精品解析：辽宁大连市第二十四中学2026-2027学年高一上学期期中考试数学试卷

2026-2027学年度上学期期中考试高一年级数学科试卷 一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为集合， 所以，不是集合的元素，与集合不存在包含关系，，故A正确，BCD错误. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【详解】因为存在命题的否定是全称命题，并将结论加以否定， 所以命题“，”的否定是“，”. 3. 在平面直角坐标系中，直线，与函数的图象的交点个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 0或1 D. 0或1或2 【答案】C 【解析】 【详解】根据函数定义可知，当在定义域中时，直线与函数的图象有一个交点， 当不在定义域中时，直线与函数的图象没有交点， 所以直线，与函数的图象的交点个数为0或1. 4. 已知的定义域为，则定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为的定义域为，则，可得， 可知函数的定义域为， 令，解得， 所以函数定义域为. 5. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数零点和单调性判断即可. 【详解】令，因为， 所以当时有：，方程无实数解， 当时有：，解得（舍去）或， 所以函数有一个零点，即函数图象与轴负半轴有交点，故A、D选项错误； 当时，函数，因为与在上单调递减， 所以当在上单调递减， 故B选项正确，C选项错误. 6. 已知函数在区间内有且仅有1个零点，在利用二分法求函数零点的近似值时，经过2次二分法后确定的零点所在区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由，且，，，得在内有零点； 由且，，，得在内有零点； 所以经过2次二分法后确定的零点所在区间是. 7. 已知，则下列选项中使得“关于的不等式的解集恰有3个整数”成立的一个充分不必要条件是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求解一元二次不等式的解集，再利用充分不必要条件的定义即可得参数范围. 【详解】不等式，因式分解得：， 因为，所以不等式的解集为， 又因为解集恰有3个整数，即包含0,1,2，所以，解得. 对于A，是的一个必要不充分条件，故A错误； 对于B，是的充要条件，故B错误； 对于C，是的既不充分也不必要条件，故C错误； 对于D，是的一个充分不必要条件，故D正确. 8. 设函数，若满足，则的值可能是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】可先画出函数图象，设，结合图象确定的范围，及与的关系，的关系，根据的范围求的范围即可. 【详解】当时，，此时，函数在上单调递减， 当时，，此时，函数在上单调递增， 因为函数在上单调递减，上单调递增，时，， 所以函数在上单调递减，上单调递增， 当时，，，， 当且时，，当且时，， 当时，，， 作函数的大致图象如下： 设，则为方程的四个不同的实数根， 故函数的图象与直线的图象有四个交点，交点的横坐标分别为，， 结合可得，， 故，， 所以，，， 所以，， 所以， 令，则，， 所以， ​ 函数在上单调递增，因此， 可得原式的取值范围是， 故的值可能是. 二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用不等式的性质证明或举出反例即可. 【详解】对于A，不等号两边同时减去一个数不等号方向不变，故A正确. 对于B，因为，所以，不等号两边同时除以一个正数，不等号方向不变，故B正确. 对于C，取，，此时，故C错误. 对于D，要证，只要证， 只要证，只要证，因为，， 所以成立，所以D正确. 10. 已知对于实数，符号表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如，，．定义函数，则下列说法正确的是（ ） A. 方程仅有一个实根 B. 在为减函数 C. 在上的值域为 D. 当时，的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，，……，画出函数的大致图象，再数形结合逐一判断选项即可. 【详解】当时，；当时，； 当时，；当时，，……， 的范围不同，的解析式也不同，故应分类讨论. 画出函数的大致图象，如图所示： 对于A，当时，， 令，解得，，故成立； 当时，， 令，解得，，故不成立； 结合图象可知，当时，方程无实数根. 综上，方程仅有一个实根，故A正确； 对于B，由图象可知，在上单调递减，故B正确； 对于C，当时，，结合图象， 在上的值域为，故C错误； 对于D，当时，， 当时，的最小值为； 当时，， 当时，的最小值为. 所以当时，的最小值为，故D正确. 11. 已知函数，满足，且函数无零点，则（ ） A. B. C. 恒成立 D. ，使得 【答案】AC 【解析】 【分析】先由无零点且，判断恒成立；再依次推出，，即可. 【详解】设，则. 又为二次函数，且无零点，所以在实数范围内恒正或恒负. 由于，故，. 对于选项 A，因为恒成立，所以，A正确； 对于选项B，因为，，所以，，所以，B错误； 对于选项 C，因为在实数范围内恒正，所以恒成立，C正确； 对于选项 D，由可得，即. 再由知恒成立，故 D 错误. 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，则在上的平均变化率是__________． 【答案】 【解析】 【详解】 易知，； 代入平均变化率公式可得. 13. 已知函数为奇函数，且当时，，则当时，的解析式是__________． 【答案】 【解析】 【详解】因为函数为奇函数，所以， 又当时，， 当时，，所以 则此时， 即当时，的解析式是. 14. 若不等式对任意的恒成立，且，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先由不等式恒成立的符号一致性定出核心约束，再换元配方把目标式化成的和式结构，最后由基本不等式求最小值并验证取等. 【详解】两个因式的符号必须始终一致. 若，则对所有成立，此时需对一切恒成立， 但当时，不可能恒成立，故； 同理，若，则对所有成立，此时需对一切恒成立， 但当时，不可能恒成立，故； 故. ，，， 两因式的正零点分别为与，若两零点不重合， 则位于两零点之间的区间内，两个因式异号，乘积为负，与“恒大于等于零”矛盾， 因此两零点必须重合，即 ； 令，，则条件变为，而对应， 则， ，由基本不等式得， 当且仅当，即时取等号， 此时联立与，得， 即，满足， 故的最小值为. 四、解答题：（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知集合． （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先解分式不等式求解出集合，然后将代入求解出集合，然后根据交集的运算定义进行求解即可； （2）由，可得，然后分和两种情况分类讨论，根据子集的定义求解参数的取值范围. 【小问1详解】 ，当时，， 因此 【小问2详解】 ，， 若，则，解得； 若，则，解得. 综上所述得， 故的取值范围为. 16. 已知函数是定义在上的奇函数，且． （1）求的解析式； （2）判断在上的单调性（不需要证明）； （3）若实数满足，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）在上为增函数； （3）实数的取值范围是. 【解析】 【小问1详解】 因为是定义在上的奇函数，故，代入得，即， 又，解得，故. 【小问2详解】 在上单调递增. 【小问3详解】 解不等式，由奇函数性质得， 由定义域要求需满足，，解得， 又在上单调递增， 故，解得， 取交集得实数的取值范围是. 17. 已知定义在上的函数，其中常数． （1）判断函数的奇偶性（不需要证明）； （2）若，解关于的不等式； （3）若方程在区间上有两个不等实数根，求实数的取值范围． 【答案】（1）当时，为奇函数， 当时，为非奇非偶函数 （2）当时，不等式的解集为：， 当时，不等式的解集为：， 当时，不等式的解集为： （3） 【解析】 【分析】（1）利用奇偶性的定义判断即可； （2）由题意得，解含参数的一元二次不等式即可求解； （3）由，得，又方程在区间上有两个不等实数根，得在区间上有两个不等实数根，令，根据一元二次方程根的分布即可求解. 【小问1详解】 当时，,为奇函数， 当时，为非奇非偶函数； 【小问2详解】 由，得，即， 因为所以 当时，， 所以原不等式的解集为：， 当时，得， 所以原不等式的解集为， 当时，， 所以原不等式的解集为， 所以当时，原不等式的解集为：， 当时，原不等式的解集为：， 当时，原不等式的解集为：； 【小问3详解】 由，得， 又方程在区间上有两个不等实数根， 所以在区间上有两个不等实数根， 令，因为, 所以， 所以. 18. 已知函数，． （1）当时，求的零点； （2）若，求的最小值； （3）当时，若对，都有恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数零点的定义直接计算； （2）讨论二次函数的对称轴可得最值； （3）由不等式恒成立可转换为，设，则，即可转换为，即，结合对勾函数单调性可得最值解决不等式恒成立问题. 【小问1详解】 当时，，令， 即，解得， 即当时，函数的零点为； 【小问2详解】 由已知， 当，即时，； 当，即时，函数在上单调递增，则此时； 当，即时，函数在上单调递减，则此时； 综上所述； 【小问3详解】 当时，， 则若对，都有恒成立， 即， 即， 设，， 则， 即， 又当，时，由对勾函数性质可知，， 即， 即， 所以. 19. 设函数与定义域都为非空数集．若对任意的，总存在，使成立，则称是在定义域上的“阶函数”． （1）若，，，判断是否为在上的“阶函数”，并说明理由； （2）若，，，且是在上的“阶函数”，求的值； （3）若对任意的，恒成立，则称与在定义域上互为“超阶函数”．已知函数与在上互为“超阶函数”，且与在上互为“超阶函数”．当时，的值域为，求当时，函数的值域． 【答案】（1）是在上的“阶函数”，理由如下：由已知，，，，则只需验证对任意的，是否总存在，使，即，化简得，因为，所以，又，显然，即对于任意，总存在满足条件，所以是在上的“阶函数”. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用“阶函数”的定义，结合函数值域直接可判断； （2）利用“阶函数”的定义，结合函数值域直接可判断； （3）利用“超阶函数”的定义，结合函数的类周期性可判断； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 已知，，，， 由“阶函数”的定义，对任意，总存在， 使得：，即， 易知，所以，同号， 当时，若，则，，且 若使得成立，则， 即，即，则，； 当时，若，则，，且 若使得成立，则， 即，即，则，； 综上所述，； 【小问3详解】 由已知函数与在上互为“超阶函数”，即，则， 又与在上互为“超阶函数”，即， 即， 则，且，即，，则， 又当时，的值域为， 则当时，，， 即当时，的值域为， 类比可知当，，且时，， 即的值域为， 当时，，， 此时由可知， 所以当，，且时，， 即的值域为， 综上所述，当，时，的值域为， 所以当时，的值域为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度上学期期中考试高一年级数学科试卷 一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 在平面直角坐标系中，直线，与函数的图象的交点个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 0或1 D. 0或1或2 4. 已知的定义域为，则定义域为（ ） A. B. C. D. 5. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数在区间内有且仅有1个零点，在利用二分法求函数零点的近似值时，经过2次二分法后确定的零点所在区间是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则下列选项中使得“关于的不等式的解集恰有3个整数”成立的一个充分不必要条件是（    ） A. B. C. D. 8. 设函数，若满足，则的值可能是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 10. 已知对于实数，符号表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如，，．定义函数，则下列说法正确的是（ ） A. 方程仅有一个实根 B. 在为减函数 C. 在上的值域为 D. 当时，的最小值为 11. 已知函数，满足，且函数无零点，则（ ） A. B. C. 恒成立 D. ，使得 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，则在上的平均变化率是__________． 13. 已知函数为奇函数，且当时，，则当时，的解析式是__________． 14. 若不等式对任意的恒成立，且，则的最小值为__________． 四、解答题：（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知集合． （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围. 16. 已知函数是定义在上的奇函数，且． （1）求的解析式； （2）判断在上的单调性（不需要证明）； （3）若实数满足，求实数的取值范围． 17. 已知定义在上的函数，其中常数． （1）判断函数的奇偶性（不需要证明）； （2）若，解关于的不等式； （3）若方程在区间上有两个不等实数根，求实数的取值范围． 18. 已知函数，． （1）当时，求的零点； （2）若，求的最小值； （3）当时，若对，都有恒成立，求实数的取值范围． 19. 设函数与定义域都为非空数集．若对任意的，总存在，使成立，则称是在定义域上的“阶函数”． （1）若，，，判断是否为在上的“阶函数”，并说明理由； （2）若，，，且是在上的“阶函数”，求的值； （3）若对任意的，恒成立，则称与在定义域上互为“超阶函数”．已知函数与在上互为“超阶函数”，且与在上互为“超阶函数”．当时，的值域为，求当时，函数的值域． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $