精品解析：广东中山市中山纪念中学2026-2027学年八年级上学期期中考试数学试卷

2026-2027学年第一学期期中考试 八年级数学学科试卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分 1. 下列数学符号是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，熟知轴对称图形的概念是解题的关键； 根据轴对称图形的定义：如果将一个图形沿着某条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，即可解答. 【详解】解： 选项中的数学符号是轴对称图形的是，其它的都不是； 故选：D. 2. 下列长度的各组线段能组成一个三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【详解】解：A. ∵，∴不能组成三角形； B. ∵，∴不能组成三角形； C. ∵，∴能组成三角形； D. ∵，∴不能组成三角形． 3. 如图，一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，这里所运用的几何原理是（ ） A. 垂线段最短 B. 两点之间线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 三角形的稳定性 【答案】D 【解析】 【详解】解：由题意得，这里所运用的几何原理是三角形的稳定性． 4. 如图，点，，在同一直线上，若，，，则的长为（ ） A. 9 B. 16 C. 11 D. 12 【答案】B 【解析】 【详解】解： ， ，，  . 5. 如图，中，是边上高的线段为（ ） A. 线段 B. 线段 C. 线段 D. 线段 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形高的定义：从三角形的一个顶点向对边（或对边的延长线）作垂线，顶点和垂足之间的线段就叫做这条边上的高求解即可． 【详解】解：A，是的边上的高； B，是的边上的高； C，是中边上高； D，不是图中任何线段上的垂线． 6. 如图，在中，，将沿折叠，点落在边上的点处，，则的度数为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形内角和定理和三角形外角的性质，翻折变换等知识；利用翻折不变性可得，进而根据三角形内角和定理和三角形外角的性质即可解决问题． 【详解】解：， ， 是由翻折得到， ， ， ， 解得． 故选：C． 7. 下列命题中，逆命题是真命题的是（　　） A. 全等三角形的面积相等 B. 如果两个实数相等，那么它们的平方相等 C. 等边三角形是锐角三角形 D. 两直线平行，同位角相等． 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查逆命题的真假判断，需要写出每个命题的逆命题，并根据全等三角形的判定，等边三角形的判定，平行线的判定，逐项判断其真假即可． 【详解】解：A．逆命题是面积相等的三角形全等，此命题为假命题，故A不符合题意； B．逆命题是两个实数的平方相等时，这两个实数相等，此命题为假命题，故B不符合题意； C．逆命题是锐角三角形是等边三角形，此命题为假命题，故C不符合题意； D．逆命题是同位角相等，两直线平行，此命题为真命题，故D符合题意． 故选：D． 8. 如图，的三边，，的长分别为20，30，40，是三条角平分线的交点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据角平分线的性质可知点到三边的距离相等，结合三角形面积公式可知面积比等于底边长之比． 【详解】解：∵是三条角平分线的交点, ∴点到的距离相等，设该距离为, ，，. ． ， ． 9. 我们称网格线的交点为格点． 如图，在4行×6列的正方形网格中有两个格点A、B，连接，在网格中再找一个格点C，使是等腰直角三角形，则满足条件的格点C的个数是（ ） A. 2 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质，分为底和为腰找对应的三角形即可． 【详解】解：当为底时，有和，当为腰时，有、和，共有5个，如图， 故答案为：C． 10. 如图，中，，D为线段上一动点（不与点B，C重合），连接，作，交线段于E，以下四个结论：①；②当D为中点时，；③当为等腰三角形时，；④当时，．其中正确的结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据等边对等角和三角形内角和定理，可判断①；根据三线合一可得，从而求得，进而由三角形内角和定理求得，可判断②；先根据三角形外角的定义判断出，从而当为等腰三角形时，分或两种情况，分别根据等边对等角和三角形内角和定理求解，可判断③；根据推理得到，由等角对等边，利用证得，可判断④． 【详解】解：①∵， ∴， ∴，， ∴，故①正确； ②∵D为中点，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； ③∵， ∴， ∴， ∵为等腰三角形， ∴或， 当时，则， ∵， ∴； 当时，则， ∴，故③错误； ④∵， 由①可知， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故④正确； 因此正确的结论的个数是3． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分 11. 如果点和点B关于x轴对称，则点B的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数进行求解即可． 【详解】解：∵点和点B关于x轴对称， ∴点B的坐标是， 故答案为：． 12. 已知等腰三角形的一个内角为50°，则顶角为____________度． 【答案】50或80##80或50 【解析】 【分析】已知等腰三角形的一个内角为50°，根据等腰三角形的性质可分情况解答：当50°是顶角或者50°是底角两种情况． 【详解】解：此题要分情况考虑： ①50°是它的顶角； ②50°是它的底角，则顶角是． 故答案为：50或80． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键． 13. 如图，在中，点D，E分别为，的中点，且，则阴影部分的面积为_____________． 【答案】3 【解析】 【分析】利用三角形中线平分三角形面积的性质，由D为中点可得，由E为中点可得． 【详解】解： ∵由D为中点， ， ∴， ∵E为中点， ∴， 即阴影部分的面积为3． 14. 在数学实践课上，小珊老师带领同学通过折纸计算数学问题：将直角三角形纸片按照如图所示方式折叠，使点B，C均与上的点D重合，AC翻折后与AB交于点P，折痕分别为，．已知，的长为，则的周长为________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查了翻折的性质，等边三角形的判定与性质，利用折叠的性质和等边三角形的判定，说明是等边三角形，再由含30度直角三角形的性质得出，进而解决问题． 【详解】解：由折叠的性质知，，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∵，， ∴， ∴的周长为， 故答案为：12． 15. 如图，在中，，平分，点D、E分别为线段、上的动点，则的最小值是_______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查轴对称-最短路线问题，全等三角形的判定与性质，直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半；根据题意可以画出相应的图形，然后根据直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，可以解答本题． 【详解】解：如图所示，作于点F，在上取一点，使，连接 、， ∵平分，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴当、、三点共线，且与重合时，最小，最小值是， ∴， 故答案为：6． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题8分，共24分 16. 已知a，b，c是的三边长，且a，b，c都是整数．若，，且c是奇数，试判断的形状； 【答案】是等腰三角形． ∵，， ∴，即． ∵是整数且为奇数， ∴． ∴， ∴是等腰三角形． 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系以及c是奇数可求得，即可判断的形状． 【详解】略 17. 如图，点B、E、C、F在一条直线上，，，． （1）求证：； （2）若，求的大小． 【答案】（1） 证明：， ， ， 在和中， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定， （1）根据线段的和差证出，由即可得出； （2）由全等三角形的性质得到，，根据平行线的判定与性质即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ，， ， ． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于y轴的对称图形； （2）画出的重心G，并直接写出重心G的坐标．（保留画图痕迹） 【答案】（1）关于y轴的对称图形，如图所示： （2）的重心G，由图可得重心G的坐标为 【解析】 【分析】（1）分别找到三个顶点关于y轴的对称点，再顺次连接即可； （2）根据点和点的竖直方向距离4格得到中点，点和点的竖直方向距离2格得到中点，连接中线和交点即为的重心G． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分 19. 如图，在等腰三角形中，，，请按要求作答： （1）请用尺规作边的垂直平分线交于点，交于点；（保留痕迹，不写作法） （2）若，求线段的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用尺规作图的方法作出线段的垂直平分线； （2）连接，先由等腰三角形内角性质求出底角，再借助垂直平分线性质得到等角，推出直角三角形，最后利用直角三角形中角所对直角边等于斜边一半依次求出线段长，进而算出的长． 【小问1详解】 解：分别以点为圆心，以大于的长度为半径画弧，两弧交于两点；过这两点作直线，即为的垂直平分线，该直线交于点，交于点，保留作图痕迹即可，画图见答案处； 【小问2详解】 解：连接， ，， ， 是的垂直平分线， ， ， ， 在中，，，， ， ， 在中，，， ， ． 20. 如图，为等边三角形，，、相交于点，于． （1）求证： （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：为等边三角形， ，， ， ， ， ， ． （2）9 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质和已知条件，通过边角边证明，推出，通过等量代换即可求出． （2）利用直角三角形中所对应的直角边是斜边的一半即可求出长度，利用，通过等量代换即可求出长度． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ， ， ． ， ． 由可知， ． 21. 请阅读以下材料，并解决问题： 探索角平分仪 素材1 图1是一个平分角的仪器，其中，．将点放在角的顶点，和沿着角的两边放下，沿画一条射线，就是这个角的平分线． 素材2 图3是一个借鉴素材1制作的“三等分角仪”，它由四根棒组成，中间两根棒带有凹槽．四根棒在处相连并可绕点转动，点，，，固定，点，可以在凹槽处滑动，且，，，． 图5中的“三等分角仪”满足． （1）如图2，已知，，求证：平分； （2）如图4，已知，，，．若，则______； （3）利用图5“三等分角仪”进行三等分角实验，操作中发现点与点之间的距离等于时，可求得的度数．在图6中，已知，且点与点之间的距离等于，请求出的度数． 【答案】（1） 证明：，，， ， ， 即平分； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用证明，从而可得平分； （2）利用证明，从而可得，再利用证明，从而可得，进而可求得； （3）先证明用表示出、、，再利用三角形内角和定理得到关于的方程求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，，， ， ， ，，， ， ， ， ， 故答案为：； 【小问3详解】 如图， 由（2）得， 设 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， 解得：， ． 【点睛】本题考查了三角形的外角的定义及性质，全等的性质和判定，等边对等角，等腰三角形的性质和判定，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分 22. 已知在等腰中，，，点在轴的负半轴上，点在轴的正半轴上． （1）如图1，若，，求点的坐标； （2）如图2，点在轴的正半轴上，以为腰在第一象限作等腰，连接交轴于点，若点，且． ①求证：点是的中点． ②请问：的长度是否发生改变？若不变，求出的值；若变化，求的取值范围． 【答案】（1） （2）①证明：过点作轴于点，过点作轴于点，如图所示， ， 为等腰直角三角形， ，， ， ， ，， ， ． 为等腰直角三角形， 同理可证， ， ， ，， ， ， 点是的中点． ②的长度不会发生变化，． 【解析】 【分析】（1）利用垂直的性质和等腰直角三角形的性质，通过角角边证明即可推出，，从而求出点的坐标． （2）①利用垂直的性质和等腰直角三角形的性质，通过角角边证明和推出，再利用即可求证点是的中点．②利用第①问中的三对全等三角形推出，，， ，设，则，通过线段等量代换可求出定值，即可确定定值． 【小问1详解】 解：过点作轴于点，如图所示， 则， ， ， ， ，， ， ，， ， 在第二象限， ． 【小问2详解】 ①略 ②解：由①，，可知 ，，， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， （定值）， 的长度不会发生变化，且． 23. 【探究】 （）已知和都是等边三角形． ①如图，当点在上时，连接．请探究和之间的数量关系，并说明理由； ②如图，当点在线段的延长线上时，连接．请再次探究和之间的数量关系，并说明理由． 【运用】 （）如图，等边三角形中，，点在上，．点是直线上的动点，连接，以为边在的右侧作等边三角形，连接．当为直角三角形时，请直接写出的长． 【答案】（）， 理由如下： ∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ，理由如下： ∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， 即； （）或． 【解析】 【分析】（）．证明可得，即得，进而可得；．同理即可求解； （）分点在上，和点在的延长线上，两种情况，画出图形，结合四点共圆及圆周角定理解答即可求解； 本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，四点共圆，圆周角定理，解直角三角形，等角对等边，应用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：（）略 ②略 （）解：分两种情况：如图，当点在上，时， ∵和都是等边三角形， ∴， ∴四点共圆， ∵， ∴为该圆的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴； 如图，当点在的延长线上，时， ∵和都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴四点共圆， ∵， ∴为该圆的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期期中考试 八年级数学学科试卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分 1. 下列数学符号是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列长度的各组线段能组成一个三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 如图，一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，这里所运用的几何原理是（ ） A. 垂线段最短 B. 两点之间线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 三角形的稳定性 4. 如图，点，，在同一直线上，若，，，则的长为（ ） A. 9 B. 16 C. 11 D. 12 5. 如图，中，是边上高的线段为（ ） A. 线段 B. 线段 C. 线段 D. 线段 6. 如图，在中，，将沿折叠，点落在边上的点处，，则的度数为( ) A. B. C. D. 7. 下列命题中，逆命题是真命题的是（　　） A. 全等三角形的面积相等 B. 如果两个实数相等，那么它们的平方相等 C. 等边三角形是锐角三角形 D. 两直线平行，同位角相等． 8. 如图，的三边，，的长分别为20，30，40，是三条角平分线的交点，则等于（ ） A. B. C. D. 9. 我们称网格线的交点为格点． 如图，在4行×6列的正方形网格中有两个格点A、B，连接，在网格中再找一个格点C，使是等腰直角三角形，则满足条件的格点C的个数是（ ） A. 2 B. 4 C. 5 D. 6 10. 如图，中，，D为线段上一动点（不与点B，C重合），连接，作，交线段于E，以下四个结论：①；②当D为中点时，；③当为等腰三角形时，；④当时，．其中正确的结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分 11. 如果点和点B关于x轴对称，则点B的坐标是______． 12. 已知等腰三角形的一个内角为50°，则顶角为____________度． 13. 如图，在中，点D，E分别为，的中点，且，则阴影部分的面积为_____________． 14. 在数学实践课上，小珊老师带领同学通过折纸计算数学问题：将直角三角形纸片按照如图所示方式折叠，使点B，C均与上的点D重合，AC翻折后与AB交于点P，折痕分别为，．已知，的长为，则的周长为________． 15. 如图，在中，，平分，点D、E分别为线段、上的动点，则的最小值是_______． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题8分，共24分 16. 已知a，b，c是的三边长，且a，b，c都是整数．若，，且c是奇数，试判断的形状； 17. 如图，点B、E、C、F在一条直线上，，，． （1）求证：； （2）若，求的大小． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于y轴的对称图形； （2）画出的重心G，并直接写出重心G的坐标．（保留画图痕迹） 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分 19. 如图，在等腰三角形中，，，请按要求作答： （1）请用尺规作边的垂直平分线交于点，交于点；（保留痕迹，不写作法） （2）若，求线段的长． 20. 如图，为等边三角形，，、相交于点，于． （1）求证： （2）若，，求的长． 21. 请阅读以下材料，并解决问题： 探索角平分仪 素材1 图1是一个平分角的仪器，其中，．将点放在角的顶点，和沿着角的两边放下，沿画一条射线，就是这个角的平分线． 素材2 图3是一个借鉴素材1制作的“三等分角仪”，它由四根棒组成，中间两根棒带有凹槽．四根棒在处相连并可绕点转动，点，，，固定，点，可以在凹槽处滑动，且，，，． 图5中的“三等分角仪”满足． （1）如图2，已知，，求证：平分； （2）如图4，已知，，，．若，则______； （3）利用图5“三等分角仪”进行三等分角实验，操作中发现点与点之间的距离等于时，可求得的度数．在图6中，已知，且点与点之间的距离等于，请求出的度数． 五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分 22. 已知在等腰中，，，点在轴的负半轴上，点在轴的正半轴上． （1）如图1，若，，求点的坐标； （2）如图2，点在轴的正半轴上，以为腰在第一象限作等腰，连接交轴于点，若点，且． ①求证：点是的中点． ②请问：的长度是否发生改变？若不变，求出的值；若变化，求的取值范围． 23. 【探究】 （）已知和都是等边三角形． ①如图，当点在上时，连接．请探究和之间的数量关系，并说明理由； ②如图，当点在线段的延长线上时，连接．请再次探究和之间的数量关系，并说明理由． 【运用】 （）如图，等边三角形中，，点在上，．点是直线上的动点，连接，以为边在的右侧作等边三角形，连接．当为直角三角形时，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $