北京市第十三中学2026～2027学年第一学期高三数学期中测试

北京市第十三中学2026~2027学年第一学期 高三数学期中测试 2026.11 本试卷分第I卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，第1卷第1页至第2页：第· 卷第2页至第6页，答题纸第1页至第8页.共150分，考试时间120分钟，请在答题纸上 侧密封线内书写班级、姓名、准考证号.考试结束后，将本试卷的答题纸交回， 第I卷（选择题共40分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） (1)已知集合A-{xx+1≤0}，B={:-2≤x<1},则AUB=() A、{x<I)B.{-2≤x<1} C.{xx2-2}B.{-2≤x≤-1 (2)在等比数列{an}中，a2=8,a=-1,则a,=() A B.吉 c.- 4 D. (3)已知向量a,b满足i=(5,,a=2(2eR),且a.b=1,则2=( ) A B C.2 D.4 (4)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,抛物线C上一点P到点F的距离为3，则点P到 原点的距离为() A.3 B.2 C.2W5 D.2√2 (5)直线1：y=-1与圆E:x2+y2-4x=0交于A,B两点，若圆上存在点C,使得△ABC 为等腰三角形，则点C的坐标可以为() A.(0,0) B.(4,0) c.(4,3 AD.(2,2) (6)《天工开物》是我国明代科学家宋应星所著的一部综合性科学技术著作，书中记载了 一种制造瓦片的方法某校高一年级计划实践这种方法，为同学们准备 了制瓦用的粘土和圆柱形的木质圆桶，圆桶底面外圆的直径为20cm, 高为20cm.首先，在圆桶的外侧面均匀包上一层厚度为2cm的粘土，然 后，沿圆桶母线方向将粘土层分割成四等份（如图)，等粘土干后，即 可得到大小相同的四片瓦，每位同学制作四片瓦，全年级共500人.需 片瓦 分割线 高三数学第1页（共6页） 要准备的粘土量（不计损耗)与下列哪个数字最接近.（参考数据：元=3.14）（) A.0.8m B.1.4m C.1.8m3 1D,2.2m (7)已知函数/(x)=sim2x+4) 则“a=文+km(keZ）是“(x+a)是偶函数，且 8 f(x-)是奇函数”的() A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D,既不充分也不必要条件 公)已知圆心为C的图(r+2+0-4=16与双线层普-若-1(6>0)交于A B两点，且CA⊥CB,则双曲线E的渐近线方程为（) A.y= x B.y=士x C.y=2x D.y=+2x 2 (9)已知向量a,c满足a=v2,同=1(a,）=牙，(c-a)(c-列=0，则的最大值是 ( A.√2-1 B.5+1 c.5-1 D.√2+1 2 2 (10)己知函数f(x)=e+x-m的零点内x,函数g(x)+lnx*x-m的零点为x2,其中 m>1,则立的取值范围是（) X A.(0,1) c. D.[e,+co) 第Ⅱ卷（非选择题 共110分) 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） (11)1og1 2+42 (12)已知双曲线C:x2+my-m=0的焦距为23，则m=；渐近线方程 为 高三数学 第2页（共6页） (13)灯彩承载着人们祈福迎样的美好愿望，是我国传统民俗文化的重要组成部分。元宵 节前，某校开展“巧手制灯彩，薪火传非遗”主题活动，同学们将传统灯彩工艺与几何造 型相结合，用竹条搭建骨架、彩纸装饰灯面。如图，该花灯的主体骨架可抽象为三棱锥 (A-BCD),其中两个灯面(AABC)与(AABD)均为边长为2的 等边三角形，且所在平面互相垂直。制作时，需要沿(CD)安装 根竹条，不计连接处的损耗，则这根竹条的长度为 (14)设函数f(x)= 1-x2,xe[-1,] 当a=0时，f(x)的最大值为； 若f(x) 2x-ad-2,xe(1,3]1 无最大值，则实数a的一个取值为一 （15)已知正方体ABCD-AB,C,D,的棱长为2，P是正方体表面上一动点，且 PA=2PA,记点P形成的轨迹为T,给出下列四个命题： ①VP、Q∈r,P2⊥AA； D ②3P、Q∈T2,PQ∥AA; B, ③T的长度是8； ④I2的长度是8m+V3元 93 其中真命题的个数是 三、解答题（本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） (16)(本小题13分)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,BC=三AD, AB⊥AD,AD//BC,PA=AB=2,E为棱PD的中点. (①求证：EC∥乎面PAB; ()当PC=3时，求直线PC与平面BCE所成角的正弦值 高三数学第3页（共6页 (17)(本小题15分)在△ABC中，内角A.B.C的对边分别为O,b,c,已知aABC不是直角 三角形，且角1为锐角，0=7，sin2B=5 cosB· D求角A: 四再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得AABC有两个， 求这两个△ABC中AB边的中线CM的长 条件0：c=8:条件@：c0sB=条件@：s如C-4y5 注：如果选择的条件不符合要求，第（2)问得0分： 如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分 (18)(本小题13分)某品牌汽车计划推出两款新型车，纯电动(EV)和插混电动版 (PEV),为了解某市将来市场情况，在该市潜在消费群体中抽取200人进行购买意愿调 查，调查数据按收入水平分组如下表（单位：人） 低收入群体（收入<20 中收入群体（收入20万 高收入群体（收 车型 万元/年) 元-50万元/年) >50万元/年) 愿意 不愿意 愿意 不愿意 愿意 ?不愿意 EV 50 20 40 40 30 20 PHEV 25 45 40 40 35 15 假设所有潜在消费者的购买意愿都是相互独立，用频率估计概率， (①在该市汽车潜在消费者中随机抽取1人，估计其愿意购买纯电动(EV)的概率P; 四从该市潜在消费者的中收入群体中随机抽取2人，在高收入群体中随机抽取1人，记 X为3人中愿意购买纯电动(E)汽车的人数，求X的分布列和数学期望； ⑩若该市C社区中汽车潜在消费者低收入群体、中收入群体、高收入群体的人数之比为 1:4:2,从该社区随机抽取1人，其愿意购买纯电动EV)汽车的概率设为P4,试比较p和 P,的大小.（结论不要求证明） 高三数学第4页（共6页） 《19)(本小题15分)已知椭圆G:方+八 +京=1(a>b>0)的-个顶点为4(-2,0)，腐心率 彩 (①)求椭圆G的方程； 四过椭圆右焦点F的直线1与椭圆G交于C,D两点（C,D不是椭圆的顶点)，l与直线 x=2交于点E,直线AC,AD分别与直线OE交于点M,N.设O为原点，求证： IOM=JON. (20)(本小题15分)已知函数f(x)定义域为(-1，+o),f'(x)=x血(x+1)+1.曲线 E:y=f(x)在x=0处的切线为1：y=c+b. (I)设g(x)=f(x),求g(x)的最小值； (IⅡ)证明：曲线E与直线1有且仅有一个公共点： (I)设t∈(0,1)，记直线x=1与曲线E、直线1分别交于点A,B,直线x=-t与曲线 E、直线I分别交于点C,D.比较AB与CD的大小关系，并说明理由 (21)（本小题14分)若有穷数列A:4,a2,…,an(n>4)满足： a,+an+1-,=c(c∈R,i=1,2,…,n),则称此数列具有性质P。. (I)若数列A:-2,42,4,2,6具有性质P,求a2,4,c的值； (Ⅱ)设数列A具有性质，且a<a2<…<an,n为奇数，当a,a,>0(1≤i,j≤n)时，存 在正整数k,使得a,-a,=ak,求证：数列A为等差数列； (III)把具有性质L.,且满足|lak+ak=m(k∈N,k≤，m为常数)的数列A构成的 集合记作Tc(n,m).求出所有的n,使得对任意给定的m,c,当数列A∈T(n,m)时，数列A 中一定有相同的两项，即存在a,=a,(i≠j,1≤i,j≤n). 高三数学第5页（共6页）