精品解析：广东广州市西关外国语学校2026-2027学年第一学期八年级上学期数学期中试卷

2026学年第一学期期中质量监测 初二数学 考试分数：150 考试时间：120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必在答题卡用黑色字迹的钢笔或签字笔填写自己的考生号、姓名、座位号，再用2B铅笔把对应号码的标号涂黑． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能写在试卷上． 3．非选择题答案必须用黑色字迹的钢笔或签字笔写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，改动后的答案也不能超出指定的区域；不准使用铅笔（除作图外）、涂改液和修正带．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列图案中，是轴对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 2. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，，若，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 7 D. 10 5. 某校准备在如图所示的三角形空地上种植花卉，需将其分成面积相等的两块分别种植牡丹和芍药，小敏作出线段来划分，那么是的（ ） A. 角平分线 B. 中线 C. 高线 D. 以上都不是 6. 若，则p、q的值分别为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，，过点作，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 已知：，则（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在的正方形网格中，已有三个小正方形被涂黑，若将剩余的白色小正方形再涂黑一个，使得到的图形是轴对称图形，满足条件的涂法有（ ） A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种 10. 如图，中，，三角形两内角的角平分线交于点，交于，下列结论：①；②；③若，则；其中正确结论的个数为（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．） 11. 等边三角形有______条对称轴． 12. 若点与点关于x轴对称，则的值为__________． 13. 已知命题：“全等三角形对应边相等”，则它的逆命题为__________． 14. 如图，某商场楼层之间的手扶电梯示意图，其中，分别表示地面的水平线．已知，．那么乘电梯从点到点上升的高度是______________． 15. 如图，已知，，的平分线与外角的平分线交于点，则________． 16. 我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，这个三角形给出了 (为正整数）的展开式的如图所示系数规律（按的次数由大到小的顺序），请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是______． 三、解答题（本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. 计算： （1）； （2） 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在正方形网格的格点上． （1）画出关于x轴对称的图形； （2）求的面积． 19. 如图，点，，，在同一条直线上，，，．求证：． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 如图，已知，用尺规完成以下作图（不写作法，保留作图痕迹）． （1）先作的平分线，交边于点；再作线段的垂直平分线，交边于点，交边于点； （2）在（1）的条件下，连接，请判断与的位置关系并证明． 22. 如图，于点，于点F．若，． （1）求证：平分． （2）已知，，求的长． 23. 如图，为等腰直角三角形，，点为内一点，，为延长线上一点，． （1）求的度数； （2）点在上，若，写出与相等的理由． 24. 综合与实践 【问题提出】如图，牧民从地出发，到一条笔直的河边饮马，然后到地．牧民到河边的什么地方饮马可使所走的路径最短？ 【问题抽象】某学习小组在探究这一问题时抽象出数学模型：如图，直线同旁有两个定点、，在直线上存在点，使得的值最小． 【分析问题】小亮：如图，作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，点就是饮马的地方，此时按路线走的路程就是最短的． 小慧：你能详细解释为什么吗？ 小亮：如图，在直线上另取不同于点的任一点，连接，，． ∵点、关于直线对称，点、在直线上， __________，__________， __________． ∵在中，（三角形的任意两边之和_______________） ∴__________，即最小． 【解决问题】 （1）请将小亮的说明过程补充完整．（直接填在横线上） （2）如图，在中，点与点关于直线成轴对称，点是直线上的动点．若，，，请直接写出周长的最小值． （3）如图，某景区内有两条相交的笔直小路，，它们相交所夹的角区域内有一处古迹，现计划在区域内修建三条步道，连通古迹，小路，，步道与小路，的连接点分别为，，那么点，的位置应建在何处，才能使所建的步道总长度最短？请在图中画出，两点与所建步道的最短路线．（不写画法，保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线） 25. 如图，中，，，，，直线经过点且与边相交．动点从点出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点运动．点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束．设运动时间为秒． （1）当为何值时，、两点相遇； （2）在某时刻分别过点和点作于点E，于点，求当为何值时，以、、为顶点的三角形与以、、为顶点的三角形全等． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年第一学期期中质量监测 初二数学 考试分数：150 考试时间：120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必在答题卡用黑色字迹的钢笔或签字笔填写自己的考生号、姓名、座位号，再用2B铅笔把对应号码的标号涂黑． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能写在试卷上． 3．非选择题答案必须用黑色字迹的钢笔或签字笔写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，改动后的答案也不能超出指定的区域；不准使用铅笔（除作图外）、涂改液和修正带．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列图案中，是轴对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】据轴对称图形的定义，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，据此逐一判断即可． 【详解】解：根据轴对称图形的定义，沿一条直线对折后两部分完全重合的图形是轴对称图形.， 、、选项中的图形均找不到对称轴，不是轴对称图形， 选项中的图形沿过中心的直线对折后两部分完全重合，是轴对称图形． 2. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】比较两条较短线段的和与最长线段的大小，判断能否组成三角形． 【详解】解：A中，，不能组成三角形； B中，，不能组成三角形； C中，，不能组成三角形； D中，，能组成三角形． 3. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，运算错误，不符合题意； B、，运算正确，符合题意； C、，运算错误，不符合题意； D、，运算错误， 不符合题意． 4. 如图，，若，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 7 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质求得，，进而可求解． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴． 5. 某校准备在如图所示的三角形空地上种植花卉，需将其分成面积相等的两块分别种植牡丹和芍药，小敏作出线段来划分，那么是的（ ） A. 角平分线 B. 中线 C. 高线 D. 以上都不是 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，根据三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分，即可解题． 【详解】解：将三角形空地分成面积相等的两部分， 是的中线； 故选：B． 6. 若，则p、q的值分别为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】展开左边多项式乘积，与右边式子对应项系数相等求解． 【详解】解： ∵， ∴ ∴ 7. 如图，在中，，，过点作，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角形内角和定理求出 的度数，再根据平行线的性质求解． 【详解】解：，， ， ， ． 8. 已知：，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】统一所求幂的底数为，然后将代入计算． 【详解】解：∵， ∴， ， 将代入， 得． 9. 如图，在的正方形网格中，已有三个小正方形被涂黑，若将剩余的白色小正方形再涂黑一个，使得到的图形是轴对称图形，满足条件的涂法有（ ） A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．利用轴对称图形定义进行补图即可． 【详解】解：如图所示： 共4种， 故选：D． 10. 如图，中，，三角形两内角的角平分线交于点，交于，下列结论：①；②；③若，则；其中正确结论的个数为（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】D 【解析】 【分析】依题意，如图，延长交于，于．根据三角形内角和性质以及直角三角形的两个锐角互余，得，利用角平分线的性质定理，证明，整理得，结合三角形的面积公式以及进行分析，得出，即可作答． 【详解】解：如图延长交于，于． ， ∴， ∵三角形两内角的角平分线交于点， ， ， ， ， ， ∵ ，故①正确， ，，， ， ，，， ， ， ，故②正确， ，平分， ， ， 即 ， ， ， ， ， 故③正确． 故选：D． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的性质，三角形内角和性质，直角三角形的两个锐角互余，等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．） 11. 等边三角形有______条对称轴． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质，根据等边三角形的对称性即可求得答案． 【详解】解：等边三角形有3条对称轴， 故答案为：3． 12. 若点与点关于x轴对称，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查代数式求值，涉及平面直角坐标系中点关于轴对称的点的坐标特征：横坐标不变、纵坐标互为相反数，掌握点关于坐标轴对称点的坐标特征是解决问题的关键． 根据点与点关于x轴对称，，可知，代入直接求值即可得到答案． 【详解】解：点与点关于x轴对称， ， ， ∴． 故答案为：． 13. 已知命题：“全等三角形对应边相等”，则它的逆命题为__________． 【答案】 对应边相等的两个三角形全等 【解析】 【分析】本题考查逆命题的概念，找出原命题的条件和结论，将条件和结论互换，即可得到原命题的逆命题． 【详解】解：原命题“全等三角形对应边相等”中，条件为“两个三角形全等”，结论为“两个三角形对应边相等”，将条件和结论互换，得到逆命题为：对应边相等的两个三角形全等. 故答案为对应边相等的两个三角形全等． 14. 如图，某商场楼层之间的手扶电梯示意图，其中，分别表示地面的水平线．已知，．那么乘电梯从点到点上升的高度是______________． 【答案】 【解析】 【分析】过作交的延长线于，则，求出，再由含角的直角三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：如图，过作交的延长线于，则， ∵， ∴， ∵， ∴，即. 15. 如图，已知，，的平分线与外角的平分线交于点，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据角平分线的定义得到， ，根据三角形的外角性质“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”得到， 依次计算即可． 【详解】解：∵是的平分线，是的平分线， ∴， ， ∵是的外角， ∴， ∵是的外角， ∴． 16. 我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，这个三角形给出了 (为正整数）的展开式的如图所示系数规律（按的次数由大到小的顺序），请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据杨辉三角的系数规律推导出时的各项系数，结合多项式展开式的特征，确定含项的系数，即可求解． 【详解】解：根据杨辉三角的规律，每一行的首尾数字均为，中间的每个数字等于它上方两数之和． 第行的“杨辉三角”数为：， 展开式为， 第行的“杨辉三角”数为：， 展开式为， 则展开式为， 含项的系数是． 三、解答题（本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解 ：原式 ； 【小问2详解】 解：原式． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在正方形网格的格点上． （1）画出关于x轴对称的图形； （2）求的面积． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，坐标与图形变化—轴对称，熟知关于x轴对称的点的坐标特点是解题的关键． （1）关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此得到A、B、C对应点的坐标，描出并顺次连接即可； （2）利用割补法求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：． 19. 如图，点，，，在同一条直线上，，，．求证：． 【答案】 证明：如图， ， ，即， 在和中， ， ． 【解析】 【分析】此题考查全等三角形的判定，关键是根据证明与全等解答． 根据等式的性质得出，再根据全等三角形的判定解答即可． 【详解】略 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，0 【解析】 【详解】解： ， 当时，原式． 21. 如图，已知，用尺规完成以下作图（不写作法，保留作图痕迹）． （1）先作的平分线，交边于点；再作线段的垂直平分线，交边于点，交边于点； （2）在（1）的条件下，连接，请判断与的位置关系并证明． 【答案】（1）如图所示，、即为所求： （2）证明：，理由如下： 如图，连接， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）先以点为圆心，任意长为半径画弧分别交和于一点，再分别以这两点为圆心，大于这两点距离的一半画弧，交于一点，以点和该点作射线交于点，得到角平分线；分别以点、为圆心，大于为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线，分别交边于点，交边于点，即为所作； （2）根据垂直平分线的性质可知，然后根据等边对等角和角平分线的定义，利用内错角相等两直线平行即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 如图，于点，于点F．若，． （1）求证：平分． （2）已知，，求的长． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解析】 【分析】（）由垂直定义可得，然后证明，所以，再由角平分线的判定方法即可求证； （）证明，所以，然后通过即可求解． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 又∵，， ∴平分； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴． 23. 如图，为等腰直角三角形，，点为内一点，，为延长线上一点，． （1）求的度数； （2）点在上，若，写出与相等的理由． 【答案】（1） （2） 解：连接， ，， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， ； ． 【解析】 【分析】（1）由为等腰直角三角形得出，由得出，从而得出，再利用即可证明得，然后利用三角形外角的性质即可求解； （2）连接，先证为等边三角形，得出，再证，进一步证，根据即可证明，从而得出． 【小问1详解】 解：为等腰直角三角形， 在与中， ， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 24. 综合与实践 【问题提出】如图，牧民从地出发，到一条笔直的河边饮马，然后到地．牧民到河边的什么地方饮马可使所走的路径最短？ 【问题抽象】某学习小组在探究这一问题时抽象出数学模型：如图，直线同旁有两个定点、，在直线上存在点，使得的值最小． 【分析问题】小亮：如图，作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，点就是饮马的地方，此时按路线走的路程就是最短的． 小慧：你能详细解释为什么吗？ 小亮：如图，在直线上另取不同于点的任一点，连接，，． ∵点、关于直线对称，点、在直线上， __________，__________， __________． ∵在中，（三角形的任意两边之和_______________） ∴__________，即最小． 【解决问题】 （1）请将小亮的说明过程补充完整．（直接填在横线上） （2）如图，在中，点与点关于直线成轴对称，点是直线上的动点．若，，，请直接写出周长的最小值． （3）如图，某景区内有两条相交的笔直小路，，它们相交所夹的角区域内有一处古迹，现计划在区域内修建三条步道，连通古迹，小路，，步道与小路，的连接点分别为，，那么点，的位置应建在何处，才能使所建的步道总长度最短？请在图中画出，两点与所建步道的最短路线．（不写画法，保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线） 【答案】（1）如图，在直线上另取不同于点的任一点，连接，，． ∵点、关于直线对称，点、在直线上， ，， ， ∵在中，（三角形的任意两边之和大于第三边） ∴，即最小． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）在直线上另取不同于点的任一点，利用轴对称等量替换，结合三角形三边关系证明最小； （2）利用对称得，把转化为，加得到周长最小值； （3）分别作点关于两条小路的对称点，连接两对称点，与小路交点即为、，连接、、即为最短路径． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接，直线与交于点， 点与点关于直线成轴对称， ， ， 当点运动到点，取得最小值， 的周长最小值为． 【小问3详解】 解：如图，作关于的对称点，作关于的对称点，连接，交于点，交于点， ，， ， 当，，，四点共线时，取得最小值， 故为所建步道的最短路线． 25. 如图，中，，，，，直线经过点且与边相交．动点从点出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点运动．点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束．设运动时间为秒． （1）当为何值时，、两点相遇； （2）在某时刻分别过点和点作于点E，于点，求当为何值时，以、、为顶点的三角形与以、、为顶点的三角形全等． 【答案】（1）秒 （2）秒秒或12秒 【解析】 【分析】（1）设运动时间为秒，根据两点相遇时的路程关系列方程求解； （2）分三种情况，结合全等三角形的性质解答即可． 【小问1详解】 解：设运动时间为秒．则，， 根据题意得：， 解得， 故秒时，、两点相遇． 【小问2详解】 解：分三种情况： 当在上，点P在上时，如图1： 由题意得：，， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 当时，则， 即， 解得：． 当点P与点Q重合时，如图2： 由题意得：，， ∵，， ∴，， 当，则， ∴， 解得， 当点Q和点A重合时，如图3， 由题意得：， ∵， ∴，， ∵， ∴， 当，则 即， 解得， 综上所述：秒秒或12秒时，与全等． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $