精品解析：甘肃省武威市凉州区和平镇九年制学校2024-2025学年上学期期中考试九年级数学试题

2024~2025学年度第一学期期中试题九年级数学试题 一、选择题：每题3分，共30分。在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确的选项选出来．每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均计零分． 1. 如果（a，b均不为0），那么下列比例式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查比例的基本性质，掌握性质是解题关键．根据比例的基本性质直接判断即可． 【详解】解：A、由，可得到，A错误，不符合题意； B、由，可得到，B正确，符合题意； C、由，可得到，C错误，符合题意； D、由，可得到，D错误，不符合题意； 故选：B． 2. 下列有关特殊平行四边形的性质说法正确的是（ ） A. 菱形的对角线相等 B. 矩形的对角线互相垂直 C. 菱形的四个角相等 D. 正方形的对角线互相垂直平分且相等 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、矩形的性质、正方形的性质，根据相关概念，对选项进行判断，即可解题． 【详解】解：A、菱形的对角线互相垂直，不一定相等，所以A项错误，不符合题意． B、矩形的对角线相等且平分，不一定互相垂直，所以B项错误，不符合题意． C、菱形的四个角不一定相等，所以C项错误，不符合题意． D、正方形的对角线互相垂直平分且相等，正确，符合题意． 故选：D． 3. 某校组织社团活动，小明和小刚从“数学社团”、“航模社团”、“文艺社团”三个社团中，随机选择一个社团参加活动，两人恰好选择同一个社团的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果以及小明和小刚选到同一社团的情况，再利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：把“数学社团”、“航模社团”、“文艺社团”分别记为A、B、C， 画树状图得： ∵共有9种等可能的结果，小明和小刚恰好选择同一个社团的有3种情况， ∴小明和小刚恰好选择同一个社团的概率为：＝． 故选：A． 【点睛】本题考查了用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 4. 滕州一中要举办元旦文艺会演，当主持人站在舞台的黄金分割点处时最自然得体．如图，若舞台的长为，为的一个黄金分割点（），则的长为（结果精确到）（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割的概念以及近似数，熟记黄金分割的比值是解题的关键． 根据黄金分割的概念得到，代入数值进行计算即可． 【详解】解：∵为舞台的一个黄金分割点，且， ∴．   故选：D ． 5. 如图是某景区大门部分建筑，已知，，当时，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得到，再由可得结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选C． 6. 如图，矩形中，，在轴上．且点的横坐标为，若以点为圆心，对角线的长为半径作弧交轴的正半轴于，则点的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据矩形的性质得出，由题意可知：，再根据点坐标进而可以解决问题； 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴ 由题意可知： ∵点的横坐标为 ∴点的横坐标为 ∵点在轴上 ∴点的坐标为 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质、平面直角坐标系内点的坐标特征；熟练掌握矩形的对角线相等是解题的关键． 7. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．我校为响应全民阅读活动，打造书香校园，在校园里建立了图书角。据统计，八（10）班第一周阅读128人次，阅读人次每周增加，到第三周累计阅读608人次，若阅读人次的周平均增长率为x可得方程（ ） A. 128(1+x)=608 B. 128(1+x）2=608 C. 128(1+x)+128(1+x)2=608 D. 128+128(1+x)+128(1+x)2=608 【答案】D 【解析】 【分析】先分别表示出第二周和第三周的进馆人次，再根据第一周的阅读人次加第二和第三周的阅读人次等于608，列方程求解． 【详解】解：设进馆人次的周平均增长率为x，则由题意得： 128+128（1+x）+128（1+x）2=608； 故选：D． 【点睛】本题属于一元二次方程的应用题，列出方程是解题的关键．本题难度适中，属于中档题． 8. 定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“负一”方程，已知是“负一”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知得出方程有，再判断即可． 【详解】解：∵是“负一”方程， ， ， ∵方程有两个相等的实数根， ， ∴，， 无法推出， 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，根的判别式，熟练掌握相关知识是解题关键． 9. 如图，∽，：：，其中，的长为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：：：， ：：， ∽， ， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的性质． 10. 如图1，动点P从菱形的点A出发，沿边匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，的长为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到中点时，的长为（　　） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合图象，得到当时，，当点P运动到点B时，，根据菱形的性质，得，继而得到，当点P运动到中点时，的长为，解得即可． 本题考查了菱形的性质，图象信息题，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质是解题的关键． 【详解】结合图象，得到当时，， 当点P运动到点B时，， 根据菱形的性质，得， 故， 当点P运动到中点时，的长为， 故选C． 二、填空题：每题3分，共18分，将答案填在题的横线上． 11. 若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，利用比例关系对已知条件变形是解题的关键． 由比例关系可得a，c，e用b，d，f表示，代入所求表达式化简求值即可． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴． 故答案为． 12. 若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、求代数式的值．首先根据一元二次方程根与系数的关系可得，把代入可得，然后再整体代入代数式求值即可． 【详解】解：，是一元二次方程的两个实数根， ， 把代入一元二次方程， 可得：， ， ∴ ． 故答案为： ． 13. 近年来，红荷湿地环境保护效果显著，候鸟种群越来越多．为了解湿地某区域的A种候鸟的情况，从中捕捉40只，戴上识别卡并放回；经过一段时间后观察发现，120只A种候鸟中有5只佩有识别卡，由此估计该区域约有________只A种候鸟． 【答案】960 【解析】 【分析】本题主要考查的是通过样本去估计总体，只需将样本“成比例地放大”为总体即可．根据在样本中“120只A种候鸟中有5只佩有识别卡”，即可求得有识别卡的所占比例，而这一比例也适用于整体，据此即可解答． 【详解】解：设该该区域约有x只A种候鸟， 则， 解得． 故答案为：． 14. 《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，是用“矩”测量一个信号塔高度的示意图，点，，在同一水平线上，和均为直角，与交于点，测得，，，则信号塔的高度为________． 【答案】14 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．由题意可知，，，证明，得到，即可求出信号塔的高度． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 15. 如图，在中，是上一点，连接，，是的中点，连接并延长交于点，则的值为________． 【答案】##0.4 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟知平行线分线段成比例定理，正确添加辅助线是解题关键．作，交于点，得到，，问题得解． 【详解】解：作，交于点， 是的中点， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以点O为位似中心的位似图形，且位似比为，点，，在x轴上，延长交射线于点，以为边作正方形；延长交射线于点，以为边作正方形，．按照这样的规律继续作下去，若，则的面积为________． 【答案】或（） 【解析】 【分析】本题考查的是位似图形的性质、图形的变化规律，根据位似图形的性质求出，根据正方形的面积公式计算，总结规律，根据规律解答即可． 【详解】解：∵正方形与正方形是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为， ∴=， ∵轴，轴， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴的面积； ∵， ∴， ∴， ∴的面积； 同理可得，的面积； …… 则的面积为， 故答案为：或（）． 三、解答题：共8小题，满分72，解答应写出文字说明，说理过程或演算步骤． 17. 用适当方法解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法． （1）利用因式分解法求解即可； （2）利用直接开平方法求解即可； （3）利用配方法求解即可； （4）利用公式法求解即可． 【小问1详解】 解： 或 ， 【小问2详解】 解： ， 【小问3详解】 解： ， 【小问4详解】 解： ， ， 18. 已知一元二次方程有两个根分别为，． （1）求的取值范围； （2）若原方程的两个根，满足，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式、一元二次方程的根与系数的关系、解一元二次方程、利用完全平方公式进行运算等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键． （1）根据题意可知，据此可得关于的一元一次不等式，求解即可获得答案； （2）根据一元二次方程的根与系数的关系可得，，再利用完全平方公式可得，将整理并代入可得关于的一元二次方程，求解即可获得答案． 【小问1详解】 解：∵一元二次方程有两个根， ∴， 解得； 【小问2详解】 对于一元二次方程， 可有，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得，， 由（1）可知，， ∴的值为． 19. 我国大力发展职业教育，促进劳动力就业．某职业教育培训中心开设：A（旅游管理）、B（信息技术）、C（酒店管理）、D（汽车维修）四个专业，对某中学有参加培训意向的学生进行随机抽样调查，每个被调查的学生必须从这四个专业中选择一个且只能选择一个，该培训中心将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图 根据图中信息解答下列问题： （1）本次被调查的学生有 人；扇统计图中A（旅游管理）专业所对应的圆心角的度数为 ； （2）请补全条形统计图，若该中学有300名学生有培训意向，请估计该中学选择“信息技术”专业意向的学生有 人； （3）从选择D（汽车维修）专业的甲、乙、丙、丁四名同学中随机抽取两人去某汽车维修店观摩学习．请用列表法或画树状图的方法求出恰好抽到甲、丙两名同学的概率． 【答案】（1）200； （2） 补全条形统计图如下： 90 （3） 【解析】 【分析】本题考查的是条形统计图与扇形统计图、用树状图法求概率． （1）由选择C专业的人数除以所占百分比即可求出总数，由乘以选择A（旅游管理）专业的人数所占的比例即可得出扇形统计图中A（旅游管理）专业所对应的圆心角的度数； （2）求出B专业的人数，补全条形统计图即可，根据该中学选择“信息技术”专业意向的学生所占比例估计实际人数； （3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰好抽到甲、乙两名同学的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 本次被调查的学生有：（人）； （2）扇形统计图中，A（旅游管理）专业所对应的圆心角的度数为：， 故答案为：200；； 【小问2详解】 条形统计图中，B（信息技术）专业的人数为：（人）， 若该中学有300名学生有培训意向，估计该中学选择“信息技术”专业意向的学生有（人）， 故答案为：90； 【小问3详解】 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中恰好抽到甲、乙两名同学的结果有2种， ∴恰好抽到甲、乙两名同学的概率为． 20. 如图，菱形的对角线、相交于点O，，，与交于点F． （1）求证：四边形为矩形； （2）若，，求菱形的面积． 【答案】（1） 证明：∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵菱形对角线交于点O， ∴，即． ∴四边形是矩形； （2）96 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理等知识， （1）先证明四边形是平行四边形，再根据菱形的性质可得，问题随之得证； （2）根据菱形的性质可得，再利用勾股定理可得，问题随之得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的面积为：． 21. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． （1）以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出的一个位似，使它与的相似比为； （2）将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后的，判断与，能否是关于某一点M为位似中心的位似图形？若是，请在图中画出位似中心M，并写出点M的坐标． 【答案】（1） 所作如图所示： （2）是，如图画出， M的坐标为 【解析】 【分析】本题主要考查了作图位似变换，平移变换，熟练掌握位似变换的性质是解题的关键． （1）根据位似变换的性质找出对应点，再顺次连接对应点，即可解题； （2）根据平移变换的性质画出，再根据位似中心的性质求解，即可解题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：与是关于某一点M为位似中心的位似图形，如图，M的坐标为． 22. 2024年4月25日，搭载神舟十八号载人飞船的长征二号F遥十八运载火箭发射成功．某网店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了“中国空间站”模型．已知该模型平均每天可售出20个，每个盈利40元．为了扩大销售，该网店准备适当降价，经过一段时间测算，每个模型每降低1元，平均每天可以多售出2个． （1）若每个模型降价5元，平均每天可以售出多少个模型？此时每天获利多少元？ （2）在每个模型盈利不超过25元的前提下，要使“中国空间站”模型每天获利1200元，每个模型应降价多少元？ 【答案】（1）30个，1050元 （2）20元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用——盈利问题，根据销售问题列出方程并正确求解是解题的关键． （1）根据降价，求出降价后得每件利润和每天得销量，即可求出利润； （2）设每个模型降价元，则每件利润元，平均每天可以售出个模型，根据利润可列方程，解方程，再进行取舍即可． 【小问1详解】 解：（个）； （元）． 答：平均每天可以售出30个模型，此时每天获利1050元； 【小问2详解】 设每个模型应降价元， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 又每个模型盈利不超过25元， ． 答：每个模型应降价20元． 23. 如图,△ABC中,AB=AC=10厘米,BC=12厘米,D是BC的中点,点P从B出发,以a厘米/秒(a>0)的速度沿BA匀速向点A运动，点Q同时以1厘米/秒的速度从D出发，沿DB匀速向点B运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设它们的运动时间为t秒． (1)若a=，t=2,求证：△ABC∽△PBQ（2）若a=2，那么t为何值时，以 B、P、Q为顶点的三角形与△ABD相似?说明理由． 【答案】 （1）当t=2时，BP=；BQ= ∴= 又∵∠B=∠B ∴△ABC∽△PBQ (2)当时，BP=2t，DQ=t ∵D是BC中点，BC=12 ∴BD=DC=6 ∴BQ=6-t 当△BPQ∽△BDA时， 则有： ∵BP=2t，BD=6,BQ=6-t,BA=10 ∴ 解得 当△BQP∽△BDA时， 则有 ∵BP=2t，BD=6,BQ=6-t,BA=10 ∴ 解得 ∴当时，s或s时，△BQP与△BDA相似 【解析】 【分析】（1）根据题意将PB于BQ的长分别计算出来，然后根据以及∠B=∠B证明即可 （2）根据题意，一共有两种相似情况：△BPQ∽△BDA或△BQP∽△BDA，然后利用代数式表达出各自情况下BP、BQ的值，利用三角形相似的性质建立方程计算即可 【详解】略 【点睛】本题主要考查了三角形相似与动点问题，熟练掌握相似的关键定义是解题关键 24. 在一次数学课上，小颖和小慧用两个全等的等腰直角三角板进行探究活动，使的一个顶点落在边上，再绕这个点旋转，与边、分别交于点M、N． （1）如图1，小颖把的直角顶点D放在的中点处，然后绕点D旋转，她发现四边形的面积始终保持不变．若，则四边形的面积为________；（直接写出答案） （2）如图2，小慧把顶点F放在边上任意一点处，然后绕点F旋转，她认为与始终相似．小慧的判断正确吗？如果正确，请给出证明；如果不正确，请说明理由； （3）如图3，小颖把顶点F放在的中点处，然后绕点F旋转，与的延长线交于点N．请探究线段、、的数量关系，并给出证明． 【答案】（1） （2） 正确，理由是： ∵在中，，， ∴． ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴（两角对应相等的两个三角形相似）． （3） ，理由是： ∵在中，，， ∴． ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴（两角对应相等的两个三角形相似） ∴， ∴ 点F放在的中点 ， ∴， 即： 【解析】 【分析】本题是三角形综合题，主要考查等腰直角三角形的性质、全等三角形、相似三角形的判定及性质、外角的性质等知识点，解答本题的关键在于根据图形正确的画出辅助线，利用相关的性质定理求证三角形全等． （1）如图，过点D作于点G，于点H，证明，得四边形的面积和正方形的面积相等，进而可以解决问题． （2）由是等腰直角三角形，可求出，由三角形外角性质可得，可得出，又因为，求得，已知，根据两角对应相等的两个三角形相似可得出． （3）由是等腰直角三角形，可求出，由三角形外角性质可得，可得出，又因为，求得，已知，根据两角对应相等的两个三角形相似可得出，则对应边成比例，即，由点F放在的中点， 可得，变形即可得出答案． 【小问1详解】 解：如图，过点D作于点G，于点H， ． 在中，， 四边形是矩形． 点D放在的中点处，，， 是的垂直平分线． 四边形是正方形． ． ， ， ． ， ． ，， ． 点D放在的中点处，， 点G，H是的中点． 是的中位线． ． ，，， ． 正方形的面积为∶ 四边形的面积为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年度第一学期期中试题九年级数学试题 一、选择题：每题3分，共30分。在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确的选项选出来．每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均计零分． 1. 如果（a，b均不为0），那么下列比例式中正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列有关特殊平行四边形的性质说法正确的是（ ） A. 菱形的对角线相等 B. 矩形的对角线互相垂直 C. 菱形的四个角相等 D. 正方形的对角线互相垂直平分且相等 3. 某校组织社团活动，小明和小刚从“数学社团”、“航模社团”、“文艺社团”三个社团中，随机选择一个社团参加活动，两人恰好选择同一个社团的概率是（　　） A. B. C. D. 4. 滕州一中要举办元旦文艺会演，当主持人站在舞台的黄金分割点处时最自然得体．如图，若舞台的长为，为的一个黄金分割点（），则的长为（结果精确到）（ ） A. B. C. D. 5. 如图是某景区大门部分建筑，已知，，当时，则的长是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，矩形中，，在轴上．且点的横坐标为，若以点为圆心，对角线的长为半径作弧交轴的正半轴于，则点的坐标为（　　） A. B. C. D. 7. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．我校为响应全民阅读活动，打造书香校园，在校园里建立了图书角。据统计，八（10）班第一周阅读128人次，阅读人次每周增加，到第三周累计阅读608人次，若阅读人次的周平均增长率为x可得方程（ ） A. 128(1+x)=608 B. 128(1+x）2=608 C. 128(1+x)+128(1+x)2=608 D. 128+128(1+x)+128(1+x)2=608 8. 定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“负一”方程，已知是“负一”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，∽，：：，其中，的长为（    ） A. B. C. D. 10. 如图1，动点P从菱形的点A出发，沿边匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，的长为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到中点时，的长为（　　） A. 2 B. 3 C. D. 二、填空题：每题3分，共18分，将答案填在题的横线上． 11. 若，则______． 12. 若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为________． 13. 近年来，红荷湿地环境保护效果显著，候鸟种群越来越多．为了解湿地某区域的A种候鸟的情况，从中捕捉40只，戴上识别卡并放回；经过一段时间后观察发现，120只A种候鸟中有5只佩有识别卡，由此估计该区域约有________只A种候鸟． 14. 《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，是用“矩”测量一个信号塔高度的示意图，点，，在同一水平线上，和均为直角，与交于点，测得，，，则信号塔的高度为________． 15. 如图，在中，是上一点，连接，，是的中点，连接并延长交于点，则的值为________． 16. 如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以点O为位似中心的位似图形，且位似比为，点，，在x轴上，延长交射线于点，以为边作正方形；延长交射线于点，以为边作正方形，．按照这样的规律继续作下去，若，则的面积为________． 三、解答题：共8小题，满分72，解答应写出文字说明，说理过程或演算步骤． 17. 用适当方法解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 18. 已知一元二次方程有两个根分别为，． （1）求的取值范围； （2）若原方程的两个根，满足，求的值． 19. 我国大力发展职业教育，促进劳动力就业．某职业教育培训中心开设：A（旅游管理）、B（信息技术）、C（酒店管理）、D（汽车维修）四个专业，对某中学有参加培训意向的学生进行随机抽样调查，每个被调查的学生必须从这四个专业中选择一个且只能选择一个，该培训中心将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图 根据图中信息解答下列问题： （1）本次被调查的学生有 人；扇统计图中A（旅游管理）专业所对应的圆心角的度数为 ； （2）请补全条形统计图，若该中学有300名学生有培训意向，请估计该中学选择“信息技术”专业意向的学生有 人； （3）从选择D（汽车维修）专业的甲、乙、丙、丁四名同学中随机抽取两人去某汽车维修店观摩学习．请用列表法或画树状图的方法求出恰好抽到甲、丙两名同学的概率． 20. 如图，菱形的对角线、相交于点O，，，与交于点F． （1）求证：四边形为矩形； （2）若，，求菱形的面积． 21. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． （1）以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出的一个位似，使它与的相似比为； （2）将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后的，判断与，能否是关于某一点M为位似中心的位似图形？若是，请在图中画出位似中心M，并写出点M的坐标． 22. 2024年4月25日，搭载神舟十八号载人飞船的长征二号F遥十八运载火箭发射成功．某网店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了“中国空间站”模型．已知该模型平均每天可售出20个，每个盈利40元．为了扩大销售，该网店准备适当降价，经过一段时间测算，每个模型每降低1元，平均每天可以多售出2个． （1）若每个模型降价5元，平均每天可以售出多少个模型？此时每天获利多少元？ （2）在每个模型盈利不超过25元的前提下，要使“中国空间站”模型每天获利1200元，每个模型应降价多少元？ 23. 如图,△ABC中,AB=AC=10厘米,BC=12厘米,D是BC的中点,点P从B出发,以a厘米/秒(a>0)的速度沿BA匀速向点A运动，点Q同时以1厘米/秒的速度从D出发，沿DB匀速向点B运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设它们的运动时间为t秒． (1)若a=，t=2,求证：△ABC∽△PBQ（2）若a=2，那么t为何值时，以 B、P、Q为顶点的三角形与△ABD相似?说明理由． 24. 在一次数学课上，小颖和小慧用两个全等的等腰直角三角板进行探究活动，使的一个顶点落在边上，再绕这个点旋转，与边、分别交于点M、N． （1）如图1，小颖把的直角顶点D放在的中点处，然后绕点D旋转，她发现四边形的面积始终保持不变．若，则四边形的面积为________；（直接写出答案） （2）如图2，小慧把顶点F放在边上任意一点处，然后绕点F旋转，她认为与始终相似．小慧的判断正确吗？如果正确，请给出证明；如果不正确，请说明理由； （3）如图3，小颖把顶点F放在的中点处，然后绕点F旋转，与的延长线交于点N．请探究线段、、的数量关系，并给出证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $