精品解析：辽宁大连市第二十高级中学2026-2027学年上学期期中考试高一数学试卷

大连市第二十高级中学2026—2027学年高一上学期期中考试 高一数学试卷 考试时间：120分钟　　　　试题分数：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 3. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 4. 已知实数，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 函数f（x）＝的单调递减区间是（ ） A. B. C. [1,4] D. [－2,1] 6. 已知函数是偶函数，且对任意的，都有，若，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 若关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 对任意实数，定义运算“”：设，若函数的图象与直线恰有三个公共点，则实数的取值范围是（     ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（　　） A. 若集合 中只有一个元素，则 B. 集合 ，，若 ，则实数 的值为 C. 已知集合 ，则满足条件 的集合 的个数为 D. 若 ，则方程 有两个不相等的实数根 10. 已知，，且，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为4 C. 的最小值为2 D. 的最大值为4 11. 已知是定义在上的奇函数，且当时，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 当时， C. ，都有 D. 若在上有最大值，则的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设集合，，若，则实数a的取值集合为______． 13. 的最小值为______. 14. 已知函数，若方程有六个相异实根，则实数的取值范围是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设全集，集合，． （1）若，求和； （2）若“”是“”成立的充分条件，求实数的取值范围． 16. 已知关于的不等式的解集为． （1）当时，求集合； （2）当时，求集合； 17. 已知二次函数 ，，． （1）求函数 的解析式； （2）若函数 在区间 不单调，求 的取值范围； （3）求函数 在区间 的最大值 ． 18. 已知函数是定义在上的奇函数． （1）求，的值； （2）判断在上的单调性并证明； （3）解关于的不等式． 19. 已知函数 有如下性质：如果常数 ，那么该函数在 上单调递减，在上单调递增． （1）利用上述性质，求函数 在上的值域； （2）已知函数，，若对任意，总存在 ，使得 成立，求 的取值范围； （3）若关于的不等式对任意的 恒成立，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大连市第二十高级中学2026—2027学年高一上学期期中考试 高一数学试卷 考试时间：120分钟　　　　试题分数：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】确定集合A中元素，根据集合的交集运算即可求得答案. 【详解】由题意得集合，， 故， 故选:C. 2. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定规则，更换量词、保持变量取值范围不变、否定结论即可得. 【详解】因为存在量词命题的否定为全称量词命题， 其否定规则为：将存在量词改为全称量词，保持原命题中变量的取值范围不变，同时否定原命题的结论. 所以原命题为“”的否定为“”. 3. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】，故是奇函数， 图象关于原点对称，故A、B错误； ，故在上单调递增， 故C正确，D错误． 4. 已知实数，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】借助特殊值法否定充分性，结合基本不等式推导必要性，进而判定两个条件间的逻辑关系. 【详解】若，取，，满足，，此时，而， 因此，由无法推出，充分性不成立. 若，由，，得， 因此，，即，必要性成立. 综上，“”是“”的必要不充分条件. 5. 函数f（x）＝的单调递减区间是（ ） A. B. C. [1,4] D. [－2,1] 【答案】C 【解析】 【分析】先求出函数的定义域，再换元，然后利用复合函数单调性“同增异减”的方法求解. 【详解】由题可知，，解得. 令，则， 因为在上单调递减，而在上单调递增，根据复合函数单调性“同增异减”， 所以在上单调递减. 故选：C. 【点睛】 6. 已知函数是偶函数，且对任意的，都有，若，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定的条件，可得函数在上单调递增，再结合偶函数的性质求解不等式即得. 【详解】由对任意，都有，得函数在上单调递增， 因为函数为偶函数，, 所以， 于是，则有，解得， 所以不等式的解集为. 故选：D. 7. 若关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据实数的正负性，结合一元二次不等式解集性质进行求解即可. 【详解】当时，，显然不成立，此时不等式的解集为空集，符合题意； 当时，要想该一元二次不等式的解集为空集，只需满足下列条件： ， 综上所述：实数的取值范围是. 故选：B 8. 对任意实数，定义运算“”：设，若函数的图象与直线恰有三个公共点，则实数的取值范围是（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据新定义运算规则求出的分段解析式，再结合分段函数的图象与性质，数形结合确定与有三个交点时的取值范围。 【详解】根据新定义的运算规则，分情况化简： 当时，整理得，解得或，此时； 当时，整理得，解得,此时. 因此的解析式为： . 分析各段函数的取值与交点情况： 当时，为增函数，值域为； 当时,为抛物线，顶点为，则值域为； 当时，值域为. 如图所示： 要使与恰有三个公共点，即的取值范围为. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（　　） A. 若集合 中只有一个元素，则 B. 集合 ，，若 ，则实数 的值为 C. 已知集合 ，则满足条件 的集合 的个数为 D. 若 ，则方程 有两个不相等的实数根 【答案】BCD 【解析】 【详解】对于 A，当时，方程为，解得，此时，符合题意； 当时，方程为一元二次方程，只有一个元素要求，解得. 综上，或，故 A 错误. 对于 B，若，由知，故，解得或. 当时，，，满足； 当时，，，显然. 故实数的值为，B 正确. 对于 C，等价于. 因为，其子集个数为个，即满足条件的集合共有个，分别为、、、，故 C 正确. 对于 D，方程的判别式. 因为，所以，故方程有两个不相等的实数根，D 正确. 10. 已知，，且，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为4 C. 的最小值为2 D. 的最大值为4 【答案】AC 【解析】 【分析】根据基本不等式求解出最值，检验即可判断各项. 【详解】对于A项，因为，，， 由基本不等式可得，，当且仅当时取等号， 所以，故A正确； 对于B项，根据基本不等式可得，当且仅当时取等号，此时，故B错误； 对于C项，根据基本不等式可得，当且仅当时取等号，故C正确； 对于D项，根据基本不等式可得，当且仅当时取等号， 所以，的最小值为4，故D不正确. 故选：AC. 11. 已知是定义在上的奇函数，且当时，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 当时， C. ，都有 D. 若在上有最大值，则的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据奇函数的性质求出，即可判断A，设，根据奇函数的性质求出函数解析式，即可判断B，利用作差法判断C，画出函数图象，数形结合，即可判断D. 【详解】对于A：因为是定义在上的奇函数，且当时，， 所以，即，故A正确； 对于B：由A可得当时，， 设，则，所以， 所以当时，，故B错误； 对于C：因为当时，， 设，则 ， ，故C正确； 对于D：由B可知，作出函数的图象，如图所示. 当时，，由图知在区间上有最大值，满足题意； 当时，，由图知在区间上无最大值，不满足题意； 当时，由图知在区间上有最大值，满足题意. 综上的取值范围为，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设集合，，若，则实数a的取值集合为______． 【答案】 【解析】 【分析】先求得集合，根据题意，得到或，即可得到答案. 【详解】由方程，解得或，所以 因为且，所以或， 综上可得，实数的取值集合为. 13. 的最小值为______. 【答案】 【解析】 【详解】， 当且仅当即时等号成立， 即的最小值为9 14. 已知函数，若方程有六个相异实根，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】先将函数进行换元，转化为一元二次函数问题．同时在结合函数f（x）的图象，确定b的取值范围． 【详解】令t＝f（x），则原函数方程等价为t2+bt0． 作出函数f（x）的图象如图： 图象可知当由0＜t＜1时，函数t＝f（x）有3个交点． 所以要使f2（x）+bf（x）0有六个相异实根， 则等价为为t2+bt0有两个根t1，t2， 且0＜t1＜1，0＜t2＜1． 令g（t）＝t2+bt， 则由根的分布（如图） 可得，即，即， 解得b＜﹣1， 则实数b的取值范围是（，﹣1）． 故答案为（，﹣1）． 【点睛】本题考查复合函数零点的个数问题，以及二次函数根的分布，解决本题的关键是利用换元，将复合函数转化为我们熟悉的二次函数，换元是解决这类问题的关键． 四、解答题：本题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设全集，集合，． （1）若，求和； （2）若“”是“”成立的充分条件，求实数的取值范围． 【答案】（1）；或 （2） 【解析】 【分析】（1）求出，进而利用并集的意义求得，利用补集的意义求得，再利用交集的意义求得； （2）由题意可得，分与两种情况，列出不等式组，求出实数的取值范围. 【小问1详解】 当时，，所以； 又或，所以或； 【小问2详解】 “”是“”的充分条件，即； 当，即时，，满足； 当时，由，得且，解得； 综上，的取值范围为． 16. 已知关于的不等式的解集为． （1）当时，求集合； （2）当时，求集合； 【答案】（1） （2）当时， ； 当时， 或； 当时， ； 当时， ； 当时， ． 【解析】 【小问1详解】 当 时，不等式为，即； 解得，所以. 【小问2详解】 原不等式可化为； 当时，不等式即为，故，故； 当时，不等式的解为或，故或； 当时，不等式的解为，故； 当时，不等式为 ，； 当时，不等式的解为，． 综上，当时， ； 当时， 或； 当时， ； 当时， ； 当时， ． 17. 已知二次函数 ，，． （1）求函数 的解析式； （2）若函数 在区间 不单调，求 的取值范围； （3）求函数 在区间 的最大值 ． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由零点设二次函数零点式，代入求系数得解析式； （2）二次函数区间不单调等价于对称轴落在区间内，解不等式得t范围； （3）按区间与对称轴的左、中、右位置分类，分别求最大值写成分段函数. 【小问1详解】 设，由 得 ，即 ，所以 ； 【小问2详解】 图象的对称轴为 ，在 上不单调，则 ； 解得 ，即 的取值范围为 ； 【小问3详解】 ； 当 ，即 时，； 当 时，； 当 时，； 所以 18. 已知函数是定义在上的奇函数． （1）求，的值； （2）判断在上的单调性并证明； （3）解关于的不等式． 【答案】（1）， （2）在上单调递增； 任取， 则； ， 因为，，所以，即； 故在上单调递增； （3） 【解析】 【分析】（1）因为函数是奇函数，所以定义域关于原点对称，求出的值，再由求出，再检验即可； （2）用单调性的定义证明即可； （3）因为为奇函数，所以原不等式化为，再利用单调性可解. 【小问1详解】 由定义域关于原点对称得，所以，定义域为； 由，得，解得. 当时，， 又，所以是奇函数，符合题意. 故，. 【小问2详解】 略. 【小问3详解】 由（2）得奇函数在上递增，原不等式化为； 所以，解得，所以不等式的解集为． 19. 已知函数 有如下性质：如果常数 ，那么该函数在 上单调递减，在上单调递增． （1）利用上述性质，求函数 在上的值域； （2）已知函数，，若对任意，总存在 ，使得 成立，求 的取值范围； （3）若关于的不等式对任意的 恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据双勾函数的性质可求在上的值域. （2）根据双勾函数的性质可求在上的值域，根据一次函数的单调性可求在上的值域，根据包含关系可求参数的取值范围. （3）利用换元法结合根分布可求参数的取值范围. 【小问1详解】 ，令， 在上递减，在上递增； 时取最小值，时取最大值， 所以在的值域为 【小问2详解】 在上的值域为, 在上单调递增，值域为, 由题意得 , 所以 且 ，解得 . 【小问3详解】 令 ，则， 因为，在上单调递减，在上单调递增， 故，故，故. 又原不等式化为，其中， 故，故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $