精品解析：北京市第三中学2026-2027学年高三上学期期中数学试卷

北京三中2026—2027学年度第一学期学业测试 高一年级数学学科期中试卷 2026.11 试卷满分：150分 考试时间：120分钟 一、选择题共15小题，每小题4分，共60分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合，，则集合等于（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【详解】因为集合，， 所以或. 2. 已知命题：，，那么是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定方法求命题的否定即可得解. 【详解】由题可得是，. 故选：B 3. 已知实数x，y满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式性质求解. 【详解】，，又， 所以，即. 故选：C. 4. 如果，那么下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由，得，，. 选项A，由两边同除以，不等号方向不变，得，即； 两边同乘，不等号反向，得，即，故A正确； 选项B，由上面已推出，即，与矛盾，故B错误； 选项C，作差，因，，故， 得，与矛盾，故C错误； 选项D，作差，因， ，故，得，与矛盾，故D错误. 5. 下列各组中的函数与相等的是（ ） A. ， B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用函数的定义判断即可. 【详解】A．的定义域为， 的定义域为，定义域不同，不是同一函数； B．的定义域为，的定义域为，不是同一函数； C．和的定义域和对应法则都相同，为同一函数； D．定义域为，的定义域为，定义域不同，不是同一函数． 故选：C． 6. 不等式的解集为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】C 【解析】 【详解】不等式，可化为， 所以，解得， 所以原不等式的解集为. 7. 函数的一个零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】函数在上连续，满足零点存在定理的应用条件，依次计算各区间端点的函数值： ，，，，； 对于A，，A错误； 对于B，，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，，D正确. 8. 函数在上为减函数，且，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】函数在上为减函数，且， 则，解得， 所以实数的取值范围是． 9. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意得，函数的定义域为， 又，故为奇函数，图象关于原点对称，排除A、C； ，故在和上单调递增，B排除. 10. 若偶函数在上单调递减，则，，的大小关系是 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据为偶函数可得，再根据函数的单调性比较大小即可. 【详解】因为为偶函数，所以， 又，且函数在上单调递减， 所以，即. 故选：A 11. 设，则“”是“，恒成立”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次不等式恒成立问题求得，再利用包含关系判断充分、必要条件. 【详解】若，恒成立， 当时，则，符合题意； 当时，则，解得， 综上所述：，即“，恒成立”等价于“”， 因为集合是集合的真子集， 所以“”是“，恒成立”的充分不必要条件. 故选：A. 12. 已知集合，，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】解一元二次不等式化简集合，再根据对集合分“空集”与“非空集”分类列式求解. 【详解】由得，解得， 则集合， ①当时，满足，此时有，解得； ②当时，则有，解得， 此时若满足，则需满足区间端点条件， 解得，即， 这与前提矛盾，故此情况无解. 综上所述实数的取值范围是. 13. 设是定义在上的奇函数，且．若在上单调递减，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性和函数的单调性求解即可. 【详解】由题意可知的解集是 的解集是． 因为不等式等价于不等式组或 所以不等式的解集是． 故选：B. 14. 已知函数是上的增函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分段函数在上单调递增，每段上单调递增，且须左段函数值不超过右段函数值，联立取交集. 【详解】分段函数在上单调递增，须同时满足三个条件， 当时，，对称轴为， 要使在上单调递增，，解得， 当时，在上单调递增，， 在分段点处，须左段函数值不超过右段函数值，故，解得， 综上得. 15. 某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况． 加油时间 加油量（升） 加油时的累计里程（千米） 年月日 年月日 注：“累计里程“指汽车从出厂开始累计行驶的路程 在这段时间内，该车每千米平均耗油量为（ ） A. 升 B. 升 C. 升 D. 升 【答案】B 【解析】 【详解】因为第一次邮箱加满，所以第二次的加油量即为该段时间内的耗油量，故耗油量升. 而这段时间内行驶的里程数千米. 所以这段时间内，该车每100千米平均耗油量为升，故选B. 考点：平均变化率. 二、填空题共10小题，每小题4分，共40分. 16. 函数的定义域是________. 【答案】且 【解析】 【分析】根据分明不为零以及偶次根式下被开方数非负列不等式求解. 【详解】由题意，要使函数有意义，则， 解得，且； 故函数的定义域为：且. 故答案为：且. 【点睛】本题考查函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题. 17. 设 ，则当=_______时，取得最小值，最小值为_______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用基本不等式计算可得. 【详解】，，当且仅当，即时，取等号， 所以当时，取得最小值，最小值为. 故答案为：，. 18. 若函数为偶函数，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据偶函数的定义，由恒成立可求出，再求. 【详解】因为函数为偶函数， 所以恒成立，即恒成立， 所以恒成立，所以， 所以，所以. 19. 已知，，若，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【详解】由，，得，， 由，得， 则，解得或（舍）， 所以的值为. 20. 函数，则__________；若，则__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【详解】由，所以． 当，令，解得，符合题意； 当，令，解得，不符合题意． 综上，若，则． 21. 已知为上的增函数，且其部分图象如图所示，那么的解集是__________． 【答案】 【解析】 【详解】因是增函数，且，，将函数的部分上翻，交轴， 由图象可知：的解集为. 22. 已知函数满足，则______，______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【详解】由，得； . 23. 已知函数是定义在上的奇函数,当时,,则当时,的解析式为___________,不等式的解集为___________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【详解】当时，，时， 函数是定义在上的奇函数， ， 故， 当时，，则， 整理得：，解得，则 当时，，整理得：， 解得或，则 当时，，不成立， 综上得：不等式的解集为. 24. 已知存在，使得成立，则的取值范围是____． 【答案】 【解析】 【详解】令，. 则，其为开口向上，对称轴的二次函数； 函数在上单调递减，则. 存在，使得成立， ，即，解得. 的取值范围是. 25. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一.函数，称为狄利克雷函数，则关于，给出下列四个结论： ①的值域为； ②； ③； ④任意一个非零有理数，对任意恒成立. 其中所有正确结论的序号是_______. 【答案】②③④ 【解析】 【分析】根据所给函数，结合函数的性质等，逐一分析①②③④，即可得答案. 【详解】对于①：由题意得取值为0或1，即值域为，故①错误； 对于②：因为，，为有理数，所以，故②正确； 对于③：当x为有理数时，也都是有理数，所以， 则， 当x为无理数时，也都是无理数，所以， 则，所以，故③正确； 对于④：当x为有理数时，T为非零有理数，则为有理数， 所以，，则， 当x为无理数时，则为无理数， 所以，则， 所以对任意恒成立，故④正确. 故答案为：②③④ 三、解答题共4小题，共50分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 26. 已知集合，. （1）求，； （2）求，. 【答案】（1）， （2），或. 【解析】 【分析】（1）根据集合的交集，并集运算求解； （2）根据集合的交并补运算求解. 【小问1详解】 因为，， 所以，. 【小问2详解】 由题，可得或，， ，或. 27. 已知函数. （1）判断函数的奇偶性并证明； （2）判断函数在区间上的单调性，并利用定义证明； （3）解不等式. 【答案】（1） 为奇函数，证明如下： 函数的定义域为，定义域关于原点对称， 又， 所以为奇函数. （2） 在上的单调递增，证明如下： 任取，，且， 则 ， 因为，所以，， 所以，即，即在上单调递增. （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇偶性的定义判断即可； （2）任取，，且，用作差法判断，的大小，即可证结论； （3）结合函数的单调性，将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为在上单调递增，又，， 所以不等式，即，即， 即，又恒成立， 所以，即，解得， 所以不等式的解集为. 28. 某企业采用新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为吨，最多为吨，月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似的表示为，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为元. （1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ （2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？ 【答案】（1）该单位每月处理量为吨时，每吨的平均处理成本最低 （2）该单位每月不能获利，国家至少需要补贴元才能使该单位不亏损 【解析】 【分析】（1）每月每吨的平均处理成本为，利用基本不等式求解即得最低成本； （2）写出该单位每月的获利关于的函数，整理并利用二次函数的单调性求出最值即可作答. 【小问1详解】 由题意可知：， 每吨二氧化碳的平均处理成本为： ， 当且仅当，即时，等号成立， ∴该单位每月处理量为吨时，每吨的平均处理成本最低； 【小问2详解】 该单位每月的获利： ， 因，函数在区间上单调递减， 从而得当时，函数取得最大值，， 所以，该单位每月不能获利，国家至少需要补贴元才能使该单位不亏损. 29. 已知关于的不等式的解集为． （1）求实数，的值； （2）当时，求关于的不等式的解集； （3）若对任意的实数，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2） 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. （3） 【解析】 【分析】（1）分析可知的两根为和2，且，代入运算求解； （2）整理可得，再分、、三种情况讨论，分别求出不等式的解集； （3）分析可得，换元令，结合二次函数最值分析求解. 【小问1详解】 因为关于的不等式的解集为， 所以关于的方程的两根为和2，且， 所以，解得：． 【小问2详解】 由（1）知可化为， 即， 又，则不等式可化为， 当，即时，解得，即的解集为； 当，即时，解得，即的解集为； 当，即时，解得，即的解集为； 综上可得：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【小问3详解】 若对任意的实数，恒成立， 由（1）可化为， 即，对任意恒成立， 令，则，可得对任意的恒成立， 令，， 因为，对称轴为，可知在内单调递增， 所以当时，，可得， 所以实数的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京三中2026—2027学年度第一学期学业测试 高一年级数学学科期中试卷 2026.11 试卷满分：150分 考试时间：120分钟 一、选择题共15小题，每小题4分，共60分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合，，则集合等于（ ） A. B. C. 或 D. 或 2. 已知命题：，，那么是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知实数x，y满足，，则（ ） A. B. C. D. 4. 如果，那么下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列各组中的函数与相等的是（ ） A. ， B. C. D. 6. 不等式的解集为（ ） A. B. 或 C. D. 或 7. 函数的一个零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 8. 函数在上为减函数，且，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 10. 若偶函数在上单调递减，则，，的大小关系是 （ ） A. B. C. D. 11. 设，则“”是“，恒成立”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 12. 已知集合，，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 或 13. 设是定义在上的奇函数，且．若在上单调递减，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 14. 已知函数是上的增函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 15. 某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况． 加油时间 加油量（升） 加油时的累计里程（千米） 年月日 年月日 注：“累计里程“指汽车从出厂开始累计行驶的路程 在这段时间内，该车每千米平均耗油量为（ ） A. 升 B. 升 C. 升 D. 升 二、填空题共10小题，每小题4分，共40分. 16. 函数的定义域是________. 17. 设 ，则当=_______时，取得最小值，最小值为_______． 18. 若函数为偶函数，则__________． 19. 已知，，若，则的值为__________． 20. 函数，则__________；若，则__________． 21. 已知为上的增函数，且其部分图象如图所示，那么的解集是__________． 22. 已知函数满足，则______，______． 23. 已知函数是定义在上的奇函数,当时,,则当时,的解析式为___________,不等式的解集为___________. 24. 已知存在，使得成立，则的取值范围是____． 25. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一.函数，称为狄利克雷函数，则关于，给出下列四个结论： ①的值域为； ②； ③； ④任意一个非零有理数，对任意恒成立. 其中所有正确结论的序号是_______. 三、解答题共4小题，共50分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 26. 已知集合，. （1）求，； （2）求，. 27. 已知函数. （1）判断函数的奇偶性并证明； （2）判断函数在区间上的单调性，并利用定义证明； （3）解不等式. 28. 某企业采用新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为吨，最多为吨，月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似的表示为，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为元. （1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ （2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？ 29. 已知关于的不等式的解集为． （1）求实数，的值； （2）当时，求关于的不等式的解集； （3）若对任意的实数，恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $