精品解析：黑龙江牡丹江市第三高级中学2026-2027学年高一上学期期中考试数学试卷

2026——2027学年度第一学期期中考试题 高一数学试卷 考试时间：120分钟　　分值：150分　　命题人：孟庆德 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，集合，则（　　） A. B. C. D. 2. 已知集合，且，则（　　） A. B. 或 C. D. 3. 下列命题中是存在量词命题的是（ ） A. 有些自然数是13的约数 B. 正方形是菱形 C. 能被6整除的数也能被3整除 D. ， 4. 若，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 5. “”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充分且必要条件 D. 既非充分也非必要条件 6. 函数的最大值为（ ） A. 1 B. C. 3 D. 7. 函数是奇函数，，已知，则的值为（ ） A. －6 B. －3 C. 5 D. 7 8. 已知函数 ，是 上的增函数，则实数 的取值范围是（　　） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列四组函数表示同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 10. 已知函数，则（ ） A. 的图象关于点对称 B. 的图象关于直线对称 C. 的值域为 D. 在定义域上单调递减 11. 下列说法不正确的有（ ） A. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 B. 函数在定义域上是增函数 C. 函数的图象关于点成中心对称 D. 幂函数在上为减函数，则的值为或 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数则____. 13. 已知全集，集合，集合，则______________； 14. 若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围为_____. 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数. （1）求的值； （2）若，求的值； （3）解不等式. 16. 已知集合 ，． （1）若 ，求实数 的取值范围； （2）若命题“，”是真命题，求实数 的取值范围． 17. 已知关于的不等式的解集为． （1）求实数的值； （2）求关于的不等式（其中为实数）的解集． 18. 已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求的解析式； （2）判断函数在区间上的单调性，并用定义证明. 19. 某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本（万元）与年产量（吨）之间的函数关系式可以近似地表示为，已知此生产线年产量最大为吨. （1）求年产量为多少吨时，总成本最低，并求最低成本 （2）若每吨产品平均出厂价为万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润最大利润是多少 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026——2027学年度第一学期期中考试题 高一数学试卷 考试时间：120分钟　　分值：150分　　命题人：孟庆德 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，集合，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式得到集合，由交集的定义求得答案. 【详解】解不等式，解得，所以. . 2. 已知集合，且，则（　　） A. B. 或 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由元素与集合的关系建立方程，再由集合的互异性验证结果，从而得到答案. 【详解】因为， 当时，即，即或； 当时，解得， 当时，不满足集合的互异性，舍去. 所以. 3. 下列命题中是存在量词命题的是（ ） A. 有些自然数是13的约数 B. 正方形是菱形 C. 能被6整除的数也能被3整除 D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】根据存在量词命题的概念判断即可. 【详解】有些自然数是13的约数，“有些”是存在量词，故A符合题意； 正方形是菱形即所有正方形是菱形，是全称量词命题，故B不符合题意； 能被6整除的数也能被3整除即一切能被6整除的数也能被3整除， 是全称量词命题，故C不符合题意； ，，是全称量词命题，故D不符合题意； 故选：A 4. 若，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质逐一判断即可. 【详解】对A，由，所以，错误； 对B，由，，所以，正确； 对C，由，所以，错误； 对D，由，所以，错误. 故选：B. 5. “”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充分且必要条件 D. 既非充分也非必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】由，得到，等价于，解得或， 所以“”是“”的充分非必要条件. 6. 函数的最大值为（ ） A. 1 B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】令，结合基本不等式即可求解. 【详解】令，得， 则， 当且仅当，即时，取等号， 所以函数的最大值为， 故选：D 7. 函数是奇函数，，已知，则的值为（ ） A. －6 B. －3 C. 5 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】根据代入解析式求得，根据是奇函数求得，最后根据解析式求解即可. 【详解】，则， 由于是奇函数，则，， 则， 故选：D. 8. 已知函数 ，是 上的增函数，则实数 的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分段函数的单调性，列出不等式组求解即可. 【详解】已知函数 ，是 上的增函数， 设，， 则在时单调递增，在时单调递增，且在上单调递增， 所以，解得， 因此，实数 的取值范围是，故C正确. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列四组函数表示同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】CD 【解析】 【分析】根据函数相等的定义逐项分析判断. 【详解】对于选项A：的定义域为，的定义域为， 定义域不相同，所以不是同一个函数，故A错误； 对于选项B：、的定义域均为， 但，所以不是同一个函数，故B错误； 对于选项C：与的定义域均为， 且，所以是同一个函数，故C正确； 对于选项D：因为的定义域为， 的定义域为， 定义域相同，对应法则相同，所以它们是同一个函数，故D正确； 故选：CD. 10. 已知函数，则（ ） A. 的图象关于点对称 B. 的图象关于直线对称 C. 的值域为 D. 在定义域上单调递减 【答案】ABC 【解析】 【分析】先通过分离常数将函数表达式转化为平移后的反比例函数形式，然后借助反比例函数的性质依次判断各选项即可. 【详解】因为， 对于A：因为的对称中心为，将其向右平移1个单位， 再向上平移2个单位得到，所以对称中心变为，故A正确； 对于B：任取上一点，其关于直线的对称点为， 而， 因此其对称点也在上，所以的图象关于对称，故B正确； 对于C：因为，所以， 即的值域为，故C正确； 对于D：的定义域为，它仅在区间和上分别单调递减， 不能说在整个定义域上单调递减，例如：取， 有，不符合单调递减定义，故D错误. 11. 下列说法不正确的有（ ） A. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 B. 函数在定义域上是增函数 C. 函数的图象关于点成中心对称 D. 幂函数在上为减函数，则的值为或 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于A，函数的定义域为， 由得，则函数的定义域为，A错误； 对于B，由反比例函数单调性可知， 函数在和上单调递增，故B错误； 对于C，函数的图象的对称中心为， 将函数的图象先向左平移个单位， 再向上平移个单位得到函数的图象， 所以函数的对称中心为，C正确； 对于D，因为函数为幂函数且在上为减函数， 根据幂函数定义和性质可得，解得，D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数则____. 【答案】2 【解析】 【详解】因为，所以， 又，所以， 13. 已知全集，集合，集合，则______________； 【答案】. 【解析】 【分析】先求出集合A，再应用补集及交集定义计算求解. 【详解】全集，集合，则； 集合，则； 故答案为：. 14. 若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围为_____. 【答案】 【解析】 【分析】分和两种情况，列出相应的不等关系，即可求得答案. 【详解】当时，原不等式为恒成立，则符合题意； 当时，需使，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数. （1）求的值； （2）若，求的值； （3）解不等式. 【答案】（1）1 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据分段函数先求，再求即可； （2）由，根据的范围分类讨论即可求解； （3）根据分段函数，分类讨论，解不等式即可求解. 【小问1详解】 因为，所以， 因为，所以； 【小问2详解】 当时，，又，所以，解得，舍去； 当时，，又， 所以，故. 综上，的值为； 【小问3详解】 当时，，所以； 当时，，所以. 综上，原不等式的解集为. 16. 已知集合 ，． （1）若 ，求实数 的取值范围； （2）若命题“，”是真命题，求实数 的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知有，讨论和列不等式求参数范围； （2）根据已知有，讨论和列不等式求参数范围. 【小问1详解】 由得， 当时，，即， 当时，由 得 ，解得， 综上， 的取值范围为 . 【小问2详解】 命题“，”为真命题，即 ， 当时，，即，不符合题意， 当时，由 得 ，解得 ， 综上， 的取值范围为 ． 17. 已知关于的不等式的解集为． （1）求实数的值； （2）求关于的不等式（其中为实数）的解集． 【答案】（1）， （2）当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为或； 【解析】 【分析】（1）根据不等式的解集为，由1和b是方程的解，且，利用韦达定理求解； （2）将不等式转化为，分，，求解. 【小问1详解】 因为不等式的解集为， 所以1和b是方程的解，且， 即得，解得，； 【小问2详解】 不等式可化为， 即， 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或； 18. 已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求的解析式； （2）判断函数在区间上的单调性，并用定义证明. 【答案】（1） （2） 在区间上单调递减． 证明如下： 设任意的且， 则， ∵且，∴，，又， ∴，即， ∴在区间上单调递减． 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的性质求出，再根据求出，即可得解； （2）根据单调性的定义，利用作差法证明即可. 【小问1详解】 因为是定义在上的奇函数， 所以，此时是奇函数， 又，解得， 所以，经检验符合题意； 【小问2详解】 略 19. 某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本（万元）与年产量（吨）之间的函数关系式可以近似地表示为，已知此生产线年产量最大为吨. （1）求年产量为多少吨时，总成本最低，并求最低成本 （2）若每吨产品平均出厂价为万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润最大利润是多少 【答案】（1）当年产量为吨时，其生产的总成本最低，最低成本为万元 （2）当年产量为吨时，可获得最大利润万元 【解析】 【分析】（1）根据已知条件求得总成本的表达式，利用二次函数的性质求得总成本的最小值并求得此时对应的年产量. （2）利用求得总利润的表达式，再根据二次函数的性质求得最大利润以及此时对应的年产量. 【小问1详解】 因为， 所以当年产量为吨时，其生产的总成本最低，最低成本为万元. 【小问2详解】 设该工厂年获得总利润为万元， 则. 因为在上是增函数， 所以当时，有最大值为. 故当年产量为吨时，可获得最大利润万元. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $