第二章 圆锥曲线（高效培优讲义）数学北师大版高二选择性必修第一册

该高中数学圆锥曲线单元复习讲义通过思维导图系统构建知识体系，以表格对比椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程及几何性质，梳理轨迹方程求解方法和直线与圆锥曲线位置关系，明确重点难点及内在逻辑联系。 讲义亮点在于分题型设计练习，涵盖离心率计算、焦点弦与中点弦等8类核心题型，典例结合变式，强化点差法、韦达定理等技巧，培养数学思维与运算能力。分层题目满足不同学生需求，助力自主复习，为教师提供精准教学支持。

第二章 圆锥曲线 教学目标 ①掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义、几何图形、标准方程以及简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率、渐近线等）。 ②会根据条件求解圆锥曲线标准方程；理解各个参数的几何意义以及相互之间的关系式。 ③掌握直线与圆锥曲线的位置关系，会联立直线与曲线方程，运用韦达定理处理弦长、中点、交点问题；会求曲线的轨迹方程。 ④理解圆锥曲线统一定义，能够解决圆锥曲线综合问题，掌握数形结合、坐标法的解析几何核心思想。 教学重难点 1. 重点 椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何性质，参数的关系。 求圆锥曲线的标准方程；轨迹方程求解。 直线与圆锥曲线相交：弦长公式、中点弦（点差法）、韦达定理的应用。 2. 难点 定义的灵活运用，双曲线渐近线、离心率范围问题，抛物线焦半径、焦点弦性质。 直线与圆锥曲线综合大题：存在性问题、最值、范围、定点定值问题，计算量大，对代数变形能力要求高。 轨迹问题区分定义法、直译法、相关点法；区分是否要剔除不符合条件的点。 设而不求思想的灵活运用，判别式检验，容易忽略联立后的限制条件。 知识点 01 椭圆 定义：平面内与两个定点的距离之和等于常数2a的点的轨迹； 若2a=2c轨迹是线段；2a<2c无轨迹。 标准方程 焦点在x轴： 焦点在y轴： 参数关系：，a长半轴，b短半轴，c半焦距；焦点或 几何性质：范围、关于 x 轴 y 轴原点对称；顶点； 离心率：；e越接近 1 椭圆越扁；e越接近 0 椭圆越圆。 焦半径：椭圆上点到焦点距离。 知识点 02 双曲线 定义：平面内与两定点距离差的绝对值等于常数2a点轨迹； 去掉绝对值仅表示双曲线的一支；2a=2c是两条射线；2a>2c无轨迹。 标准方程 焦点x轴： 焦点y轴： 参数关系：，c>a>0 几何性质：范围、对称性、顶点； 渐近线：焦点 x 轴：；焦点 y 轴：； 离心率，，e越大双曲线开口越开阔。 知识点 03 抛物线 定义：平面内，到定点F（焦点）与定直线l（准线）距离相等的点的轨迹（定点不能在定直线上）；p：焦点到准线距离，p>0。 四种标准方程与对应性质 表格 标准方程 焦点坐标 准线方程 对称轴 x 轴，开口向右 x 轴，开口向左 y 轴，开口向上 y 轴，开口向下 几何性质：只有一条对称轴，无中心；焦半径：抛物线上一点到焦点距离，等于该点到准线距离； 焦点弦：过焦点的直线截抛物线所得弦，有常用二级结论。 知识点 04 求轨迹方程 直译法（直接法）：把几何条件直接翻译成坐标等式； 定义法：判断轨迹满足椭圆 / 双曲线 / 抛物线定义，直接写标准方程； 相关点法（代入法）：动点随已知曲线上点运动； 参数法；注意：要剔除不符合条件的点。 知识点 05 直线与圆锥曲线的位置关系 联立直线方程与圆锥曲线方程，消元得到一元二次方程 ：两个不同交点（相交）；一个公共点（相切）；无交点。 ⚠️注意：直线与双曲线、抛物线交于一点，不一定相切，有可能直线与渐近线平行 / 与抛物线对称轴平行。 弦长公式 设交点，直线斜率为k 韦达定理（设而不求）：，用于中点、向量、面积计算。 点差法（中点弦）：处理已知弦中点求直线斜率问题，椭圆、双曲线适用，求出结果务必带回检验。 知识点 06 圆锥曲线综合 定点、定值、最值、取值范围、存在性问题；面积、向量数量积综合；焦点三角形性质。 题型 1：圆锥曲线基本量与离心率计算 【典例1】已知椭圆的左右焦点分别为，，点P为椭圆上不同于左右顶点的任意一点，的重心为G，内心为I，且有（为实数），斜率为1的直线经过，且与圆相切，则椭圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式1】双曲线（，）的左顶点为A，右焦点为F，若以为斜边的直角三角形的面积的最大值为，则双曲线C的离心率为（     ） A． B． C． D． 【变式2】双曲线的左、右焦点分别为，，过且垂直于直线的直线与交于点，与的右支交于点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知圆与双曲线的渐近线相切，则双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 题型 2：定义法求最值（距离、线段和差） 【典例1】已知，，为抛物线上一动点，则的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式1】已知，M为抛物线上一动点，N是圆上一点，则的最小值是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【变式2】已知曲线上的动点到点的距离比它到直线的距离小，则（    ） A．曲线的方程为 B．若以为直径的圆过点，则 C．若点到直线， 的距离分别为，则的最小值为 D．已知是曲线上的两点，若，则线段的中点到轴的距离为 【变式3】求解下列问题： (1)已知，分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线外一点，点在双曲线的右支上，求的最小值； (2)已知双曲线的方程为，点的坐标为，是圆上的点，点为其圆心，点在双曲线的右支上，求的最小值． 题型 3：焦点三角形综合问题 【典例1】记焦距为2的双曲线的左右焦点分别为，，过的直线分别交的左右两支于，两点．若，则面积的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 【变式1】在平面直角坐标系中，双曲线的左、右焦点分别为，直线与E在第一象限内相交于点P，过点P作x轴的平行线与E相交于另一点Q，若，，则（    ） A． B．E的渐近线方程为 C． D．的外接圆半径为 【变式2】已知椭圆：的左焦点为，点在上，点，且，则点到轴的距离为____________． 【变式3】（1）设是椭圆上一点，是椭圆的焦点，如果点到焦点的距离为，那么点到焦点的距离是多少？ （2）已知椭圆的两焦点为，，为椭圆上一点，且，，求的面积. 题型 4：焦点弦与中点弦（韦达定理、点差法） 【典例1】已知抛物线，为坐标原点，过焦点的直线交抛物线于，两点，为线段的中点，则直线的斜率的最大值为（    ） A． B．2 C．1 D． 【变式1】已知直线与抛物线交于，两点，是抛物线的焦点，则下列判断一定正确的是（    ） A．若，则 B． C．过点作直线的垂线，垂足为点，为原点，则，，三点共线 D．直线，（为坐标原点）的斜率之积为 【变式2】已知直线经过椭圆的左焦点，且与椭圆相交于，两点，为椭圆的右焦点，的周长为8，则弦长______． 【变式3】已知抛物线：（）经过点，其焦点为，过焦点的直线与抛物线交于、两点，定点． (1)求抛物线的方程； (2)若直线的斜率为1，求的面积； (3)设点在抛物线上，试问直线上是否存在点，使得四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 题型 5：切线问题 【典例1】已知抛物线的焦点为，准线为．过点作直线交于，两点，分别过，作的切线，两切线交于点．若，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知抛物线，为上一点，过点的直线交于两点，为坐标原点，则（    ）． A．的焦点坐标为 B．直线与相切 C． D．的取值范围为 【变式2】双曲线：的离心率为，其右焦点到渐近线的距离为． (1)求双曲线的标准方程； (2)设点在双曲线的右支上，以为切点作双曲线的切线，与其两条渐近线分别相交于点，证明：为线段的中点． 