第1章一元二次方程单元测试卷 2026-2027学年苏科版数学九年级上册

第1章一元二次方程单元测试卷

一．单选题（共10小题，每小题3分，共30分）

1．有以下两个方程：甲：，乙：，其中（    ）

A．甲是一元二次方程 B．乙是一元二次方程

C．甲和乙均是一元二次方程 D．甲和乙均不是一元二次方程

2．一元二次方程x（x﹣2）＝0的解是（　　）

A．x1＝x2＝0 B．x1＝x2＝2 

C．x1＝0，x2＝2 D．x1＝0，x2＝﹣2

3．把一元二次方程化成一般式，则a，b，c的值分别是（     ）

A．，2，5 B．2，， C．1，4， D．，，

4．下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（　　）

A．x2+1＝0 B．x2+1＝2x C．x2﹣2x＝0 D．x2﹣2x＝3

5．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+3x+k2﹣1＝0的一个根为0，则k的值为（　　）

A．0 B．1 C．﹣1 D．1或﹣1

6．如表是小明与的对话，在深度思考后，给出的正确答案是（   ）

新对话 有没有这样一个数？先计算这个数的平方，再减去这个数，最后加上1，其运算结果和这个数相同． 深度思考中…… 开启新对话

A． B． C．1 D．或1

7．若m、n是关于x的方程2x2﹣4x+1＝0的两个根，则的值为（　　）

A．4 B．﹣4 C． D．

8．冬春季是我国流感等急性呼吸道传染病高发期，流感病毒是我国急性呼吸道传染病主要病原体．某班级最初有人患流感，由于未采取有效防范措施，经过两轮传染后该班级共有人患流感，若设每轮传染中平均一人传染了人，则根据题意，可列方程为（     ）

A． B．

C． D．

9．若关于x的一元二次方程a（x+m）2+n＝0的两根分别为x1＝﹣2，x2＝1，则关于x的一元二次方程a（x+m﹣2025）2+n＝0（a≠0）的两根分别为（　　）

A．x1＝﹣2，x2＝1 B．x1＝2023，x2＝2026 

C．x1＝﹣2023，x2＝2026 D．x1＝﹣2027，x2＝﹣2022

10．已知关于x的一元二次方程ax2﹣2（a﹣2）x+a﹣4＝0（a＞0），设方程的两个实数根分别为x1，x2

（其中x1＞x2），若y是关于a的函数，且y＝x1﹣ax2，若y＞0，则（　　）

A．0＜a＜3 B．0＜a＜5 C．a＞3 D．a＞5

二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分）

11．方程的根是__________．

12．若方程是关于x的一元二次方程，则a的取值范围是________．

13．已知﹣1是方程x2+bx﹣3＝0的一个根，则b＝　   　 ，另一个根是　  　 ．

14．有一个正数m，m与1的和乘以m与1的差仍得m，则m的值为　    　 ．

15．计算：m＝2n+7，则m2﹣4mn+4n2的值是　   　．

16．若是一个直角三角形两条直角边的长a，b，满足（a2+b2）（a2+b2+1）＝12，则这个直角三角形的斜边长为 　    ．

17．《田亩比类乘除捷法》中记载了一道题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步．”译文：一个矩形的面积为864平方步，宽比长少12步，问宽和长各多少步？设矩形的宽为x步，由题意，可列方程为             　 ．

18．已知：m2﹣2m﹣1＝0，n2+2n﹣1＝0且mn≠1，则的值为 　   　 ．

三．解答题（共9小题，满分66分）

19．（6分）解方程：x2+x﹣1＝0．

20．（6分）已知关于x的方程x2﹣（3k+3）x+2k2+4k+2＝0

（1）求证：无论k为何值，原方程都有实数根；

（2）若该方程的两实数根x1、x2为一菱形的两条对角线之长，且x1x2+2x1+2x2＝36，求k值及该菱形的面积．

21．（6分）第十四届国际数学教育大会（ICME−14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0～7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是，表示ICME−14的举办年份．

(1)八进制数123换算成十进制数是___________；

(2)小华设计了一个进制数143，换算成十进制数是120，求的值．

22．（6分）在一元二次方程x2﹣2ax+b＝0中，若a2﹣b＞0，则称a是该方程的中点值．

（1）方程x2﹣8x+3＝0的中点值是 　　 ．

（2）已知x2﹣mx+n＝0的中点值是3，其中一个根是2，求mn的值．

23．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．

（1）求证：该一元二次方程总有两个不相等的实数根；

（2）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，另两边AB、BC恰好是该方程的两个根，请求出k的

值．

24．（6分）石狮泰禾某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“十一”国庆节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件．

(1)设每件童装降价x元时，每天可销售______件，每件盈利______元；（用x的代数式表示）

(2)每件童装降价多少元时，平均每天赢利1200元；

(3)要想平均每天盈利2000元，可能吗？请说明理由．

25．（8分）如图1，有一张长为、宽为的长方形硬纸片，剪去四个角上同样大小的四个小正方形之后，折成图2所示的无盖纸盒．（硬纸片厚度忽略不计）．

(1)若剪去的正方形的边长为，则纸盒底面长方形的长为___________；

(2)若纸盒的底面积为，请计算剪去的正方形的边长；

(3)如图3，小明先在原矩形硬纸片的两个角各剪去一个同样大小的正方形（阴影部分），经过思考他发现，再剪去两个同样大小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖纸盒．若折成的有盖长方体纸盒的表面积为，请计算剪去的正方形的边长．

26．（10分）阅读下列材料：

材料一  “”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式．例如：

，，

解决下列问题：

(1)填空：   ．

(2)已知，求的值．

(3)比较代数式与的大小，并说明理由

27．（12分）如图，在矩形中，，，点从点出发向点运动，运动到点即停止；同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点、的速度都是．连接、、，设点、运动的时间为．