精品解析：甘肃武威市凉州区金塔、柏树联考2026-2027学年九年级上学期11月期中数学试题

2026-2027学年第一学期九年级期中考试试卷 数 学 一、选择题（共30分，每小题3分） 1. 若关于x的方程化成一般形式后不含有x的一次项，则k的值为（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解方程时，配方后得到的方程是（ ） A. B. C. D. 3. 一条校园通知，最先由1名同学转发出去．这名同学转发给x名同学，第一轮收到消息的x名同学，又转发给另外x名同学．已知包括最初这名同学在内，一共有57名学生收到这条通知．则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 函数是二次函数，则的值为（ ） A. 或 B. C. 或 D. 5. 下列抛物线中，对称轴是的是（ ） A. B. C. D. 6. 二次函数（、为常数，）的图象与轴的交点坐标分别为和，且，下列选项中正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 某一型号飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间的函数关系式是，该型号飞机着陆后需滑行 （ ）m才能停下来． A. 20 B. 40 C. 600 D. 900 8. 对于反比例函数，当，且时，自变量x的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 9. 如图，反比例函数在第一象限内的图象与矩形的两边交于，两点，．若矩形的面积为，则的值是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知抛物线（，，为常数，且）的对称轴是直线，抛物线与轴的一个交点坐标是，与轴的交点坐标是，且．有下列结论： ①；②；③；④关于的一元二次方程必有两个不相等的实数根；⑤若且，则；其中正确的有（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 二、填空题（共24分，每小题3分） 11. 关于x的方程是一元二次方程，则m=______． 12. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是__________ 13. 当________时，函数是二次函数． 14. 已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为___________． 15. 若二次函数的图像与轴的两个交点之间的距离是6，则________． 16. 反比例函数 中，比例系数__________________． 17. 已知反比例函数，当时，，则的值是______________． 18. 如图，直线交双曲线于点，过点作交轴于点；过点作，交双曲线于点，过点作，交轴于点；…，依次作下去，得到等腰直角三角形，，，…，，且点都在双曲线的图象上，斜边，，，…，都在轴上，则点的坐标为________． 三、解答题（共66分） 19. 二次函数． （1）二次函数化成顶点式是_________________； （2）画出二次函数的图象； （3）由图象可知，当时，的取值范围是_______________． 20. 用适当的方法解方程： （1） （2） 21. 某水果店老板统计了某品种苹果8月份到10月份的销量，该品种苹果8月份销售400千克，10月份销售576千克． （1）求该品种苹果8月份到10月份销量的月平均增长率． （2）若月平均增长率不变，求11月份该品种苹果的销量． 22. 已知二次函数（为常数），求该二次函数图象的开口方向． 23. 已知二次函数的图象经过点，． （1）求这个二次函数的解析式； （2）求出点关于对称轴的对称点的坐标． 24. 某网店在“双十一”购物节期间搞降价促销活动，某纪念品原售价每件100元，进货价每件74元． （1）若连续两次降价后，该纪念品的售价为每件81元，且每次降价的百分率相同，求每次降价的百分率； （2）已知“双十一”购物节期间，该纪念品按原价每件100元销售，每天可售出40件．经市场调查发现，若每件降价1元，日销售量将增加20件．物价管理部门规定：在降价促销活动期间，该商品的销售单价不低于90元，且不高于98元．问每件应降价多少元才能使每天获得的利润最大？ 25. 已知函数，与成反比例，与成正比例，且当时，；当时，． （1）求与的函数关系式． （2）当时，求的值． 26. 如图，在平面直角坐标系中，函数（）与反比例函数（）交于A、B两点，点C在x轴上，且，若，求反比例函数解析式． 27. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，顶点为． （1）求此二次函数解析式； （2）如图①，在轴上找一点，使得的周长最小，求点的坐标； （3）如图②，为直线上的动点，在抛物线上是否存在点，使得为等腰直角三角形？若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期九年级期中考试试卷 数 学 一、选择题（共30分，每小题3分） 1. 若关于x的方程化成一般形式后不含有x的一次项，则k的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：将方程化为一般形式为， ∵方程不含的一次项， ∴一次项系数， 解得． 2. 用配方法解方程时，配方后得到的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】移项后，给等式两边加上一次项系数一半的平方，将左边配成完全平方式即可解答． 【详解】解：移项，得． 两边同时加，得． 即． 3. 一条校园通知，最先由1名同学转发出去．这名同学转发给x名同学，第一轮收到消息的x名同学，又转发给另外x名同学．已知包括最初这名同学在内，一共有57名学生收到这条通知．则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设这名同学转发给名同学，初始1人，第一轮新增人；第二轮收到消息的名同学每人再转发给名同学，新增人；包括最初这名同学在内总人数为三部分相加，据此列出方程． 【详解】解：设这名同学转发给名同学，根据题意列方程得， ． 4. 函数是二次函数，则的值为（ ） A. 或 B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的定义，得出且，解方程和不等式，即可得出答案． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴且， 解得，或， 解得，， ∴． 5. 下列抛物线中，对称轴是的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用抛物线顶点式可直接确定对称轴的特点，优先筛选顶点式选项，再验证一般式选项 【详解】解：∵ A选项对称轴为，B选项对称轴为， ∴ A、B不符合要求， ∵ C选项的对称轴为，D选项的对称轴为， ∴ C符合要求，D不符合 6. 二次函数（、为常数，）的图象与轴的交点坐标分别为和，且，下列选项中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由两根均为正数确定的符号，结合一元二次方程根的判别式、处的函数值判断各选项． 【详解】解：∵二次函数图象与轴交于、，且， ∴，， 由根与系数的关系得，， ∵， ∴，即，故A错误； ∵抛物线与轴有两个不同交点， ∴，即， ∴，故B错误； ∵，抛物线开口向上，且， ∴当时，，即， ∴，故C正确； 取满足的，， 则，得，，得， 此时，故D错误． 7. 某一型号飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间的函数关系式是，该型号飞机着陆后需滑行 （ ）m才能停下来． A. 20 B. 40 C. 600 D. 900 【答案】C 【解析】 【分析】将函数关系式配方，求出滑行距离的最大值，即为飞机停下来时滑行的距离． 【详解】解：， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为600， ∴该型号飞机着陆后需滑行才能停下来． 8. 对于反比例函数，当，且时，自变量x的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合反比例函数的图象与性质，分和两种情况讨论自变量的取值范围． 【详解】解：∵ 反比例函数中， ∴ 图象位于第一、三象限，在每个象限内随的增大而减小． 当时，对应第一象限的图象， 当时，， ∵随增大而减小， ∴． 当时，对应第三象限的图象， 当时，， ∵随增大而减小， ∴． ∴的取值范围是或． 9. 如图，反比例函数在第一象限内的图象与矩形的两边交于，两点，．若矩形的面积为，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数的解析式可知点的纵坐标为，点的横坐标为，可得：，，根据矩形的面积公式列方程求出． 【详解】解：， ， 点的横坐标为，点的纵坐标为， 点的纵坐标为，点的横坐标为， ，， 矩形的面积为， ， 或， 反比例函数经过第一象限， ， ． 10. 如图，已知抛物线（，，为常数，且）的对称轴是直线，抛物线与轴的一个交点坐标是，与轴的交点坐标是，且．有下列结论： ①；②；③；④关于的一元二次方程必有两个不相等的实数根；⑤若且，则；其中正确的有（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】A 【解析】 【分析】利用对称轴和交点坐标确定，，之间的数量关系，并结合的取值范围判断代数式的符号或取值范围． 【详解】解：由二次函数的图象可得，抛物线开口向下，与轴交于正半轴， ∴，， ∵抛物线（，，为常数，且）的对称轴是直线， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线与轴的一个交点坐标是，对称轴是直线， ∴抛物线与轴的另一个交点坐标是， 由函数图象可得，当时，，故②正确； ∵抛物线与轴的一个交点坐标是， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，抛物线有最大值，为， ∵， ∴，故③正确； ∵关于的一元二次方程为， ∴， 由可得， ∵， ∴ ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴关于的一元二次方程必有两个不相等的实数根，故④正确； 将变形为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故⑤正确； 综上所述，正确的有①②③④⑤，共个． 二、填空题（共24分，每小题3分） 11. 关于x的方程是一元二次方程，则m=______． 【答案】 【解析】 【分析】一元二次方程需满足两个核心条件：未知数最高次数为，二次项系数不为，据此建立方程与不等式求解. 【详解】解：关于的方程是一元二次方程 ∴需同时满足两个条件： 先求解方程 移项整理得 因式分解得 解得或 结合的条件，舍去 ∴ 12. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是__________ 【答案】且 【解析】 【分析】需满足两个条件：一是一元二次方程要求二次项系数不为0，二是有实数根要求根的判别式大于等于0，分别求解后取交集即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， ，， 解得，， 的取值范围为且． 13. 当________时，函数是二次函数． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的定义，建立关于的不等式求解即可得答案. 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴ ， ∴. 14. 已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先确定二次函数的对称轴为直线，该对称轴在给定区间内，再根据二次项系数的正负判断抛物线开口方向，分情况确定区间内最小值的位置，代入计算求解符合条件的值. 【详解】解：该二次函数为顶点式，对称轴为直线，且在区间内，分两种情况讨论： ① 当时，抛物线开口向上，顶点为区间内的最低点，此时函数的最小值为顶点的纵坐标， 根据题意得，与矛盾，该情况舍去； ② 当时，抛物线开口向下，顶点为区间内的最高点，此时函数的最小值出现在离对称轴更远的区间端点， 计算两个端点到对称轴的距离： 到的距离为， 到的距离为， ∵ ， ∴ 处的函数值更小，为区间内的最小值， 将代入函数得， 根据题意得， 解得，符合的条件， 综上，的值为. 15. 若二次函数的图像与轴的两个交点之间的距离是6，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数解析式得到对称轴为，由的图像与轴的两交点横坐标相差，从而得到，，再根据，即可求解 【详解】解：∵二次函数为， ∴对称轴为， ∵的图像与轴的两交点横坐标相差， ∴两交点的横坐标分别为、，即，， ∵， ∴． 16. 反比例函数 中，比例系数__________________． 【答案】 【解析】 【分析】将给定的反比例函数整理为标准形式，对比形式即可得到比例系数的值． 【详解】解：反比例函数的标准形式为，其中为非零常数 将给定函数变形，可得 将变形后的式子与标准形式对比，可得比例系数． 17. 已知反比例函数，当时，，则的值是______________． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵反比例函数表达式为，已知当时，， ∴将对应值代入表达式，可得， 解得． 18. 如图，直线交双曲线于点，过点作交轴于点；过点作，交双曲线于点，过点作，交轴于点；…，依次作下去，得到等腰直角三角形，，，…，，且点都在双曲线的图象上，斜边，，，…，都在轴上，则点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】先由题意可知，，再设，则，求出，即可得，然后求出点；再同理求出点的坐标即可． 【详解】解：由题意可知，，设，则， 解得或（舍去）， ∴， ∴； 设，则， 解得或（舍去）， ∴， ∴； 设，则， 解得或（舍去）， ∴， ∴； 设，则， 解得或（舍去）， ∴， ∴． 三、解答题（共66分） 19. 二次函数． （1）二次函数化成顶点式是_________________； （2）画出二次函数的图象； （3）由图象可知，当时，的取值范围是_______________． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）利用配方法即可化为顶点式； （2）列表、描点、连线即可作图； （3）结合图象和二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：， 即抛物线的解析式为：． 【小问2详解】 解：列表为： x 0 1 2 3 4 y 5 0 0 5 【小问3详解】解：由图象可得，抛物线与轴交于点和， ∴当时，的取值范围是或． 20. 用适当的方法解方程： （1） （2） 【答案】（1） ， （2） ， 【解析】 【分析】（1）将方程整理为一元二次方程一般形式，采用公式法求解． （2）将方程展开整理为一般形式，采用因式分解法求解． 【小问1详解】 解： ， 移项得 ， 确定，， ， 计算判别式 ， 代入求根公式得 ， 即，． 【小问2详解】 解： ， 展开左边得， 移项整理得 ， 因式分解得 ， 即或 ． 解得，． 21. 某水果店老板统计了某品种苹果8月份到10月份的销量，该品种苹果8月份销售400千克，10月份销售576千克． （1）求该品种苹果8月份到10月份销量的月平均增长率． （2）若月平均增长率不变，求11月份该品种苹果的销量． 【答案】（1） 该品种苹果8月份到10月份销量的月平均增长率为 （2） 11月份该品种苹果的销量为千克 【解析】 【分析】（1）根据8月销量、10月销量与月平均增长率的数量关系列一元二次方程求解； （2）利用（1）中求得的月平均增长率，结合10月销量计算11月销量． 【小问1详解】 解： 设该品种苹果销量的月平均增长率为， 由题意得 ， ， ， 解得 ，或（不符合题意，舍去）， 答：该品种苹果8月份到10月份销量的月平均增长率为； 【小问2详解】 解：（千克） 11月份该品种苹果的销量为千克 22. 已知二次函数（为常数），求该二次函数图象的开口方向． 【答案】该二次函数图象开口向下 【解析】 【分析】由二次函数的定义求出，从而可得二次函数的解析式为，再结合二次函数的性质即可得出结果． 【详解】解：由题意可得， ∴， ∴， ∴二次函数的解析式为， ∴该二次函数图象开口向下． 23. 已知二次函数的图象经过点，． （1）求这个二次函数的解析式； （2）求出点关于对称轴的对称点的坐标． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】将已知两点坐标代入二次函数解析式，解二元一次方程组求得系数，； 先求出二次函数的对称轴，再利用轴对称的性质计算对称点坐标． 【小问1详解】 解：将，代入，得， 解得， ∴二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：由得， ∴ ∴对称轴为直线， ∵点是点关于对称轴的对称点， ∴点的纵坐标为， 设点的横坐标为，则， 解得， ∴点的坐标为． 24. 某网店在“双十一”购物节期间搞降价促销活动，某纪念品原售价每件100元，进货价每件74元． （1）若连续两次降价后，该纪念品的售价为每件81元，且每次降价的百分率相同，求每次降价的百分率； （2）已知“双十一”购物节期间，该纪念品按原价每件100元销售，每天可售出40件．经市场调查发现，若每件降价1元，日销售量将增加20件．物价管理部门规定：在降价促销活动期间，该商品的销售单价不低于90元，且不高于98元．问每件应降价多少元才能使每天获得的利润最大？ 【答案】（1）每次降价的百分率为． （2）每件应降价元才能使每天获得的利润最大． 【解析】 【分析】（1）根据连续两次降价后的售价关系列一元二次方程，求解并舍去不符合实际的根． （2）根据总利润单件利润销售量列出函数关系式，结合售价限制确定自变量取值范围，再根据二次函数的增减性求最大值对应的降价金额． 【小问1详解】 解：设每次降价的百分率为． 根据题意，得． 解得，（不符合题意，舍去）． 答：每次降价的百分率为． 【小问2详解】 解：设每件降价元，每天获得的利润为元． ∵销售单价不低于元，且不高于元， ∴ ． 解得． 根据题意，得  ． ∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线． ∴当时，随的增大而增大， ∵， ∴当时，取得最大值． 答：每件应降价元才能使每天获得的利润最大． 25. 已知函数，与成反比例，与成正比例，且当时，；当时，． （1）求与的函数关系式． （2）当时，求的值． 【答案】（1）（） （2） 【解析】 【分析】（1）设，，则，联立方程组求出的值，即可得到与的函数关系式； （2）将代入函数解析式计算即可． 【小问1详解】 解：设，，则， 根据题意得， 解得， ； 【小问2详解】 解：由（1）得， 将代入得． 26. 如图，在平面直角坐标系中，函数（）与反比例函数（）交于A、B两点，点C在x轴上，且，若，求反比例函数解析式． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数与反比例函数交于两点，得出、两点关于原点对称，推出，过点作轴于点，由三线合一可得，从而得到，进而可求出的值． 【详解】解：过点作轴于点， 函数与反比例函数交于两点， 、两点关于原点对称， 即， ， ，轴 ， ， 即， ． ∴反比例函数解析式为： 27. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，顶点为． （1）求此二次函数解析式； （2）如图①，在轴上找一点，使得的周长最小，求点的坐标； （3）如图②，为直线上的动点，在抛物线上是否存在点，使得为等腰直角三角形？若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）． （2）． （3）存在，点P的坐标为或． 【解析】 【分析】（1）两个交点是抛物线与轴的公共点，把它们代入含待定系数的解析式，得到关于、的方程组即可确定解析式； （2）的周长中是定长，用轴对称把折线化为直线段，再由两点之间线段最短定出点，最后求相应直线与轴的交点； （3）先求直线的解析式，把动点的坐标用一个字母表示，再按等腰直角三角形直角顶点在、、的三种位置分类，由两条直角边相等与勾股定理列方程求出点的坐标，代入抛物线解析式求解． 【小问1详解】 解：将．代入得． 解之得： ∴此函数解析式为． 【小问2详解】 解：作点C关于x轴对称的点，连接交x轴于点E， 则，， 根据两点之间线段最短，当共线时，， 此时的周长最小， 如图①所示． ， ． 设直线的解析式为，则有 解得 ∴直线的解析式为， 当中时，， ∴当的周长最小时，点E的坐标为． 【小问3详解】 解：存在，点的坐标为或． 理由如下： 设直线的解析式为，把、代入，得． 解得． ∴直线的解析式为． 点在直线上，设． 当时点与点重合，不存在，故． 记，则，且． 由勾股定理得． 设，由勾股定理得． 同理． 为等腰直角三角形时，两条直角边相等，斜边的平方等于两条直角边平方之和；直角顶点只能在、、三处，三种情况如图②所示． ①直角顶点在，即，两条直角边是、． ∵， ∴． ∵是斜边，由勾股定理， ∴． 把第二式展开后与第一式相减，整理得． ∵， ∴，即． 代入，得． ∴或，点为或． 即或． 把代入，得． 整理得． 解得(点与点重合，舍去)，，此时． 把代入，得，即． 解得(舍去)，，此时． 两支给出的点都是，对应直线上两个不同的点． ②直角顶点在，即，两条直角边是、． ∵， ∴． ∵是斜边，由勾股定理， ∴． 把第一式展开后与第二式相减，整理得，即． 代入，得． ∴或，点为或． 即或． 把代入，得，即． 解得(舍去)，，此时． 把代入，得． 解得，此时点与点重合，舍去． ③直角顶点在，即，两条直角边是、． ∵，且是斜边， ∴，即． ∴． 把第二式展开后与第一式相减，整理得，即． 代入，得． ∴或，点为或． 即或． 把代入，得，即． 解得(舍去)，，此时． 把代入，得． 该式只给出，图形退化，这一支舍去． 综上可知，抛物线上存在点，使为等腰直角三角形；②与③得到的点都是，故点的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $