精品解析：广东梅州市五华县田家炳中2026-2027学年高二第一学期第一次阶段考试数学试题

2026-2027学年五华县田家炳中高二级第一学期第一次阶段考试 数学试题 考试范围：选必一第一单——第二章2.1.1圆的标准方程 组稿：高二数学备课组 2026年10月22日 时量：120分钟 满分：150分 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线的一个方向向量为，则的倾斜角为（ ） A. 0 B. C. D. 2. 直线的一个方向向量是（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示，在平行六面体中，为与的交点，为的中点，若，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，，且与互相垂直，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 5. 圆关于直线对称的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 7. 在平行六面体中，，，， ，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知平面和平面的夹角为，，已知A，B两点在棱上，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于．已知，，则的长度为（ ） A. B. C. D. 或 二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知空间向量，则下列说法正确的是（ ） A. B. 向量与向量共线 C. 向量关于轴对称的向量为 D. 向量关于平面对称的向量为 10. 下列说法中错误的是（ ） A. 不过原点的直线都可以用方程表示 B. 若直线，则两直线的斜率相等 C. 过两点，的直线都可用方程表示 D. 若两条直线中，一条直线的斜率存在，另一条直线的斜率不存在，则两条直线垂直 11. 已知棱长为的正方体中， ， 满足，，其中，，则下列结论正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， 平面 C. ，，有 D. ，，有 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设点是空间直角坐标系中一点，则点关于轴对称的点的坐标为________． 13. 已知直线：，直线：，若，则______. 14. 直线过点，则直线与轴正半轴、轴正半轴围成三角形面积的最小值为______． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知，，且. （1）求. （2）求与夹角的余弦值. 16. 已知直线过点， （1）求在坐标轴上截距相等的直线的方程. （2）若直线与轴、轴的正半轴分别交于两点，为坐标原点，当的面积最小时，求直线的方程. 17. 如图，在直三棱柱中，分别为的中点． （1）求异面直线与所成角的余弦值； （2）求点到平面的距离； （3）求平面与平面夹角的余弦值． 18. 已知的一条内角平分线的方程为，一个顶点为，边上的中线所在直线的方程为． （1）求顶点的坐标； （2）求的面积． 19. 如图，在斜三棱柱中，M为的中点，底面为等腰直角三角形，且 （1）若在底面内的射影为点B，求点A到平面的距离; （2）若在底面内的射影为的中点，求平面与平面夹角的余弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年五华县田家炳中高二级第一学期第一次阶段考试 数学试题 考试范围：选必一第一单——第二章2.1.1圆的标准方程 组稿：高二数学备课组 2026年10月22日 时量：120分钟 满分：150分 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线的一个方向向量为，则的倾斜角为（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由直线的方向向量求得直线的斜率，由斜率即可求得倾斜角. 【详解】由题意，，且， 所以. 故选：B 2. 直线的一个方向向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一般方程写出一个方向向量，利用向量平行确定答案. 【详解】直线方程可化为，即直线的一个方向向量为， 各选项中与平行的向量为，即可作为直线的方向向量. 故选：A 3. 如图所示，在平行六面体中，为与的交点，为的中点，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量线性运算法则计算可得. 【详解】因为为与的交点， 所以， 故. 故选：B. 4. 已知向量，，且与互相垂直，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间向量数量积的运算律及数量积的坐标表示，列式计算即得. 【详解】已知向量，，则，， ， 由与互相垂直， 则， 解得，故D正确. 5. 圆关于直线对称的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出点关于直线的对称点的坐标，即可得出所求圆的方程. 【详解】圆的圆心为，半径为， 设点关于直线的对称点为，且直线的斜率为， 所以，解得，即所求圆的圆心坐标为， 故圆关于直线对称的圆的方程为. 故选：D. 6. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据投影向量的公式计算得到答案. 【详解】向量在向量上的投影向量. 故选：A. 7. 在平行六面体中，，，， ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量数量积的运算性质可求得的长. 【详解】如下图所示： 由题意可得，， 由空间向量数量积的定义可得， ，同理可得， 由空间向量的平行六面体法则可得， 所以， ，即. 故选：C. 8. 已知平面和平面的夹角为，，已知A，B两点在棱上，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于．已知，，则的长度为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得二面角的大小为或，则或，将用，结合空间向量数量积的运算律即可得解. 【详解】平面和平面的夹角为，则二面角的大小为或， 因为，所以或， 由题可知， ， 故或， 或． 故选：D. 二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知空间向量，则下列说法正确的是（ ） A. B. 向量与向量共线 C. 向量关于轴对称的向量为 D. 向量关于平面对称的向量为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据向量的模、共线向量、对称等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，，A选项正确. B选项，，所以共线，B选项正确. C选项，关于轴对称的向量为，C选项正确. D选项，于平面对称的向量为，D选项错误. 故选：ABC 10. 下列说法中错误的是（ ） A. 不过原点的直线都可以用方程表示 B. 若直线，则两直线的斜率相等 C. 过两点，的直线都可用方程表示 D. 若两条直线中，一条直线的斜率存在，另一条直线的斜率不存在，则两条直线垂直 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据两直线的位置关系判断B、D，根据截距式方程的定义判断A，根据两点式方程判断C. 【详解】对于A：直线的截距式方程不能表示过原点和垂直于坐标轴的直线，故A错误； 对于B：和的斜率有可能不存在，故B错误； 对于C：选项中的方程是直线的两点式方程化为整式后的结果， 直线的两点式方程不能表示垂直于坐标轴的直线，但化为整式后就没有缺陷了，可以表示任意直线，故C正确； 对于D：直线斜率不存在，则直线垂直于轴， 直线斜率存在，但不一定斜率为，所以两直线不一定垂直，故D错误. 故选：ABD 11. 已知棱长为的正方体中， ， 满足，，其中，，则下列结论正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， 平面 C. ，，有 D. ，，有 【答案】BCD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求各点坐标，根据两点结论公式求，判断A，求平面的法向量，直线的方向向量，证明两向量垂直，判断B，由求，，判断C，令，确定，关系，由此判断D. 【详解】以为原点，分别以，，所在直线为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示， 则正方体各顶点坐标为，，，，，，，， 因为，，所以点Q坐标为， 又因为，，， 所以点坐标为， 对于A，当时，点，点， 则，故A错误； 对于B，当时，点， 设平面的法向量为，，， 由，取，可得，， 所以为平面的法向量， ，，所以， 又平面，所以平面，故B正确; 对于C，，，， 当时，恒成立，当时，令，得， 所以，，有，故C正确； 对于D，，，， 令，即，， 因为，所以， 所以，，有，故D正确. 故选：BCD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设点是空间直角坐标系中一点，则点关于轴对称的点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据空间直角坐标系中点关于轴对称的点的坐标特征，即可求得答案. 【详解】点关于轴对称的点的坐标为， 故答案为： 13. 已知直线：，直线：，若，则______. 【答案】或1 【解析】 【分析】由两线垂直的判定列方程求参数即可. 【详解】由，则，即， 所以或. 故答案为：或1 14. 直线过点，则直线与轴正半轴、轴正半轴围成三角形面积的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】代入点坐标得到，利用均值不等式得到，计算面积得到答案. 【详解】直线过点，则， 当，时，，即， 当且仅当，即，时等号成立， 直线与轴正半轴、轴正半轴围成三角形面积为， 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知，，且. （1）求. （2）求与夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用空间向量垂直的坐标表示可求得，即可计算出即可求得模长为； （2）根据向量夹角的计算公式即可求得结果. 【小问1详解】 根据题意由可得， 即，解得； 所以， 因此，即. 【小问2详解】 易知，且； 所以， 即与夹角的余弦值为. 16. 已知直线过点， （1）求在坐标轴上截距相等的直线的方程. （2）若直线与轴、轴的正半轴分别交于两点，为坐标原点，当的面积最小时，求直线的方程. 【答案】（1）和 （2） 【解析】 【分析】（1）利用截距式直线方程解题即可； （2）利用点斜式直线方程以及基本不等式解题即可. 【小问1详解】 当截距为零时，直线方程为，即； 当截距不为零时，设方程为，代入点，可得， 此时直线方程为 ； 所以在坐标轴上截距相等的直线的方程为和 【小问2详解】 设直线的方程为，由题意可得， 令，则；令，则；即， ， 从而， 当且仅当，即时取到最小值12， 所以直线方程为，即. 17. 如图，在直三棱柱中，分别为的中点． （1）求异面直线与所成角的余弦值； （2）求点到平面的距离； （3）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量计算即可； （2）利用空间向量计算点面距离即可； （3）利用空间向量计算面面夹角即可. 【小问1详解】 由题意可知两两垂直，如图所示建立空间直角坐标系， 则， 即， 所以， 即异面直线与所成角的余弦值为； 【小问2详解】 由上易知， 设面的一个法向量为，则有， 取，即， 所以点到平面的距离为； 【小问3详解】 由上可知， 设面的一个法向量为，则有， 取，即， 设平面与平面夹角为， 则， 即平面与平面夹角的余弦值. 18. 已知的一条内角平分线的方程为，一个顶点为，边上的中线所在直线的方程为． （1）求顶点的坐标； （2）求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由点在直线上，设，由为边上的中线，得出线段的中点在直线上，根据中点公式求出中点，代入直线的方程即可求解； （2）由是的一条角平分线，得出点关于直线的对称点在直线上，由点关于直线对称得出坐标，结合点的坐标求出直线的方程，再与直线联立求出的坐标，由两点之间距离公式求出，由点到直线距离公式求出到直线的距离，即可根据三角形面积公式代入计算即可． 【小问1详解】 因为直线的方程为， 设，又， 所以线段的中点坐标为， 因为线段的中点在直线上， 所以，整理得，即， 所以． 【小问2详解】 因为是的一条角平分线， 所以点关于直线的对称点在直线上， 设， 则，解得， 所以， 所以直线的方程为，整理得， 联立直线与直线的方程，， 解得，即， 所以， 点到直线的距离， 所以． 19. 如图，在斜三棱柱中，M为的中点，底面为等腰直角三角形，且 （1）若在底面内的射影为点B，求点A到平面的距离; （2）若在底面内的射影为的中点，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点O，可得，证明面，即点A到平面的距离，得解； （2）取的中点O，易得两两互相垂直，建立空间直角坐标系，求出平面和平面的一个法向量，利用向量夹角公式运算求解. 【小问1详解】 如图，取的中点O，连接 为等腰三角形，，， 又在底面内的射影为点B， 面，又面，， 又，且面， 面， 即为点A到平面的距离. 又为等腰直角三角形，且 点A到平面的距离为. 【小问2详解】 如图， 取的中点O，连接，， 在底面内的射影为的中点， 面 为等腰三角形，， 建立如图所示的空间直角坐标系，易知， ，，，， ，，， 设平面的一个法向量为， 则，令，得， 设平面的一个法向量为， 由，令，得， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $