精品解析：上海市静安区教育学院附属学校2026-2027学年第一学期七年级数学期中试题

静教院附校2026学年第一学期七年级数学期中考试 （卷面总分：100分考试时间：90分钟） 一、选择题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 1. 下列各组单项式中，是同类项的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 2. 下列运用乘法公式计算，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，四个图形能拼成一个大长方形，据此可写出一个多项式的因式分解（ ） A. B. C. D. 4. 已知整数，，，…满足下列条件：，，，，…以此类推，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共14个空格，每空2分，共28分） 5. 把多项式按照字母升幂排列时，从左到右第二项是：_____． 6. 已知，则_____． 7. 已知整式，其中四次项的系数是_____． 8. 若不论x取何值，关于x的整式和的值都相等，则k的值为__________． 9. 小明在求一个多项式减去时，误认为加上，得到的答案是，则正确的答案是_____． 10. 若，，那么_________，_________． 11. 已知一个长方形面积为，这个长方形的长为，则宽的长度为_____． 12. 计算的结果是________． 13. 化简：______． 14. 因式分解：_____． 15. 若整式可以因式分解为，则_____． 16. 已知实数、满足，则代数式的最小值为________． 17. 某校今年学生人数是一个完全平方数．若增加了120人，则学生人数比一个完全平方数多1；若再增加120人，则学生人数是一个完全平方数．该校今年有学生________人． 三、计算与因式分解（本大题共9小题，每小题4分，共36分） 18. 计算： 19. 计算： 20. 计算： 21. 计算： 22. 因式分解：a2（x﹣y）+b2（y﹣x） 23. 因式分解： 24. 因式分解：（a﹣b）2+4ab． 25. 因式分解：． 26. 用长除法计算： 四、解答题（本大题共4小题，每题6分，共24分） 27. 化简求值：，其中，． 28. 如图，一个长为，宽为的长方形，将它的长增加8，宽增加，得到一个新长方形，且长方形的周长是长方形的周长的3倍． （1）求的长；（用含的代数式表示） （2）长方形的面积和另一个有一条边的长为的长方形的面积相等，求长方形另一条边的长．（用含的代数式表示） 29. 若一个整数能表示成（其中、都是整数）的形式，则称这个数为“智慧数”．例如：5是“智慧数”，因为；再如：（，是整数），所以也是“智慧数”． （1）请你再写一个小于10的（5除外）“智慧数”_______，并判断2026是否为“智慧数”_______（填“是”或者“否”）； （2）已知（，是整数），是常数，要使为“智慧数”，试求出符合条件的一个值． 30. 把整式化成，即因式分解．一个代数式等于另一个和它完全相等的式子，这种等式叫作恒等式，其中等号两边未知数的取值范围也一样．因式分解的等式和整式乘法的等式都是恒等式的一种．下面我们对恒等式作进一步的研究． （1）分别计算图1、图2中阴影部分的面积得恒等式，把这个恒等式写成因式分解的形式______________________________________． （2）如果是关于、的恒等式，那么的值为_________________________． （3）把整式因式分解可以化成两个一次整式的乘积，请写出满足条件的两个恒等式，一个是因式分解的等式且是负整数：_________________；另一个是整式乘法的等式且是正数：_________________________． （4）已知能够因式分解为： ①请画出图形，并用图形的面积验证上述恒等式（标注出相关线段的长度）． ②满足条件的的最大值为_____________________． （5）①对1个三次二项式进行因式分解，可以化成三个一次式的乘积，这个恒等式可以是_____________________________（写出一个即可） ②请写出1个整式乘法的恒等式，计算结果是一个三次三项式且没有一次项，这个恒等式可以是_______________________________________．（写出一个即可） ③写出恒等式的三个性质，分别是： ___________________________________________________________________________________________． ___________________________________________________________________________________________． ___________________________________________________________________________________________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 静教院附校2026学年第一学期七年级数学期中考试 （卷面总分：100分考试时间：90分钟） 一、选择题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 1. 下列各组单项式中，是同类项的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】C 【解析】 【分析】从所含字母种类、相同字母的指数两个维度判断同类项，与系数无关． 【详解】解：A．与所含字母不同，不是同类项． B．与中的指数不同，不是同类项． C．与是同类项． D．与所含字母不同，不是同类项． 2. 下列运用乘法公式计算，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依次利用完全平方公式、平方差公式对四个选项进行展开验算，判断计算结果是否正确． 【详解】解：，，故A、B错误． ，故C错误． ，故D正确． 3. 如图，四个图形能拼成一个大长方形，据此可写出一个多项式的因式分解（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】计算四个小图形的面积之和，再确定拼成的大长方形的长和宽，根据面积相等即可得出多项式的因式分解形式，注意因式分解是将和化为积的形式． 【详解】解：∵四个小图形的面积分别为：，，，， ∴四个图形的面积之和为：， 又∵这四个图形能拼成一个大长方形， ∴大长方形的长为，宽为或长为，宽为， ∴大长方形的面积为， ∴根据面积相等可得：且符合多项式的因式分解． 4. 已知整数，，，…满足下列条件：，，，，…以此类推，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】计算前若干项，归纳偶数项的数值规律，代入求解. 【详解】解：. . . . . . …… 当为正偶数时，. ∵ 为偶数， ∴ . 二、填空题（本大题共14个空格，每空2分，共28分） 5. 把多项式按照字母升幂排列时，从左到右第二项是：_____． 【答案】 【解析】 【分析】需先拆分多项式的所有项，计算每项中字母的指数，按的指数从小到大完成升幂排列，再定位从左到右的第二项． 【详解】解：拆分原多项式的所有项，分别为，，，． ∴按升幂排列后的多项式为， ∴从左到右数第二项为． 6. 已知，则_____． 【答案】16 【解析】 【分析】先去括号，再合并同类项化简，然后将整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 7. 已知整式，其中四次项的系数是_____． 【答案】 【解析】 【分析】先对给定整式合并同类项化简，再根据单项式次数的定义定位四次项，提取对应系数． 【详解】解：， ∵单项式的次数为所有字母指数的和 ∴各项次数分别为：的次数是，的次数是5，常数项次数为0． ∴该整式的四次项为，其系数为． 8. 若不论x取何值，关于x的整式和的值都相等，则k的值为__________． 【答案】11或 【解析】 【分析】由可得，进而可得，即得，再根据的值分情况解答即可． 【详解】解：∵关于x的整式和的值都相等， ∴， ∴ ∴， ∵不论x取何值，关于x的整式和的值都相等， ∴，， ∴，解得， 当时，， 解得， 当时，， 解得， ∴的值为11或． 9. 小明在求一个多项式减去时，误认为加上，得到的答案是，则正确的答案是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据题目的条件，先求出原式，再按照题目给的正确做法求出正确结果． 【详解】解：原多项式为 ， 则正确的答案是． 10. 若，，那么_________，_________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】将所求幂的形式通过幂的运算法则拆解为已知、的组合形式，代入数值计算即可． 【详解】解：； ． 11. 已知一个长方形面积为，这个长方形的长为，则宽的长度为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据长方形面积公式，宽等于面积除以长，结合多项式除以单项式的运算法则计算即可． 【详解】解：∵长方形面积为，长为， ∴宽为 ． 12. 计算的结果是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了幂的混合运算，熟练掌握幂的混合运算是关键．先计算积的乘方，幂的乘方，再计算同底数幂的乘法即可． 【详解】解：． 故答案为：． 13. 化简：______． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 14. 因式分解：_____． 【答案】 【解析】 【详解】解： 15. 若整式可以因式分解为，则_____． 【答案】 72 【解析】 【分析】将因式分解后的整式展开，根据相等多项式对应项系数相等的规则，列方程求出m、n的值，再代入计算． 【详解】解： ∵该式与是相等的整式， ∴对应项的系数相等， ∴，解得；， 将代入得， ∴． 16. 已知实数、满足，则代数式的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据可得，代入整理可得，根据平方的非负性即可求出结果． 【详解】解：， ， 把代入， 可得：， 的最小值为， 的最小值为． 17. 某校今年学生人数是一个完全平方数．若增加了120人，则学生人数比一个完全平方数多1；若再增加120人，则学生人数是一个完全平方数．该校今年有学生________人． 【答案】 【解析】 【分析】设该校今年学生人数为，由题意，存在正整数a，b，c，使得，根据题意列出平方差等式，用平方差公式分解后结合因数分解讨论正整数解，验证后得到符合条件的结果． 【详解】解：设该校今年学生人数为，由题意，存在正整数a，b，c，使得 整理得： 消去得， 因式分解得 ∵，且与同奇偶、， ∴ 解得， 将代入，得 ， 即，符合原数为完全平方数； ，符合加120后比完全平方数多1； ，符合再加120后为完全平方数． ∴该校今年有学生3481人． 三、计算与因式分解（本大题共9小题，每小题4分，共36分） 18. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】先去括号，再合并同类项即可得到计算结果． 【详解】解：原式． 19. 计算： 【答案】 【解析】 【详解】解： 20. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】按多项式乘多项式的规则展开原式，合并同类项得到最终结果． 【详解】解： ． 21. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】通过观察表达式，将原式变形为平方差公式的形式，然后计算； 【详解】解： ． 22. 因式分解：a2（x﹣y）+b2（y﹣x） 【答案】 【解析】 【分析】利用提公因式法和公式法分解因式即可． 【详解】解：原式 【点睛】本题考查了提公因式法和公式法分解因式，熟悉相关性质是解题的关键． 23. 因式分解： 【答案】 【解析】 【分析】将作为整体套用完全平方公式完成第一步分解，再对分解后得到的二次因式套用平方差公式，直至所有因式无法继续分解． 【详解】原式 ． 24. 因式分解：（a﹣b）2+4ab． 【答案】 【解析】 【分析】先利用完全平方公式进行化简，然后再合并，最后根据完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】解：原式=． 【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 25. 因式分解：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的几种常用方法． 连续两次运用十字相乘法因式分解即可． 【详解】解： 26. 用长除法计算： 【答案】商为，余式为． 【解析】 【分析】补全多项式中缺失的低次项，逐次以余式最高次项除以除式最高次项得到商的各项，直至余式次数低于除式次数． 【详解】略 四、解答题（本大题共4小题，每题6分，共24分） 27. 化简求值：，其中，． 【答案】 化简结果为，代入求值结果为 【解析】 【详解】解：原式    当，时， 原式  28. 如图，一个长为，宽为的长方形，将它的长增加8，宽增加，得到一个新长方形，且长方形的周长是长方形的周长的3倍． （1）求的长；（用含的代数式表示） （2）长方形的面积和另一个有一条边的长为的长方形的面积相等，求长方形另一条边的长．（用含的代数式表示） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先明确长方形A的长和宽，根据长方形周长公式，分别计算长方形A和长方形B的周长．利用“长方形B的周长是长方形A的周长的3倍”这一条件建立等式，通过整式运算求解a的表达式． （2）计算长方形B的面积，结合长方形C的一条边长为，根据面积相等的关系，通过整式除法求出长方形C的另一条边长． 【小问1详解】 ∵原长方形A的长为，宽为， ∴A的周长： ． 新长方形B的长为，宽为， ∴B的周长： ． 由题意B的周长是A的3倍，列等式： ． 化简后解得． ∵， 此时，符合实际． 【小问2详解】 把代入， 可得B的宽为， ∴B的面积： ． ∵长方形C的面积和B相等，且C的一条边长为， ∴另一条边长​．  ∵长方形A的宽，可以约去公因式， ∴另一条边长为． 29. 若一个整数能表示成（其中、都是整数）的形式，则称这个数为“智慧数”．例如：5是“智慧数”，因为；再如：（，是整数），所以也是“智慧数”． （1）请你再写一个小于10的（5除外）“智慧数”_______，并判断2026是否为“智慧数”_______（填“是”或者“否”）； （2）已知（，是整数），是常数，要使为“智慧数”，试求出符合条件的一个值． 【答案】（1）（答案不唯一）；是 （2） 【解析】 【分析】（1）利用“智慧数”的定义可得； （2）利用完全平方公式，将S配成智慧数，可求k的值． 【小问1详解】 ， 是“智慧数”． 小于的（5除外）“智慧数”为；（答案不唯一）， 是“智慧数”． 【小问2详解】 ， 是“智慧数”， ， ． 当时，S为“智慧数”． 30. 把整式化成，即因式分解．一个代数式等于另一个和它完全相等的式子，这种等式叫作恒等式，其中等号两边未知数的取值范围也一样．因式分解的等式和整式乘法的等式都是恒等式的一种．下面我们对恒等式作进一步的研究． （1）分别计算图1、图2中阴影部分的面积得恒等式，把这个恒等式写成因式分解的形式______________________________________． （2）如果是关于、的恒等式，那么的值为_________________________． （3）把整式因式分解可以化成两个一次整式的乘积，请写出满足条件的两个恒等式，一个是因式分解的等式且是负整数：_________________；另一个是整式乘法的等式且是正数：_________________________． （4）已知能够因式分解为： ①请画出图形，并用图形的面积验证上述恒等式（标注出相关线段的长度）． ②满足条件的的最大值为_____________________． （5）①对1个三次二项式进行因式分解，可以化成三个一次式的乘积，这个恒等式可以是_____________________________（写出一个即可） ②请写出1个整式乘法的恒等式，计算结果是一个三次三项式且没有一次项，这个恒等式可以是_______________________________________．（写出一个即可） ③写出恒等式的三个性质，分别是： ___________________________________________________________________________________________． ___________________________________________________________________________________________． ___________________________________________________________________________________________． 【答案】（1）  （2） （3）（也可写），（也可写 （4）① ②1 （5）① ② ③ 恒等式的三个性质： 恒等式等号两边的代数式对任意使两边都有意义的未知数取值，左右两边的值都相等； 恒等式左右两边对应同类项的系数完全相等； 恒等式两边可以同时进行加、减、乘、除（除数不为0）相同的合法变形，得到的仍然是恒等式． 【解析】 【分析】（1）分别计算图1、图2阴影部分的面积，因为两个图形阴影面积相等，所以得到恒等式，再将恒等式转化为因式分解形式． （2）展开等式右边的整式乘法，因为恒等式两边同类项系数相等，所以列方程求解、，再计算． （3）对于，因为要分解为两个一次整式乘积，所以根据十字相乘法确定的取值，分别写出为负整数的因式分解等式和为正数的整式乘法等式． （4）①根据的结构，构造边长为的正方形，标注相关线段长度，用面积差验证恒等式； ②展开右边的式子，对比系数得到与的关系，因为平方数非负，所以求的最大值． （5）①根据三次二项式分解为三个一次式乘积的要求，构造符合条件的恒等式； ②根据整式乘法结果为三次三项式且无一次项的要求，构造符合条件的恒等式； ③结合恒等式的定义和性质，总结其三个性质． 【小问1详解】 解：图1阴影面积为大正方形面积减去右上角空白小正方形面积，即． 图2是把图1的阴影部分拼接成一个长为、宽为的长方形， 面积为， 二者面积相等， 得到平方差公式的因式分解形式 ． 【小问2详解】 解：， ∵是恒等式，左右两边对应同类项系数相等： ∴的系数：，解得， 的系数：，解得， 常数项：，  ∴； 【小问3详解】 解：示例  第二空（整式乘法、为正数）： 示例  【小问4详解】 解：①画一个边长为的正方形，在它的基础上变形为长为、宽为的长方形： 用平方差的面积图，大正方形边长为， 在右上角割去一个边长为的小正方形， 剩余阴影部分面积既可以表示为， 也可以拼接成长、宽的长方形，面积为，二者相等，展开后就是，和题干恒等式对应． 标注线段：大正方形边长标注，割去的小正方形边长标注． ② 把右侧展开得，和左侧对比得． ∵， ∴当时，取得最大值1． 【小问5详解】 解：① 示例：（符合“三次二项式分解为三个一次式乘积”即可） ② 示例：（符合“整式乘法结果是三次三项式、没有一次项”即可，展开后为三次三项式且一次项系数为0） ③ 恒等式的三个性质（初中范围内合理即可）： 恒等式等号两边的代数式对任意使两边都有意义的未知数取值，左右两边的值都相等； 恒等式左右两边对应同类项的系数完全相等； 恒等式两边可以同时进行加、减、乘、除（除数不为0）相同的合法变形，得到的仍然是恒等式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $