第1章 一元二次方程 单元测试卷 2026-2027学年苏科版版九年级数学上册

第1章一元二次方程单元测试卷 一、单选题（本大题10题，每小题3分，共计30分） 1．若关于x的一元二次方程的一个根为2，则k的值为（     ） A．1 B．3 C．1或3 D．0 【答案】B 【分析】把代入方程即可解答． 【详解】解：将代入方程得，即， 解得， ， ， ． 2．若关于x的方程化成一般形式后不含有x的一次项，则k的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：将方程化为一般形式为， ∵方程不含的一次项， ∴一次项系数， 解得． 3．若是关于的一元二次方程，则的值为（     ） A．2 B． C． D．或1 【答案】B 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴且， 由，得，解得； 由，得； ∴. 4．若代数式和的值互为相反数，则x的值为（     ） A．1或 B．或 C．1或 D．1或2 【答案】A 【分析】利用互为相反数的性质列方程，通过因式分解的方法解方程即可． 【详解】解：代数式和互为相反数， ， ， ， 或， 解得或． 5．将一元二次方程通过配方转化为的形式，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， 将常数项移到等号的右边：， 两边同除以二次项系数：， 两边同加一次项系数一半的平方：， 完全平方：， ∴． 6．已知，，为常数，点在第二象限，则关于的方程的根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 【答案】A 【分析】由点的位置得，以此判断根的判别式的符号. 【详解】解：∵点在第二象限， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根. 7．定义为关于x的一元二次方程的特征数，则特征数为的一元二次方程的两个实数根的平方和为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将两根平方和变形为含两根和与两根积的形式，结合根与系数的关系计算． 【详解】解：由特征数定义得该一元二次方程为， 设方程的两个实数根为，，则，， ． 8．已知关于x的一元二次方程的两个实数根为、，且，则m的值是（     ） A． B．14 C．或14 D．2或 【答案】A 【分析】利用完全平方公式变形已知等式，结合根与系数的关系求解，用判别式取舍m的值． 【详解】解：∵方程有两个实数根， ∴， 即， 整理得，解得； 由根与系数的关系，得，， ∵，且 ， ∴，代入得 ，即， 整理得，解得，， ∵，不符合题意，舍去， ∴． 9．在数学活动课上，小明利用“面积法”探究一元二次方程的几何解法，他尝试用此方法解关于x的方程时，构造出如图所示的图形：先构造一个面积为的中心正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个宽为3的阴影矩形，如图所示拼成一个大正方形．已知阴影部分的面积和为64，则该方程的正数解为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据的几何解法，确定大正方形的边长与x的关系，结合面积求解即可． 【详解】解：根据题意，构造面积为的正方形，四周构造四个面积为的矩形．矩形的长为，则宽为．补图得到大正方形，其边长为． 大正方形的面积为， ． 为正数， ， ． 10．已知关于的一元二次方程的两个不相等的实数根分别为；关于的一元二次方程的两个实数根分别为．则下列方程中，其两实数根分别为的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据已知条件，利用根与系数的关系列方程求出和的值，再计算所求方程两根的和与积，构造出一元二次方程即可得到答案． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两个根为， ∴由根与系数的关系得， ∵关于的一元二次方程的两个根为， ∴，， ∴，， 将代入得：， 整理得． 将代入得：， 化简得 把代入， 解得 ∵， ， ∴所求一元二次方程为． 二、填空题 11．下表是某同学求代数式（a，b为常数，且）的值的情况．根据表格中的数据，可知关于x的一元二次方程的一个根为______． x … 0 1 2 3 … … 0 3 8 15 … 【答案】2 【分析】将目标方程变形为，从表格中定位代数式取值为8时对应的值，即为方程的根． 【详解】解：∵ 方程等价于， ∴ 满足该等式的值就是方程的根， 根据表格对应数据：当时，， ∴ 是该方程的一个根． 12．若，是一元二次方程的两根，则的值为______． 【答案】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求出两根之和与两根之积，将所求代数式因式分解后整体代入求值． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两根， ∴，， ∴． 13．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是____________ 【答案】且 【分析】需同时满足一元二次方程的定义（二次项系数不为0）和有两个不相等实数根的条件（根的判别式大于0），联立两个条件求解的取值范围 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴二次项系数不为0，即， 解得． ∵方程有两个不相等的实数根， ∴根的判别式， 展开计算得， 整理得， 解得． 联立两个条件，可得的取值范围为且． 14．若是方程的两个实数根，则的值为________． 【答案】 【分析】利用方程根的定义对所求代数式的二次项降次，结合根与系数的关系整体代入求值，无需单独计算的具体值． 【详解】解：∵是方程的实数根， ∴将代入方程可得，即， ∵是方程的两个实数根， ∴根据根与系数的关系，得，， 将代入所求代数式： ， 将，代入上式： 原式． 15．已知关于x的方程是此方程的两个实数根，给出四个结论：①；②；③如果，那么；④如果，那么．其中正确结论的序号是______． 【答案】①②③④ 【分析】结合一元二次方程的根的定义、判别式、根与系数的关系，通过代数变形逐一验证各结论的正确性 【详解】解：①∵是方程的实数根 ∴代入方程得 移项得 左边因式分解为 ∴，结论①正确 ②计算方程的判别式 ∵ ∴ ∴方程有两个不相等的实数根，即，结论②正确 ③根据根与系数的关系，得 ∴ ∵ ∴由不等式的基本性质， 即，结论③正确 ④∵根据根与系数的关系， ∴ 代入得 ∵若，代入原方程左边得 ∴，即 ∴，即，结论④正确 故答案为：①②③④． 16．如图，在中，，，，点P从点C开始沿射线方向以的速度运动；同时点Q也从点C开始沿射线方向以的速度运动． _________秒后以A、B、P、Q为顶点的四边形的面积为． 【答案】或 【分析】先根据动点速度设运动时间为，得出、，依据点、所在线段位置划分为、、三种情况，每种情况结合图形形状选用对应割补法列出四边形面积方程求解，求出解后验证数值是否落在对应取值范围内，舍去取值范围内不符的解，即可得出所有符合条件的时间． 【详解】解：设运动时间为，由题意得，， 当点在线段上时，； 当点在线段上时，； 故分三种情况讨论： ①当时，如图， ， ∵， ∴， 解得 或（不合题意，舍去）； ②当时，如图， ， ∵， ∴， 解得； ③当时，如图， ， ∵， ∴， 解得（，不合题意，舍去）或（不合题意，舍去）； 综上所述， 或秒后以、、、为顶点的四边形的面积为． 三、解答题 17．用适当的方法解方程． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 解得； （2）解： 或 解得． 18．已知关于的一元二次方程，求证：无论取何值，方程都没有实数根． 【答案】证明：对于一元二次方程， ，，， 根的判别式 ． 无论取何值，都有， ， ，即， 无论取何值，方程都没有实数根． 【分析】先确定，，，代入，化简得；再由，推出，即，从而方程没有实数根． 【详解】见答案 19．定义：如果关于的一元二次方程满足：，那么我们称这个方程为“紫金方程”． (1)判断一元二次方程是否为“紫金方程”，并说明理由： (2)已知是关于的“紫金方程”，若，是此方程的两个根，求的值． 【答案】(1)解：是，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴一元二次方程是“紫金方程”； (2)0 【分析】（1）根据“紫金方程”定义判断即可； （2）根据“紫金方程”得到，，再根据根与系数的关系，，最后代入求值即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵是关于的“紫金方程”， ∴， 解得， ∵，是方程的两个根， ∴，， ∴． 20．某学校九年级乒乓球决赛，比赛采用单循环赛制（每两位参赛选手之间都赛1场）； 李明和张华针对这次比赛有如下对话： 设有名同学进入决赛． (1)根据两人对话，请你分析李明与张华的说法谁的正确，并说明原因； (2)赛后经查询发现，由于有一名同学在比赛中身体不适，参与4场比赛后中途退赛了，所以比赛才进行了40场，求进入决赛有几名同学？ 【答案】(1)解：张华的说法正确 理由如下： 根据李明的说法可列方程： 解得：， ，均不满足实际问题， ∴张华的说法正确； (2)进入决赛有10名同学 【分析】（1）设有x人报名参赛，根据题意列方程，然后解方程，根据方程根的情况可得结论； （2）结合设有x人报名参赛，有一人比赛了4场后退出比赛，由题意得，求解后取合适的值即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵有一人比赛了4场后退出比赛， ∴由题意得， 解得，（舍去）， 答：进入决赛有10名同学． 21．在广东乡村振兴战略下，低空经济为现代农业赋能．某县推广农业无人机播种，月份无人机播种面积为万亩，随着技术普及，播种面积逐月递增，月份的播种面积达到万亩． (1)求从月份到月份该县农业无人机播种面积的月平均增长率； (2)岭南某制造业企业生产的智能农机设备，进价为万元/台．经销一段时间后发现：当该设备售价定为万元/台时，平均每周售出台；售价每降低万元，平均每周多售出台．若该企业计划下调售价使平均每周的销售利润为万元，为让利农户，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每台设备的售价． 【答案】(1) (2)万元 【分析】第问是平均增长率模型：增长次数为次，基数为万，末数为万，等量关系为“基数增长率末数”，开平方后舍去负根． 第问是销售利润模型：核心关系为“总利润单台利润销量”，设降价份数可把售价、单台利润、销量都用表示，列方程后整理为一元二次方程，求得两根后再依据“尽量让利顾客”这一附加条件取舍． 【详解】（1）解：设从月份到月份播种面积的月平均增长率为． 根据题意，月到月共增长两次，可列方程： 整理得： 开平方得： 增长率，，解得． 答：从月份到月份该县农业无人机播种面积的月平均增长率为． （2）解：设售价下调万元（为正整数），则每台实际售价为万元． 单台利润为万元， 每周销售量为台． 根据“总利润单台利润销量”列方程： 展开整理得： 两边同乘得： 因式分解得： 解得，． 要求尽量让利于顾客，即售价应尽量低， 取． 此时每台售价为（万元）． 答：下调后每台设备的售价为万元． 22．如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）． (1)当羊圈的长和宽分别为多少时，能围成一个面积为的羊圈？ (2)羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． (3)你认为羊圈的面积最大能达到多少？试说明理由． 【答案】(1)羊圈的长为，宽为；或长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈 (2)不能， 理由：设， 由题意，得， 化简，得， ， 一元二次方程没有实数根． 羊圈的面积不能达到 (3)最大面积为． 理由：设最大面积为． 由题意，得， ， 最大面积为 【分析】（1）设，根据面积列方程求解即可得到答案； （2）根据面积列方程求解即可得到答案； （3）设面积为表示出与的解析式，结合二次函数性质直接求解即可得到答案； 【详解】（1）解：设矩形的边，则边． 根据题意，得， 化简，得， 解得，， 当时，， 当时，． 答：羊圈的长为40 m，宽为16 m；或长为32 m，宽为20 m时， 能围成一个面积为的羊圈． （2）略 （3）略 23．如图，在矩形中，，动点分别从点A，C同时出发，点以的速度向点移动，一直到点为止，点以的速度向点D移动（点P停止移动时，点Q也停止移动）．设移动时间为，连接． (1)当t为何值时，四边形的面积为？ (2)在运动过程中，是否存在一个时刻，使得？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． (3)是否存在时刻，使得四边形为正方形？若存在求；不存在说明理由． 【答案】(1)3 (2)解：不存在一个时刻，使得， 理由如下：如图，过点作于点，同理可得矩形，矩形， ， ，， 当时，有， ， 化简得，， ， ∴此方程无实数解， ∴不存在一个时刻，使得． (3)解：不存在，理由如下： ∵四边形为正方形， ∴， ∴P点运动的时间为（秒）， Q点运动的时间是（秒）， ∵P、Q的时间不一样， ∴不存在该时刻． 【分析】（1）先求出，，得到，再根据梯形的面积公式进行求解即可； （2）当时，有，列出方程，由，说明方程无实数解，进而可得不存在一个时刻，使得． （3）根据正方形的性质进行判断即可． 【详解】（1）解：在矩形中，，， ∵点以的速度向点移动，点以的速度向点移动，移动时间为， ， ∴， ∵四边形的面积为， ∴， 即， 解得， ∴当时，四边形的面积为； （2）略 （3）略 24．如图，矩形的两条邻边，（）． (1)若，是关于的方程的两个根，且，求的值； (2)若，，的值满足第（1）问的条件，且边上存在点，使得，求此时的长； (3)点是边上一点，满足的点有且只有一个时，求证：． 【答案】(1) (2) (3)解：设，则，，，， ， ，即， 化简得，即， ， ， ， ． 【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系可得，，结合得到，即可求解； （2）由（1）可求出，，设，则，，，根据勾股定理可得，即，即可求解； （3）设，则，，，，根据勾股定理可得，即，化简得，根据一元二次方程根的判别式即可得证． 【详解】（1）解：，是关于的方程的两个根， ，， ， ， 即， 解得或， ， ， ； （2）解：由（1）得，， ，， ，， 设，则，，， ， ，即， 整理得， 解得， ； （3）略 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $第1章一元二次方程单元测试卷 一、单选题（本大题10题，每小题3分，共计30分） 1.若关于x的一元二次方程k-)2+号x-2=0的一个根为2，则k的值为() A.1 B.3 C.1或3 D.0 2.若关于x的方程x2-2k=6x-5化成一般形式后不含有x的一次项，则k的值为（) A.3 B.-3 C.6 D.-6 3.若(m-2)2+(m-)x+5=0是关于x的一元二次方程，则m的值为() A.2 B.-2 C.±2 D.-2或1 4若代数武3x(2x-少和3-2) 的值互为相反数，则x的值为() 1 A.1或2 B.-1或2 C.1或-2 D.1或2 5.将一元二次方程3+6x-4=0通过配方转化为 x+m=P的形式，则（） A.n=3 B.n=-1 C.p=5 6.已知a,b,C为常数，点 (a,c 在第二象限，则关于x的方程+r+C=0的根的情况是() A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.只有一个实数根 7.定文(a6,c)为关于x的一元二次方程m2+c+c=0的特征数，则特征数为-4,2）的一元二次方程的 两个实数根的平方和为() A.9 B.10 C.12 D.15 2-(2m-3)x+m2=0 8.已知关于x的一元二次方程 的两个实数根为、。，且+号-5=37 则 的值是() A.-2 B.14 C.-2或14 D.2或-14 9.在数学活动课上，小明利用“面积法”探究一元二次方程的几何解法，他尝试用此方法解关于x的方 试卷第1页（共3页） 程x2+12x+c=0时，构造出如图所示的图形：先构造一个面积为x2的中心正方形，再以正方形的边为一 边向外构造四个宽为3的阴影矩形，如图所示拼成一个大正方形.已知阴影部分的面积和为4，则该方 程的正数解为() A.2 B.3 C.4 D.5 10.已知关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个不相等的实数根分别为C,B;关于x的一元二次方程 x2+cx+b=0 a-1,B-1 a+1,B+1 的两个实数根分别为 ·则下列方程中，其两实数根分别为 的是() A.x2-5x-3=0 B.x2-5x+3=0 C.x2+5x-3=0 D.x2+3x-5=0 二、填空题 11.下表是某同学求代数式a2+bx(a,b为常数，且a≠0)的值的情况.根据表格中的数据，可知关 于x的一元二次方程ax2+bx-8=0的一个根为一. 0 ax2+bx 0 3 15 12,若，是一元二次方程-2x-5=0的两根，则3+心的值为 13,若关于的一元二次方程k-2)r-4x+1=0 两个不相等的实数根，则的取值范围是 14.若ab是方程x2+2x-5=0的两个实数根，则a2-ab+3a+b的值为 试卷第2页（共3页） 15.已知关于x的方程 -(a+b)x+h-1=0,,是此方程的两个实数根，给出四个结论：① 名-(-)-1：@写：@方果<写：那么<空<5：③物果5<5那么 (x-a(x2-b)<0 其中正确结论的序号是 16.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6cm,AC=8cm,点P从点C开始沿射线CA方向以lcm/s 的速度运动：同时点Q也从点C开始沿射线CB方向以3cs的速度运动. 秒后以A、B、P、 Q为顶点的四边形的面积为20cm2. 三、解答题 17.用适当的方法解方程. ①-2)2-4=0 2x(x-3)=x-3 (2) 18,已知关于x的元二次方程7-(m+x+m+m+1=0,求证：无论m取何值，方程都没有实数根 19.定义：如果关于x的一元二次方程 x2+bx+c=0(a≠0 0满足：a-b+c=0,那么我们称这个方程为 “紫金方程”. (1)判断一元二次方程2x2+3x+1=0是否为“紫金方程”，并说明理由： (②已知+m+6=0是关于*的“紫金方程”，若无，无是此方程的两个根，求低+1川+)的值 20.某学校九年级乒乓球决赛，比赛采用单循环赛制（每两位参赛选手之间都赛1场）； 李明和张华针对这次比赛有如下对话： 试卷第3页（共3页） 本次比赛一共 你所说的并不正确，按照这 一进行了40场. 个赛制，不应该是40场. 李明 张华 设有x名同学进入决赛 (1)根据两人对话，请你分析李明与张华的说法谁的正确，并说明原因； (2)赛后经查询发现，由于有一名同学在比赛中身体不适，参与4场比赛后中途退赛了，所以比赛才进行 了40场，求进入决赛有几名同学？ 21.在广东乡村振兴战略下，低空经济为现代农业赋能.某县推广农业无人机播种，1月份无人机播种面 积为3万亩，随着技术普及，播种面积逐月递增，3月份的播种面积达到5.07万亩. (1)求从1月份到3月份该县农业无人机播种面积的月平均增长率； (2)岭南某制造业企业生产的智能农机设备，进价为15万元/台.经销一段时间后发现：当该设备售价定为 25万元/台时，平均每周售出8台：售价每降低0.5万元，平均每周多售出1台.若该企业计划下调售价使 平均每周的销售利润为6万元，为让利农户，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每台设备的售价. 22.如图，老李想用长为70m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈ABCD,并 在边BC上留一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料）· A B (1)当羊圈的长和宽分别为多少m时，能围成一个面积为 40m2 的羊圈？ 50m2 (2)羊圈的面积能达到 吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由， (3)你认为羊圈的面积最大能达到多少？试说明理由 23.如图，在矩形ABCD中，AB=15cm,AD=5cm,动点P,0分别从点A,C同时出发，点P以3cm/s 的速度向点B移动，一直到点B为止，点Q以2Cm/s的速度向点D移动（点P停止移动时，点Q也停止 (s) 移动).设移动时间为 连接P吧，0B 试卷第4页（共3页） D Q←C P ()当t为何值时，四边形PBC9的面积为30cm2? (2)在运动过程中，是否存在一个时刻，使得∠PB=90°？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由. (③)是否存在时刻，使得四边形PBCQ为正方形？若存在求t:不存在说明理由. 24.如图，矩形ABCD的两条邻边AB=a,AD=b(a>b>0). E B (1)若a,b是关于x的方程x2-a+k+4=0的两个根，且d2+b2=40,求的值： (②)若a,b,k的值满足第(1)问的条件，且边AB上存在点E,使得∠DEC=90°，求此时AE的长： (3)点E是AB边上一点，满足∠DEC=9O°的点E有且只有一个时，求证：a=2b. 试卷第5页（共3页）