【变式3】已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点，椭圆的短轴长为，的最大值为． (1)求椭圆的方程； (2)椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发向点的光线，经过椭圆上的点处的椭圆切线反射，反射光线必然经过椭圆的另一个焦点．设过点的椭圆的切线为直线，过作的垂线交于，求点的轨迹方程； (3)点的轨迹交轴于，（在左侧）两点，过点作直线交于，两点，证明：直线，的交点在一条定直线上． 题型 6：定值、定点证明问题 【典例1】已知椭圆：的离心率为，左顶点为. (1)求的方程； (2)过的右焦点作斜率不为0的直线交于,两点. （i）若直线的倾斜角为，为坐标原点，求的面积； （ii）设直线与直线的斜率分别为，，试判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由. 【变式1】已知抛物线与椭圆有相同的焦点，点是椭圆的右顶点． (1)求椭圆离心率； (2)已知点，，若椭圆上存在一点，满足，求的值； (3)若直线与交于、两点，且为直角，求证：直线恒过定点． 【变式2】已知椭圆（）的离心率为，左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，，过右焦点的直线交椭圆于点，，且的周长为． (1)求椭圆的标准方程； (2)当的长度为时，求直线的斜率； (3)记直线、的斜率分别为，，证明：为定值. 【变式3】已知椭圆的离心率为，且经过点. (1)求椭圆E的方程. (2)点为椭圆E上任意一点，点H为坐标原点O关于直线的对称点，记点H的轨迹为曲线. （i）求曲线的方程； （ii）以O为端点作射线m（不与坐标轴重合），与曲线和椭圆分别交于点P，Q，证明：为定值，并求出该定值. 题型 7：面积相关问题（求面积、面积最值、面积比例） 【典例1】已知直线的斜率为1，在轴上的截距为，若直线与椭圆交于、两点，是原点． (1)求实数的取值范围； (2)当的面积最大时，求的直线方程． 【变式1】（1）已知椭圆与圆，若在椭圆上存在点P，使得由点P所作的圆的两条切线互相垂直，求椭圆C1的离心率的取值范围； （2）已知动点P在椭圆上，为椭圆的焦点，若，，且恒成立，求实数的最小值. 【变式2】在平面直角坐标系中，设抛物线：，点（）．过点的直线与交于，两点，设点到直线的垂足为，记的面积为． (1)若，且轴，求； (2)求关于的表达式； (3)当直线变化时，若为定值，则求出的值，并求该定值． 【变式3】已知椭圆的焦距为2，椭圆上的点到两焦点距离之和为． (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线交于，两点，直线与的另一个交点为，若的面积是的面积的4倍，求的方程． 题型 8：轨迹方程问题 【典例1】已知动圆过点，且与圆相内切，记动圆圆心的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)设斜率为的直线与的交点为，与轴的交点为，若，求直线的方程. 【变式1】（1）已知点到点的距离比到轴的距离大，求点的轨迹方程； （2）已知点分别为椭圆的左、右焦点，直线l经过点，且与椭圆交于，两点，求面积的最大值，并求此时的直线的方程. 【变式2】已知椭圆，为的右焦点，点，在上，且关于轴对称，，分别为线段，的中点，为坐标原点． (1)求的方程； (2)证明：是定值； (3)是否存在点，使得，若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【变式3】已知圆，关于直线对称的点在圆上，直线与线段交于点． (1)求点的轨迹方程； (2)探究直线与点轨迹的关系； (3)记的面积为，的面积为，当时，求此时直线的方程． 1．离心率为的椭圆和离心率为的双曲线的交点构成四边形，的渐近线与的交点构成四边形，若，且四边形与四边形的面积相等，则（    ）. A．1 B．2 C．3 D．4 2．直线过抛物线的焦点，交抛物线于，两点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．已知，分别为椭圆的左、右焦点，点在上，且的周长为16，则面积的最大值为（     ） A．6 B．12 C．16 D．24 4．若圆与双曲线的渐近线相切，则的离心率是（   ） A． B． C． D． 5．已知椭圆：（）与抛物线：（）有相同的焦点，椭圆与抛物线在第一象限交于点，轴，则椭圆的离心率等于（     ） A． B． C． D． 6．已知抛物线的焦点为，点是抛物线上异于原点的一点，点在轴正半轴上，且，，则四边形的面积是（    ） A． B． C． D． 7．已知抛物线的焦点为F，准线l与x轴的交点为B，过抛物线上一点A作准线l的垂线，垂足为H，若为线段的中垂线，且，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 8．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 9．若双曲线：的两条渐近线均与圆：相交，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 10．关于方程，下列说法正确的有（ ） A．若，它表示焦点在轴上的双曲线 B．若，它表示焦点在轴上的双曲线 C．方程有可能表示等轴双曲线（满足） D．若方程表示双曲线，则或 1．已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，且，点，是椭圆上关于坐标原点对称的两点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若点在第一象限，轴于点，直线交椭圆于点（不同于点），证明：； (3)已知点在椭圆上，直线与圆相切，连接，问：是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由． 3．设分别是椭圆的左、右焦点． (1)若是该椭圆上的一个动点，且，求点的坐标； (2)设过定点的直线与椭圆交于不同的两点，且为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围． 4．已知双曲线：（，）的右焦点与抛物线的焦点重合，且双曲线的渐近线方程为． (1)求双曲线的方程； (2)已知直线过点且与双曲线交于，两点，若，求直线的方程． 5．椭圆的离心率，过右焦点的直线与上下两个交点为，． (1)求椭圆的标准方程； (2)椭圆的左右顶点分别为，，直线，分别交轴于，两点，试问：与的面积比是否为定值，若为定值，证明你的结论；若不为定值，请说明理由． 6．已知椭圆，点为椭圆的右焦点，过点作直线交曲线于、两点，当直线与轴垂直时，． (1)求曲线的方程； (2)若轴上一点满足． （i）求实数的值； （ii）若，求的面积． 7．已知椭圆：的左、右焦点为，，点是椭圆的上顶点，经过的直线交椭圆于，两个不同的点． (1)求点到直线的距离； (2)若是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值； (3)若直线的斜率为，且，求实数的值． 8．已知椭圆：（）的离心率为，且过点，为其右焦点． (1)求椭圆的方程； (2)求过点的直线与椭圆相交于，两点（点在，两点之间），若与的面积相等，试求直线的方程． 9．已知椭圆（）的左、右焦点分别为、，直线（）与椭圆交于、两点（点在点的上方），与轴交于点． (1)当时，点为椭圆上除顶点外任一点，求的周长； (2)若椭圆的离心率为，当为何值时，恒为定值；并求此时面积的最大值． 10．设为椭圆上任一点，椭圆的左右焦点分别为、，，. (1)求证：离心率； (2)求的最值． 11．已知动点分别与定点和连线的斜率乘积． (1)求动点的轨迹方程； (2)是的右焦点，若过点，与曲线交于，两点，是否存在轴上一定点，使得以为直径的圆恒过该定点？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由． 12．已知椭圆的左焦点为，离心率为. (1)求椭圆E的标准方程； (2)过椭圆E右焦点的直线l与椭圆E交于A，B两点，若，求直线l的方程. 13．在平面直角坐标系中，椭圆：（）的长轴长是短轴长的2倍，点在椭圆上，斜率为的直线与椭圆相交于，两点（异于点）． (1)求椭圆的方程； (2)若的面积为，求直线的方程； (3)记直线与的斜率分别为，，直线，的斜率分别为，，证明：． 14．已知抛物线的焦点为． (1)求抛物线的方程； (2)设直线与抛物线相交于两点， （ⅰ）若，求实数的值； （ⅱ）为坐标原点，求重心的轨迹方程． 15．已知椭圆：（），过的右焦点且与轴垂直的直线被截得的线段长为. (1)求的离心率； (2)设为坐标原点，给定点，为上的点，过作轴的垂线，垂足为，直线与直线的交点为.当在上运动时，点的轨迹为.求的方程. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 圆锥曲线 教学目标 ①掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义、几何图形、标准方程以及简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率、渐近线等）。 ②会根据条件求解圆锥曲线标准方程；理解各个参数的几何意义以及相互之间的关系式。 ③掌握直线与圆锥曲线的位置关系，会联立直线与曲线方程，运用韦达定理处理弦长、中点、交点问题；会求曲线的轨迹方程。 ④理解圆锥曲线统一定义，能够解决圆锥曲线综合问题，掌握数形结合、坐标法的解析几何核心思想。 教学重难点 1. 重点 椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何性质，参数的关系。 求圆锥曲线的标准方程；轨迹方程求解。 直线与圆锥曲线相交：弦长公式、中点弦（点差法）、韦达定理的应用。 2. 难点 定义的灵活运用，双曲线渐近线、离心率范围问题，抛物线焦半径、焦点弦性质。 直线与圆锥曲线综合大题：存在性问题、最值、范围、定点定值问题，计算量大，对代数变形能力要求高。 轨迹问题区分定义法、直译法、相关点法；区分是否要剔除不符合条件的点。 设而不求思想的灵活运用，判别式检验，容易忽略联立后的限制条件。 知识点 01 椭圆 定义：平面内与两个定点的距离之和等于常数2a的点的轨迹； 若2a=2c轨迹是线段；2a<2c无轨迹。 标准方程 焦点在x轴： 焦点在y轴： 参数关系：，a长半轴，b短半轴，c半焦距；焦点或 几何性质：范围、关于 x 轴 y 轴原点对称；顶点； 离心率：；e越接近 1 椭圆越扁；e越接近 0 椭圆越圆。 焦半径：椭圆上点到焦点距离。 知识点 02 双曲线 定义：平面内与两定点距离差的绝对值等于常数2a点轨迹； 去掉绝对值仅表示双曲线的一支；2a=2c是两条射线；2a>2c无轨迹。 标准方程 焦点x轴： 焦点y轴： 参数关系：，c>a>0 几何性质：范围、对称性、顶点； 渐近线：焦点 x 轴：；焦点 y 轴：； 离心率，，e越大双曲线开口越开阔。 知识点 03 抛物线 定义：平面内，到定点F（焦点）与定直线l（准线）距离相等的点的轨迹（定点不能在定直线上）；p：焦点到准线距离，p>0。 四种标准方程与对应性质 表格 标准方程 焦点坐标 准线方程 对称轴 x 轴，开口向右 x 轴，开口向左 y 轴，开口向上 y 轴，开口向下 几何性质：只有一条对称轴，无中心；焦半径：抛物线上一点到焦点距离，等于该点到准线距离； 焦点弦：过焦点的直线截抛物线所得弦，有常用二级结论。 知识点 04 求轨迹方程 直译法（直接法）：把几何条件直接翻译成坐标等式； 定义法：判断轨迹满足椭圆 / 双曲线 / 抛物线定义，直接写标准方程； 相关点法（代入法）：动点随已知曲线上点运动； 参数法；注意：要剔除不符合条件的点。 知识点 05 直线与圆锥曲线的位置关系 联立直线方程与圆锥曲线方程，消元得到一元二次方程 ：两个不同交点（相交）；一个公共点（相切）；无交点。 ⚠️注意：直线与双曲线、抛物线交于一点，不一定相切，有可能直线与渐近线平行 / 与抛物线对称轴平行。 弦长公式 设交点，直线斜率为k 韦达定理（设而不求）：，用于中点、向量、面积计算。 点差法（中点弦）：处理已知弦中点求直线斜率问题，椭圆、双曲线适用，求出结果务必带回检验。 知识点 06 圆锥曲线综合 定点、定值、最值、取值范围、存在性问题；面积、向量数量积综合；焦点三角形性质。 题型 1：圆锥曲线基本量与离心率计算 【典例1】已知椭圆的左右焦点分别为，，点P为椭圆上不同于左右顶点的任意一点，的重心为G，内心为I，且有（为实数），斜率为1的直线经过，且与圆相切，则椭圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，表达出的纵坐标为，结合椭圆定义可用两种方法表达出的面积，从而得到方程，求出，根据直线和圆的位置关系得到方程，求出，进而得到，得到椭圆方程 【详解】由题意得，设，， 因为的重心为G，所以， 因为，则，所以的纵坐标为， 又因为，， 所以， 因为为的内心，所以为的内切圆的半径， 则， 故，所以，即， 斜率为1的直线经过，故直线的方程为， 因为直线与圆相切，所以，解得， 所以，， 故椭圆的方程为. 【变式1】双曲线（，）的左顶点为A，右焦点为F，若以为斜边的直角三角形的面积的最大值为，则双曲线C的离心率为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据为直角三角形，得到， 的面积为，利用不等式用表示的面积的最大值，得到的齐次式后求解离心率. 【详解】 因为为直角三角形，所以， 又，所以， 因为为以为斜边的直角三角形，所以的面积为， 又，， 所以， 当且仅当时取等号，即面积的最大值为， 又面积的最大值为，所以，即， 代入，得即， 故离心率为. 【变式2】双曲线的左、右焦点分别为，，过且垂直于直线的直线与交于点，与的右支交于点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件得过且垂直于直线的直线方程，联立两直线方程求出，再结合条件求出，利用点在双曲线上，得到间的关系，即可求解. 【详解】设，其中，， 则过且垂直于直线的直线为， 由，解得，所以， 又，且三点共线，点在双曲线右支上，则， 所以，得到，， 所以，又点在双曲线上， 所以，整理得到，得到， 又，所以. 【变式3】已知圆与双曲线的渐近线相切，则双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】由双曲线方程得其一条渐近线的方程，由圆得圆心、半径，利用直线与圆相切列方程即可得． 【详解】由双曲线，可得其一条渐近线的方程为，， 由圆，得，则圆心为，半径， 则圆心到直线的距离为，则，可得. 题型 2：定义法求最值（距离、线段和差） 【典例1】已知，，为抛物线上一动点，则的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】根据抛物线定义可得，进而可解. 【详解】由抛物线的方程为，其焦点坐标为，准线为， 所以为抛物线的焦点， 因为在抛物线内部，作出示意图如下， 过点作准线的垂线，垂足为， 由抛物线定义可知，， 当且仅当三点共线时等号成立. 【变式1】已知，M为抛物线上一动点，N是圆上一点，则的最小值是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】将转化为，再根据抛物线的定义考虑三点共线时的情况，由此求解出的最小值. 【详解】的焦点为，准线为， 即为， 所以圆心为即为焦点，半径，显然在抛物线内部， 过点作垂直准线，交准线于点，    所以，当且仅当三点共线时取等号， 又当且仅当三点共线时取最小值， 此时最小值为， 所以的最小值为5. 【变式2】已知曲线上的动点到点的距离比它到直线的距离小，则（    ） A．曲线的方程为 B．若以为直径的圆过点，则 C．若点到直线， 的距离分别为，则的最小值为 D．已知是曲线上的两点，若，则线段的中点到轴的距离为 【答案】BC 【分析】根据抛物线定义，利用抛物线性质，平面向量垂直的坐标表示，点到直线的距离公式，中点公式逐项分析即可. 【详解】选项A，由动点到点的距离比它到直线的距离小， 等价于动点到点的距离等于到直线的距离， 根据抛物线的定义可得，曲线的轨迹是焦点为，准线为的抛物线， 设抛物线方程为：，由题意知：， 所以曲线的方程为，故A错误； 选项B，设此时， 因为以为直径的圆过点，所以，即， 又，所以即，① 又，② 联立①②，解得：，即， 根据抛物线性质可得：，故B正确； 选项C，由为抛物线的准线方程，设点到直线的距离为， 根据抛物线的定义可得：， 设点到直线的距离为， 所以， 要使得有最小值， 当且仅当三点共线时，也即，如图所示， 问题转化为求点到直线的距离即， 由点到直线的距离为：， 所以的最小值为，故C正确； 选项D，设，如图所示： 根据抛物线的性质可得：， 由，则，即， 所以线段的中点的横坐标为：， 所以线段的中点到轴的距离为，故D错误. 【变式3】求解下列问题： (1)已知，分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线外一点，点在双曲线的右支上，求的最小值； (2)已知双曲线的方程为，点的坐标为，是圆上的点，点为其圆心，点在双曲线的右支上，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用双曲线定义把求的最小值转化为求的最小值，再利用两点间线段最短求解； （2）利用双曲线定义，结合圆的性质及两点间线段最短求解最小值． 【详解】（1）由题意知， 所以要求的最小值，只需求的最小值， 如图1所示，连接交双曲线的右支于点， 当点位于点处时，最小，最小值为． 故的最小值为． （2）设点的坐标为，则点，是双曲线的焦点， 如图2所示，连接，， 由双曲线的定义，得． 所以． 因为点是圆上的点，圆的圆心为，半径为1， 所以，从而， 当且仅当点，在线段上时，等号成立， 故的最小值为． 题型 3：焦点三角形综合问题 【典例1】记焦距为2的双曲线的左右焦点分别为，，过的直线分别交的左右两支于，两点．若，则面积的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】设过的直线为并与双曲线联立，由韦达定理表示；根据结合距离公式可得；再由双曲线定义用表示、，结合、、的位置关系得，从而；换元，利用导数求的最大值，即得面积的最大值. 【详解】由焦距为2得，设双曲线方程为，焦点，. 设过的直线为，与双曲线交于，. 将代入双曲线方程，整理得， 所以. 由得，即. 代入，化简得，所以. 联立得，化简得， 由可得， 由双曲线定义，对于左支上的，；对于右支上的，. 又，所以，. 因在的左侧，故. 到直线的距离，所以面积. 代入得, 令，则. 设，求导得. 故当时取最大值，所以. 所以面积的最大值为，选项 B 正确. 【变式1】在平面直角坐标系中，双曲线的左、右焦点分别为，直线与E在第一象限内相交于点P，过点P作x轴的平行线与E相交于另一点Q，若，，则（    ） A． B．E的渐近线方程为 C． D．的外接圆半径为 【答案】ABD 【分析】A选项，利用直线斜率求得，余弦定理求得，由得结果；B选项，由勾股定理求，结合双曲线定义求出，可得渐近线方程；C选项，求出的横坐标结合曲线对称性可得的值；D选项，由正弦定理得的外接圆半径． 【详解】显然，由得， ， 由余弦定理得， ，于是，故选项A正确； 由勾股定理得，， 由定义得，，， 故渐近线方程为，故选项B正确； 显然的横坐标满足，，由曲线对称性可知，故选项C错误； ， ∴由正弦定理得的外接圆半径，故选项D正确． 【变式2】已知椭圆：的左焦点为，点在上，点，且，则点到轴的距离为____________． 【答案】 【分析】设点，写出向量坐标，利用向量点积公式建立方程；结合椭圆方程消元求出，再代入椭圆求，即为点到轴的距离． 【详解】椭圆：，，，，左焦点． 设，则，， ， 整理得：，由椭圆方程得：， 代入上式得：，整理得， 解得或．又因，则， 将其代入椭圆方程：，解得， 即点到轴的距离为． 【变式3】（1）设是椭圆上一点，是椭圆的焦点，如果点到焦点的距离为，那么点到焦点的距离是多少？ （2）已知椭圆的两焦点为，，为椭圆上一点，且，，求的面积. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据椭圆的定义即可求解； （2）根据给定条件，求出焦距，进而求出长短半轴长，在中由余弦定理求出，再由三角形面积公式计算作答. 【详解】（1）已知椭圆方程为，则， 又因为，，所以. （2）依题意，，椭圆长轴长， 即长半轴长，设短半轴长为，有，如图所示，    在中，由余弦定理得， 有， 解得，， 所以的面积是. 题型 4：焦点弦与中点弦（韦达定理、点差法） 【典例1】已知抛物线，为坐标原点，过焦点的直线交抛物线于，两点，为线段的中点，则直线的斜率的最大值为（    ） A． B．2 C．1 D． 【答案】D 【分析】联立直线与抛物线方程得到弦中点坐标，进而表示出直线的斜率，结合不等式性质求解最大值. 【详解】∵ 抛物线，，∴ 焦点的坐标为. 分两种情况讨论： ① 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，代入抛物线方程得， 故，，中点，此时直线的斜率为. ② 当直线的斜率存在时，设直线的方程为（）， 联立，消去整理得. 设，，由韦达定理得， ∴ . ∵ 为线段的中点， ∴ 的横坐标，纵坐标. ∴ 直线的斜率. 要求的最大值，不妨设（时斜率为负，显然小于正数），则. 由基本不等式得，当且仅当即时等号成立， ∴ . 综上，直线的斜率的最大值为. 【变式1】已知直线与抛物线交于，两点，是抛物线的焦点，则下列判断一定正确的是（    ） A．若，则 B． C．过点作直线的垂线，垂足为点，为原点，则，，三点共线 D．直线，（为坐标原点）的斜率之积为 【答案】AC 【分析】通过联立方程组，整理得到一元二次方程，由韦达定理求得交点坐标的关系，由抛物线的定义和性质，逐一判断各个选项. 【详解】由题意可知，直线一定过焦点， 联立方程组，整理得， 设， 则， 即 当时，，由交点弦长公式可知，A选项正确； ， 则，B选项错误； 直线，则，则，， 因为，，所以，所以，，三点共线，C选项正确； ，所以，D选项错误. 【变式2】已知直线经过椭圆的左焦点，且与椭圆相交于，两点，为椭圆的右焦点，的周长为8，则弦长______． 【答案】 【分析】先根据直线经过左焦点，求出，再根据椭圆定义结合的周长为8，求出，进而求出椭圆的标准方程；联立直线与椭圆方程，表示出韦达定理，根据弦长公式即可求出弦长. 【详解】设左焦点为，又直线经过左焦点，则， 因为的周长为8，由椭圆定义可得，所以，又， 所以，因此椭圆标准方程为，设， 联立方程，化简得，则， 根据弦长公式可得. 【变式3】已知抛物线：（）经过点，其焦点为，过焦点的直线与抛物线交于、两点，定点． (1)求抛物线的方程； (2)若直线的斜率为1，求的面积； (3)设点在抛物线上，试问直线上是否存在点，使得四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【分析】（1）利用待定系数法，即可求出结果； （2）求出直线的方程，将其与抛物线方程联立，由韦达定理求得，再结合线段的长度，根据三角形面积公式即可求出结果； （3）由题意，设，，由于四边形是平行四边形，则的中点为，可得与的关系，将其代入抛物线方程，可求出的值，即可求出点的坐标，并对其检验，即可得到结果. 【详解】（1）将代入得，故， 抛物线方程为，焦点. （2）直线的斜率为1且过，直线：，即， 代入得，设，， 韦达定理，，， ，，且，即、位于轴两侧， 故. （3）四边形为平行四边形，顺次顶点，则对角线与互相平分， ，，故的中点为， 设，， 则由中点关系，，，即， 将代入直线， 得， 化简得，即，解得或， ①当时，，，四点，，， 四点不在同一条线上，对角线互相平分，构成平行四边形，符合题意； ②当时，，，四点，，，，四点不在同一条线上，对角线互相平分，构成平行四边形，符合题意； 综上，对应点的坐标为或. 题型 5：切线问题 【典例1】已知抛物线的焦点为，准线为．过点作直线交于，两点，分别过，作的切线，两切线交于点．若，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设过，点的切线方程，分别与抛物线联立，求得切线方程，将切线方程联立，可求得．又，，即可求得直线的斜率的取值范围. 【详解】设直线的斜率为． 设过点的切线的斜率为，方程为． 联立，消去得． 由，得． 所以直线的方程为，化简得直线的方程为． 同理可得直线的方程为． 联立，解得. 又，且，代入上式化简得，即． 由于抛物线的焦点，所以． 因为，所以，解得或． 所以直线的斜率的取值范围是． 【变式1】已知抛物线，为上一点，过点的直线交于两点，为坐标原点，则（    ）． A．的焦点坐标为 B．直线与相切 C． D．的取值范围为 【答案】BCD 【分析】选项A，将点代入抛物线方程可求出的值，进而得到抛物线标准方程，判断焦点坐标；选项B，联立直线与抛物线方程，利用判别式判断直线与抛物线的位置关系； 选项C、D， 设直线的方程，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理得到、纵坐标的关系，结合抛物线方程可得横坐标的关系，再分别计算、的表达式，结合直线与抛物线有两个交点分析取值范围. 【详解】因为点在C上，所以，， 故C的方程为，其焦点坐标为，A错误； 由、，可得直线斜率， 所以由点斜式可得直线的方程为， 代入，得，， 故直线与C相切，B正确； 设，，直线MN的方程， 代入，得，， 即，且，， ， ，C正确； ，， 所以 ， 因为，所以的取值范围为，D正确． 【变式2】双曲线：的离心率为，其右焦点到渐近线的距离为． (1)求双曲线的标准方程； (2)设点在双曲线的右支上，以为切点作双曲线的切线，与其两条渐近线分别相交于点，证明：为线段的中点． 【答案】(1) (2)设，，， 先证该双曲线在点处的切线方程为， 证明过程如下： 联立，整理有， 由于，则，， 故直线与双曲线相切，证毕； 联立得，则为方程的解， 故，故P为线段的中点． 【分析】（1）利用双曲线右焦点到渐近线距离等于直接得到，结合离心率和关系式求出，写出标准方程； （2）写出双曲线上点处切线方程，联立切线与两条渐近线，利用韦达定理求出交点横、纵坐标之和，验证中点坐标恰好就是切点，完成证明． 【详解】（1）因为右焦点到渐近线的距离，故， 又，且，解得，，， 则曲线C的标准方程为； （2）略 【变式3】已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点，椭圆的短轴长为，的最大值为． (1)求椭圆的方程； (2)椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发向点的光线，经过椭圆上的点处的椭圆切线反射，反射光线必然经过椭圆的另一个焦点．设过点的椭圆的切线为直线，过作的垂线交于，求点的轨迹方程； (3)点的轨迹交轴于，（在左侧）两点，过点作直线交于，两点，证明：直线，的交点在一条定直线上． 【答案】(1) (2) (3)由题意，，设，， 由题意与不重合， 设：，联立可得， 由于过圆内定点，所以一定有两个交点，则， 则直线：，直线：， 联立直线，则， 由韦达定理可得，所以 ， 解得，所以直线，的交点在定直线上．     【分析】（1）当位于上下顶点时可取得最大值，从而建立起，，的关系； （2）作关于的对称点，利用题目给定的光学性质可得，，共线，结合椭圆的定义，进而得到，所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆； （3）设出直线与直线的方程，计算，结合韦达定理即可化简得到其为一定值，从而得证. 【详解】（1）当位于上下顶点时，取得最大值，故， 从而解得，所以椭圆的方程为． （2）作关于的对称点，则为的中点，， 由椭圆的光学性质可得，，共线， 则， 连接，由于，分别为，的中点， 则， 所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，轨迹方程为． （3）略 题型 6：定值、定点证明问题 【典例1】已知椭圆：的离心率为，左顶点为. (1)求的方程； (2)过的右焦点作斜率不为0的直线交于,两点. （i）若直线的倾斜角为，为坐标原点，求的面积； （ii）设直线与直线的斜率分别为，，试判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由. 【答案】(1) (2)（i） （ii）是， 【分析】（1）由椭圆的左顶点为和离心率为可得，，再根据可求得，即可求得椭圆的方程； （2）（i）根据直线过和倾斜角，求出直线的方程，联立直线和椭圆方程，得到关于的一元二次方程，利用韦达定理，再结合三角形面积公式即可得到的面积； （ii）根据题意设直线的方程，联立直线和椭圆方程，利用韦达定理得到点坐标关系，再根据斜率公式得到，的表达式，将展开后代入韦达定理的结论，化简后即可得到的定值. 【详解】（1）椭圆的离心率为，左顶点为，，，得； ； 椭圆的方程为. （2）（i）由（1）可得右焦点为，. 直线的倾斜角为，直线的斜率； 直线的方程为，即. 直线交于,两点，设点，. 联立，消去并整理得； ，，. . 的面积为. （ii）为定值，即，理由如下： 由直线过点，且交于,两点， 设直线：，点，. ，，. 联立，消去并整理得； 由，得，. . 为定值. 【变式1】已知抛物线与椭圆有相同的焦点，点是椭圆的右顶点． (1)求椭圆离心率； (2)已知点，，若椭圆上存在一点，满足，求的值； (3)若直线与交于、两点，且为直角，求证：直线恒过定点． 【答案】(1) (2) (3)由（1）知．设，， 因为为直角，所以，即， 其中、均与不重合． 若与轴平行，设，则、关于轴对称， 设，， 由得，结合，解得，， 此时与重合，不合题意， 故不与轴平行，可设． 代入椭圆方程，整理得． 因为直线与椭圆交于、两个不同的点， 所以判别式，即． 所以， ，且，． 于是， 即，因式分解得，解得或． 当时，直线恒过点，而在椭圆上，所以、中恰有一点与重合，不存在，不符合题意，舍去； 当时，，判别式恒成立， 直线与椭圆恒有两个不同的交点，且直线不经过点，符合题意． 所以直线恒过定点． 【分析】（1）根据抛物线方程确定焦点坐标，再根据同焦点可得椭圆方程与离心率； （2）根据，可得为线段的中点，结合中点公式及点在椭圆上，可得解； （3）分情况讨论当与轴平行及不平行时直线的方程，联立直线与椭圆，结合韦达定理及向量垂直的坐标表示可得解. 【详解】（1）抛物线的焦点为， 因为抛物线与椭圆有相同的焦点，所以椭圆的半焦距． 又，所以， 所以椭圆方程为， 所以椭圆的离心率； （2）因为，即为线段的中点． 又，，所以． 由点在椭圆上，得，即，解得． 又，所以； （3）略. 【变式2】已知椭圆（）的离心率为，左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，，过右焦点的直线交椭圆于点，，且的周长为． (1)求椭圆的标准方程； (2)当的长度为时，求直线的斜率； (3)记直线、的斜率分别为，，证明：为定值. 【答案】(1). (2) (3)由（2）知. 所以， 所以. 由（1）得， 所以. 即为定值. 【分析】（1）由已知条件结合椭圆的定义及离心率公式，确定的值，从而求得的值，得出椭圆的标准方程； （2）设直线的方程为：，与椭圆方程联立，消去得到关于的一元二次方程，由韦达定理得到，根据弦长公式列得关于的方程，求解可得的值，进而根据直线的方程，求得其斜率； （3）结合韦达定理，由斜率公式用表示，化简即可得解. 【详解】（1）由椭圆的定义及的周长为，得，所以. 由离心率为，得，所以. 所以. 所以椭圆的标准方程为. （2）由（1）知，右焦点为，且直线不与轴重合， 所以设直线的方程为：，. 由，得. 恒成立. 所以. 所以 ， 所以，即，. 所以直线的方程为，即， 所以直线的斜率为. （3）略 【变式3】已知椭圆的离心率为，且经过点. (1)求椭圆E的方程. (2)点为椭圆E上任意一点，点H为坐标原点O关于直线的对称点，记点H的轨迹为曲线. （i）求曲线的方程； （ii）以O为端点作射线m（不与坐标轴重合），与曲线和椭圆分别交于点P，Q，证明：为定值，并求出该定值. 【答案】(1) (2) （i）， （ii）曲线，，椭圆均关于坐标轴对称， 故不妨设射线，，，，，， 由，得，所以， 所以， 由，得，所以， 所以， 所以， 若设射线，，同理， 因此，为定值. 【分析】（1）利用离心率条件、椭圆过点，联立求出； （2）（i）利用点关于直线对称的两个条件：中点在直线上、连线与直线垂直，消参得到的轨迹方程； （ii） 利用曲线与椭圆的对称性，设射线方程为，分别联立射线与曲线、椭圆的方程，求出两点横坐标，再表示出、，计算两者乘积得到定值. 【详解】（1）由于椭圆的离心率为， 故，所以，所以， 因为椭圆E经过点，所以，即，得，则， 所以椭圆E的方程为； （2）（i）结合（1）可知，直线， 设点，由题可知点H与点O不重合，连接， ①当时，， 所以直线l的斜率为，直线的斜率为，线段的中点坐标为， 由于点O与点H关于直线l对称，所以， 整理得，解得，代入椭圆E的方程得， 整理得曲线的方程为； ②当时，易知此时点H坐标为，经检验，也符合上式； ③当时，易知此时点H坐标为，经检验，也符合上式； ④当且时，点G不在椭圆E上，不满足题意，故轨迹不包含原点； 综上，曲线的方程为，. （ii）略 题型 7：面积相关问题（求面积、面积最值、面积比例） 【典例1】已知直线的斜率为1，在轴上的截距为，若直线与椭圆交于、两点，是原点． (1)求实数的取值范围； (2)当的面积最大时，求的直线方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）联立直线与椭圆方程，消元得出一元二次方程，利用判别式求出的范围； （2）由（1）求及点O到直线的距离，表示的面积，基本不等式求最值，得直线l的方程. 【详解】（1）由题意直线的方程为， 由，消去y得， 因为直线与椭圆有两个交点， 所以， 解得， 故实数的取值范围为. （2）设，， 则， 原点O到直线的距离， ， 所以， 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以面积最大时，， 此时直线的方程为或. 【变式1】（1）已知椭圆与圆，若在椭圆上存在点P，使得由点P所作的圆的两条切线互相垂直，求椭圆C1的离心率的取值范围； （2）已知动点P在椭圆上，为椭圆的焦点，若，，且恒成立，求实数的最小值. 【答案】（1） ； （2） . 【分析】（1）由题意知，存在点P使和两个切点围成的四边形为正方形，得，进而知即可，利用椭圆参数关系求离心率范围. （2）依题意知，该椭圆的焦点，点M在以为圆心，1为半径的圆上，当PF最长时，切线长PM最大，作出图形，即可得到答案． 【详解】（1）设过作圆的切线，切点为，连接， 因为，根据切线的对称性可知， 在中，则， 可得，即，， 可得，化简得，可得，即， 所以椭圆离心率的取值范围为； （2）由题意可知：，，， 设为椭圆的右焦点， 因为，可知点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆， 又因为，则，可知为圆的切线， 且，则，可得， 所以实数的最小值为. 【变式2】在平面直角坐标系中，设抛物线：，点（）．过点的直线与交于，两点，设点到直线的垂足为，记的面积为． (1)若，且轴，求； (2)求关于的表达式； (3)当直线变化时，若为定值，则求出的值，并求该定值． 【答案】(1)2 (2) (3)，定值为2． 【分析】（1）由直线与抛物线联立求解出，两点，再根据三角形面积公式即可求出. （2）先设出直线的方程，再联立抛物线方程，分别表示出即可. （3）由（2）可得，，再代入求解即可. 【详解】（1）由且轴，得：． 将代入，得，得， 从而． 点到直线的距离为1，故． （2）设直线：， 联立抛物线方程得， ，设，， ，又∵，∴， ，， ∴. （3）由（2）得， ∴， ∴， 当时，为定值． 【变式3】已知椭圆的焦距为2，椭圆上的点到两焦点距离之和为． (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线交于，两点，直线与的另一个交点为，若的面积是的面积的4倍，求的方程． 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）根据椭圆的概念及基本性质，即可求得椭圆的方程； （2）设直线方程为，与椭圆联立，结合韦达定理及三角形的面积关系，即可求解. 【详解】（1）由椭圆定义，可得，解得， 又椭圆的焦距为2，即，解得， 又在椭圆中，，即，解得， 因此，椭圆的方程为. （2）由题意，直线的斜率一定存在，设其斜率为，则直线的方程为， 设，，将直线与椭圆联立，即， 整理得， 则，解得， 由韦达定理可得，， 因为直线与的另一个交点为，所以是关于原点的对称点， 所以, 又，所以，即，所以， 又，，所以， 代入韦达定理，可得，则，所以， 又，即，解得， 所以直线的方程为，即或. 题型 8：轨迹方程问题 【典例1】已知动圆过点，且与圆相内切，记动圆圆心的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)设斜率为的直线与的交点为，与轴的交点为，若，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设动圆圆心为，半径为，根据条件可得，再利用椭圆的定义即可求解； （2）设直线，，联立直线与椭圆方程，根据条件，利用根与系数间的关系求出，即可求解. 【详解】（1）设动圆圆心为，半径为，因为动圆过点，则， 圆的圆心为，半径为，又动圆与圆相内切， 则，所以， 则动圆圆心的轨迹是以为焦点的椭圆，且，得到， 所以，则的方程为. （2）设直线，，易知， 由，消得到，即， 则，且①，②， 又，且，所以③， 由①③得到，由②③得到，所以， 整理得到，解得，满足， 所以直线的方程为或. 【变式1】（1）已知点到点的距离比到轴的距离大，求点的轨迹方程； （2）已知点分别为椭圆的左、右焦点，直线l经过点，且与椭圆交于，两点，求面积的最大值，并求此时的直线的方程. 【答案】（1）或；（2）面积的最大值为；直线的方程为. 【分析】(1) 距离条件要对横坐标分正负讨论，符合抛物线定义，时得到 轴负半轴，轨迹是抛物线加射线，切勿漏掉: (2) 过 轴上定点的直线，设可避开斜率不存在讨论；面积转化为，换元后用对勾函数求最值. 【详解】(1)当点横坐标大于等于时，由题意可转化为点到点的距离等于点到的距离， 设，所以点的轨迹是以为焦点，为准线，顶点在原点， 开口向右的抛物线，设其方程为，所以，， 所以点的轨迹方程为； 当点横坐标小于时，因为点到轴的距离为， 所以点在轴上，即点的轨迹方程为； 所以点的轨迹方程为或. (2)由题知，， 所以当直线与轴重合时，不满足条件， 因为直线经过点，故设直线，， 所以联立方程得，所以， 所以 令，则由对勾函数性质得函数为单调递增函数， 所以，此时，， 所以当时，的面积取得最大值，此时直线的方程为 【变式2】已知椭圆，为的右焦点，点，在上，且关于轴对称，，分别为线段，的中点，为坐标原点． (1)求的方程； (2)证明：是定值； (3)是否存在点，使得，若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)证明：设椭圆的左焦点为，连接，， 由椭圆的对称性知； 因为，分别为线段，的中点， 所以， 又因为， 所以，即为定值． (3)存在，点或或或 【分析】（1）因为椭圆的方程和焦点坐标得到和的值，利用公式求出，从而得到椭圆的方程． （2）设椭圆的左焦点为，连接，，根据椭圆的对称性得到，利用，分别为线段，的中点得到，结合椭圆的定义得解. （3）假设存在点，使得，设点，由，关于轴对称得到，求出，由点在上得到，由，分别为线段，的中点得到，由得到，通过计算得解. 【详解】（1）因为椭圆， 为的右焦点， 所以，，所以， 所以椭圆． （2）略 （3）假设存在点，使得， 设点， 因为，关于轴对称， 所以， 所以． 因为点在上， 所以，即， 代入得到， 因为，分别为线段，的中点， 所以， 若，则，即，此时， 即，解得，， 所以存在点或或或， 使得． 【变式3】已知圆，关于直线对称的点在圆上，直线与线段交于点． (1)求点的轨迹方程； (2)探究直线与点轨迹的关系； (3)记的面积为，的面积为，当时，求此时直线的方程． 【答案】(1) (2)直线与点轨迹相切 (3)当，时，； 当，时，． 【分析】（1）根据对称性，结合椭圆的定义求解即可； （2）设，中点为，直线与椭圆联立方程组，结合，求得，，进而可得点坐标，求出直线方程，直线与椭圆联立方程，根据，判断可得关系； （3）设，则，由可得，建立方程组，求得点坐标，结合（2）计算求解. 【详解】（1）因为圆心为，半径，，在中垂线上，所以， 在半径上，所以， 即点到两定点，的距离和为定值， 所以的轨迹是以，为焦点的椭圆， 其中，，所以，，， 故轨迹方程为． （2）设，中点为，由对称性，不妨设， 而在射线上且，则， 可得，而， 化简得， 且， 得到，，所以，． 所以， 联立，得，即， 经检验，故直线与点轨迹相切，此时． （3）设，则， 因为与有相同的高，所以，解得， 所以，即点满足， 解得，，当，时，； 当，时，． 1．离心率为的椭圆和离心率为的双曲线的交点构成四边形，的渐近线与的交点构成四边形，若，且四边形与四边形的面积相等，则（    ）. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】设，．利用，分别求出两四边形在第一象限内顶点的坐标，再由两四边形面积相等得到，最后利用椭圆、双曲线离心率公式求． 【详解】设 则． 又因为，所以 设椭圆与双曲线在第一象限的交点为． 由同时在两曲线上，得 即 解得 因此四边形的面积为 双曲线在第一象限的渐近线为 设该渐近线与椭圆在第一象限的交点为，则． 代入椭圆方程，得所以 因此四边形的面积为 由题意， 由于均为正数，所以 代入上式，得 得即 又因为所以 2．直线过抛物线的焦点，交抛物线于，两点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解法一：设直线，与抛物线方程联立利用韦达定理运算求解即可；解法二：利用结论，，代入运算求解即可. 【详解】解法一：由题意可知：，且直线的斜率不为0， 设直线，，， 联立方程，消去x可得， 则，可得，， 则，， 可得， 所以的取值范围为； 解法二：设直线的倾斜角为，点在点上方， 则，， 则， 由题意知，，即， 所以的取值范围为. 3．已知，分别为椭圆的左、右焦点，点在上，且的周长为16，则面积的最大值为（     ） A．6 B．12 C．16 D．24 【答案】B 【详解】的周长为16， 所以有， 化简得. 由椭圆方程可知，，代入， 解得，， 设椭圆的短半轴长为，则， 所以，当点为椭圆上下顶点时，面积最大，最大值为. 4．若圆与双曲线的渐近线相切，则的离心率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于双曲线， 其渐近线方程为，即． 已知圆，则其圆心坐标为，半径为1． 由于圆与双曲线的渐近线相切，则，即． 由双曲线的离心率，可得． 5．已知椭圆：（）与抛物线：（）有相同的焦点，椭圆与抛物线在第一象限交于点，轴，则椭圆的离心率等于（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可得，从而得，代入椭圆方程可得，再由及离心率公式求解即可, 【详解】由题意，抛物线的焦点为，则. 抛物线方程为. 因为轴且点在第一象限，所以点的横坐标为. 将代入抛物线方程得，故. 又点在椭圆上，且椭圆过焦点的通径半长为，因此. 由代入得. 两边同除以并设离心率，得. 解得（负根已舍去）. 6．已知抛物线的焦点为，点是抛物线上异于原点的一点，点在轴正半轴上，且，，则四边形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用的垂直平分线得到点的坐标，根据面积公式即可求解. 【详解】 如图所示，由点在轴正半轴上且，可知点， 由于抛物线的焦点为，则点， 所以， 则直线的斜率为，线段的中点为， 所以的垂直平分线方程为，即， 因为，所以点与点都在直线上， 所以，所以，因此， 又因为点是抛物线上异于原点的一点， 联立得，所以，所以， 所以四边形的面积为，故B正确． 7．已知抛物线的焦点为F，准线l与x轴的交点为B，过抛物线上一点A作准线l的垂线，垂足为H，若为线段的中垂线，且，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】结合题意与中垂线性质得到，并且联立方程得到，再结合两点间距离公式建立方程，求出，进而求解即可. 【详解】如图，作出符合题意的图形，设，，， 若为线段的中垂线，则，而，， 则，而在抛物线上，得到，解得， 得到，解得，则，得到， 而，由两点间距离公式得，解得，故C正确. 8．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据条件得到圆的方程以及渐近线方程，联立求出点的坐标，根据勾股定理和，建立关于的方程，进而求出离心率． 【详解】如图所示，以为直径的圆的方程为（其中）， 不妨设圆和渐近线的交点在第一象限， 联立，解得. 由直径所对圆周角为直角，可知，故是直角三角形. 由，可得， 即， 整理得， 所以，解得.    9．若双曲线：的两条渐近线均与圆：相交，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据双曲线方程求出渐近线方程，再利用圆心到渐近线距离小于半径列出不等式求出的范围，最后根据离心率公式求出离心率的范围. 【详解】双曲线：中，，则， 所以渐近线方程为，即， 又因为圆：的圆心为，半径， 由题意得，化简可得：，整理得：， 求解可得：，又因为，所以， 又因为，，则，即， 所以，即的离心率． 10．关于方程，下列说法正确的有（ ） A．若，它表示焦点在轴上的双曲线 B．若，它表示焦点在轴上的双曲线 C．方程有可能表示等轴双曲线（满足） D．若方程表示双曲线，则或 【答案】ABD 【分析】根据题意，结合双曲线的标准方程及双曲线的性质，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，若，可得方程，表示焦点在轴上的双曲线，故A正确； 对于B，若，可得方程，表示焦点在轴上的双曲线，故B正确； 对于C，若方程表示焦点在轴上的等轴双曲线，则，无解； 若方程表示焦点在轴上的等轴双曲线，则，无解， 综上可得，不存在实数使得方程表示等轴双曲线，故C错误； 对于D，若方程表示双曲线，则满足， 解得或，故D正确. 1．已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，且，点，是椭圆上关于坐标原点对称的两点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若点在第一象限，轴于点，直线交椭圆于点（不同于点），证明：； (3)已知点在椭圆上，直线与圆相切，连接，问：是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由． 【答案】(1)； (2)证明：由题可设，则， 所以直线的方程为， 联立， 则、，即， 所以，又， 所以； 所以； (3)为定值，定值为.理由如下： 当直线斜率不存在时，，则， 所以，故， 当直线斜率存在时，设， 则，即， 联立， 设，则即，且， 所以 ， ， 由题意，， 所以. 综上，是定值，定值为1. 3．设分别是椭圆的左、右焦点． (1)若是该椭圆上的一个动点，且，求点的坐标； (2)设过定点的直线与椭圆交于不同的两点，且为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】 (1)    设出点的坐标后再根据及点在椭圆上求解出点的坐标； (2)    联立直线与椭圆的方程后根据为锐角利用向量夹角进行求解直线的斜率的取值范围． 【详解】（1）由题意知，，，，所以，， 设，则， 又，有，解得，所以； （2）显然不满足题意，设直线的方程为，设，， 联立，，解得，① ，，则， 又为锐角，则，即，， 所以， 解得，② 由①②，解得或， 所以实数的取值范围为． 4．已知双曲线：（，）的右焦点与抛物线的焦点重合，且双曲线的渐近线方程为． (1)求双曲线的方程； (2)已知直线过点且与双曲线交于，两点，若，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）抛物线的焦点坐标为，双曲线的半焦距， 双曲线的渐近线方程为，， 又，， 双曲线的方程为． （2）如图， 易知直线斜率存在，设直线的方程为（，）， 联立，消去，可得， 设，，则①，②， 又，可得③， 由①③可得，， 代入②，化简可得，解得， 则直线的方程为． 5．椭圆的离心率，过右焦点的直线与上下两个交点为，． (1)求椭圆的标准方程； (2)椭圆的左右顶点分别为，，直线，分别交轴于，两点，试问：与的面积比是否为定值，若为定值，证明你的结论；若不为定值，请说明理由． 【答案】(1) (2)为定值，根据题意，可设直线的方程为， 联立，整理得， 设，，则，． 得直线的方程为，直线的方程为， 又直线，分别交轴于，两点， 则，，又，，且，为轴上下两个点． 则，，． 由，得， 则． 又，所以．即与的面积比为定值． 6．已知椭圆，点为椭圆的右焦点，过点作直线交曲线于、两点，当直线与轴垂直时，． (1)求曲线的方程； (2)若轴上一点满足． （i）求实数的值； （ii）若，求的面积． 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）根据题意得，再结合通径长公式得，最后根据即可求得，得答案； （2）（i）设出直线方程，与椭圆方程联立，结合韦达定理及求解即可. （ⅱ）根据角平分线的性质，结合韦达定理求出值，进而求出交点纵坐标，代入三角形面积公式求解即可. 【详解】（1）解：因为点为椭圆的右焦点，所以， 因为过点作直线交曲线于、两点，当直线与轴垂直时，， 所以，将代入方程得，所以，即， 因为，所以，即，解得或（舍）， 所以，即曲线的方程为； （2）解：（i）设直线的方程为，，， 联立，整理得， 则，. 设直线与的斜率分别为，，则，， 因为，所以直线与的倾斜角互补，即， 则， 所以，代入韦达定理整理得， 又为任意实数，所以. 当直线的斜率为0时，，符合题意. 综上所述，. （ii）因为，所以为的角平分线， 所以. 因为，所以， 因为， 所以，解得， 所以 因为， 所以，即，解得， 不妨设，则，． 所以的面积. 7．已知椭圆：的左、右焦点为，，点是椭圆的上顶点，经过的直线交椭圆于，两个不同的点． (1)求点到直线的距离； (2)若是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值； (3)若直线的斜率为，且，求实数的值． 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为 (3)或 【分析】（1）先根据椭圆方程求得焦点、上顶点坐标，写出直线的一般式，再用点到直线距离公式计算； （2） 设出点坐标，将向量数量积转化为坐标表达式，结合椭圆方程消元后根据的取值范围求最值； （3） 设直线的方程与椭圆联立，利用韦达定理结合向量垂直的坐标条件列方程求解，并验证判别式保证有两个交点. 【详解】（1）由题可知， 所以， 所以直线的方程为，即， 所以点到直线的距离为； （2）设，其中，， ， 所以， 因为，所以， 所以当时，取得最小值； 当时，取得最大值； （3）设直线的方程为， 联立，消去整理可得， 则，解得， 且， 因为，所以， 因为， 即， 整理可得， 即， 即，即， 解得或，都符合， 所以或.    8．已知椭圆：（）的离心率为，且过点，为其右焦点． (1)求椭圆的方程； (2)求过点的直线与椭圆相交于，两点（点在，两点之间），若与的面积相等，试求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆的性质和离心率分别求出，进而求出椭圆方程； （2）设直线方程，利用已知几何关系结合椭圆的性质求出点坐标，进而求出直线的方程． 【详解】（1）已知离心率，则，故， 椭圆过点，则，解得，故， 椭圆的方程为． （2）为椭圆的右焦点，由（1）知， 由已知直线斜率存在，设为，则直线的方程为， 若，则为轴，此时三点共线，不合题意，舍去； 设，且在之间， 已知与的面积相等，且等高，则， 故是中点，则， 由位于椭圆上，则， 整理得，联立椭圆方程得， 解得，代入椭圆方程得：，解得， 故或， 则直线的斜率为， 故直线方程为：． 9．已知椭圆（）的左、右焦点分别为、，直线（）与椭圆交于、两点（点在点的上方），与轴交于点． (1)当时，点为椭圆上除顶点外任一点，求的周长； (2)若椭圆的离心率为，当为何值时，恒为定值；并求此时面积的最大值． 【答案】(1)； (2)，恒为定值；面积的最大值为 【分析】（1）由椭圆定义可得周长； （2）由离心率得到椭圆方程，联立直线方程，得到两根之和，两根之积，表达出，从而得到时，恒为定值；并求出，由基本不等式求出最值，得到答案. 【详解】（1）当时，椭圆方程为，故且， 由椭圆定义可得，的周长为； （2）由题意得，解得， 椭圆方程，联立，消元得， ，可得， 设，，则，， 又因为、在椭圆上，则，， 则 ， 当为定值时，即与无关，故，得， 此时， 又点到直线的距离， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 因为，经检验，此时成立，所以面积的最大值为． 10．设为椭圆上任一点，椭圆的左右焦点分别为、，，. (1)求证：离心率； (2)求的最值． 【答案】(1)设，，， 根据椭圆的定义可得， 由正弦定理得， 所以， 所以离心率. (2)最小值为， 最大值为. 【分析】（1）先利用正弦定理得，再根据证明； （2）利用立方和公式得=，再根据的取值范围求的最值. 【详解】（1）略 （2） =， 由椭圆性质可得，， ， 所以当时，取得最大值为， 当或时，取得最小值为， 所以的最小值为，最大值为. 11．已知动点分别与定点和连线的斜率乘积． (1)求动点的轨迹方程； (2)是的右焦点，若过点，与曲线交于，两点，是否存在轴上一定点，使得以为直径的圆恒过该定点？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）根据斜率的计算公式代入求解即可. （2）设出直线方程，与双曲线方程联立，结合圆的性质、韦达定理及向量垂直的坐标表示化简求解即可. 【详解】（1）由题意知，（，否则斜率不存在）， 则，即， 整理得. 故动点的轨迹方程为. （2）易知. 当直线斜率存在时，设：. 联立，整理得， 由题意知，， 设，，则，. 以为直径的圆恒过该定点，则，即. 又 ， 则， 即，解得，故 当直线斜率不存在时，此时：，代入双曲线方程解得， 不妨设，，以为直径的圆为， 将代入中，等式成立. 综上，存在满足条件的定点，坐标为. 12．已知椭圆的左焦点为，离心率为. (1)求椭圆E的标准方程； (2)过椭圆E右焦点的直线l与椭圆E交于A，B两点，若，求直线l的方程. 【答案】(1) (2)，或 【分析】（1）根据椭圆焦点坐标特点，结合椭圆离心率公式进行求解即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系，利用转化法进行求解即可. 【详解】（1）因为椭圆的左焦点为，离心率为， 所以， 所以椭圆E的标准方程为； （2）当直线l斜率为零时，此时A，B为左右顶点，不管A，B哪一个为左顶点，均不满足， 当直线l斜率不存在时，此时根据椭圆的对称性，显然不成立， 当直线l存在斜率且不为零时，设直线l的方程为， 于是有， 显然， 设，则有， 因为，所以，即， 因此由 ， 所以直线l的方程为，或， 化为一般式为，或. 13．在平面直角坐标系中，椭圆：（）的长轴长是短轴长的2倍，点在椭圆上，斜率为的直线与椭圆相交于，两点（异于点）． (1)求椭圆的方程； (2)若的面积为，求直线的方程； (3)记直线与的斜率分别为，，直线，的斜率分别为，，证明：． 【答案】(1) (2)或或或 (3)由题意得，， 若存在，则的横坐标不为2， 代入，得， 因为 ， 因为，则， 则 ，所以，得证. 【分析】（1）利用长轴与短轴的倍数关系设出，代入已知点坐标解出，进而得到椭圆方程; （2）设直线方程并与椭圆联立，用韦达定理、弦长公式和点到直线距离表示面积，建立关于截距的方程求解; （3）将与分别用坐标表示，通过韦达定理和直线方程消去，验证两者相等. 【详解】（1）由题知，解得，， 故椭圆的方程为． （2）设直线的方程为（）， 点，的坐标分别为，， 联立得，则， 由，得． 所以 ． 原点到直线的距离为， 所以的面积为， 由，解得或， 故直线的方程为或或或． （3）略 14．已知抛物线的焦点为． (1)求抛物线的方程； (2)设直线与抛物线相交于两点， （ⅰ）若，求实数的值； （ⅱ）为坐标原点，求重心的轨迹方程． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）根据抛物线焦点为，由抛物线的性质可直接求出，再求得抛物线C的方程； （2）（ⅰ）联立抛物线与直线方程，使用韦达定理得到，再根据，再求实数的值；（ii）根据三角形重心的坐标公式设点，再由韦达定理表示为的表达式，通过转化求得重心的轨迹方程. 【详解】（1）由抛物线的焦点为可得 ， 所以抛物线C的方程为. （2）（ⅰ）联立抛物线与直线的方程可得 ，整理得，故； ，，解得，． （ⅱ）由（i）得，， 设重心坐标为，则即 所以即. 15．已知椭圆：（），过的右焦点且与轴垂直的直线被截得的线段长为. (1)求的离心率； (2)设为坐标原点，给定点，为上的点，过作轴的垂线，垂足为，直线与直线的交点为.当在上运动时，点的轨迹为.求的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆的标准方程及截得线段长列方程求解即可. （2）方法一：设点，联立直线与直线方程求出交点坐标，表示出点，代入椭圆方程求解即可；方法二：由于点三点共线，结合向量共线表示出点，代入椭圆方程求解即可. 【详解】（1）设椭圆的右焦点为，其中， 那么过右焦点且垂直于轴的直线为，代入椭圆得， 即，所以， 由于截线段长为，解得， 故，离心率. （2）方法一： 由（1）知椭圆方程为， 由于点满足，且，过作轴的垂线，交轴于点， 那么当时，点，点与点重合； 当时，直线方程为：，直线方程为：，即， 联立，解得， 即点. 设，则由，得， 代入椭圆方程得， 即， 两边乘以得， 整理得， 把点代入，仍然成立， 故轨迹的方程为； 方法二：由于，点在轴，故直线必有斜率； 设直线方程为，，那么点， 由于轴，则， 由于点三点共线，则，所以， 因为点在直线上，所以， 则 把代入椭圆方程：，得， 即， 整理化简，得 ， 故轨迹的方程为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $