精品解析：黑龙江七台河市第一中学2026-2027学年高一上学期期中考试数学试卷

2026～2027学年度高一年级第一学期期中考试 高一数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4．本卷命题范围：人教A版必修第一册第一章～第三章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合 ，则集合 的子集个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】 ，则集合 的子集个数是. 2. 已知命题 ，；命题 ，，则（ ） A. 和 都是真命题 B. 和 都是真命题 C. 和 都是真命题 D. 和 都是真命题 【答案】C 【解析】 【详解】对于命题,因为,问题转化为比较与的大小. 当时,；当时,. 所以对任意都有,是真命题,是假命题. 对于命题,当时,,从而. 即方程在时无解,是假命题,是真命题. 所以和都是真命题. 3. 已知函数 则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为,所以. 因为,所以. 4. 已知 ，，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】则. 5. 已知函数 在 上单调递减，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】当时,,在上单调递增;当时,,在上单调递减. 要使在上单调递减,只需,即,解得. 所以实数的取值范围是. 6. 设函数 ， 的定义域均为，且 ，则“ 是偶函数”是“， 均为偶函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性的定义及充分条件与必要条件的判断即可求解. 【详解】取，此时均为奇函数， 则， 所以为偶函数， 即 是偶函数推不出， 均为偶函数； 若函数均为偶函数，则， ，所以是偶函数； 所以函数是偶函数是均为偶函数的必要不充分条件. 7. 设函数 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出，再分组两两配对求和. 【详解】，，所以，即， 所以, 所以 8. 已知函数是定义在上的偶函数，且（），都有 ，若，则关于的不等式 的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】得出函数的单调性，再结合奇偶性得出与的解，再分类讨论即可. 【详解】得， 则函数在上单调递增， 因为是定义在上的偶函数，， 所以可得，，即； 可得，，即或； 则由可知， 当时，得； 当时或，得； 则的解集为 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知幂函数，则（ ） A. B. 当时，在定义域上单调递减 C. 当时， D. 当时，的值域为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据幂函数的定义，结合具体幂函数的单调性、定义域、值域逐项判断. 【详解】选项A，因为是幂函数，所以，解得，故A正确. 选项B，当时，有，其定义域为，且分别在和上单调递减， 并非在定义域上单调递减，故B错误. 选项C，当时，有，且在上单调递增，又，所以，故C正确. 选项D，当时，有，其定义域为，且在定义域上单调递增，所以， 则的值域为，故D正确. 10. 已知关于的不等式 的解集是，则下列说法可能正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】将题设转化为，结合二次函数的性质，应用数形结合的方法判断. 【详解】原不等式可化为的解集为，易知， 而的零点为， 当时，如下图， 由图可得，故A正确； 当时，如下图， 由图可得，故D正确. 11. 关于定义域为 的函数 ，下列结论正确的是（ ） A. 存在 上的单调递增函数 ，使得 恒成立 B. 存在 上的单调递减函数 ，使得 恒成立 C. 使得 恒成立的函数 存在且有无穷多个 D. 使得 恒成立的函数 存在且有无穷多个 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，假设存在满足，当时推出矛盾即可；对于B，取分析即可；对于C，取(为常数)分析即可；对于D，根据条件判断出，然后推出矛盾. 【详解】对于A，假设存在  上的单调递增函数 满足条件， 当时，因为，所以， 所以，所以，所以，解得， 这与矛盾，所以假设不成立，A错误； 对于B，取，显然在上单调递减， 此时 ，满足条件，B正确； 对于C，取(为常数)， ， 由为常数可知，的取值有无穷个，C正确； 对于D，因为  ，将替换为可得 ，  两式相加得：， 此等式仅在时成立，与题设要求的对于任意的恒成立矛盾， 所以使得  恒成立的函数  不存在，D错误.  三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数 的定义域是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数解析式，二次根式被开方数非负，分式分母不为，列出不等式组求解即可． 【详解】根据题意，，则，解得且，所以函数的定义域为. 13. 已知函数满足对任意，都有，则______． 【答案】5 【解析】 【详解】由任意，都有， 令，得，解得； 令，，得，可得； 所以. 14. 已知 ，，且 ，则 的最小值为______． 【答案】8 【解析】 【分析】化简等式后，利用基本不等式可得，解关于的不等式即可得解. 【详解】由可得，即， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 由，即， 解得或（舍去）， 即当时，的最小值为8. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合 ，． （1）若 ，求 ，； （2）若 ，，求实数的取值范围． 【答案】（1）；； （2）． 【解析】 【分析】（1）先解分式不等式得到集合，代入求出集合，再进行交并补的混合运算即可. （2）根据存在元素同时属于集合，进而列不等式求出的范围即可． 【小问1详解】 由，解得，所以； 当时，可得，所以； 因为，所以． 【小问2详解】 因为，，所以；且， 又，，所以，解得， 所以的取值范围为． 16. 已知函数 ． （1）判断的奇偶性，并证明； （2）判断在区间上的单调性，并利用单调性定义证明； （3）求不等式的解集． 【答案】（1）的定义域为，关于原点对称； 又，所以为奇函数； （2）在上单调递增； 设 ，则； 因为，所以，，即， 故在 上单调递增； （3） 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由得或，得或； 所以得或，解得或， 即解集为． 17. 回答下面的三个小题. （1）设，求的最小值； （2）已知，求的最大值； （3）已知，求的最大值． 【答案】（1）； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）令，利用换元法结合基本不等式得出最值； （2）利用进行消元，再降次结合二次函数的性质得出最值； （3）设，，将条件转化为，利用以为根的一元二次方程判别式非负求解的最大值。 【小问1详解】 令，则，原式； 因为，当且仅当时取等号， 所以最小值为； 【小问2详解】 由得； 令，则， 所以，当且仅当，时取等号，即最大值为； 【小问3详解】 设，，则是方程的两个实数根 因为，所以； 因为，所以，即， 所以的最大值为，此时． 18. 已知 是定义域为 的奇函数，且 时，． （1）若 ． （ⅰ）求 的解析式； （ⅱ）若函数 在区间 上的值域为 ，求实数 的取值范围； （2）若 对任意的 恒成立，求实数 的取值范围． 【答案】（1）（ⅰ） （ⅱ） （2）． 【解析】 【分析】（1）（ⅰ）利用奇函数和算出参数，写出分段函数； （ⅱ）分和两种情况讨论，先看时函数单调递减，验证不符合条件；时，由最大值4确定，再根据解不等式，最后合并得到的范围． （2）按的范围分成三段分别列出不等式，分离参数，求出每一段对应的的上限；再取其中最严格的限制，得到最终的取值范围． 【小问1详解】 解：（ⅰ）因为 是定义在 上的奇函数， 所以 ，即 ； 又 ， 所以 ； 则当时 ； 当时 ． 综上． （ⅱ）当 时， 在 上单调递减，值域为 ， 由 得 ，均不在 内，不合题意； 当 时，，且 时 ， 由值域为 知 的最大值为 ， 故 ，即 ； 又 ， 解得 ； 综上， 的取值范围为 ； 【小问2详解】 解：当 时， 恒成立， 所以 ； 当 时， 恒成立， 而 的最小值为 ， 所以 ； 当 时， 恒成立， 所以 ； 综上， 的取值范围为 ． 19. 已知函数 ． （1）若 是偶函数，求 的值； （2）证明：，都有 ； （3）记 的最小值为 ，求 的最小值． 【答案】（1） （2）任取，令． 由，得 由绝对值三角不等式，得 两式相加并减去，可得 这就证明了所给不等式． （3） 【解析】 【分析】（1）利用偶函数的性质确定参数，再检验；（2）分别利用平方非负与绝对值三角不等式；（3）对含绝对值的二次函数分段，讨论最小值． 【小问1详解】 若是偶函数，则． 因为，，所以，解得． 反之，当时，，确为偶函数． 因此． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由绝对值的定义， 当时，的对称轴为，且，可得最小值为； 另一段的函数值均不小于，而故． 当时，两个分段函数分别在的左、右侧递减、递增，所以． 当时，两个分段的最小值分别为、，且后者减前者等于，故． 两侧区间都有； 中间区间有，当且仅当时等号成立． 因此的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026～2027学年度高一年级第一学期期中考试 高一数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4．本卷命题范围：人教A版必修第一册第一章～第三章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合 ，则集合 的子集个数是（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题 ，；命题 ，，则（ ） A. 和 都是真命题 B. 和 都是真命题 C. 和 都是真命题 D. 和 都是真命题 3. 已知函数 则 （ ） A. B. C. D. 4. 已知 ，，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数 在 上单调递减，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 设函数 ， 的定义域均为，且 ，则“ 是偶函数”是“， 均为偶函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 设函数 ，则 （ ） A. B. C. D. 8. 已知函数是定义在上的偶函数，且（），都有 ，若，则关于的不等式 的解集为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知幂函数，则（ ） A. B. 当时，在定义域上单调递减 C. 当时， D. 当时，的值域为 10. 已知关于的不等式 的解集是，则下列说法可能正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 关于定义域为 的函数 ，下列结论正确的是（ ） A. 存在 上的单调递增函数 ，使得 恒成立 B. 存在 上的单调递减函数 ，使得 恒成立 C. 使得 恒成立的函数 存在且有无穷多个 D. 使得 恒成立的函数 存在且有无穷多个 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数 的定义域是______． 13. 已知函数满足对任意，都有，则______． 14. 已知 ，，且 ，则 的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合 ，． （1）若 ，求 ，； （2）若 ，，求实数的取值范围． 16. 已知函数 ． （1）判断的奇偶性，并证明； （2）判断在区间上的单调性，并利用单调性定义证明； （3）求不等式的解集． 17. 回答下面的三个小题. （1）设，求的最小值； （2）已知，求的最大值； （3）已知，求的最大值． 18. 已知 是定义域为 的奇函数，且 时，． （1）若 ． （ⅰ）求 的解析式； （ⅱ）若函数 在区间 上的值域为 ，求实数 的取值范围； （2）若 对任意的 恒成立，求实数 的取值范围． 19. 已知函数 ． （1）若 是偶函数，求 的值； （2）证明：，都有 ； （3）记 的最小值为 ，求 的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $