精品解析：广东省惠州市惠阳区第一中学高中部2024-2025学年第一学期高二第一次质量检测数学试卷

惠阳区第一中学高中部 2024—2025 学年第一学期高二年级 第一次质量检测数学试卷 （考试时间：120 分钟　　试卷满分：150） 范围：第一章+第二章前 4 节 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，互为相反向量，则 C. 空间中两平行向量相等 D. 在四边形ABCD中， 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的相关定义即可求解ABC,根据向量的减法运算即可求解D. 【详解】对于A，向量不可以比较大小，所以A错误； 对于B, 若，互为相反向量，则，故B错误； 对于C，两向量相等需要向量的方向相同，且长度相同，故C错误； 对于D，四边形ABCD中，，故D正确. 故选：D 2. 已知直线l过点且方向向量为，则l在x轴上的截距为（ ） A. B. 1 C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】先根据方向向量求得直线的斜率，然后利用点斜式可求得直线方程，再令，即可得到本题答案. 【详解】因为直线的方向向量为，所以直线斜率， 又直线过点，所以直线方程为，即， 令，得，所以在x轴上的截距为-1. 故选：A 3. 为空间任意一点，若，若，，，四点共面，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将化简为：，利用四点共面定理可得，即可求解. 【详解】因为，所以，可化简为：，即， 由于，，，四点共面，则，解得：； 故选：C 4. 点关于直线的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据点关于线对称的特点，利用中点坐标公式及两直线垂直的斜率的关系即可求解. 【详解】设点关于直线的对称点的坐标为， 则，解得. 所以点的坐标为 故选：A. 5. 已知两点到直线的距离相等，则（ ） A. 2 B. C. 2或 D. 2或 【答案】D 【解析】 【分析】分在的同侧和异侧分类讨论求解. 【详解】（1）若在的同侧， 则，所以，， （2）若在的异侧， 则的中点在直线上， 所以解得, 故选:D. 6. 若原点在圆 的外部，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】圆的方程可化为，即圆心，半径， 已知原点，则原点到圆心的距离， 由点在圆外可得，即， 又， 综上可得实数的取值范围是. 7. 直线的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线方程求出斜率的取值范围，结合正切函数图象及性质求解即可. 【详解】设直线的倾斜角为，， 因为的斜率为，即， 由正切函数的图象及性质得， 所以直线的倾斜角的取值范围是. 故选：B. 8. 当点到直线的距离取得最大值时，（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】化简直线为，得到直线经过定点，结合直线与该直线垂直时，点到该直线的距离取得最大值，列出方程，即可求解. 【详解】将直线转化为， 联立方程组，解得，所以直线经过定点， 当直线与该直线垂直时，点到该直线的距离取得最大值， 此时，解得. 故选：C. 二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 在空间直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，则（ ） A. 点关于轴对称点的坐标 B. 点关于平面的对称点坐标为 C. 点到原点的距离是 D. 直线与轴所在直线夹角的余弦值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据点关于坐标轴的对称点判断A，根据点关于平面的对称点判断B，根据两点距离公式判断C，根据直线夹角的向量求法判断D. 【详解】对于A，点关于轴对称点的坐标，错误； 对于B，点关于平面的对称点坐标为，正确； 对于C，点到原点的距离是，正确； 对于D，直线的方向向量为，轴所在直线的方向向量为， 所以直线与轴所在直线夹角的余弦值为，正确. 故选：BCD. 10. 已知直线：，：，则（ ） A. 若，则的一个方向向量为 B. 若，则或 C. 若，则 D. 恒过定点 【答案】AC 【解析】 【分析】将代入，根据方向向量定义即可判断A，根据直线平行和垂直与斜率的关系即可判断选项B、C；将化简得，结合一次函数的性质可判断D. 【详解】对于A，当，直线：，斜率为，则其一个方向向量为，故A正确； 对于B，若，当时，显然不符合题意， 当时，即直线的斜率为，直线的斜率为，则有， 所以，解得或； 当时，直线：，：，显然两直线重合，故B错误； 对于C，若，当时，显然不符合题意； 当时可得，解得，即C正确； 对于D，将化简得，可知当时，直线过，即不论为何值时，直线恒过定点，即D错误； 故选：AC 11. 如图，在多面体中，，四边形ABCD是正方形，且，，，分别是线段，的中点，是线段上的一个动点（含端点，），则下列说法正确的是（ ） A. 存在点，使得 B. 存在点，使得异面直线与所成的角为 C. 三棱锥体积的最大值是 D. 当点自向处运动时，直线与平面所成角逐渐增大 【答案】ACD 【解析】 【分析】立体几何动点问题，以A为原点，建立空间直角坐标系，将动点的坐标参数化，利用空间向量垂直条件判断选项A，利用空间向量异面直线夹角公式判断选项B，利用夹角正弦计算三角形面积结合点到面的距离公式计算高，进而得到三棱锥体积表达式判断选项C，利用空间向量线面夹角公式，构造函数结合函数单调性判断选项D. 【详解】 由题意得，以为原点，，，为轴，建立如图所示空间直角坐标系， ， 又，分别是线段，的中点，是线段上的一个动点（含端点，）， ， 对于A，，要使， ，解得， 又，故存在点，使得，A正确； 对于B，， 异面直线与所成的角余弦值为： ， 若夹角为，则余弦值为，即，解得，无解， 不存在点，使得异面直线与所成的角为，B错误； 对于C，，， 设平面的一个法向量， ，令，解得，故， 点到平面的距离， ， ，， ， ， 又，当时，体积取得最大值，最大值为，C正确； 对于D，， 设平面的一个法向量， ，令，解得，故， 设线面夹角为，， ， 令，， 抛物线开口向上，对称轴为，对称轴在区间右侧，在上单调递减， 随着增大，即点自向处运动，减小，增大， 又，随着增大，增大，即直线与平面所成角逐渐增大，D正确. 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 设空间向量，，若，则＝______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据空间向量共线得，再利用空间向量的坐标运算和向量模的定义即可得到答案. 【详解】，则显然，，解得， 则，， 故答案为：3. 13. 若圆上存在两点关于直线对称，则的最小值是______. 【答案】 【解析】 【分析】利用圆的对称性与基本不等式中“1”的妙用解题. 【详解】由题可知圆的圆心为，若圆上存在两点关于对称， 则说明直线过圆心，即，即，且， 故. 当且仅当，即时取得等号. 故答案为：. 14. 我们知道距离是衡量两点之间的远近程度的一个概念.数学中根据不同定义有好多种距离.平面上，欧几里得距离是与两点间的直线距离，即.切比雪夫距离是与两点中横坐标差的绝对值和纵坐标差的绝对值中的最大值，即.已知是直线上的动点，当与（为坐标原点）两点之间的欧几里得距离最小时，其切比雪夫距离为___________. 【答案】6 【解析】 【分析】由条件确定与两点之间的欧几里得距离的最小值及对应的点的位置，再根据切比雪夫距离的定义求解即可. 【详解】因为点是直线：上的动点，要使最小，则，此时， 所以，由方程组，解得，， 所以，，两点之间的切比雪夫距离为6. 故答案为：6. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的两顶点坐标为，，是边的中点，是边上的高． （1）求所在直线的方程； （2）求高所在直线的方程. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由条件结合中点坐标公式求的坐标，利用点斜式求直线方程，再化为一般式即可； （2）根据垂直直线的斜率关系求直线的斜率，利用点斜式求直线方程，再化为一般式即可. 【小问1详解】 因为是边的中点，所以， 所以直线的斜率， 所以所在直线的方程为：，即， 【小问2详解】 因为是边AB的中点，所以， 因为是边上的高， 所以，所以， 所以， 因此高所在直线的方程为：，即. 16. 求下列圆的方程： （1）圆心在轴上，且圆经过点； （2）圆心在直线上，半径为，点在圆上； （3）过四点中的三点的一个圆的方程. 【答案】（1） （2）或 （3）（过点） （过点） （过点） （过点） 【解析】 【分析】（1）由于圆心在轴上，设圆心坐标为，利用圆上两点到圆心的距离相等，建立关于和的方程组即可求解； （2）根据圆心在已知直线上设出圆心坐标，利用点在圆上，即圆心到点的距离等于半径，列方程求出圆心坐标，写出圆的方程； （3）分别选取不共线的三点，设圆的一般式方程，利用待定系数法求出所有的圆. 【小问1详解】 设圆心，圆的标准方程为， 代入得：，， 联立解得，，故圆的方程为. 【小问2详解】 设圆心，由半径为且在圆上，得， 化简得，解得或，对应圆心为或， 故圆的方程为或. 【小问3详解】 情况一：选取，设圆的一般方程为， 代入，得，代入，得，解得， 代入，得，即，解得， 所以该圆的方程为，配方得：； 情况二：选取设圆的一般方程为， 代入，得，代入，得， 代入，得，解得， 所以该圆的方程为，配方得：； 情况三：选取设圆的一般方程为， 代入，得，代入，得， 代入，得，即， 联立方程组解得， 所以该圆的方程为，配方得：； 情况四：选取，设圆的一般方程为， 代入，得，代入，得， 代入，得， 联立方程组解得， 所以该圆的方程为，配方得：； 综上所述，过这四点中任意三点的圆的方程共有个，分别为： （过点） （过点） （过点） （过点） 17. 如图，在棱长为2的正方体中，E为的中点． （1）求与平面的夹角的正弦值 （2）求点到平面的距离 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）建立合适的空间直角坐标系，求出和平面的法向量，再利用线面角的空间向量求法即可得到答案； （2）根据（1）中的坐标系和法向量并结合点到平面的距离公式即可得到答案． 【小问1详解】 以A为坐标原点，、所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系如图所示： 则，，，， ∴，，，， 设平面的法向量为， 则，即，取得， 则， 则与面的夹角的正弦值为. 【小问2详解】 由（1）知，， ∴点到平面的距离为． 18. 如图1，在平行四边形中，，将沿折起，使点D到达点P位置，且，连接得三棱锥，如图2． （1）证明：平面平面； （2）在线段上是否存在点M，使平面与平面的夹角的余弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 翻折前，因为四边形为平行四边形，，则， 因为，则，， 由余弦定理可得， 所以，，则，同理可证， 翻折后，则有，， 因为，，、平面， 所以，平面， 因为平面，则， 因为，、平面，所以，平面， 所以平面平面. （2）存在；，理由如下： 因为平面，，以点为坐标原点， 、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、， 设，其中， 则，， 设平面的法向量为，则， 取，则，，所以，， 平面的一个法向量为，，， 则，令，可得， 则，整理可得， 因此，线段上存在点，使平面AMB与平面MBC的夹角的余弦值为，且. 【解析】 【分析】（1）推导出，证明出平面，可得出， 利用面面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，设，其中，利用空间向量法可得出关于的等式，结合求出的值，即可得出结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中给出圆的另一种定义：平面内，到两个定点距离之比值为常数的点的轨迹是圆，我们称之为阿波罗尼奥斯圆．已知点P到的距离是点P到的距离的2倍． （1）求点P的轨迹方程； （2）若点P与点Q关于点B对称，点，求的最大值； （3）若过B的直线与第二问中Q的轨迹交于E，F两点，试问在x轴上是否存在点，使恒为定值？若存在，求出点M的坐标和定值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）138； （3）存在点，使得为定值. 【解析】 【分析】（1）设点，由题意可得，利用两点之间的距离公式化简整理可得； （2）先由的轨迹方程求出点的轨迹方程，利用两点间距离公式整理，从而转化为线性规划问题处理； （3）代入消元，韦达定理，整体思想代入，整理可得解. 【小问1详解】 设点，由题意可得，即， 化简可得， 所以点P的轨迹方程为； 【小问2详解】 设，由(1)得点满足的方程， 又点是点与点的中点，则，代入可得，即的轨迹为，设， 所以， 令，则，可视为直线即在y轴上的截距， 的最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最小值，即直线与圆相切时在y轴上的截距， 所以，所以， 因此的最大值为； 【小问3详解】 存在点，使得为定值. 当直线的斜率存在时，设其斜率为，则直线的方程为， 由，消去，得， 设，，则，， 又，， 则 要使上式恒为定值，需满足，解得，此时，为定值； 当直线的斜率不存在时，，， 由可得，所以， 综上所述，存在点，使得为定值. 【点睛】方法点睛：本题为直线与圆的综合题，与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略 （1）与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解． （2）与圆上点有关代数式的最值的常见类型及解法： ①形如型的最值问题，可转化为过点和点的直线的斜率的最值问题； ②形如型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题； ③形如型的最值问题，可转化为动点到定点的距离平方的最值问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 惠阳区第一中学高中部 2024—2025 学年第一学期高二年级 第一次质量检测数学试卷 （考试时间：120 分钟　　试卷满分：150） 范围：第一章+第二章前 4 节 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，互为相反向量，则 C. 空间中两平行向量相等 D. 在四边形ABCD中， 2. 已知直线l过点且方向向量为，则l在x轴上的截距为（ ） A. B. 1 C. D. 5 3. 为空间任意一点，若，若，，，四点共面，则（ ） A. 1 B. C. D. 4. 点关于直线的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 已知两点到直线的距离相等，则（ ） A. 2 B. C. 2或 D. 2或 6. 若原点在圆 的外部，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 7. 直线的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 当点到直线的距离取得最大值时，（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 在空间直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，则（ ） A. 点关于轴对称点的坐标 B. 点关于平面的对称点坐标为 C. 点到原点的距离是 D. 直线与轴所在直线夹角的余弦值为 10. 已知直线：，：，则（ ） A. 若，则的一个方向向量为 B. 若，则或 C. 若，则 D. 恒过定点 11. 如图，在多面体中，，四边形ABCD是正方形，且，，，分别是线段，的中点，是线段上的一个动点（含端点，），则下列说法正确的是（ ） A. 存在点，使得 B. 存在点，使得异面直线与所成的角为 C. 三棱锥体积的最大值是 D. 当点自向处运动时，直线与平面所成角逐渐增大 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 设空间向量，，若，则＝______． 13. 若圆上存在两点关于直线对称，则的最小值是______. 14. 我们知道距离是衡量两点之间的远近程度的一个概念.数学中根据不同定义有好多种距离.平面上，欧几里得距离是与两点间的直线距离，即.切比雪夫距离是与两点中横坐标差的绝对值和纵坐标差的绝对值中的最大值，即.已知是直线上的动点，当与（为坐标原点）两点之间的欧几里得距离最小时，其切比雪夫距离为___________. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的两顶点坐标为，，是边的中点，是边上的高． （1）求所在直线的方程； （2）求高所在直线的方程. 16. 求下列圆的方程： （1）圆心在轴上，且圆经过点； （2）圆心在直线上，半径为，点在圆上； （3）过四点中的三点的一个圆的方程. 17. 如图，在棱长为2的正方体中，E为的中点． （1）求与平面的夹角的正弦值 （2）求点到平面的距离 18. 如图1，在平行四边形中，，将沿折起，使点D到达点P位置，且，连接得三棱锥，如图2． （1）证明：平面平面； （2）在线段上是否存在点M，使平面与平面的夹角的余弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 19. 古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中给出圆的另一种定义：平面内，到两个定点距离之比值为常数的点的轨迹是圆，我们称之为阿波罗尼奥斯圆．已知点P到的距离是点P到的距离的2倍． （1）求点P的轨迹方程； （2）若点P与点Q关于点B对称，点，求的最大值； （3）若过B的直线与第二问中Q的轨迹交于E，F两点，试问在x轴上是否存在点，使恒为定值？若存在，求出点M的坐标和定值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $