精品解析：重庆市求精中学校2026-2027学年九年级上学期期中考试数学试卷

2026年九年级上册第二阶段数学考试题 一、单选题（每题4分，共40分） 1. 下列选项所示的图案中，可以看作由某个“基本图案”绕某个点旋转得到的是（ ） A.    B. C. D. 2. 已知是方程的一个根，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 3. 用配方法解方程配方正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 将抛物线 向左平移 2 个单位长度，再向下平移 3 个单位长度，所得抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 5. 反比例函数的图象如图所示，轴，若的面积为4，则k的值为（ ） A. 8 B. C. D. 6. 如图，是的直径，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 下列5个说法中：①直径是弦；②平分弦的直径垂直于弦；③长度相等的两条弧是等弧；④优弧一定大于劣弧；⑤圆既是轴对称图形又是中心对称图形．正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. 在平面直角坐标系中，菱形如图所示，，点D在线段的垂直平分线上．若菱形绕点O逆时针旋转，旋转速度为每秒，则第时点D对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 如图是二次函数的图象，直线与抛物线交于，两点，，两点横坐标分别为，，根据函数图象信息有下列结论：①；②；③；④若对于的任意值都有，则；⑤当为定值时，若变大，则线段变长．其中正确的结论是（ ） A. ①②④ B. ①② C. ①④ D. ②④ 10. 已知整式A：，其中和n为自然数，，，…，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的所有整式A中有且只有2个单项式； ②当时，满足条件的所有整式A的和为； ③满足条件的所有二次三项式中，当x取任意实数时，其值一定是非负数的整式A共5个．其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（每题4分，共24分） 11. 请写一个以“”和“5”为根的一元二次方程___________________ ． 12. 关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是________． 13. 如图，分别是函数①，②，③的图象，比较，，的大小，________（用“”连接）． 14. 已知和两点在反比例函数的图象上，若，则的取值范围是_____． 15. 如图，在正八边形内部以相邻两边作平行四边形，，连接交于点，则为______；阴影部分面积与空白部分面积之比为______． 16. 如图1，在中，，点D在上，．动点P在的边上沿方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形．设点P的运动时间为t秒，正方形的面积为S．当点P由点B运动到点A时，如图2，S是关于t的二次函数．则①当时，________；②________． 三、解答题（17，18题各8分，19，20，21，22，23，24，25每题各10分，本大题共86分） 17. 用适当的方法解下列方程 （1） （2） 18. 综合与实践 在学习了菱形的判定方法后，某数学学习小组利用尺规作图进行了拓展性探究． 【动手操作】如图，在平行四边形中，．用尺规完成基本作图：作出对角线的垂直平分线，交于点，交于点，交于点，连接、． 【问题提出】他们猜想：四边形是菱形． 【问题解决】任务： （1）请你按照要求完成作图（保留作图痕迹，不写作法）； （2）请你完成猜想的证明过程． 19. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于两点，与轴交于点，已知点，点的横坐标为． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）观察图象，直接写出当时，自变量的取值范围； （3）若点是轴上的一点，且，求出点坐标． 20. 如图，是的直径，弦于点E，F为延长线上一点，且与相切，连接，． （1）求证：平分； （2）若，求劣弧的长度（结果保留）． 21. 问题解决 素材1 某景区春日赏花专线正月初一的客运收入为5万元，随着花期进入盛期，游客量激增，正月初三的客运收入达到7.2万元． 素材2 为承接赏花客流，景区旁的特色餐饮店推出“花田春味”套餐．已知该套餐的食材成本为20元/份，当定价为50元/份时，平均每天可售出40份；调研发现，售价每降低2元，平均每天就能多售出8份．若该店计划下调售价，使平均每天的销售利润达到1200元． （1）求从正月初一到正月初三该景区春日赏花专线客运收入的日平均增长率． （2）根据素材2，为尽可能多地售空“花田春味”套餐库存，求下调后每份套餐的售价． 22. 综合与实践 如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？ 素材 图中有一座拱桥，图是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽，拱顶离水面．据调查，该河段水位在此基础上再涨达到最高． 素材 为迎佳节，拟在图桥洞前面的桥拱上悬挂长的灯笼，如图．为了安全，灯笼底部距离水面不小于；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布． 问题解决 （1）确定桥拱形状：在图中建立合适的平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式． （2）探究悬挂范围：在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围． 23. 如图，在中，，，．动点从点出发以每秒1个单位的速度沿运动，同时，动点以相同的速度从点出发沿射线运动．设运动时间为秒（），的面积为，且． （1）请直接写出，分别关于的函数表达式，并分别写出自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并结合函数图象，直接写出当时，的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，两点，与轴交于点，连接，． （1）求抛物线解析式； （2）如图，点是直线上方且为抛物线对称轴左侧的抛物线上一动点，过点作轴，交直线于点，作轴，交抛物线于点，点为轴上一个动点，点为轴上动点，当的最大值时，求的最小值． （3）将原抛物线沿射线向上平移个单位，再向右平移个单位得到新抛物线，新抛物线的对称轴与轴交于点，新抛物线上是否存在点，使得．若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 25. 在中，D是所在平面内一点，连接． （1）如图1，若点D在边上，平分，，，求的度数； （2）如图2，若点D在边上，，，将线段绕点A顺时针旋转得到AE，连接交边于点F．求证：； （3）如图3，若，，M是的中点，N是的中点，将沿所在直线翻折到，连接，在上取一点Q，使得，连接，，请直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年九年级上册第二阶段数学考试题 一、单选题（每题4分，共40分） 1. 下列选项所示的图案中，可以看作由某个“基本图案”绕某个点旋转得到的是（ ） A.    B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】观察各选项图形，判断是否存在一个基本图案绕某点旋转一定角度后能与自身重合即可． 【详解】解：A. 该图形可以看作由一个菱形绕中心旋转，后得到，符合题意； B、C、D均不能由某个基本图案绕某点旋转得到，不符合题意． 2. 已知是方程的一个根，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】将已知根代入原方程，得到关于m的方程，求解即可． 【详解】解：将代入，得，解得． 3. 用配方法解方程配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据配方法解方程的基本步骤求解即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 4. 将抛物线 向左平移 2 个单位长度，再向下平移 3 个单位长度，所得抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：由题意，平移后的解析式为． 5. 反比例函数的图象如图所示，轴，若的面积为4，则k的值为（ ） A. 8 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，根据轴，可得与的面积相等，可推出，解得：，再根据反比例函数的图象在第二象限，可得，从而得到答案． 【详解】解：连接， 轴， 与的面积相等． 即． ， ∵反比例函数的图象在第二象限， ． 6. 如图，是的直径，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆周角定理和直角三角形的两个锐角互余求解即可． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵，， ∴． 7. 下列5个说法中：①直径是弦；②平分弦的直径垂直于弦；③长度相等的两条弧是等弧；④优弧一定大于劣弧；⑤圆既是轴对称图形又是中心对称图形．正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【详解】解：①直径是过圆心的弦，正确； ②当被平分的弦为直径时，平分弦的直径不一定垂直于弦，错误； ③④等弧的定义、优弧与劣弧的大小比较均需以同圆或等圆为前提，仅长度相等的弧不一定是等弧，优弧也不一定大于劣弧，均错误； ⑤圆的对称轴为任意过圆心的直线，对称中心为圆心，既是轴对称图形又是中心对称图形，正确. 综上，正确的说法共2个. 8. 在平面直角坐标系中，菱形如图所示，，点D在线段的垂直平分线上．若菱形绕点O逆时针旋转，旋转速度为每秒，则第时点D对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形的性质和垂直平分线的性质，可以得到点D的坐标，根据旋转的性质，可以得到点D的对应点第2028秒在第三象限且与点D关于原点对称，即可写出点D对应点的坐标． 【详解】解：如图，连接， 点在线段的垂直平分线上， ， 在菱形中，， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， 点的坐标为， 菱形绕点逆时针旋转，旋转速度为每秒， 菱形绕点每秒旋转一周， ，， 第2028秒时点的对应点在第三象限，与点关于原点对称， 此时点的对应点的坐标为． 9. 如图是二次函数的图象，直线与抛物线交于，两点，，两点横坐标分别为，，根据函数图象信息有下列结论：①；②；③；④若对于的任意值都有，则；⑤当为定值时，若变大，则线段变长．其中正确的结论是（ ） A. ①②④ B. ①② C. ①④ D. ②④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数图像的开口方向、对称轴、增减性、与坐标轴的交点以及图像所经过的点逐项判断即可； 【详解】解：∵该二次函数图像开口向上，对称轴在轴右侧，与轴交于负半轴； ∴，，， ∴；①正确； ∵该二次函数图像经过点，， ∴该二次函数的对称轴为直线， ∴ 解得：；②正确， ∵， ∴， 由图像可知：， ∴， 即：；③错误； ∵对于的任意值都有， ∴该抛物线与轴负半轴的交点的临界点为，此时抛物线开口最小，最大； ∵该二次函数的对称轴为直线， ∴，即：， ∵二次函数图像经过点， ∴， ∴该二次函数的表达式可化为：， 将代入得： 解得：，此时最大， ∴；④错误； ∵当变大时，抛物线的开口变小， ∴线段变短；⑤错误， 综上，正确的有①②． 10. 已知整式A：，其中和n为自然数，，，…，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的所有整式A中有且只有2个单项式； ②当时，满足条件的所有整式A的和为； ③满足条件的所有二次三项式中，当x取任意实数时，其值一定是非负数的整式A共5个．其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】①可通过分析单项式条件判断； ②通过时列出所有符合的整式，然后计算它们的和即可验证； ③通过时列出所有的二次三项式，然后根据其开口方向，和判别式判断非负性即可． 【详解】解：①∵单项式为只有一项的整式，当时，为常数单项式，代入条件得，即，得单项式； 当时，均为正整数，故一次项到次项共项均存在，若为单项式，则需且，代入条件得，即，得单项式； 当时，项数，不可能为单项式，∴满足条件的单项式共2个，①正确． ②当时，由条件得，即， ∵， ∴， 当时，，此时，对应整式为； 当时，，此时三个正整数和为4，即一个为2、其余为1，对应整式为、、；将所有整式相加，得常数项和为，项系数和为，项系数和为，项系数和为，即总和为，②正确． ③∵二次三项式满足且有3项，又，故需，代入条件得，即，其中， 二次函数的图象开口向上，对任意实数值非负等价于，枚举所有正整数解： 当时，，解为，其中，，，故前2组符合； 当时，，解为，其中，，故2组都符合； 当时，，解为，，符合； 当时，，与矛盾，无解； 综上，符合条件的整式共个，③正确． 二、填空题（每题4分，共24分） 11. 请写一个以“”和“5”为根的一元二次方程___________________ ． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】利用根与系数的关系，先计算两根之和与两根之积，再构造一元二次方程． 【详解】解：∵方程两根为和 ∴两根之和为，两根之积为， ∴所求一元二次方程可以为． 12. 关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴，且， 解得：且． 13. 如图，分别是函数①，②，③的图象，比较，，的大小，________（用“”连接）． 【答案】 【解析】 【分析】当时函数值分别等于二次项系数，根据图象，比较各对应点纵坐标的大小． 【详解】解：如图， 因为直线与三条抛物线的交点从上到下依次为，，， 所以． 14. 已知和两点在反比例函数的图象上，若，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】首先判断出反比例函数在第一象限中y随x的增大而减小，然后根据得到，进而求解即可． 【详解】解：∵反比例函数中 ∴反比例函数在第一象限中y随x的增大而减小 ∵， ∴ ∴． 15. 如图，在正八边形内部以相邻两边作平行四边形，，连接交于点，则为______；阴影部分面积与空白部分面积之比为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】过点作于点，连接，，过点作于点，设正八边形的边长为，则，证明四边形为菱形，进而表示出菱形的面积以及空白部分的面积，再结合图形求得八边形的面积，得出阴影部分的面积，再求比值，即可． 【详解】解：∵正八边形的每一个内角为， ∴， ∵在平行四边形和中， ∴， ∴， ； 如解图，过点作于点，连接，，过点作于点， 设正八边形的边长为，则，由正八边形的性质可得，， 四边形为平行四边形， ， ， 平行四边形为菱形， ， ， ， 空白部分的面积为， ， 设， 则， ， ， ， ， ， 正八边形的面积为， 阴影部分的面积为， 阴影部分面积与空白部分面积之比为． 16. 如图1，在中，，点D在上，．动点P在的边上沿方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形．设点P的运动时间为t秒，正方形的面积为S．当点P由点B运动到点A时，如图2，S是关于t的二次函数．则①当时，________；②________． 【答案】 ①. 3 ②. 11 【解析】 【分析】先由函数图象可得当点运动到点时，，由此求出，当时，点的运动路程为1，即此时点在上，求出，再利用勾股定理求出，最后根据正方形面积公式求出，当点在上时，由图2可知，对应的二次函数的顶点坐标为，可设关于的函数解析式为，利用待定系数法求出，当时，． 【详解】解：由函数图象可得当点运动到点时，，， ∵， ， ∴, ∴， 当时，，此时点在上， ∴， ∴； 当点在上时， 由图可知，对应的二次函数的顶点坐标为， ∴设， 把代入，得, 解得，， ∴， 当时， ， 即． 三、解答题（17，18题各8分，19，20，21，22，23，24，25每题各10分，本大题共86分） 17. 用适当的方法解下列方程 （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）观察方程结构，选择因式分解法求解． （2）将方程右侧变形为含的因式，移项后提取公因式，选择因式分解法求解． 【小问1详解】 解：对于方程． 因式分解得． 可得或． 解得，． 【小问2详解】 解：对于方程． 将方程右侧变形为， 得． 移项得． 提取公因式得． 可得或． 解得，． 18. 综合与实践 在学习了菱形的判定方法后，某数学学习小组利用尺规作图进行了拓展性探究． 【动手操作】如图，在平行四边形中，．用尺规完成基本作图：作出对角线的垂直平分线，交于点，交于点，交于点，连接、． 【问题提出】他们猜想：四边形是菱形． 【问题解决】任务： （1）请你按照要求完成作图（保留作图痕迹，不写作法）； （2）请你完成猜想的证明过程． 【答案】（1） （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 由作图知，，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】（1）按线段垂直平分线的尺规作图方法完成即可； （2）证明，根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形即可证明． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 证明：略． 19. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于两点，与轴交于点，已知点，点的横坐标为． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）观察图象，直接写出当时，自变量的取值范围； （3）若点是轴上的一点，且，求出点坐标． 【答案】（1）， （2）和 （3）或 【解析】 【分析】（1）用待定系数法分别计算两个函数的解析式即可； （2）先求出点的坐标，再结合图象找出一次函数的图象在反比例函数的图象的上面的部分即可； （3）求出点的坐标，设点的坐标为，然后把三角形的面积用含的代数式表示出来，列出方程解答即可． 【小问1详解】 解：反比例函数 的图象经过点， ， ， ， 反比例函数 的图象经过点，点的横坐标为， ， 的坐标为， 把点、点代入得： ， 解得：， ． 【小问2详解】 解：点、点， 观察图象可知一次函数在反比例函数上方的部分为：和． 自变量的取值范围是和． 【小问3详解】 解：如图， 在中，令得， 点的坐标为， 设点的坐标为， 则， ， ， 整理得：， 解得：或， 点的坐标为或． 20. 如图，是的直径，弦于点E，F为延长线上一点，且与相切，连接，． （1）求证：平分； （2）若，求劣弧的长度（结果保留）． 【答案】（1）证明：如图，连接， 与相切， ， 即， ， ，是直径， ， ， ， ， 即平分； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据切线的性质得到，即，根据直角三角形的性质得到，求得，等量代换得到，根据角平分线的定义得到平分； （2）连接，证明为等边三角形，即可求得，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接， ， ， ， ， ， ， 为等边三角形， ，， ， ， ， 劣弧的长度为． 21. 问题解决 素材1 某景区春日赏花专线正月初一的客运收入为5万元，随着花期进入盛期，游客量激增，正月初三的客运收入达到7.2万元． 素材2 为承接赏花客流，景区旁的特色餐饮店推出“花田春味”套餐．已知该套餐的食材成本为20元/份，当定价为50元/份时，平均每天可售出40份；调研发现，售价每降低2元，平均每天就能多售出8份．若该店计划下调售价，使平均每天的销售利润达到1200元． （1）求从正月初一到正月初三该景区春日赏花专线客运收入的日平均增长率． （2）根据素材2，为尽可能多地售空“花田春味”套餐库存，求下调后每份套餐的售价． 【答案】（1）日平均增长率为． （2）下调后每份套餐的售价为元． 【解析】 【分析】（1）利用连续两次增长的收入等量关系列一元二次方程求解． （2）根据总利润的计算公式列方程，结合“下调售价、尽可能多售库存”的要求选取对应解． 【小问1详解】 解：设从正月初一到正月初三客运收入的日平均增长率为． ∵正月初一收入为万元，正月初三收入为万元 ∴ 解得，(不符合题意，舍去) 答：日平均增长率为． 【小问2详解】 设下调后每份套餐的售价为元． ∵食材成本为元/份，原定价元/份时每天售份，售价每降低元多售份 ∴每份利润为元，每天销售量为份 ∵每天销售利润达到元 ∴ 整理得 解得， ∵计划下调售价，且要尽可能多地售空库存(售价越低，销售量越大) ∴ 答：下调后每份套餐的售价为元． 22. 综合与实践 如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？ 素材 图中有一座拱桥，图是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽，拱顶离水面．据调查，该河段水位在此基础上再涨达到最高． 素材 为迎佳节，拟在图桥洞前面的桥拱上悬挂长的灯笼，如图．为了安全，灯笼底部距离水面不小于；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布． 问题解决 （1）确定桥拱形状：在图中建立合适的平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式． （2）探究悬挂范围：在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围． 【答案】（1）直角坐标系见详解， （2）， 【解析】 【分析】（1）以拱顶为原点建立平面直角坐标系，这样抛物线的顶点就是，已知水面宽，拱顶离水面，那么抛物线过点，据此求解即可； （2）分析安全条件，该河段水位再涨达到最高，灯笼底部距离水面不小于，灯笼长，分析悬挂点的纵坐标需满足的条件即可． 【小问1详解】 解：以拱顶为原点，建立如图1所示的平面直角坐标系，则顶点为，且过点， 设抛物线的解析式为：，把点代入得：， ∴， ∴抛物线的函数表达式为：； 【小问2详解】 解：∵该河段水位再涨达到最高，灯笼底部距离水面不小于，灯笼长， ∴当悬挂点的纵坐标， 即悬挂点的纵坐标的最小值是， 当时，， ∴， ∴悬挂点的横坐标的取值范围是：． 23. 如图，在中，，，．动点从点出发以每秒1个单位的速度沿运动，同时，动点以相同的速度从点出发沿射线运动．设运动时间为秒（），的面积为，且． （1）请直接写出，分别关于的函数表达式，并分别写出自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并结合函数图象，直接写出当时，的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 【答案】（1）， （2）解：函数，的图象如图所示： ， 由图可知，当时，或. 【解析】 【分析】（1）分点在上和点在上两种情况求出，根据，求出即可； （2）描点，连线，画出函数图象，根据图象确定不等式的解集即可. 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， ∴， ∵动点从点出发以每秒1个单位的速度沿运动， ∴点运动到点所用时间为秒， 当点在上时，即，， ∴， ∴； 当点在上时，即，则， ∴， ∴； 综上：； 由题意，， ∴； 【小问2详解】 略 24. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，两点，与轴交于点，连接，． （1）求抛物线解析式； （2）如图，点是直线上方且为抛物线对称轴左侧的抛物线上一动点，过点作轴，交直线于点，作轴，交抛物线于点，点为轴上一个动点，点为轴上动点，当的最大值时，求的最小值． （3）将原抛物线沿射线向上平移个单位，再向右平移个单位得到新抛物线，新抛物线的对称轴与轴交于点，新抛物线上是否存在点，使得．若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在点，使得，点的坐标为，． 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）先求出直线的解析式为，设， 则，进而用表示、，进而可得，根据二次函数的性质可确定当的最大值时点的坐标；作点关于轴的对称点，作点关于轴的对称点，连接，根据对称的性质结合两点之间线段最短可得的最小值即为的长，即可得解； （3）先求平移后的函数解析式，根据同角的余角相等可得，推出， 设，过点作轴交于，推出为等腰直角三角形，得到，分两种情况讨论：当点在轴上方时，当点在轴下方时，根据列方程求解即可． 【小问1详解】 解：将点，代入抛物线， 得，解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：当时，， ∴， 设直线的解析式为， 将点代入得，， 解得， ∴直线的解析式为， 设， 则， ∴， ∵， ∴抛物线的对称轴为，点、是关于对称轴为的对称， 由图可知：点在对称轴左侧时，更大， ∴， ∴， ∴， ∴当时，取最大值，最大值为，此时； 如图，作点关于轴的对称点，作点关于轴的对称点，连接， 则， 由对称可知，，， ∴， ∴的最小值为． 【小问3详解】 解：， ∵将原抛物线沿射线向上平移个单位，再向右平移个单位得到新抛物线， ∴新抛物线， ∴新抛物线的对称轴与轴交于点， ∵，， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 设，过点作轴交于， 则为等腰直角三角形， ∴， 当点在轴上方时，， 解得（不合题意，故舍去），， ∴； 当点在轴下方时，， 解得（不合题意，故舍去），， ∴； 综上，存在点，使得，点的坐标为，． 25. 在中，D是所在平面内一点，连接． （1）如图1，若点D在边上，平分，，，求的度数； （2）如图2，若点D在边上，，，将线段绕点A顺时针旋转得到AE，连接交边于点F．求证：； （3）如图3，若，，M是的中点，N是的中点，将沿所在直线翻折到，连接，在上取一点Q，使得，连接，，请直接写出的最小值． 【答案】（1） （2）证明：，， 是等边三角形， ，，由旋转得，，， 又是的外角， ， ， 如图，过点作交于点， 则， ， 又， ，在和中，， ， ，， ， ，在和中，， ， ， ，， ，整理得； （3） 【解析】 【分析】（1）本题考查三角形内角和定理以及角平分线的性质，解题思路是先根据角平分线的性质和已知的角度比例关系求出的度数，再利用三角形内角和定理求出的度数． （2）本题考查全等三角形的判定与性质以及线段的等量关系证明，解题思路是通过旋转构造全等三角形，将、、转化到相关线段中进行证明． （3）本题考查利用旋转和三角形三边关系求线段和的最小值，解题思路是通过构造相似三角形，将转化为一条线段，再根据两点之间线段最短求解． 【小问1详解】 解：平分， ， ，， 设，， 在中，， 即， 解得， 又， ； 【小问2详解】 证明过程见答案． 【小问3详解】 取的中点，连接，， ∵， ∴为的中点， 由沿翻折到，可得，， 又∵是的中点，是的中点， ∴，， ∴，且相似比为， ∴，， 则， 当，，三点共线时，的值最小， ∵，，是的中点， ∴，，， 可求得的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $