 因为，所以存在，使得直线与的交点总在轴上. 综上所述：存在，使得直线与的交点总在轴上 【分析】（1）根据双曲线离心率公式和双曲线渐近线方程进行求解即可； （2）根据双曲线定义，结合余弦定理进行求解即可； （3）设出直线的方程与双曲线方程联立，结合一元二次方程根与系数关系进行求解即可. 【详解】（1）由双曲线的方程可知：， 所以该双曲线的离心率为， 该双曲线渐近线的斜率为，所以两条渐近线的倾斜角分别为、， 因此该双曲线两条渐近线的夹角为； （2）由（1）可知：，设， 因为点在第一象限，且， 所以由双曲线的定义可知：， 所以，. 因为， 所以， 由余弦定理，得， 所以； （3）略. 8．已知动点与定点的距离与它到定直线的距离的比是常数． (1)求动点的轨迹方程； (2)过上述轨迹上一点作轨迹的切线与两直线分别交于，两点，证明：三角形的面积是定值． 【答案】(1) (2)证明：设点的坐标为，当切线斜率存在时，，设曲线在点处的切线方程为， 与双曲线方程联立，消去，可得， 整理得， 所以且， 解得，代入，得， 所以切线方程为， 与联立得，与联立得， 故，为定值． 当切线的斜率不存在时，，易得． 综上，的面积是定值． 【分析】（1）依据题设的距离比值等式，对式子移项后两边平方展开化简，消去同类项，整理得到动点的双曲线轨迹方程； （2）设切点，分切线斜率存在与不存在两类，联立切线与双曲线方程利用判别式求得双曲线切线方程，再联立切线与直线求出、横坐标，结合双曲线条件计算面积，证得其为定值. 【详解】（1）根据题意得， 则可得， 将上式两边平方，得， 整理得， 所以，所以， 故动点的轨迹方程为． （2）略 9．设抛物线的焦点为，过点的动直线交抛物线于两点，点．当直线垂直于轴时，． (1)求抛物线的标准方程； (2)求的面积的最小值； (3)若直线平分，求直线的斜率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用抛物线焦半径公式，结合点坐标求出，得标准方程； （2）设直线联立抛物线，用韦达定理求纵坐标之差，结合面积公式构造函数求最值； （3）由角平分线条件转化为向量夹角余弦相等，代入焦半径公式化简等式，结合韦达定理求得参数，最后求直线斜率. 【详解】（1），解得，所以抛物线的标准方程为：． （2）设．显然直线斜率不为，设的方程为． 与抛物线方程联立得：．由韦达定理，，． 面积为． 故，即的方程为时，面积取得最小值，最小值为． （3）由题意：，则，即． ，，，，， 代入得． 即，整理得． 又因为，，代入化简得：． ，故，直线的斜率为． 10．若为坐标原点，、为抛物线上不同的两点，直线、的斜率分别为，. (1)证明直线恒过定点；并求出定点坐标； (2)若抛物线的焦点为，求面积的最小值；并求出面积取最小值时的直线方程. 【答案】(1)证明：设，， 、为抛物线上不同的两点， 由得，则，. 由，得，即. 由题意，直线斜率不为，设其方程为. 与联立得. 由韦达定理得. 所以，解得. 故直线的方程为，恒过定点. (2)； 【分析】（1）设点坐标，将斜率条件转化为纵坐标关系式，设直线联立抛物线，利用韦达定理求定点. （2）利用三角形面积公式（以为底）建立面积关于参数的表达式，进而求最值. 【详解】（1）略 （2）抛物线的焦点，如下图所示： 由（1）知直线过点，则. 由得. 则. 的面积. 当时，取得最小值，. 此时直线的方程为. 考点03 中点弦问题 一、解答题 1．已知椭圆的离心率，点在椭圆上． (1)求椭圆的标准方程； (2)椭圆上的两点，关于直线对称，求弦的中点坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据点在椭圆上，结合离心率，以及，解出，，从而求出椭圆方程； （2）利用椭圆上的两点，关于直线对称，可得到线的斜率， 根据弦的中点在直线上，和线的斜率结合，求出点坐标. 【详解】（1）由离心率定义可知，，因此可得，即， 又，即，即，又因为点在椭圆上， 所以，即，解得，从而得到. 所以椭圆的标准方程为 （2）如图： 因为椭圆上的两点，关于直线对称， 所以直线与直线垂直，又直线的斜率为2， ； 设，，两点都在椭圆上，即在椭圆上， 因此，两式作差，整理得， 即. 设弦的中点为，故有，， 所以，即， 又因为，故有  ①， 又因为弦的中点为也在直线上， 所以  ②， 由①②可得：，. 因此弦的中点为. 2．已知椭圆：过点，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆交于，两点，若点为线段的中点，求直线的方程； (3)过点的直线与椭圆交于，两点，若原点总在以为直径的圆内，求直线斜率的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题目所给信息以及之间的关系，列出等式求解即可； （2）设出直线的方程，将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理求出斜率的值，进而可解； （3）先考虑斜率不存在的情况，不符合条件；进而设直线的方程为，，联立方程，结合韦达定理，求解即可. 【详解】（1）因为椭圆过点，离心率为， 所以，解得， 所以，椭圆的方程为； （2）易知直线的斜率存在， 设直线的方程为， 联立，消去并整理得 ， 由韦达定理得， 若点为线段的中点，此时，解得， 将代入判别式，满足题意； 所以，直线的方程为，即； （3）斜率不存在的情况：直线，代入椭圆得交点， 此时，原点在以为直径的圆外，不符合条件； 所以，直线的斜率存在，设直线的方程为，， 联立方程，整理得 所以， 因为原点在以为直径的圆内，所以，      整理得： 进一步整理得：，解得 综上，直线斜率的取值范围为. 3．已知椭圆分别为的左右焦点，点在上，且轴． (1)求的标准方程； (2)过点的直线与椭圆交于两点， （ⅰ）若是的中点，求直线的方程； （ⅱ）若是椭圆的右焦点，且，为椭圆的左、右顶点，设和的面积为，当时，求的取值范围. 【答案】(1); (2)（ⅰ）; （ⅱ） . 【分析】（1）先根据垂直轴的条件得到椭圆半焦距，再结合椭圆中的关系，将已知点坐标代入椭圆标准方程，通过解方程求出，最终确定椭圆的标准方程； （2）(i)先设出直线与椭圆的交点坐标，代入椭圆方程作差变形，再结合中点坐标公式求出直线斜率，最后利用点斜式即可求出直线方程；(ii)先利用向量共线条件得到两点纵坐标的关系，再根据三角形面积公式，将面积比值转化为含参数 λ 的函数，结合参数的取值范围，利用函数单调性求出面积比值的取值范围. 【详解】（1） 轴， 横坐标与 相同，即 ，， 由椭圆关系：， 将 代入椭圆方程：， 即：， 把 代入：， 整理得：， 即，， ，，， 椭圆 标准方程：. （2）(i)设 ，两点在椭圆上： 则， ∴ ， ， ， 两边同除以 ，记 ： ，， ∵直线过 ，∴ 化简得：； (ii)由椭圆方程：， ，则： 纵坐标 ，则 ，∴， ∴， ， ∵ 以 为底， 纵坐标差为高： ∴ ， 代入 ： ∴， 化简：， ∴ ， 函数 在 单调递增， 当：， 当：， . 4．已知椭圆的左、右顶点分别为，点在上. (1)求椭圆的离心率； (2)两点是椭圆上的两个动点，且直线的斜率与直线的斜率和为0，若在点处的切线交直线于，为的中点，为坐标原点， （ⅰ）证明：//； （ⅱ）记，的面积分别为，当最大时求直线的方程. 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明：由题意可知直线有斜率，故设直线方程， 联立与椭圆可得， 设， 则， 由， 即， 整理可得， 即， 化简可得， 由于直线不经过点，故， 因此，故， 又在椭圆上，故且， 因此可得， 即，因此， 当时，椭圆方程为，求导为， 故， 故，因此，故. （ⅱ） 【分析】（1）设椭圆方程，根据顶点和，即可求解椭圆方程，进而根据离心率公式求解即可. （2）（ⅰ）联立直线与椭圆方程，得韦达定理，根据斜率之和为0，可得直线的斜率，进而根据点差法可求解直线的斜率，利用导数即可求解的斜率，即可求证；（ⅱ）根据两直线方程以及中点坐标公式可求解坐标，进而根据弦长公式可求解的长度，根据面积公式，通过求导求解最值即可求解. 【详解】（1）若椭圆的焦点在轴上，设椭圆方程为， 则，且，故，从而，故， 若椭圆的焦点在轴上，设椭圆方程为， 则，且，故，不符合题意， 综上可得椭圆方程为，离心率为. （2）（ⅰ）略. （ⅱ）由（ⅰ）可得，即， 直线 ，故则， 联立与，可得， 因此， ， 点到直线的距离， 故， 令，，， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以，当，取得最大值，最大值为， 所以的最大值为，此时， 故直线. 5．已知椭圆：的离心率为，且过点． (1)求的标准方程； (2)设为坐标原点，，直线与交于，两点，线段的中点为，的外心为，直线的斜率为，直线的斜率为． （i）试用表示点的坐标； （ii）试判断是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)（i）（ii）是定值 【分析】利用已知条件求出标准方程，借助参数表示出所求内容并进行求解. 【详解】（1）将代入椭圆方程得，解得， 由离心率，所以， 所以，解得， 所以的标准方程； （2）（i）设， 联立，消去得：， 由韦达定理得，， 因为为的中点，所以， ，所以的坐标为； （ii）是定值，推导如下，， 设， 的外接圆方程设为，其中， 因为D在圆上，所以， 所以的外接圆方程为， 联立得 得， 所以 解得， 故， 所以，故是定值. 6．已知椭圆的一个焦点为，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)过点作斜率为的直线交椭圆于两点，，的中点为．设为原点，射线交椭圆于点．当与的面积相等时，求的值． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）已知椭圆的焦点坐标可得，结合离心率公式可求出，再利用椭圆中求出，即可得到椭圆标准方程； （2）先设出直线的方程，与椭圆方程联立，用韦达定理求出、的横坐标之和与纵坐标之和，进而得到中点的坐标；设，点的坐标与椭圆方程联立得到和的关系，再结合两个三角形面积相等的条件，建立关于的方程求解. 【详解】（1）由题意，椭圆的一个焦点，则. 离心率，， 故椭圆的方程为. （2）设直线方程：. 由消去整理得. 设，，由韦达定理， 为中点，则， 即. 设，则，点在椭圆上，代入椭圆方程： ，即， 代入：， . 又与同以为底，， 所以，所以，所以. 两边平方得，所以， . 7．已知双曲线：的虚轴长为2，离心率为． (1)求的方程； (2)若直线与交于，两点，线段的中点为，为坐标原点，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据虚轴长及离心率直接求解即可； （2）将直线与的方程联立，结合韦达定理得出的坐标，由两点之间距离公式即可求解． 【详解】（1）依题意可得，， 解得，， 所以的方程为． （2）将代入，整理得， ． 设，，． 由韦达定理得， 则， ， 所以． 8．已知双曲线的焦距为，直线的倾斜角是直线倾斜角的倍，其中，． (1)求的方程； (2)是否存在过点的直线与交于，两点，使得构成以为顶点的等腰三角形？若存在，求出所有直线的方程；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，直线的方程为或，理由如下： 假设存在过点的直线与交于，两点，使得构成以为顶点的等腰三角形， 则直线的斜率显然存在，设的方程为，，， 由消去整理得， 由，， 解得且， 则，所以. 记的中点为，则， 当时，则，分别为双曲线的两个实顶点， 显然构成以为顶点的等腰三角形，此时直线的方程为，符合题意． 当时，为使构成以为顶点的等腰三角形，只需，所以， 即，， 整理得，解得或， 若，则不满足条件，舍去，因此. 所以直线的方程为，即． 综上所述，直线的方程为或． 【分析】（1）先分别计算及直线的斜率，再由它们的倾斜角的倍关系及二倍角的正切公式可得，进而可得双曲线的方程； （2）先判断直线的斜率存在，再设，并与双曲线方程联立，由根与系数的关系可得的中点为，当时，直线方程为；当时，由解得或，再结合直线与双曲线有两个交点的条件得，进而可得直线方程为，综合两种情况可得直线方程. 【详解】（1）记双曲线的焦距为，由题意可得，即， 因为，，所以斜率. 设直线的倾斜角为，则， 又因为直线的斜率为， 所以，，解得. 所以，则C的方程为． （2）略 9．在平面直角坐标系中，已知曲线，直线与交于三个不同的点. (1)若，求的取值范围； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由曲线方程得或，将它们分别联立直线，结合交点个数、判别式列不等式求参数范围； （2）先考虑与直线联立，设，利用判别式、韦达定理及点在直线上求参数值，再考虑直线与直线重合，设，且点在直线上求参数值即可. 【详解】（1）由，得或， 联立，得（*）， 由，解得或， 因为有唯一解，得， 直线与曲线交于三个不同的点， 所以不是方程的解，即， 所以的取值范围是. （2）情形1：联立得. 设，则， 设的中点为，则， 又点在直线上，从而， 所以或，不满足，舍去. 情形2：设， 则直线的方程为， 直线即为直线，从而， 由为线段的中点，得， 点在直线上，得， 联立，解得（舍）或， . 综上，的值为. 10．已知为坐标原点，椭圆与抛物线在第一象限的交点为，其中椭圆的长轴长是短轴长的两倍. (1)求椭圆和抛物线的标准方程； (2)设直线交抛物线于两点，若的中点在椭圆上，求的坐标. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据给定条件，求出即可. （2）联立直线与抛物线的方程，求出点的坐标并代入椭圆的方程即可. 【详解】（1）由点在抛物线上，得，因此抛物线的方程为； 由椭圆的长轴长是短轴长的两倍，得，又点在椭圆上， 则，解得， 所以椭圆的方程为； （2）设点，由消去，得， 显然，，则线段的中点， 又点在椭圆上，则满足，整理得， 则，解得或，所以的坐标为或.    考点04 参数范围及最值 一、解答题 1．已知椭圆的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，椭圆上动点满足点到点的距离的最大值为3，且该椭圆的离心率为． (1)求该椭圆的标准方程． (2)过该椭圆的右焦点作斜率不为0的直线交该椭圆于，两点，设直线与交于点，证明：点在定直线上． (3)在（2）的条件下，求的最大值． 【答案】(1) (2)证明：设直线． 由，消去可得， 整理可得 显然． 设，， 则， 直线，直线 将两直线方程联立可得， 即 代入，可得 因为， 代入上式，可得 所以，所以点在定直线上； (3). 【分析】（1）根据，，求解即可； （2）设直线，与椭圆方程联立，求出两直线的交点，结合韦达定理，即可得证； （3）设，设，根据夹角公式及基本不等式求解即可. 【详解】（1）因为点到点的距离的最大值为3，所以． 又， 所以，． 由，得， 所以该椭圆的方程为; （2）略； （3）设，． 因为，，所以， 设， 由两直线的夹角公式得 由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立 因为，且函数在上单调递增， 所以，即， 即的最大值为 2．在平面直角坐标系中，椭圆的一个焦点为，离心率为. (1)求的方程； (2)设是曲线在第一象限上的动点，曲线在点处的切线与，轴的交点分别为点，. （i）证明：的斜率. （ii）设为中点， 求的中线的长度取值范围． 【答案】(1). (2)（i）证明：【方法一】由，得， 求导得，把代入得， 因为，所以，即； 【方法二】设代入到得 （※） 因为与相切，所以方程（※）有两个相等实根，即化简得 （ii）. 【分析】（1）根据椭圆离心率公式代入计算即可求出椭圆的标准方程； （2）（i）【方法一】将椭圆方程转化为函数，利用导数的几何意义即可证明； 【方法二】设直线方程，并与椭圆方程联立，化简得到一元二次方程，根据相切的性质可得，计算即可证明； （ii）求出中点坐标，由直线方程和椭圆方程求出中点坐标的关系，由两点间的距离公式和基本不等式即可求出最小值. 【详解】（1）设的方程为， 由题意知，，，，解得， 故的方程为. （2）（i）略 （ii）设，，    则，， 所以的中点的坐标为，， 所以， 当且仅当时取等号， 所以的取值范围为. 3．已知椭圆，为椭圆的右焦点，椭圆上有两两不重合的A、B、C、D四点． (1)设点，若直线过点F，当时，求：点A的坐标； (2)若原点是的重心，求：的值； (3)若与交于椭圆的左焦点，且，求：的取值范围． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）由题可知斜边的中点，则，进而得到点在线段的垂直平分线上即可求解； （2）设，，，由焦点弦公式可得，，，结合重心的性质得即可求解； （3）分或垂直于轴、和不垂直于轴两种情况，结合弦长公式和基本不等式计算范围即可． 【详解】（1）因为，且直线过点，设椭圆左焦点为， 所以，在中，， 所以斜边的中点，恰为椭圆的左焦点， 所以，又由椭圆的定义可得， 所以点在线段的垂直平分线上， 又因为在椭圆上，所以为椭圆的上顶点或下顶点， 所以或； （2）设，，， 则，即， ， 同理，， 又是的重心，所以， 所以，； （3）①若或垂直于轴，则， ②若和不垂直于轴， 设直线的解析式为，点，， 联立方程组，得， 从而，， ， 同理， 则， 因为，所以， 综上，的取值范围是． 4．已知椭圆，为Γ的左、右焦点，点A在椭圆Γ上 (1)求的周长； (2)求的取值范围 【答案】(1) (2) 【分析】利用椭圆定义得椭圆上点到两焦点距离之和为，结合焦距计算三角形周长；将两距离乘积转化为关于单段距离的二次函数，结合距离取值范围求值域. 【详解】（1）由椭圆，得，，故，，因此焦距. 根据椭圆的定义，对任意椭圆上的点，有， 则的周长为： . （2） 由，可得， 设，椭圆上点到焦点的距离满足，即. 令，该函数为开口向下的二次函数，对称轴为，属于区间： 当时，取最大值； 当时，取最小值. 因此，即的取值范围为. 5．在平面直角坐标系中，已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点在椭圆上且在第一象限内，，直线与椭圆相交于另一点． (1)求的周长； (2)设点在椭圆上，记与的面积分别为，，若，求点的坐标； (3)设点与点关于原点对称，点在椭圆上运动，若直线的斜率，求直线的斜率的取值范围． 【答案】(1)6 (2)或 (3)​ 【分析】（1）利用椭圆定义，将两条焦半径之和转化为长轴长． （2）两三角形同底，将面积比转化为点到直线的距离比，再联立直线与椭圆方程求点的坐标． （3）利用关于原点对称的两点坐标及椭圆方程作差，求出两条直线斜率的乘积，再由已知斜率范围求所求范围． 【详解】（1）由椭圆方程得，，，由椭圆定义得，因此的周长为． （2）因为点在椭圆上且在第一象限内，，又，，所以，从而直线的方程为． 设，因为与以为公共底边，且，所以点到直线的距离等于点到直线距离的3倍，即，得或． 由得，其判别式，故无实数解； 由得，解得或，代入，对应得或． 因此点的坐标为或． （3）由（2）中直线的方程与椭圆方程联立，得，两根为和，故． 设，，则，且． 由存在知，若，则由椭圆方程得，此时或，均不在内，故，直线的斜率存在． 将两点满足的椭圆方程相减，得，所以． 由及，得，且两端点分别在和时取得． 6．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，上、下顶点分别为，，，为直角三角形． (1)求的方程． (2)设为坐标原点，过点且斜率为的直线与交于，两点． （i）求面积的最大值； （ii）证明：直线与的交点在定直线上，并求出该定直线的方程． 【答案】(1) (2)（i） （ii）证明：由（1）得，由（i）得， 直线的方程为，直线的方程为，设交点，     由，得 ，解得， 所以直线与的交点在定直线上. 【分析】（1）根据给定条件，求出即可得的方程. （2）（i）写出直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理，结合三角形面积公式列出关系式，再利用基本不等式求出最大值；（ii）由（i）中信息，求出直线方程，并联立消去即可推理得证. 【详解】（1）由，得椭圆的半焦距，由为直角三角形，得， 则，所以椭圆的方程为. （2）（i）直线的方程，设， 由消去并整理得， ，且，， 则的面积 ，令，则， 于是， 当且仅当，即时取等号，且满足， 所以面积的最大值为. （ii）略 7．已知动点，点，点P到直线的距离为d，满足的点P的轨迹为曲线C，过F的直线与曲线C交于，两点． (1)求C的方程； (2)记，F关于y轴的对称点为． （ⅰ）若，，求t的最大值及t取最大值时的正切值； （ⅱ）若，且A不是C与x轴的交点，，证明：为等腰三角形． 【答案】(1) (2)（ⅰ）， （ⅱ）证明：易知点A在的左支上且不是左顶点，B在C的右支上，所以， 所以或， 由（i）知， 所以， 又，且，所以，解得. 由（i）可求得 所以线段AB的中点坐标为，记为点D， 则直线的斜率为， 所以，所以， 所以，所以为等腰三角形. 【分析】（1）将转化为坐标表示，化简可得的方程； （2）（i）若的斜率不存在，则的方程为，与的方程联立，即可求得，，从而得；若的斜率存在，设的方程为，与联立，结合弦长公式及两点间的距离公式，分别求得，从而表示出，并求得的最大值及此时直线的方程，并求得的值； （ii）易知点A在的左支上且不是左顶点，B在C的右支上，所以，所以或，结合（i）的运算，根据求得，再由斜率乘积为证明边边上的中线与垂直，即可得为等腰三角形. 【详解】（1）由题意得， 两边平方，得，即， 故C的方程为. （2）（i）若的斜率不存在，则的方程为，代入，得，，，所以. 若的斜率存在，设的方程为， 代入并整理得 则， 所以 由（1）知C为双曲线，易知，所以， 所以， 同理. 所以 所以. 综上所述，，，此时的方程为. ， （ii）略 8．在平面直角坐标系中，已知点，，点满足，记点的轨迹为． (1)求的方程． (2)设点，，过点的直线与交于，两点，点，均在轴上，且与，均不重合，，直线，，，的斜率之积为． （i）证明：直线与的斜率之和为定值． （ii）求与的面积之和的最小值． 【答案】(1)（） (2)（i）设（，），则，即， 则，同理可得， 因为，所以， 所以．又，所以， 则，故直线与的斜率之和为定值. （ii） 【分析】（1）根据双曲线的定义求解； （2）（i）设（，），计算，，然后可求得，再结合已知可得证； （ii）设：，设，，直线方程代入双曲线方程后应用韦达定理得，计算出与的面积之和并代入转化为关于的函数，结合导数知识得最值. 【详解】（1）因为， 所以点的轨迹是以，为焦点且实轴长为的双曲线的上支， 由，，得，， 故的方程为（）. （2）（i）略 （ii）依题意可得直线的斜率必然存在，设：，代入， 得，则恒成立， 设，，，， 则，，则， 因为，所以的面积 由（i）知，则，同理得的面积． 不妨设，，则与的面积之和如下， 为 ， 令，， 则 ． 因为，所以，则在上单调递增， 所以， 从而与的面积之和的最小值为. 9．已知抛物线C：（）的焦点为F，且F与圆M：上点的距离的最小值为4. (1)求p； (2)从抛物线C上任取一点，过点Q作C的切线l，证明：l的方程为. (3)若点P在M上，，是C的两条切线，且A，B是切点，求面积的最大值. 【答案】(1)； (2)证明：显然直线的斜率存在，设直线的方程为， 与联立可得， 由得，化简得， 其中，故，解得， 所以直线的方程为，即， 又，所以，即，； (3) 【分析】（1）根据点F与圆M上的点距离最小值为得到方程，求出； （2）设出直线的方程，与抛物线方程联立，根据根的判别式得到方程，结合，求出，得到直线的方程； （3）在（2）的基础上，得到直线和直线的方程，确定直线的方程，与抛物线方程联立，得到两根之和，两根之积，表达出，结合点到直线距离公式得到三角形面积，求出最值. 【详解】（1）由题意得，圆的圆心为，半径为1， F与圆M：上的点距离最小值为， 故，解得，负值舍去，所以； （2）略 （3）设，， 由（2）知，直线的方程为，直线的方程为， 由于点为两直线的公共点，则， 所以坐标满足方程， 所以直线的方程为， 联立与得， 由韦达定理可得， 所以， 点到直线的距离为， 所以， 因为 由，解得， 所以当时，取得最大值，最大值为20， 故的面积最大值为. 10．如图，抛物线的准线l与x轴交于椭圆的右焦点，为的左焦点，离心率为，抛物线与椭圆交于x轴上方一点P，连接并延长交于点Q，M为上一动点，且在P，Q之间移动，若的边长恰好是三个连续的自然数，求的面积的最大值． 【答案】 【分析】根据椭圆离心率和抛物线准线l过椭圆右焦点，求得a，b，c，m的关系，联立抛物线与椭圆的方程可求得点P的坐标，进而用m表示出三边长度，根据的边长恰好是三个连续的自然数可求出的值，进而可求直线和抛物线的方程，联立可解点的坐标，设出点的坐标，表示出点到直线的距离，进而可表示的面积，进而可求其最大值. 【详解】因为椭圆离心率，所以，即， 抛物线的准线， 因为准线l与x轴交于椭圆的右焦点， 所以，，， 即，，， 联立抛物线与椭圆的方程得：， 消去得：，解得或， 因为抛物线与椭圆交于x轴上方一点P，所以， 所以， ， 因为的边长恰好是三个连续的自然数， 所以，解得， 此时，，，， 所以，，，， 直线的方程为：，和抛物线方程联立得： ，消去得：， 解得，（舍去）或，所以点， ， 因为M为上一动点，所以设，， 点到直线的距离为： ， 所以当时，取最大值为， 此时，面积最大，最大值为. 考点05 定点、定值 一、解答题 1．已知椭圆：（）的离心率为，点，在椭圆上，当直线过椭圆的一个焦点且垂直于轴时，弦长． (1)求椭圆的方程； (2)过点且斜率不为0的直线交椭圆交于，两点，点关于轴的对称点为，直线与轴的交点为，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用点的坐标和弦长列出方程组即可求解. （2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，列出韦达定理，进而表示出的方程，令结合韦达定理即可求出点的坐标. 【详解】（1）    不妨设的一个焦点为，， 则当时，，解得，所以， 所以,解得，，． 故椭圆的方程为． （2）    若直线与轴垂直，则点与重合，不符合题意； 依题意可设直线方程为，，，， 联立化简得， 显然，且，， 又因为，所以的方程为， 令，得，将，代入上式， 可得， 故点的坐标为． 2．已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，且经过点，直线过点与椭圆交于，两点. (1)求椭圆的标准方程； (2)若的面积为，求直线的方程； (3)在轴上是否存在一点，使得恒成立？若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)或 (3)存在， 【分析】（1）因为椭圆过点，代入椭圆方程，再结合是椭圆的焦点，即可求解椭圆的标准方程； （2）直线为水平直线时，不存在；当直线不是水平直线时 设直线方程为，，，联立椭圆的方程，运用韦达定理，则表示出，由于在线段上，，其中，求得，再求出直线的方程； （3）当不是水平直线时，利用韦达定理表示出 ，利用，求出定点为；当是水平直线时，直接验证定点的坐标. 【详解】（1）因为椭圆过点，所以① 又因为是椭圆的焦点，所以② 由①②，解得，， 所以椭圆的标准方程： （2）直线为水平直线时，三点共线，不符合题意， 设直线方程为， 联立，得， ， 设，，， 则 由于在线段上，，其中， 因此，整理得， 所以，解得（负值舍）， 因此直线方程为，即或. （3）设则 当不是水平直线时， ，得，所以 得对一切恒成立，故， 所以定点为； 当是水平直线时，，，有成立 所以存在定点，使得恒成立    3．设，两点的坐标分别为和，直线与相交于点，且它们的斜率之积是． (1)求点的轨迹方程； (2)设点的轨迹是曲线，过原点的直线交曲线于，两点，过线段的中点的直线交曲线于，两点．已知直线，的斜率分别为，，且． （i）证明：点为线段的中点； （ii）判断四边形的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明：由，则直线的斜率存在， 设直线的方程为，，，设中点， 联立，得， 则，， ，则， 即中点在直线上， 又在直线上，则，重合， 所以为线段的中点； （ⅱ）是，定值为 【分析】（1）根据斜率公式求椭圆方程即可； （2）（ⅰ）设直线的方程为，，，设中点，联立得到，再证明在直线上即可； （ⅱ）根据题意可得，利用点得到点坐标，进而得到，再求弦长及点到直线的距离，进而求出面积即可． 【详解】（1）设，由，所以的轨迹方程为； （2）（ⅰ）略 （ⅱ）由（ⅰ）知为中点，为线段的中点，又关于原点对称， ， 又，则， ，解得， ， 点到直线的距离， 故四边形的面积为定值．    4．已知椭圆：，过定点的直线交椭圆于，两点，其中． (1)若椭圆短轴长为4且经过点，求椭圆方程； (2)对（1）中的椭圆，若，求面积的最大值； (3)若直线与轴不垂直，在轴上是否存在点使得恒成立？如果存在，求出，的关系；如果不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)3 (3)轴上是存在点使得恒成立，此时． 【分析】（1）由短轴长和椭圆上的点可构造方程求得，进而得到椭圆方程； （2）设直线的方程为，与椭圆方程联立得韦达定理的形式，由，结合韦达定理可化简为，再利用基本不等式可求得最大值； （3）设直线的方程为，与椭圆方程联立可得韦达定理的形式，假设，可得，利用两点连线斜率公式和韦达定理可化简整理，求得，由此可得结论. 【详解】（1）由题意，，解得，， 则椭圆方程为． （2）由题意，，显然直线的斜率不为0， 设直线的方程为，，， 联立，整理得， 则， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 故面积的最大值为3． （3）由题意，设直线的方程为，，， 联立，整理得， 则，， 若，则，即， 所以，即， 则，即， 故，而，则，即， 故轴上是存在点使得恒成立，此时． 5．如图，圆，是圆E内一个定点，M是圆E上任意一点.线段MF的垂直平分线和半径EM相交于点N，当点M在圆上运动时，记动点N的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)记C的左顶点为A，直线l与C交于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之积为. （ⅰ）证明：直线l过定点； （ⅱ）若P在x轴上方，直线PE与圆E交于点B，点B在x轴上方，是否存在点P，使得与的面积之比为？若存在，求出点P坐标；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)（ⅰ）设直线l的方程为，，， 联立，消去x并整理得， 此时， 由韦达定理得， 所以， 则， 整理得， 解得或， 当时，直线方程为， 此时直线过点，不符合题意； 当时，直线方程为， 此时直线过定点， 综上所述，直线l过定点； （ⅱ）存在， 【分析】（1）根据条件，利用椭圆的定义，即可求解； （2）（ⅰ）设直线l为，联立直线与椭圆方程，结合条件，利用根与系数间的关系，得，进而可解得或，即可得证； （ⅱ）根据条件得，，结合条件可得，即可求解． 【详解】（1）易知， 所以点N的轨迹是以E，F为焦点的椭圆，且长轴长，焦距， 则， 故曲线C方程为； （2）（ⅰ）略 （ⅱ）设， 因为，，所以， 因为点P在椭圆上，所以，故， 所以， 又，则， 同理得， 因为，， 由（ⅰ）知，， 所以 ， 可得， 所以， 则， 整理得， 解得或， 又， 所以， 将代入曲线方程中， 解得， 即， 则存在满足题意． 6．已知椭圆的左右焦点为，O为原点． (1)垂直于轴的直线交椭圆于A、B两点，且的面积，求直线的方程； (2)若椭圆上存在点，且，求的纵坐标； (3)直线过，且交椭圆于、两点，求证：为定值． 【答案】(1) (2) (3)若直线斜率不存在，则，此时可得， ，； 若直线斜率存在，设，将直线与椭圆方程联立：， 化简可得：. 判别式为：，设， 由韦达定理可得：. . = ， 从而此时. 综上可得：为定值. 【分析】（1）由题可得三角形面积表达式，计算可得答案； （2）根据余弦定理及椭圆的定义及计算可得答案； （3）分直线斜率不存在，直线存在两种情况，将直线与椭圆方程联立，利用韦达定理表示可完成证明. 【详解】（1）由题可得. 设直线，与椭圆联立可得：， 则可得，又设直线与轴交点为，则， 从而， 解得：， 则或，则，从而直线方程为：； （2）由题可得：，由余弦定理， ， 则，从， 又注意到，则， 即的纵坐标为； （3）略 7．已知双曲线的中心为原点，实轴在轴上，两条渐近线互相垂直，焦距为，其左、右顶点分别为、，左、右焦点分别为、. (1)求的方程； (2)为不在轴上的点，在直线、上分别取点、，使轴.为的中点，记.过作轴的平行线，过作轴的平行线，两直线交于点. （i）若，且点在直线上，求； （ii）若，求的值. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）. 【分析】（1）根据双曲线性质和已知条件列关于、、的方程组，解方程组即可. （2）（i）设，，由平行于轴，得，进一步根据已知条件表示出点坐标，再根据点在直线上列方程求出，利用两点距离公式求. （ii）设，根据得到，即点在双曲线上，再利用双曲线定义求解. 【详解】（1）设双曲线的方程为，则两条渐近线的斜率分别为、， 由两条渐近线互相垂直，得，所以. 由双曲线的焦距为，得， 又，所以，故的方程为，即. （2）（i）设，其中，则、. 设，，设、， 由可得，则， 所以，即点， 由可得，则， 所以，即点， 由平行于轴，得， 又，所以，记， 从而，，故点，. 当时，，由在直线上，得， 所以，故. （ii）由，得，所以，， 由及， 得，且，所以，即点在双曲线上. 由双曲线的定义，，故. 8．已知双曲线的实轴长为，左焦点到渐近线的距离为1. (1)求双曲线的标准方程； (2)记双曲线的左顶点为，直线交轴于点，过点的直线交双曲线的右支于点，直线分别交直线于点. ①若，求的值； ②若四点共圆，求证为定值，并求出该定值. 【答案】(1) (2)① ②证明： 四点共圆，且点， 所以设圆的方程为. 又点的横坐标为， 所以方程的两根为. . 又由①知， ， 解得（舍去），或. 故为定值. 【分析】（1）利用实轴长求，利用左焦点到渐近线的距离求，即可求得双曲线的标准方程. （2）①设出点坐标，联立直线和双曲线的方程，设出、坐标列出韦达定理，计算直线和的方程，表示出点和点的坐标，代入以及韦达定理，即可得到关于的方程，即可求解. ②利用四点共圆，设出圆的方程，代入点和点的横坐标，表示出各自的纵坐标，再利用①的结论，即可列出关于的方程，解出，即可得证. 【详解】（1）双曲线的实轴长为， ， . 由左焦点到渐近线的距离为1，得， 所以双曲线的标准方程为. （2）① ， 设直线的方程，联立， 消去得， 设，则，. ， 所以直线的方程. 令，得， 同理，得， ， ， . 9．已知抛物线：的焦点为．过点的直线与抛物线交于，两点，点在第一象限． (1)抛物线上一点到准线距离为4，求点到轴的距离； (2)直线与抛物线的另一个交点为，当时，求直线的方程； (3)是否存在定点，使得直线与斜率互为相反数，如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）利用抛物线定义，抛物线上点到准线距离等于到焦点距离，先求出点横坐标，代入抛物线方程求纵坐标绝对值，即为点到轴距离； （2）设直线方程并联立抛物线，利用韦达定理得到坐标关系，写出直线方程，联立抛物线求出点坐标，利用距离公式列方程，求出参数，得到直线方程； （3）假设定点存在，利用斜率互为相反数的条件，结合韦达定理化简，根据等式对任意参数恒成立，令各项系数为，求出定点坐标． 【详解】（1）抛物线：，，准线方程为． 设，抛物线上点到准线距离等于． 点到准线距离为，所以，得． 代入，得，． 所以点到轴的距离为． （2）设直线的方程为，，，， 联立，得，所以，． 设直线的方程为，联立，得， 所以，由，两式相除可得，所以， 所以，化简得，解得， 又因为点在第一象限，所以，则，代入到中， 所以，解得，所以直线的方程为． （3）假设存在这样的，设，， 所以， 即， 化简得， 即， 即对任意恒成立， 所以，解得， 所以假设成立，即存在． 10．已知椭圆：（）的离心率为，其右顶点为，直线过抛物线：的焦点，且与交于，两点，直线，分别与椭圆在轴的右侧部分交于，两点（为坐标原点）． (1)求椭圆的标准方程； (2)记直线，的斜率分别为，，求证：为定值； (3)记，的面积分别为，，求的最大值． 【答案】(1) (2)可设直线：，代入抛物线，整理得； 记，，则，， 所以（定值）． (3)． 【分析】（1）根据离心率求出，再由可得解； （2）设直线：，联立抛物线方程，利用韦达定理即可得证； （3）分别求出三角形面积，记，平方后利用基本不等式求最值即可. 【详解】（1）因为，又， 所以，所以， 故所求椭圆的标准方程为． （2）略 （3）因为，，显然，． 联立消去，解得，同理，可解得， 由（2）知，故得； 因为，，记，则， 故，即， 即，即，当且仅当时取到等号． 综上，的最大值为． 考点06 圆锥曲线中的定直线问题 一、解答题 1．已知椭圆的右焦点为，且经过点． (1)求椭圆的方程． (2)过的直线（不与轴重合）交于、两点，分别过、作的切线，两切线交于点，记的中点为，为坐标原点． （i）证明：点在定直线上． （ⅱ）求的取值范围． 【答案】(1) (2)（ⅰ）易知直线不与轴重合，设直线的方程为，设点、， 联立得， 则，由韦达定理得 设过点的切线为， 联立，得， 令上式中， 即，即， 即，即，即， 解得，故切线的方程可化为， 同理可得过点的切线的方程为， 联立，化简得， 两式相减得，即，所以点在定直线上． （ⅱ）． 【分析】（1）利用椭圆结合已知点坐标代入椭圆方程，联立求解得到，写出椭圆标准方程； （2）（i）设过焦点的直线为与椭圆联立得到纵坐标关系，写出椭圆在处的两条切线方程并联立，两式作差消元求得交点横坐标恒为，证明在定直线上； （ii）把代入切线方程求出点坐标，结合韦达定理得到弦中点坐标，通过斜率相等证明三点共线，再写出表达式，利用求该乘积的取值范围. 【详解】（1）由题意知，， 将点代入椭圆方程得，解得， 所以椭圆的方程为． （2）（i）略 （ii）将代入直线的方程，得，所以， 再由，及得，中点， 因为，所以三点共线． 所以， 因为，所以，所以． 2．已知椭圆的左､右焦点分别为，左､右顶点分别为，椭圆上动点满足，且两个焦点与短轴的上顶点构成等边三角形. (1)求椭圆的标准方程； (2)如图，过椭圆的右焦点作斜率不为0的直线交椭圆于两点，设直线与交于点，证明：点在定直线上； (3)求的最大值. 【答案】(1) (2)设直线， 联立曲线方程，消去可得， 整理可得， 显然， 设， 则， 直线，直线， 两直线方程联立可得， 代入可得， 化简可得， 因为，代入上式可得， 即， 因为不可能恒满足，所以， 所以点在定直线上. (3) 【分析】（1）根据椭圆的性质结合题意可得； （2）设直线方程，直曲联立得到韦达定理，利用点斜式得到，方程，联立解方程组再结合韦达定理化简可得； （3）由斜率关系和两直线夹角公式结合基本不等式和正切函数的性质可得. 【详解】（1）由可得， 因为两个焦点与短轴的上顶点构成等边三角形， 所以，所以， 所以椭圆的标准方程为. （2）略. （3）设，， 因为，所以， 设， 由两直线夹角公式， 由基本不等式可得，当且仅当时取等号， 因为，且在上单调递增， 所以，即的最大值为. 3．已知椭圆，过点且不过点的直线与椭圆交于，两点，过点作直线，使得，直线与直线相交于点． (1)求椭圆的离心率； (2)若三角形与四边形的面积比为4∶5，求直线的方程； (3)证明：点在直线上． 【答案】(1) (2) (3)证明：由题意知，点，可得 因为，可得直线，所以的方程为，即， 又因为，可得直线的方程为， 联立方程组，整理得， 因为点在直线上，可得，且 代入得，即， 即方程， 要证得点在直线上，只需这个方程的解为， 把代入上述方程，可得： 左边， 因为，可得， 所以左边， ， 所以左边右边，所以是联立方程组的解，所以点在直线上. 【分析】（1）根据题意，求得，结合椭圆的几何性质，即可求解； （2）设的方程为，联立方程组，求得，由，得到，求得，结合韦达定理，列出方程，求得的值，即可求解； （3）根据题意，分别求得直线和的方程，联立方程组，结合点在直线上，化简得到方程，进而证得是联立方程组的解，即可得证. 【详解】（1）解：由椭圆，可得，则， 所以椭圆的离心率为. （2）解：由题意知，直线过点，设直线的方程为， 联立方程组，整理得， 设，可得， 因为，所以， 又因为，可得，所以， 所以，即，可得，所以， 将代入，可得， 解得，所以， 所以，即， 整理得，所以， 当时，直线为，即，此时直线过点，不符合题意（舍去）； 当时，直线为，此时直线不过点，符合题意， 综上可得，直线的方程为. （3）略 4．已知椭圆：（）的左、右焦点分别为和，离心率为，上顶点为，且点到直线的距离为． (1)求椭圆的方程； (2)已知，为椭圆上的两个动点． （i）当取得最大值时，求的值； （ii）当直线在轴上的截距为4时，若椭圆在点，处的两条切线的交点在直线上，求直线的方程． 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）根据条件建立关于的方程组，即可求解； （2）（i）利用三角函数设点的坐标，再根据最值和对称性求点的坐标，即可求的值； （ii）利用导数设出点处的切线方程，再根据交点的坐标的特点，求直线的方程. 【详解】（1）设椭圆的焦距为，则①， 由题，椭圆的离心率②， 又点到直线的距离为，所以，得③， 由①②③解得，，， 所以椭圆的方程为． （2）（i）由（1）知，设， 则， 由二次函数的性质可得当时，取得最大值，所以最大值为， 此时，不妨取， 由椭圆的对称性可知当时， 取得最大值，此时取得最大值， 所以， 所以． （ii）由题可知，点，在轴的同侧， 根据椭圆的对称性，不妨设，在轴的上方，所以，则， 设直线的方程为，，， 则椭圆在点处的切线为，即， 同理可得椭圆在点处的切线为， 设，则，且， 所以，两点均在直线上， 又直线的方程为，即， 所以，，又，所以， 所以直线的方程为． 5．已知椭圆：的左、右顶点分别为，，是上与，不重合的一动点． (1)证明：直线与的斜率之积为定值； (2)直线，与直线分别交于点，，求的最小值； (3)若不过点且斜率为的直线与交于，两点，证明：的外心在定直线上． 【答案】(1)由椭圆方程可知：，则，， 设，，则，即， 可得， 所以直线与的斜率之积为定值． (2)6 (3)设，，直线：，， 联立方程，消去y得， 因为，解得且， 则，， 可得 则， ， ， 设外接圆的方程为，，圆心为， 把点代入圆的方程得， 因为点，在圆上，则， 可得， 即，整理可得， 且， 整理可得， 因为，且，即， 可得， 即，可得，整理可得， 代入得， 解得或， 当时，，不满足题意； 当时，即，则点在定直线上， 所以的外心在定直线上； 综上所述：的外心在定直线上. 【分析】（1）设，，可得，结合斜率公式分析证明； （2）设直线：，，结合（1）中结论可得，，再利用基本不等式求最小值； （3）设直线：，，与椭圆方程联立可得韦达定理，设外接圆的方程为，代入点结合韦达定理分析证明. 【详解】（1）略 （2）设直线：，，令得，即； 由（1）可知：，则， 可得直线的方程为，令得，即， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为6． （3）略 6．在平面直角坐标系中，点到点的距离与到直线：的距离之比为，记点的轨迹为曲线． (1)求的方程； (2)点，过点的直线与交于，两点． （ⅰ）当时，求的方程； （ⅱ）若直线斜率不为0，且直线与过点且垂直于的直线交于点，判断点是否在定直线上，并说明理由． 【答案】(1) (2)（ⅰ）． （ⅱ）假设点在定直线上， 由椭圆的对称性可知该定直线必然与轴垂直．     由题可知的斜率不为，且直线：， 直线：，联立， 得 ， 所以点在定直线上． 【分析】（1）设，由题可得，化简可得曲线方程； （2）（i）由题得，当的斜率为时，由可得直线方程；当的斜率不为时，设：，，，将直线方程与曲线方程联立，然后由结合韦达定理可得，据此可得答案； （ii）假设N在定直线上，由椭圆对称性可得该直线与x轴垂直，然后将直线AM与BN方程联立，结合韦达定理可得定直线方程. 【详解】（1）设，由题得， 即， 整理得， 所以 的方程为． （2）（ⅰ）由题得，     当的斜率为 时，可取，或，. 则，符合题意，此时的方程为 ；     当的斜率不为 时，设：，，， 联立，得， 则，，．     ，， 所以，即，不成立．     综上，的方程为 ．     （ⅱ）略 7．已知双曲线的中心为坐标原点，上焦点为，离心率为．记的上、下顶点分别为，过点的直线与的上支交于两点． (1)求的方程； (2)直线和的斜率分别记为和，求的最小值； (3)直线与交于点，证明：点在定直线上． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据焦点坐标与离心率确定，再由算出，即可写出标准方程； （2）联立直线与双曲线方程得到韦达定理，推导出，将目标式化为单变量二次函数，利用二次函数性质求最小值即可； （3）写出两条直线的方程并联立，代入的比例关系，化简后求得交点纵坐标恒为定值，即可证明点在直线上. 【详解】（1）设双曲线的标准方程为， 由题意可得，解得，， 所以双曲线的标准方程为. （2）双曲线的上下顶点为，，设直线的方程为， 设，， 联立，消去，可得， 则，，且， 所以， 所以， 所以，所以， 所以当时，的最小值为； （3）直线的方程为，直线的方程为， 联立，得，解得， 即点在定直线上． 8．已知分别是双曲线：的左、右顶点，点是双曲线上的一点，且． (1)求双曲线的方程； (2)已知过点的直线：，交双曲线的左、右两支于两点（异于）. （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）设直线与直线交于点，求证：点在定直线上． 【答案】(1) (2)（i）的取值范围为； （ii）证明：，，则， 直线的方程为①，直线的方程为②， 联立①②得，所以， 化简得， 所以， 所以点的横坐标始终为，故点在定直线上． 【分析】（1）根据求出或，验证后不符合题意舍去，然后求出，得到双曲线方程； （2）（i）由题意知，直线的方程为，设，，联立双曲线和直线方程，结合根的判别式和得到不等式组，从而求出的取值范围； （ii）在（i）的基础上，得到两根之和，两根之积，得到，表达出直线与直线的方程，联立得到，将代入，化简得到即可得证． 【详解】（1） 由题意可知，，， 因为，解得或， 若，则双曲线的方程为， 因为是上一点，所以，解得，不满足题意； 若，则双曲线的方程为， 因为是上一点，所以，解得，满足题意； 所以双曲线的方程为； （2） （ⅰ）由题意知，直线的方程为，设，， 联立，化简得， 因为直线与双曲线左右两支相交，所以， 所以，解得或， 所以的取值范围为； （ⅱ）略 9．如图的封闭图形的边缘由抛物线和垂直于抛物线对称轴的线段组成，已知，抛物线的顶点到线段所在直线的距离为2． (1)请建立适当的平面直角坐标系，用方程表示这个封闭图形的边缘； (2)求证：抛物线的任何两条相互垂直的切线的交点都在同一条直线上． 【答案】(1)封闭图形的边缘抛物线部分的方程为，（），线段部分的方程为，（） (2)当时，抛物线的切线为轴，没有与其垂直的切线． 所以可设抛物线上的点，，，且抛物线在，处的切线互相垂直， 由，得，求导得， 则抛物线在处的切线方程分别为，， 因两切线互相垂直，则，即，代入， 得，即①， 由，得②， 联立①②式，消去，可得，即， 因为，所以， 所以抛物线的任何两条相互垂直的切线的交点都在直线上． 【分析】（1）以抛物线的顶点为坐标原点，抛物线的对称轴所在直线为轴建立坐标系，设抛物线的标准方程，即可求得抛物线方程，进而得到该封闭图形边缘的方程； （2）设切点坐标，利用导数的几何意义，分别求出相应的切线方程，根据切线垂直得其坐标间的关系，用切点坐标表示切线的交点即可得交点都在同一直线上． 【详解】（1）如图，以抛物线的顶点为坐标原点，抛物线的对称轴所在直线为轴建立平面直角坐标系， 则抛物线的顶点为，，， 设抛物线的标准方程为，（）， 则，解得， 所以封闭图形的边缘抛物线部分的方程为，（），线段部分的方程为，（）． （2）略 10．已知抛物线的焦点为，上的点到的距离为5． (1)求的值； (2)若，，为上异于点的两点，直线的斜率为． ①证明：的重心在定直线上运动； ②设直线与轴交于点，线段的中点为，线段的中点为，过点向直线作垂线，垂足为．求点的轨迹方程． 【答案】(1) (2)①设，， 则的重心为， 由于直线的斜率，则， 所以，，故的重心在直线上运动．得证； ② 【分析】（1）由抛物线焦半径公式求得，再结合抛物线方程求得，即可求解； （2）①由斜率公式，结合重心坐标公式即可证明；②先设弦端点坐标，借助重心条件求出两点纵坐标和为定值，从而证明直线的斜率为定值；再由定斜率设出直线方程，与抛物线联立并结合韦达定理求出中点坐标，证明相关辅助直线恒过定点，最后由垂足所成直角推出轨迹为定圆. 【详解】（1）根据抛物线焦半径公式， ，所以， 代入抛物线方程得 ，故 ． （2）①略； ②设直线的方程为．设，． 联立，整理得． 所以， 设为的中点，则：，， 即． 直线与轴交点，，则中点． 由于，所以． 所以． 直线的斜率：， 直线的方程：，整理得． 则直线经过定点． 因为，于点， 所以点在以为直径的定圆上，所以点在定圆上， 又， 所以点的轨迹方程为． 考点07 向量问题 一、解答题 1．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，长轴长为4，上一点与，所构成三角形的周长为.设直线：与交于，两点，为坐标原点． (1)求的方程； (2)若过的上顶点和，为线段上一点，直线与交于点，且，求的坐标． 【答案】(1) (2)或． 【分析】(1)利用长轴长求出，再由焦点三角形周长公式求出，最后通过确定椭圆的标准方程； (2)先由顶点和焦点坐标求出定直线的方程，再将向量关系转化为点与点坐标的倍数关系，把点坐标代入椭圆方程得到的轨迹方程，与直线联立即可解得的坐标． 【详解】（1）由已知得， 得，所以：． （2）由（1）可知，椭圆的上顶点坐标为，左焦点的坐标为， 直线经过这两点，其斜率为， 所以直线的方程为， 因为点在线段上，且在直线上， 所以可设点的坐标为， 由， 得， 即， 已知，所以， 由此可得， 即点的坐标为， 因为点在上，所以， 整理得，解得或， 所以或． 2．已知椭圆：（），直线：被椭圆截得的弦长为，且满足，过椭圆的右焦点且斜率为的直线与椭圆交于，两点. (1)求椭圆的标准方程； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意得到，再结合，求出即可； （2）根据题意得到直线的方程，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理和向量数量积的坐标表示即可求解. 【详解】（1）由被椭圆截得的弦长为，得，又，所以，即，解得，， 所以所求的椭圆的方程为. （2）设，，椭圆的右焦点，所以的方程为， 联立，化简得， 由韦达定理得，；， 所以. 3．已知椭圆的左右焦点是、，离心率为． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线被椭圆截得的线段长为，求的值； (3)若为坐标原点，直线过且与椭圆交于、两点，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据条件确定的值，可得椭圆的标准方程. （2）利用弦长公式，可得的值. （3）设直线方程为，与椭圆方程联立，利用韦达定理，表示出，分离常数，可求的最大值. 【详解】（1）由题意，， 所以椭圆的标准方程为：. （2）将代入椭圆方程， 可得，整理得：. 由. 设直线与椭圆的交点为，， 则，， 所以. 又， 所以，故的值为. （3）如图， 当直线方程为时，； 当直线斜率不为0时，可设其方程为，代入椭圆方程， 得， 整理得：. 设，，则，， 所以， 所以， 当时，取得最大值，为. 4．已知椭圆，若其焦距为，且点在椭圆上， (1)求的方程； (2)已知直线过点，与轴交于点，与椭圆相交于，两点．若，求直线方程． 【答案】(1) (2) 或 （也可整理为或） 【分析】（1）结合椭圆上点的坐标与联立求解，得到椭圆标准方程； （2）设直线斜率为，根据向量相等推导交点坐标关系，联立直线与椭圆方程，借助韦达定理求，得到直线方程. 【详解】（1） 由题意椭圆焦距，得，因此 ①. 将点代入椭圆方程得： ，化简为 ②. 将代入②，两边同乘消去分母得： ， 整理得， 解得（负根舍去），故. 因此椭圆的方程为； （2）由题意直线斜率存在且不为，设直线方程为. 令得，故，将 与椭圆方程联立， 消去得： ，. 设，由韦达定理得. 因，则， 因此： ，. 又，得， 化简得，解得. 因此直线的方程为或。 5．已知椭圆经过点和． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知直线与椭圆相交于，两点，为坐标原点； （i）证明：； （ii）设点与点关于原点对称，求的值． 【答案】(1) (2)（i）设,联立直线与椭圆方程， 消去整理可得， 由韦达定理可得； 又， 当时，可得 ； 当时，可得，此时直线， 此时，两点坐标分别为和，或者和； 显然此时，，满足，即； 综上可知； （ii）1 【分析】（1）代入两点坐标解方程组计算可求得椭圆方程； （2）（i）联立直线与椭圆方程,整理可得可得，根据韦达定理并利用向量数量积为即可证明； （ii）结合（i）中可知，垂直平分，即，所以. 【详解】（1）将点和代入椭圆方程可得， 解得； 即椭圆的标准方程为； （2）（i）略 （ii）因为点与点关于原点对称，所以为的中点，即， 由（i）中可知，垂直平分， 即为线段的垂直平分线上的一点，即到两点的距离相等，即 所以. 6．已知椭圆的左、右焦点分别为，. (1)求椭圆的离心率； (2)设点为第一象限内椭圆上的点，若，求点的坐标； (3)过右焦点的直线与椭圆交于，两点，在轴上是否存在定点，使得的值为定值？若存在，求出定点的坐标及该定值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)假设存在定点，使得的值为定值. 当直线AB的斜率为0时，， 当直线AB的斜率不存在时，， 由，得到，且， 接下来判断当点T的坐标为，直线AB的斜率存在且不为0时，的值是否为定值， 设直线AB的方程为， 联立方程，得到， 则，， . 所以当点T的坐标为时，为定值. 【分析】（1）由椭圆方程得到的值即可求离心率； （2）设， 由，得到，联立椭圆方程，即可求解点坐标； （3）先假设存在定点，由直线AB的斜率为0时，，直线AB的斜率不存在时，，则，得到，且，设直线AB的方程为，联立方程组利用韦达定理，再判断当点T的坐标为， 即可. 【详解】（1）由椭圆，得到，即 所以 所以. （2）由题可得焦点， 设，则， 由，即 化简得到， 联立椭圆方程，消元得到， 因为，所以，代入，由解得， 所以 （3）略 7．已知双曲线， (1)求双曲线离心率： (2)过点作不垂直于轴的直线交双曲线于两点．若点，点在双曲线的右支上，且是的中点，求直线的斜率； (3)点在上，，分别为双曲线的左、右焦点．若，求． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由标准方程读出 ，利用 求 ，代入离心率公式 即得 ； （2）由 三点位置，结合中点条件可求，代入双曲线方程可求（依右支舍去负根），再代回斜率公式得 ； （3）将 展开整理得 ，与双曲线方程联立消元求得 ，以 为底求焦点三角形面积。 【详解】（1） 双曲线 （2）已知 是 中点， 设 ，由中点公式： ∵ 在双曲线 上，代入双曲线方程可得，故， 把 代入可得，所以， ∵ 在右支， 由 ，得 ，即 直线 过 （3）由已知 设 ， ，故， 又在双曲线上，故，即， 联立方程组， 所以 s所以 8．已知双曲线：（，）的离心率为，且点在双曲线上，过点作不垂直于轴的直线交双曲线于、两点． (1)求双曲线的方程； (2)若，且，求直线的斜率； (3)若，，分别是双曲线的左、右焦点，是关于轴的对称点，若存在直线使得，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据离心率公式以及将点代入方程即可求解双曲线的方程； （2）设直线方程为，与双曲线联立方程，利用韦达定理结合弦长公式求解即可； （3）设直线l方程为，联立求出，由题意得且，再根据，求出，结合且可求出答案. 【详解】（1）对于双曲线：，，，则， 将点，代入得，解得， 所以双曲线的方程为． （2）当直线斜率为0时，易知，舍去； 当直线斜率不为0时，设直线方程为，，， 联立，整理得，， ， ，，     从而，解得或， 故直线的斜率为或． （3）当直线斜率为0时，易知与共线，不符合题意； 当直线斜率不为0时，设直线l方程为， 设，，则， 联立，整理得， （*）且， ，， 因为，，如图4， 所以，， 所以， 即， 即， 整理得，即，     代入（*）中得，又，所以， 又因为，即，所以且， 综上，m的取值范围为． 9．已知双曲线：（，）的离心率为，焦距为4． (1)求的方程； (2)已知为坐标原点，过点且斜率不为0的直线与的右支交于，两点，且，求的斜率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由离心率可得，再由焦距为4，可得，再结合可得，于是可得的方程为； （2）直线与双曲线方程联立得到，由韦达定理，再结合，可得方程，解得斜率为. 【详解】（1）设的焦距为，由题意得， 可解得， 所以的方程为. （2）设：，，． 由得， 得 由，得， 则， 得，． 由， 得，得． 当时，，与的右支交于两点， 所以的斜率为． 10．已知抛物线的焦点为． (1)若点在抛物线上，求：直线OD与直线DF的夹角； (2)设，直线与抛物线交于两点，若抛物线上存在点满足，求证：； (3)设四边形的顶点均在抛物线上，直线过抛物线的焦点，对角线交于点，若点的横坐标的取值范围是，求：直线PQ斜率的取值范围． 【答案】(1) (2)抛物线的焦点为，由， 得： 联立直线与抛物线，得， 故，. 因此，. 因在抛物线上，故. 直线与抛物线有两交点，判别式， 代入得：， 又，故. (3) 【分析】（1）利用求夹角即可； （2）结合向量运算与韦达定理，通过判别式限制参数范围； （3）利用抛物线弦的纵坐标性质求点坐标，化简斜率表达式后分析取值范围. 【详解】（1）点在抛物线上，代入得，解得； ，， 设两直线夹角为，则， 两直线夹角为. （2）略 （3）设， 设直线的方程为， 由消去并化简得， ，则， 则，，故. 直线过，联立与抛物线，得， 故，，即. 同理，直线过，得，，即. 直线的斜率：， 令，， 则. 令，. 函数在上递增： 当（即），，故； 当（即），，故. 综上所述，的取值范围是. 考点08 定义相关问题 一、解答题 1．已知平面上动点到定点的距离与点D到直线的距离比为．动点D的轨迹为曲线E (1)求曲线E的方程； (2)已知点P为直线上任一点，过点P作曲线E的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，过曲线E的右顶点Q作垂直于x轴的直线与直线PA，PB分别交于M，N两点，点M，N的纵坐标分别为m，n．求mn的值．并求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据动点所满足的条件直接可得曲线的方程； （2）先设切点，进而可得切点连线的方程为，结合根与系数的关系可得故，再用基本不等式可得最小值. 【详解】（1）根据题意，动点满足：, 两边平方整理得： , 展开化简得：，即 .所以曲线E的方程为. （2）设，切点，因为双曲线过切点的切线方程为， 因此： 切线：，切线：. 因为在两条切线上，代入得，，故直线的方程为.所以直线过定点. 将代入双曲线方程，整理得关于的二次方程： , 由韦达定理：,.如图： 右顶点，过垂直轴的直线为，代入切线方程得： ， 所以 代入韦达定理得： 因为，，故， 由均值不等式： , 当且仅当时等号成立，代入，解得时等号成立， 因此的最小值为. 【点睛】 2．设圆锥的内切球与圆锥面切于小圆，记小圆的平面为，圆锥母线与平面的线面角为，斜截面与平面的二面角为，点为截面与圆锥面截线上任意一点，母线交小圆于点，截面与球的切点为，连接．求点的轨迹． 【答案】当时，斜截面与圆锥母线平行，点的轨迹是抛物线，当时，斜截面与圆锥母线同侧相交，点的轨迹是椭圆，当时，斜截面与圆锥母线异侧相交，点的轨迹是双曲线的一支，当时，斜截面与圆锥母线同侧相交，点的轨迹是圆． 【分析】分类讨论点到定点的距离与到定直线的距离的比值，根据圆锥曲线的第二定义即可得解. 【详解】 设截面与平面的交线为，过点作， 圆锥轴截面与斜截面的交线为，则，且． 由于圆台的母线长相等，故有， 过点作，交直线的延长线于点，则是斜截面与平面的二面角的平面角，所以． 又，故在中，由正弦定理得，即． 因而，截线上任意一点到定点与到定直线的距离的比是定值． 当时，斜截面与圆锥母线平行，此时，截线是抛物线， 当时，斜截面与圆锥母线同侧相交，此时，截线是椭圆， 当时，斜截面与圆锥母线异侧相交，此时，截线是双曲线， 当时，斜截面与圆锥母线同侧相交，此时，截线是圆． 综上，当时，斜截面与圆锥母线平行，点的轨迹是抛物线， 当时，斜截面与圆锥母线同侧相交，点的轨迹是椭圆， 当时，斜截面与圆锥母线异侧相交，点的轨迹是双曲线的一支， 当时，斜截面与圆锥母线同侧相交，点的轨迹是圆． 3．设椭圆的右焦点为，离心率为． (1)求的方程； (2)设为上任意一点，证明：到直线的距离等于； (3)过点的直线与交于两点，若，求的方程． 【答案】(1)； (2) 设，点到直线的距离为，则， 因为， 所以，得证. (3)或. 【分析】（1）根据离心率列方程求出，然后可得，即得方程； （2）设出点坐标，根据两点间的距离公式和点到直线的距离公式直接计算可证； （3）利用（2）中结论，求出的中点横坐标，结合椭圆对称性可得. 【详解】（1）由题知，，解得，所以， 所以椭圆的方程为. （2）略 （3）过及其中点分别作直线的垂线，垂分别为， 由（2）可知，， 所以，所以点在轴上， 由椭圆对称性可知，当直线垂直于轴时，的中点为，满足题意， 此时直线方程为； 当直线不垂直于轴时，的中点与点不重合， 此时中点和点都在轴，此时直线方程为. 综上，的方程为或. 4．已知动点与定点的距离与它到定直线的距离的比是常数， (1)求动点的轨迹； (2)过上述轨迹上一点作轨迹的切线与两直线分别交于、两点，证明：三角形的面积是定值． 【答案】(1) (2) 设点M坐标为，设曲线在点M处的切线方程为， 与双曲线方程联立，消去，可得， 整理得， 所以且， 解得，代入，得， 所以切线方程为， 与联立得，与联立得， 故. 【分析】（1）由题意得，化简即可； （2）设点M坐标为，设曲线在点M处的切线方程为，与双曲线方程联立求得切线方程，分别与直线和联立可求得的横坐标，计算可求解. 【详解】（1）根据题意得，则可得， 将上式两边平方，得， 整理得，所以， 所以 （2）略 5．（1）在平面直角坐标系中，点绕坐标原点O逆时针旋转得到点．试证明：点的轨迹方程为． （2）若点P在曲线上运动，现将点P绕坐标原点O顺时针旋转得到点M，求点M的轨迹方程． （3）若直线l过点且与（2）中M点的轨迹在y轴右侧交于A，B两点，，求直线l的方程． 【答案】 （1）证明：设直线OP的倾斜角，直线OQ的倾斜角为， 则．，，， ，即， 所以. （2）； （3）或 【分析】（1）根据直线倾斜角之间的关系与两角和的正弦、余弦公式即可证明； （2）设点，点，由（1）可知，化简后结合点P在曲线上运动即可求解； （3）根据直线与双曲线的位置关系，结合双曲线的第二定义可求直线方程. 【详解】解：（1）略 （2）设点，点， 由（1）的结论可得， 化简得，即， 因为点P在曲线上运动，所以， 则点M的轨迹方程. （3）由题意知F为双曲线的右焦点， 若A在x轴上面，过A，B两点分别向准线作垂线交准线于，， 过点B向作垂线交于点C， 设，则，由双曲线第二定义得，， 在中，，，则， 所以， 所以直线l的方程为. 若点A在x轴下面，同理可得， 直线l的方程为或. 【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有： （1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思； （2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言； （3）将已知条件代入新定义的要素中； （4）结合数学知识进行解答. 6．已知为坐标原点，椭圆的离心率，椭圆的左，右焦点分别为是椭圆上一动点，且的最大值为2. (1)求椭圆的方程； (2)记到椭圆在点处切线的距离为，求的值； (3)若射线与直线交于点，点在射线上，满足. 过点作直线与椭圆相交于点，且点为弦的中点，证明：直线过定点. 【答案】(1) (2)2 (3) 设，， 因为均在椭圆上， 所以，两式相减得， 整理得，， 而，， 则，设直线的方程为，， 联立，得， 则， ， 因为直线的方程为，则， 联立，得， 分别过作轴的垂线，垂足为，设直线与轴交于点， 由，得，即， 则，即， 即，即， 则直线的方程为， 所以直线过定点. 【分析】（1）结合椭圆的定义及的最大值为2可得，进而结合离心率即可求解； （2）设，可得，进而结合椭圆在点处切线为，再结合点到直线的距离公式可得到切线的距离为，进而椭圆的第二定义可得，从而求解即可； （3）利用点差法可得，设直线的方程为，，进而联立方程，结合韦达定理可得，同时得到，分别过作轴的垂线，垂足为，设直线与轴交于点，结合题设可得，进而得到，从而确定定点. 【详解】（1）因为，则， 因为的最大值为2，且的最小值为， 则，即， 又，则，， 所以椭圆的方程为. （2）由（1）知，， 设，则，即， 则椭圆在点处切线为，即 则到切线的距离为， 椭圆的右准线为， 则到右准线为的距离为， 根据椭圆的第二定义可知，， 即，则， 则， 所以. （3）略 【点睛】方法点睛:解决圆锥曲线直线过定点问题，常常用以下几种方法： （1）数形结合法:通过建立坐标系，将抽象数学问题转化为直观几何问题； （2）参数法:通过设点过设参数，将复杂的问题转化为简单的问题，从而方便求解； （3）代入法:将已知的公式或定理代入到问题中，从而解决问题； （4）化简法:通过化简方程或不等式，将问题转化为更容易解决的形式. 7．已知椭圆过点为的右焦点，轴，且，如图，过点的两条动直线交椭圆于. (1)求实数的值； (2)设是的动点，过点作直线的垂线为垂足，求； (3)记，若直线的斜率为，求的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由椭圆方程得，由已知条件得，代入椭圆方程待定系数可得； （2）设出动点的坐标，将坐标化，由点的坐标适合椭圆方程，代入化简可得； （3）利用正弦定理化边为角，利用（2）结论化斜为直，将转化为即来表示，再化边为角得到，在中可得，最后利用三角函数有界性可得最值. 【详解】（1）由椭圆的方程， 得，故， 因为点在椭圆上，轴，且， 所以的坐标为， 代入椭圆方程得，解得. （2）由（1）知椭圆的方程为， 设动点，则，所以， 故， 又， 所以. （3）不妨设的外接圆半径为，由， 则在中，由正弦定理， 所以. 如图，过分别作直线的垂线，垂足分别为，， 过作于点， 由（2）的结论可得， 所以，即， 所以， 又，得， 则在中，，即， 所以，当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为. 【点睛】关键点点睛：解决本题难点即第三问的关键在于转化：一是应用正弦定理化边为角的转化，设，则；二是利用（2）结论化斜为直，将斜线段之差转化为来表示；三是将直线的斜率转化为直角三角形内角的正切值来表示，从而求. 8．如图，已知双曲线：，点B是C的左顶点，点F是C的右焦点，点A是C上的一个动点（在第一象限内），是C的右准线，直线与的交点为P.过点A作直线的平行线，与l的交点为Q，与x轴的交点为S. (1)证明：当点A在C上运动时，的大小为定值. (2)探讨与的大小关系. 【答案】(1) 过点作于点，设与轴交于点， 由双曲线，可得， 则，且，所以， 所以，因为，所以， 由三角的内角平分线的性质，可得为的平分线， 设，因为，所以，则， 因为，可得，所以， 所以，所以为等腰三角形， 所以， 所以，即，所以当点在上运动时， 的大小为定值. (2) 【分析】过点作于点，设与轴交于点，根据双曲线的定义，证得，得到为的平分线，再由，得到为等腰三角形，进而求得，即可得证； （2）由（1）知，得到，即可得到结论. 【详解】（1）略 （2）由（1）知，所以， 所以与的大小关为. 9．已知、分别是椭圆的左、右焦点，点在上. (1)证明：（其中为的离心率）； (2)当时，是否存在过点的直线与交于两点，其中，使得成立？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) 设，因为点在上，所以，故， 故， 又，所以，故，所以； (2)存在，或. 【分析】（1）将点代入椭圆方程，结合椭圆上的点的横坐标范围计算即可得， （2）由（1）所得内容结合题意可得与交点横坐标有关等式，假设存在该直线，设出直线方程与椭圆联立后消去纵坐标可得与两交点横坐标有关韦达定理，结合韦达定理代入所得等式，计算即可得直线. 【详解】（1）略 （2）假设存在这样的直线，由题易知，，， 由（1）知， 由椭圆定义知， 因为，所以， 整理得①， 因为，显然直线的斜率存在， 设，由，故椭圆方程为：， 联立，得， 所以， 且，，代入①式， 有， 化简整理得，解得， 故直线存在，且它的方程为或. 【点睛】方法点睛：直线与圆锥曲线的综合问题，往往需要将直线与圆锥曲线的方程联立，从而消去横坐标或纵坐标，得到与纵坐标或横坐标有关韦达定理，借助韦达定理进行计算. 10．我们给予圆锥曲线新定义：动点到定点的距离，与它到定直线（不通过定点）的距离之比为常数（离心率）.我们称此定点是焦点，定直线是准线.已知双曲线. (1)求双曲线的准线； (2)设双曲线的右焦点为，右准线为.椭圆以和为其对应的焦点及准线过点作一条平行于的直线交椭圆于点和.已知的中心在以为直径的圆内，求椭圆的离心率的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）将曲线变型，得到双曲线的方程，然后得到其准线方程； （2）根据椭圆的定义先用离心率表示出椭圆方程，然后和直线联立，利用韦达定理得出圆心坐标，半径，然后根据点和圆的位置关系列出不等式. 【详解】（1）由，得. 所以双曲线的中心，右焦点，， 所以准线为或. （2）   设是椭圆上任意一点，上椭圆的长轴长，椭圆的焦距， 设， 则.① 又直线的方程为.② 由①②联立得， 由题意知是这个方程的两个根， 所以 所以， 所以圆心坐标为. 从而有 又在椭圆中，根据椭圆的定义，当为椭圆左顶点时，设， ，得.又，所以， 故椭圆的中心坐标为， 又点在以为直径的圆内， 所以， 整理得， 即. 因为椭圆的离心率，所以 即，故. 考点09 新定义问题 一、解答题 1．已知在平面直角坐标系中，将平面内一点绕坐标原点沿顺时针方向旋转角（为任意正角），称为顺旋，且将顺旋得到的点记为，其坐标满足． (1)设为轴上一点．若将点顺旋得到点，求点的坐标（用表示）． (2)已知反比例函数，其图象记为曲线，若将曲线顺旋（即曲线上每一点顺旋），得到曲线． （ⅰ）求曲线的方程． （ⅱ）当，，三点都在曲线上，且任意两点的横坐标都不相同，的垂心为．证明：也在曲线上． 【答案】(1) (2)（ⅰ）； （ⅱ）曲线由的图象旋转而来，旋转保持垂直关系不变，故三角形垂心经过相同旋转之后仍是垂心， 题目等价于三点都在曲线上，的垂心为．证明：也在曲线上. 设， 已知，， 则，即， 两式相减得，代入得， 则，即在曲线上， 证毕. 【分析】（1）新定义直接代入，将,代入顺旋坐标公式，算出坐标. （2）（ⅰ）设原曲线上点满足，旋转后点；用反解出，代入原方程化简，得到，；（ⅱ）题目等价于三点都在曲线上，的垂心为．证明：也在曲线上.设点的坐标，根据垂直得到斜率之积为，列方程组求出即可证明. 【详解】（1）已知顺旋公式： ， 点，， 代入，， . （2）（ⅰ）曲线：，即， 设为曲线上任意一点，顺旋得到， ， 所以， 两式相加可得， 两式相减可得， 因为，代入： ， ， 所以曲线方程：. （ⅱ）略. 2．如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆：的左､右焦点分别为，，左､右顶点分别为，，正方形的面积为6，.对椭圆上不与，重合的任意点，定义其对应的“对偶直线”如下：设直线交直线于点，直线交直线于点，直线定义为. (1)求椭圆的方程； (2)记点，，到直线的距离分别为，，，求的最大值； (3)平面上是否存在一个定点，满足：对正方形边界上的任一点，总存在椭圆上的两个不同的点，使得直线经过点，且对偶直线与相交于定点.若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)不存在， 假设存在定点，满足题目要求； 对于椭圆上异于点的另一点，则， 记直线与的交点坐标为，则， 因此直线同时经过点，此即为直线方程. 对于线段上的任一点，因为直线经过点，所以， 故对给定的点S，直线与的交点一定落在直线上，该直线方程变形得， 令，因此该直线一定经过点， 因此若存在定点，则点坐标只可能为 同理，对于线段上的任一点，可得此时直线与的交点一定落在直线， 但点不一定落在该直线上，与假设矛盾，故不存在. 【分析】（1）利用椭圆和正方形的性质建立方程求解； （2）利用点表示出，，，注意利用点是线段的中点，计算，并根据最终代数式求得最大值； （3）利用反证法，假设存在定点，分别讨论在正方形各边上时点的坐标，推出矛盾 【详解】（1） 因为椭圆长轴，所以， 因为正方形的面积为，所以其边长为，则其对角线，所以， 所以，故椭圆的方程为 （2）设点，因为点是椭圆上异于，的点，所以，且，； 直线的方程为，可得； 直线的方程为，可得； 故直线的斜率， 由得，故， 故直线的方程为，化简得， 故 所以， 设原点 到直线距离为，则 因为点是线段的中点，所以， 因此，当时取到最大值. （3）略 3．定义：若圆心在坐标原点的圆O与焦点在坐标轴上的圆锥曲线在两个不同点具有公切线，则称圆O为圆锥曲线的“开口圆”；已知椭圆C的“开口圆”与双曲线的“开口圆”相同．椭圆C的短轴长为2，过点作椭圆C的两条切线，作倾斜角为锐角的直线交椭圆于两点，设中点为． (1)请直接写出椭圆C及其“开口圆”的标准方程； (2)若椭圆C除顶点外的点都在其“开口圆”内： ①：若在轴上，且椭圆上存在点使得∥，设，求：的取值范围； ②：若在椭圆C的“开口圆”上，记的斜率为，求证： ． 【答案】(1)开口圆的标准方程：；椭圆C的标准方程： 或 (2)① ②证明：设，且；设过点的直线与椭圆相切， 联立：化简得： 由得 点在直线上，得代入上式： 化简得： 因为是椭圆的两条切线，所以是上面方程的两根 由韦达定理得； 由得 所以 ，又 所以． 【分析】（1）画出图形，则可以写出开口圆，椭圆C的标准方程； （2）①利用向量平行转化斜率相等，联立直线与椭圆方程消元，用判别式求解；②设出过P点的切线方程，结合椭圆方程相切得判别式，构造关于k的一元二次方程，两条切线斜率就是方程两根，韦达定理求和. 【详解】（1）开口圆的标准方程： 椭圆C的标准方程： 或    （2）①若椭圆C除顶点外的点都在其“开口圆”内,则椭圆C的标准方程是， 由题意，显然直线的斜率存在，且或，故可设直线，、， 联立， 消去得，， 即＞0   (1)，则，， 则，，，故， 若，则有，设直线为， 联立，消去有， 要使得存在点，则， 整理得，故  (2)， 联立(1) (2)解得： ②略. 4．已知过点且斜率为的直线被圆截得的弦长为 (1)求过点的圆的切线方程； (2)已知两个定点，，其中，.为圆上任意一点，（为常数）. ①求常数的值； ②“曼哈顿距离”也叫“出租车距离”，是19世纪德国犹太人数学家赫尔曼·闵可夫斯基首先提出来的名词，用来表示两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，即在直角坐标平面内，若，，则，两点的“曼哈顿距离”为，若过点作直线与圆交于、两点，且点恰好是线段的中点，又已知点，求的取值范围. 【答案】(1)或； (2)①②. 【分析】（1）由圆的弦长公式可求得圆的方程，再分别讨论过点的圆的切线斜率不存在和存在两种情况，利用直线和圆的位置关系计算得到切线方程； （2）①由可得，结合两点间的距离公式，化简可得结果；②由中点条件将 与 的关系转化为直线 与单位圆相交，从而得到 ；再在此范围内分段讨论 的单调性，合并各段值域即得最终取值范围. 【详解】（1）由题意，过点且斜率为的直线方程为， 又圆到该直线的距离为， 所以该直线被圆截得的弦长为，解得， 所以圆的方程为，圆心坐标为，半径为， 当过点的圆的切线斜率不存在时，切线方程为； 当切线斜率存在时，设切线方程为，即. 由，解得，则切线方程为， 所以过点的圆的切线方程为或. （2）①设点，则，， 因为，，所以， 又，化简得， 因为为圆上任意一点，所以， 又，，解得，所以常数. ②由①知， ，所以圆 ，，， 曼哈顿距离： 因为直线 过 ，与圆交于 ，且 为 的中点，设 ，则 ， 由 在圆 上，得 又 在圆上：，两式相减得 因为直线 与圆有两个交点，分别为， 故圆心到该直线的距离小于1，所以， 整理得，解得，所以 ， 令，在 上分段求值域： 当，，在上单调递减，所以此时值域为； 当，，在上单调递增，所以此时值域为； 当，， 时取最大值 ，值域为 ； 当， ，在上单调递增，值域为 ； 综上所述，. 5．在平面直角坐标系中，对于直线和点，记，若，则称点被直线分隔.若曲线与直线没有公共点，且曲线上存在点被直线分隔，则称直线为曲线的一条分隔线. (1)若直线是曲线的分隔线，求实数的取值范围； (2)已知动点到点的距离与到轴的距离之积为1.设点的轨迹为曲线，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是的分隔线. 【答案】(1) (2) 点被直线分隔，即， 设点，则由题意可得， 故曲线的方程为①. 对任意的，不是上述方程的解，即轴(即)与曲线没有公共点. 又曲线上的点、对于轴(即)对称，满足， 即点和被轴分隔，所以轴，即为曲线的分隔线. 若过原点的直线不是轴，设为，代入， 可得， 令， 当时，， 所以在区间有实数解， 当时，有实数解. 与有公共点，所以不是的分隔线. 所以通过原点的直线中，有且仅有一条直线是的分隔线，即. 【分析】（1）联立可得，根据此方程无解，可得，验证曲线上的点和被分隔，从而求得的范围. （2）设点，与条件求得曲线的方程为①.由于轴为，显然与方程①联立无解.把的坐标代入，由，可得轴，即是一条分隔线. 【详解】（1）联立，可得. 根据题意，此方程无解，故有，所以. 当时，对于直线， 点被直线分隔，即， 曲线上的点和满足，即点和被分隔. 故实数的取值范围是. （2）略 6．椭圆是坐标原点，若的三个顶点都在椭圆上，且满足，则称该三角形为“核心三角形”. (1)是否存在“核心三角形”，其中两个顶点恰好是椭圆的两个顶点，并说明理由； (2)已知是“核心三角形”. （i）证明：的面积是定值； （ii）若为等腰三角形，这样的三角形有几个？并说明理由. 【答案】(1) 不存在，理由如下：不妨设，为椭圆的两个顶点， 椭圆的四个顶点坐标分别为， 由知，原点不可能是的中点， 所以为长轴的两个顶点和短轴的两个顶点显然不成立． 不妨设，则由得， 显然不满足椭圆方程，即点不在椭圆上． 同理可得，或时，点不在椭圆上． 综上所述，不存在＂核心三角形＂，其中两个顶点恰好是椭圆的两个顶点． (2) （i）当直线的斜率不存在时，，两点关于轴对称， 此时或，不妨设，则 由知：直线的方程为， 所以的面积为：． 当直线的斜率存在时，设的方程为：， 联立消去y得：， 由得：，① 设，则由韦达定理知：， ，又由可得 ，即. 把代入得：②， 因为是的重心，所以， 由，原点到直线的距离， 所以 所以． 综上所述，的面积是定值． （ii）若为等腰三角形，这样的三角形有4个．理由如下： 由题意不妨令， 当直线的斜率不存在时，满足题意的等腰三角形有2个； 当直线斜率为0时，满足题意的等腰三角形也有2个． 当直线的斜率存在且不为0时，由（i）知：， 所以的斜率， 那么由，即与不垂直， 这与且为的重心矛盾， 即当直线BC的斜率存在且不为0时，不存在满足题设的等腰三角形． 综上所述，若为等腰三角形，这样的三角形有4个． 【分析】（1）求出椭圆四个顶点，根据向量和为0得不可能是的中点，假设，求出，分析其不在椭圆上，同理得到其他情况，即可判断； （2）（i）首先求出当直线的斜率不存在时，的面积，再设的方程为：，联立椭圆方程，得到韦达定理式，从而得到点坐标，再将其代入回椭圆方程得到关系式，最后根据弦长公式和点到距离公式计算三角形面积即可； （ii）首先考虑当直线的斜率和其斜率为0时的情况，最后再讨论斜率存在且不为0的情况即可. 【详解】（1）略 （2）略 7．已知椭圆可由椭圆绕原点逆时针旋转得到.经过（）变换：可将椭圆的方程转化为的方程. (1)若上的点经过（*）变换后得到上的对应点的坐标为，求的值； (2)设椭圆的焦点为（其中在第一象限）. （i）求的坐标； （ii）过在第一象限内的顶点作切线，过作轴的垂线，在上且在外的一点作的两条切线，切点分别为，直线和分别交直线于两点.证明：直线和的交点在定直线上. 【答案】(1) (2)（i）， （ii）与联立,得,即， 故，直线的方程为：，切线， 设，， 则切线：， 因在切线上，故 ； 同理：，  . 由，解得 ， 同理可得 . 直线， 直线， 联立解得， 故直线和的交点在定直线上. 【分析】 （1）利用信息建立方程组可求解； （2）（i）由题意得的方程组，求出变换后的焦点坐标，再利用变换求出变换前的焦点坐标； （ii）求出点A坐标，直线及的方程，设出切点坐标，写出切线方程，切线方程与直线m联立求出交点坐标，再求出直线和的方程及交点坐标即可证明. 【详解】（1）由题意得，解得，所以. （2）（i）由题意得，化简得，解得， 故曲线的焦点坐标为. 设，则，， 解得，所以. （ii）略 8．对于，定义曲线. (1)求曲线与直线的公共点的坐标； (2)记为曲线被轴所截得的线段长度与被轴所截得的线段长度之和，求当变化时，的最小值； (3)设坐标原点为，若对于任意，曲线上均存在不同两点，使得，且，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意，化简曲线的方程为，联立方程组，即可求解； （2）根据题意，化简得到曲线方程，令，得到，求得，得到曲线被轴和轴上所截得的线段长度分别为和，得到，进而得到答案； （3）设，将两点坐标代入曲线的方程，得到，转化为存在，使得，列出不等式组，即可求解. 【详解】（1）曲线，两边平方整理得， 联立方程，解得，所以公共点坐标为. （2）曲线， 两边平方整理得： ， 令，可得， 由， 可得， 所以曲线被轴所截得的线段长度为， 同理可得，曲线被轴所截得的线段长度为， 所以 ， 当且仅当时，等号成立，因此的最小值为. （3）设，，，，，则， 曲线的方程代入点坐标可得 ， ， 因，则，而，故，因此， 存在使得方程成立，即存在，使得和有两个不同解， 因，设，， 则，， 令，则，，需存在使得，即， 因此，且存在使得， 可得：，则， 要使有解，需：且，解得. 9．曲率半径可用来描述曲线上某点处的弯曲变化程度，曲率半径越大，则曲线在该点处的弯曲程度越小．已知椭圆上点处的曲率半径公式为．已知椭圆上所有点相应的曲率半径的最大值为，最小值为． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与椭圆相交于两点，且线段的中点坐标为，求直线的方程： (3)记椭圆的左焦点为，为椭圆上一动点，定点，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据椭圆方程可得，进而可得，结合题意可得，即可得方程； （2）设，，根据题意利用点差法可得，即可得方程； （3）根据椭圆定义可得，代入结合图形的性质分析求解. 【详解】（1）因为点在椭圆上，则，即， 可得， 因为，则， 可得，所以， 则，，解得， 所以椭圆的标准方程为. （2）因为，可知点在椭圆内，直线与椭圆必相交， 设，，则线段的中点坐标为， 可得，，， 因为点，在椭圆内， 则，两式相减得， 整理可得，即，可得， 所以直线的方程为，即. （3）由题意可知：，则椭圆的左、右焦点分别为，， 因为，即， 则， 当且仅当点在的延长线上时，等号成立， 所以的最大值为. 10．法国数学家笛莎格在《圆锥曲线论稿》中给出了这样的定义：给定一点和一条直线，将直线称为点关于椭圆的极线.已知点关于椭圆的极线为直线. (1)求的方程； (2)若为上任意一点. ①过点作椭圆的割线交椭圆于A，B两点，记PQ，QA，QB所在直线的斜率依次为，求证：. ②过点作直线和椭圆相交于E，F两点，分别连接PE，PF交于点M，N，记EF，MN，PQ和轴的交点依次为，求证：为线段的中点. 【答案】(1) (2) ①证明：设，设直线AB的方程为：， 又椭圆方程可化为， 即， 由， 得， 设，则（★） 故为（★）的两个解， 所以， 因为AB过，故，故， 故， 又，所以. ②证明：连接QM，QN， 由①中的结论可知， 又，故即Q，M，N三点共线， 如图所示，设， 则， 由①中结论知，，故， 故，故为线段的中点. 【分析】（1）根据极线的定义直接求解即可； （2）①设直线AB的方程为，又椭圆方程可化为，利用齐次化方法化简得，结合韦达定理及两点斜率公式化简证明；②先利用①的结论证明Q，M，N三点共线，进而利用斜率关系证得为线段的中点. 【详解】（1）由题意易知，极线的方程为即. （2）①略 ②略 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $