广东汕头市潮阳实验学校2026-2027学年度第一学期期中考试九年级数学

2026-2027 学年度第一学期期中考试 九年级数学 一、单选题（每题 3 分，共 30 分） 1. 下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）. 【答案】C 【解析】中心对称要求绕某点旋转 180° 后与自身重合，轴对称要求沿某条直线翻折后重合。A 项风车由三个半圆组成，旋转 120° 才重合，不是中心对称，也不是轴对称；B 项五瓣花只有对称轴，绕中心转 180° 后花瓣方向相反，不是中心对称；C 项由四个菱形交叉组成，既有两条对称轴，绕中心转 180° 也能重合，两者都满足；D 项“阶梯形”（两个相对的 L 形）绕中心转 180° 可重合，但没有对称轴，只是中心对称图形。故选 C。 2. 将一元二次方程 7x²-1=-3x 化为一般形式后，则二次项系数和一次项系数分别是（　　） A. 7，3 B. 7，-3 C. -7，3 D. 7x²，3x 【答案】A 【解析】移项得 7x²+3x-1=0，一般形式 ax²+bx+c=0 中 a=7 是二次项系数，b=3 是一次项系数（含符号），故选 A。易错点：移项不变号会把 b 写成 -3（B 项）；D 项把“系数”与“项”混淆，7x² 与 3x 是项而不是系数。 3. 抛物线 y=3(x+2)²+1 的顶点坐标是（　　） A. (2,1) B. (2,-1) C. (-2,1) D. (-2,-1) 【答案】C 【解析】顶点式 y=a(x-h)²+k 的顶点是 (h,k)，此处 h=-2、k=1，故顶点为 (-2,1)，选 C。注意括号内是 x+2 即 x-(-2)，横坐标取相反数 -2，不能直接写 2（A、B 项即在此处出错）。 4. 若反比例函数 y=(m+3)/x 的图象在第一、第三象限内，则 m 的取值范围是（　　） A. m≠-3 B. m<-3 C. m>-3 D. 任意实数 【答案】C 【解析】y=k/x 的图象位于第一、三象限 ⟺ k>0；位于第二、四象限 ⟺ k<0。故 m+3>0，即 m>-3，选 C。A 项只保证函数存在（分母不为 0）；B 项是图象位于第二、四象限时的条件，方向弄反。 5. 将抛物线 y=x² 向左平移两个单位，再向上平移一个单位，可得到抛物线（　　） A. y=(x-2)²+1 B. y=(x-2)²-1 C. y=(x+2)²+1 D. y=(x+2)²-1 【答案】C 【解析】平移口诀“左加右减（对 x）、上加下减（对常数）”：向左 2 个单位得 y=(x+2)²，再向上 1 个单位得 y=(x+2)²+1，选 C。A 项是向右平移的错解，B、D 项把向上平移写成了向下。 6. 已知点 P(2,3)，那么点 P 关于原点的对称点的坐标是（　　） A. (-3,-2) B. (-2,-3) C. (2,-3) D. (-2,3) 【答案】B 【解析】关于原点对称，横、纵坐标都变为相反数：(x,y)→(-x,-y)，故 P(2,3) 的对称点为 (-2,-3)，选 B。A 项是坐标互换后再取相反数（对应关于直线 y=x 的某种变换），C 项是只变纵坐标（关于 x 轴对称），D 项是只变横坐标（关于 y 轴对称）。 7. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流 I（单位：A）与电阻 R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示。下列说法正确的是（　　） A. 函数解析式为 I=13/R B. 蓄电池的电压是 18V C. 当 I≤10A 时，R≥3.6Ω D. 当 R=6Ω 时，I=4A 【答案】C 【解析】图象过点 (4,9)，故 k=IR=4×9=36，解析式为 I=36/R（A 项错）。由欧姆定律 U=IR，电压 U=k=36V（B 项错）。当 I≤10 时，36/R≤10，R≥3.6（Ω），C 正确。当 R=6 时 I=36/6=6A（D 项错）。故选 C。 8. 如图，将 △ABC 绕点 A 顺时针旋转一定的角度得到 △AB′C′，此时点 B′ 恰在边 AC 上，若 AB=2，AC′=5，则 B′C 的长为（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】旋转前后对应线段相等：AB′=AB=2，AC′=AC=5。因 B′ 恰在边 AC 上，且 A、B′、C 依次共线，∴B′C=AC-AB′=5-2=3，选 B。 9. 有一个人患了感冒，经过两轮传染后总共传染了 64 人，按照这样的传染速度，经过三轮后患了感冒人数为（　　） A. 596 B. 428 C. 512 D. 604 【答案】C 【解析】设每人每轮传染 x 人（“总共传染”含最初 1 人），则 (1+x)²=64，1+x=8，x=7。第三轮新增 64×7=448 人，三轮后总人数 64+448=512，选 C。若把 64 当成“新增”而用 64×7+64 之外的解法，易误得 596（A 项）。 10. 如图 1，在菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，动点 P 从点 A 出发沿着 AB 运动至点 B，再沿 BC 运动至点 C，设点 P 的运动路程为 x，OP²=y，y 关于 x 的函数图象如图 2，其中点 M 为图象的最低点，点 N 为两段曲线的公共点，则点 N 的纵坐标为（　　） A. 52/9 B. 2√13/3 C. 13/3 D. 5 【答案】D 【解析】设 OA=p，OB=q，菱形边长 a，则 p²+q²=a²。以 O 为原点、AC 为 x 轴建立坐标系，A(-p,0)、C(p,0)、B(0,-q)： ①P 在 AB 上，AP=t，则 OP²=p²-2p²t/a+t²；②P 在 BC 上，BP=s，则 OP²=q²-2q²s/a+s²。 由图 2 起点 (0,4) 得 p²=4，即 OA=2；两段曲线在 x=a 处相接，公共点 N 的横坐标为 a，图中标注为 3，∴a=AB=3，于是 q²=a²-p²=9-4=5。 点 N 对应 P 运动到 B 的情形，纵坐标 y=OB²=q²=5。故选 D。（另：两段曲线的最低点均在 y=p²q²/a²=20/9 处，故 M 为两处同高的最低点，与图中两个等深“谷底”一致。） 二、填空题（每题 3 分，共 15 分） 11. 已知 x₁，x₂ 是一元二次方程 x²-5x-6=0 的两个根，则 x₁·x₂=________ ________________ 【答案】-6 【解析】由根与系数的关系，x₁x₂=c/a=(-6)/1=-6。可检验：x²-5x-6=(x-6)(x+1)，两根 6 与 -1，积为 -6 ✓。注意别与 x₁+x₂=5 混淆。 12. 已知 A(-4，y₁)，B(-1，y₂)，C(2，y₃) 三点都在二次函数 y=a(x+2)²+c（a>0）的图象上，则 y₁，y₂，y₃ 的大小关系为________ __________________ 【答案】y₂<y₁<y₃ 【解析】抛物线开口向上，对称轴为直线 x=-2，点离对称轴越远函数值越大。三点到对称轴的距离分别为 |-4+2|=2、|-1+2|=1、|2+2|=4，即 1<2<4，故 y₂<y₁<y₃。 13. 如图，将 △AOB 绕点 O 逆时针旋转 60° 后得到 △COD，若∠AOB=20°，则∠AOD 的度数是________ ______________ 【答案】80° 【解析】旋转角∠AOC=∠BOD=60°。∠AOD=∠AOB+∠BOD=20°+60°=80°（OA 在 OB 的顺时针一侧 20°，OD 在 OB 的逆时针一侧 60°，两者之间的夹角相加）。 14. 用公式法解一元二次方程，得：x=[-5±√(5²-4×3×1)]/(2×3)，则该一元二次方程是________ ________________ 【答案】3x²+5x+1=0 【解析】对照求根公式 x=[-b±√(b²-4ac)]/(2a)：2a=2×3 → a=3；-b=-5 → b=5；b²-4ac 中 c=1。故方程为 3x²+5x+1=0。 15. 如图，在平面直角坐标系中，B(12,4)，C(8,0)，四边形 OABC 是平行四边形，过点 A 作反比例函数 y=k/x（x>0）图象交 BC 于点 D，连结 OD，则 △OCD 的面积是________ ________________ 【答案】16√2-16 【解析】①平行四边形中 OA 与 CB 平行且相等：OA 向量 = B-C = (4,4)，故 A(4,4)，k=4×4=16，y=16/x。 ②直线 BC 过 C(8,0)、B(12,4)，斜率 1，方程为 y=x-8。与 y=16/x 联立：x-8=16/x → x²-8x-16=0 → x=4+4√2（取 x>4 的交点），故 y_D=4√2-4。 ③S△OCD=½·OC·y_D=½×8×(4√2-4)=16√2-16。 三、解答题（每题 8 分，共 24 分） 16. 解方程：x²-7x+3=0 ____ 【答案】x₁=(7+√37)/2，x₂=(7-√37)/2 【解析】a=1，b=-7，c=3，Δ=(-7)²-4×1×3=49-12=37>0， ∴x=[7±√37]/2，即 x₁=(7+√37)/2，x₂=(7-√37)/2。 （因 Δ 不是完全平方数，不能用因式分解法，须用公式法；约 6.54 与 0.46。） 17. 如图，在 △ABC 中，∠C=90°，∠ABC=50°。将 △ABC 绕点 B 按逆时针方向旋转得 △DBE，使点 C 落在 AB 边上，点 A 的对应点为点 D，点 C 的对应点为点 E，连接 AD，求∠ADE 的度数。 ____ 【答案】∠ADE=25° 【解析】①因点 C 旋转后落在 AB 上，∴旋转角∠CBE=∠ABC=50°，对应地∠ABD=50°，且 BD=BA。 ②△ABD 中 BA=BD，顶角∠ABD=50°，∴∠BDA=(180°-50°)÷2=65°。 ③旋转保持角的大小，∴∠BDE=∠BAC=90°-50°=40°（∠DEB=∠ACB=90°）。 ④射线 DE 位于∠BDA 的内部（E 在 AB 上、D 在 AB 上方），∴∠ADE=∠BDA-∠BDE=65°-40°=25°。 18. 如图，已知 △ABC 的三个顶点的坐标分别为 A(1,1)，B(4,3)，C(2,4)。 (1) 画出 △ABC 关于原点 O 对称的 △A₁B₁C₁； (2) 若四边形 ABCD 是平行四边形，直接写出点 D 的坐标________。 【答案】(1) A₁(-1,-1)，B₁(-4,-3)，C₁(-2,-4)，依次连接即得 △A₁B₁C₁（与 △ABC 关于原点中心对称，对应点连线均过原点且被原点平分）。 (2) D(-1,2)。 【解析】(1) 关于原点对称：横、纵坐标都取相反数。作图时应先描出三个对称点再连线，并保留作图痕迹。 (2) 平行四边形 ABCD 中，AC 与 BD 是对角线且互相平分，由中点公式：D=A+C-B=(1+2-4, 1+4-3)=(-1,2)。也可由 AD∥BC、AD=BC 得 D=A+(C-B)=(-1,2) ✓。 四、解答题（每题 9 分，共 27 分） 19. 已知关于 x 的方程 x²-kx+k-1=0。 (1) 求证：无论 k 为何值，方程总有两个实数根； (2) 若等腰三角形 ABC 的一边长为 2，另两边长为这个方程的两个根，求 k 的值。 ___ 【答案】(1) 证明见解析。(2) k=3。 【解析】(1) Δ=(-k)²-4×1×(k-1)=k²-4k+4=(k-2)²≥0，对任意实数 k 恒成立，∴方程总有两个实数根（当 k=2 时两根相等）。 (2) 由 x²-kx+k-1=0 得 (x-1)(x-k+1)=0，两根为 x₁=1，x₂=k-1。 等腰三角形的三边为 2、1、k-1，需同时满足“有两边相等”与“三角形不等式”： ①若 1=k-1，即 k=2，三边为 2、1、1，但 1+1=2，不能构成三角形，舍去； ②若 2=k-1，即 k=3，三边为 2、1、2，满足 1+2>2，可以构成等腰三角形； ③若 2=1，不成立。综上 k=3。 （判别式大于 0 时两根为 1 与 k-1，这一点是解题关键；若只写“有两根相等”而不检验三角形不等式，会误得 k=2。） 20. 如图是某矩形停车场的平面示意图，从“入口”至“出口”均是车道，停车场的长为 36 米，宽为 21 米，停车场内的车道宽度都相等，若停车位的占地总面积为 450 平方米，求车道的宽度。 ____ 【答案】车道的宽度为 6 米。 【解析】设车道宽 x 米。停车场内有一条纵向车道与一条横向车道（交叉处只计一次），把车位分成四个矩形区域，车位占地相当于“长、宽各减去一条车道宽”后的矩形： (36-x)(21-x)=450 756-57x+x²=450，即 x²-57x+306=0， Δ=57²-4×306=3249-1224=2025=45²，∴x=(57±45)/2，得 x₁=6，x₂=51。 因车道宽须小于停车场宽 21 米，故 x=51 不合题意，舍去。∴车道的宽度为 6 米。 检验：车位长 36-6=30、宽 21-6=15，面积 30×15=450（平方米）✓。 21. 数学活动课上，同学们对三角形点阵中前 n 行的点数计算进行探究活动：如图 1 是一个三角形点阵，从上到下有无穷行，其中第一行有 1 个点，第 2 行有 2 个点……第 n 行有 n 个点…… 【发现问题】在探究的过程中，容易发现 10 是三角形点阵前 4 行的点数和，但遇到较大的点数，逐个数行数很繁琐。 【提出问题】前多少行的点数和是 120？ 【分析问题】数形结合是解决数学问题的重要思想。下表分别从数和形两个角度探究前 n 行的点数和。 从数的角度看 从形的角度看 通过具体的数字，想到了一种计算方法——倒序相加法。例如：求前 10 行的点数和， S=1+2+3+…+10 ①， 由①式倒序：S=10+9+…+2+1 ②。 ①+②，得： 2S=(10+1)+(9+2)+…+(10+1)=11×10=110。 所以 S=55，即前 10 行的点数和为 55 个。 利用图形的特征进行计算。如图 2，将一个正立的三角点阵倒立，再与正立的原图形的三角点阵拼成一个平行四边形点阵，三角形点阵点数和为平行四边形点阵数量的一半。 【解决问题】 (1) 请根据材料，类比“从数的角度看”的计算方法，求出前 n 行的点数和。 (2) 前________行的点数和是 120。 【拓展应用】 (3) 如果把图 1 中的三角点阵中各行的点数依次换为 2，4，6，…，2n，…，你能探究出前 n 行的点数之和的规律吗？请说明理由。 ____ 【答案】(1) 前 n 行的点数和为 n(n+1)/2。(2) 15。(3) 前 n 行的点数之和为 n(n+1)，理由见解析。 【解析】(1) 设 S=1+2+3+…+n ①，倒序得 S=n+(n-1)+…+2+1 ②。①+② 得 2S=(n+1)+(n+1)+…+(n+1)，共 n 个 n+1，∴2S=n(n+1)，S=n(n+1)/2。 (2) 令 n(n+1)/2=120，即 n²+n-240=0，(n-15)(n+16)=0，n=15（n 为正整数，n=-16 舍去）。故前 15 行的点数和是 120（1+2+…+15=15×16/2=120 ✓）。 (3) 第 k 行有 2k 个点，前 n 行点数之和为 2+4+6+…+2n=2(1+2+3+…+n)=2×n(n+1)/2=n(n+1)。 也可由图形解释：每行点数都变为原来的 2 倍，拼成的平行四边形点阵中每行点数为 2(n+1)、共 n 行，故 S=½·n·2(n+1)=n(n+1)（检验 n=1 时 2 ✓，n=3 时 2+4+6=12=3×4 ✓）。 五、解答题（每题 12 分，共 24 分） 22. 如图 1，四边形 ABCD 为正方形，点 A 在 y 轴上，点 B 在 x 轴上，且 OA=6，OB=3，反比例函数 y=k/x（k≠0）在第一象限的图象经过正方形的顶点 C。 (1) 点 C 的坐标为________，反比例函数的表达式为________； (2) 如图 2，将正方形 ABCD 绕 B 点顺时针旋转 90° 得到正方形 A′B′C′D′，点 A′ 恰好落在反比例函数的图象上，求点 D′ 的坐标； (3) 在(2)的条件下，点 P 为 x 轴上一动点，Q 在直线 y=3 上使以点 O、A′、P、Q 为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点 Q 的坐标以及菱形的最大面积，若不存在，请说明理由。 ____ 【答案】(1) C(9,3)，y=27/x。 (2) D′(12,-3)。 (3) 存在，点 Q 的坐标为 (4,3) 或 (9+3√10,3) 或 (9-3√10,3)；菱形的最大面积为 9√10。 【解析】(1) A(0,6)，B(3,0)，向量 AB=(3,-6)。正方形的 BC 由 AB 绕 B 逆时针（即逆旋 90°）得到：BC=(6,3)，∴C(3+6,0+3)=(9,3)，D=A+BC=(6,9)。 k=9×3=27，∴y=27/x。 (2) 绕 B(3,0) 顺时针旋转 90°：(x,y)→(x_B+(y-y_B), y_B-(x-x_B))。 A(0,6)：A-B=(-3,6)→(6,3)，A′=(9,3)，确在 y=27/x 上（27/9=3 ✓，与 C 重合，因正方形旋转 90° 后 A 落到 C 处）； D(6,9)：D-B=(3,9)→(9,-3)，D′=(12,-3)。 (3) A′(9,3)，Q 在 y=3 上，故 A′Q 是水平线段。设 P(p,0)，Q(q,3)： ①以 A′Q、PO 为一组对边（A′Q∥PO 且相等）：p=q-9 且 |q-9|=OA′=√(81+9)=3√10，∴q=9±3√10，此时菱形边长 3√10，面积=底×高=3√10×3=9√10； ②以 OA′、PQ 为一组对边（OA′∥PQ 且相等）：P=Q-(A′-O)=(q-9,3)，需纵坐标为 0，不成立； ③以 OA′、PQ 为对角线（互相垂直平分）：OA′ 中点 (4.5,1.5)，PQ 中点 ((p+q)/2,1.5) → p+q=9；又 (9,3)·(q-p,3)=0 → q-p=-1，解得 P(5,0)、Q(4,3)，此时四边形边长 5、面积 ½·3√10·√10=15。 综上，Q(4,3)（面积 15）、Q(9+3√10,3)、Q(9-3√10,3)（面积均为 9√10≈28.46），最大面积为 9√10。 23. 点 D 是等边 △ABC 内一点，点 E 是边 AC 的中点，∠ADC=120°，连接 BD、CD、DE。 (1) 如图 1，若将 △ADC 绕点 C 逆时针 60° 得 △BCT（T 与 D 对应），连接 DT， ① 直接写出∠BTD=________°； ② 证明：BD=2DE； (2) 如图 2，若 AB=4，直接写出 BD+(√3/2)CD+(1/2)DE 的最小值________。 ____ 【答案】(1) ① ∠BTD=60°。② 证明见解析。(2) 最小值为 √21。 【解析】(1) ①等边 △ABC 中 CA=CB、∠ACB=60°，∴△ADC 绕 C 逆时针 60° 后 A 落到 B，即 △BCT≌△ACD，BT=AD，CT=CD，∠BTC=∠ADC=120°。 又 CT=CD 且 ∠DCT=60°，∴△DCT 是等边三角形，∠CTD=60°，DT=CD。 射线 TD 位于∠BTC 内部，∴∠BTD=∠BTC-∠CTD=120°-60°=60°。 ②在 △BDT 中，由余弦定理：BD²=BT²+DT²-2·BT·DT·cos60°=AD²+CD²-AD·CD。 在 △ADC 中，∠ADC=120°，AC²=AD²+CD²-2·AD·CD·cos120°=AD²+CD²+AD·CD。 DE 是 △ADC 中 AC 边上的中线，由中线公式：DE²=(AD²+CD²)/2-AC²/4=(AD²+CD²)/2-(AD²+CD²+AD·CD)/4=(AD²+CD²-AD·CD)/4。 ∴BD²=4DE²，BD=2DE。 (2) 由②BD=2DE，即 DE=BD/2，∴原式=BD+(√3/2)CD+BD/4=(5/4)BD+(√3/2)CD。 D 在使∠ADC=120° 的圆弧上（AB=4，等边三角形边长 4，OA 型坐标 A(0,2√3)、B(-2,0)、C(2,0)、E(1,√3)），对该式求最小：取 D 在 AC 的张角 120° 的弧上逐点计算，(5/4)BD+(√3/2)CD 的最小值为 √21（此时 D≈(0.57,0.50)，可验证 BD=2DE 恒成立，最小值约 4.58）。 （构造思路：把 DE 用 BD 代换后，作以 C 为中心、比 √3/2 的位似旋转，把 (√3/2)CD 转化为到定点距离，再用“两点之间线段最短”求最小值，结果为 √21。） 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度第一学期期中考试 九年级数学 一、单选题（每题3分，共30分） 1．下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 2．将一元二次方程化为一般形式后，则二次项系数和一次项系数分别是（ ） A．7，3 B．7， C．，3 D．， 3．抛物线的顶点坐标是（ ） A． B． C． D． 4．若反比例函数的图象在第一、第三象限内，则的取值范围是（ ） A． B． C． D．任意实数 5．将抛物线向左平移两个单位，再向上平移一个单位，可得到抛物线（ ） A． B． C． D． 6．已知点，那么点关于原点的对称点的坐标是（ ） A． B． C． D． 7．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：A）与电阻（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．下列说法正确的是（ ） A．函数解析式为 B．蓄电池的电压是 C．当时， D．当时， 8．如图，将绕点顺时针旋转一定的角度得到，此时点恰在边上，若，，则的长为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 9．有一个人患了感冒，经过两轮传染后总共传染了64人，按照这样的传染速度，经过三轮后患了感冒人数为（ ） A．596 B．428 C．512 D．604 10．如图1，在菱形中，对角线，相交于点O，动点P从点A出发沿着运动至点B，再沿运动至点C，设点P的运动路程为x，，y关于x的函数图象，如图2，其中点M为图象的最低点，点N为两段曲线的公共点，则点N的纵坐标为（ ） A． B． C． D．5 二、填空题（每题3分，共15分） 11．已知，是一元二次方程的两个根，则________． 12．已知，，三点都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为________． 13．如图，将绕点O逆时针旋转后得到，若，则的度数是_______． 14．用公式法解一元二次方程，得：，则该一元二次方程是________． 15．如图，在平面直角坐标系中，，，四边形是平行四边形，过点A作反比例函数，图象交于点D，连结，则的面积是__________． 三、解答题（每题8分，共24分） 16．解方程：． 17．如图，在中，，．将绕点B按逆时针方向旋转得，使点C落在边上，点A的对应点为点D，点C的对应点为点E，连接，求的度数． 18．如图，已知的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于原点O对称的； （2）若四边形是平行四边形，直接写出点D的坐标． 四、解答题（每题9分，共27分） 19．已知关于x的方程． （1）求证：无论k为何值，方程总有两个实数根； （2）若等腰三角形的一边长为2，另两边长为这个方程的两个根，求k的值． 20．如图是某矩形停车场的平面示意图，从“入口”至“出口”均是车道，停车场的长为36米，宽为21米，停车场内的车道宽度都相等，若停车位的占地总面积为450平方米，求车道的宽度． 21．数学活动课上，同学们对三角形点阵中前行的点数计算进行探究活动：如图1是一个三角形点阵，从上到下有无数行，其中第一行有1个点，第2行有2个点……第行有个点…… 【发现问题】在探究的过程中，容易发现10是三角形点阵前4行的点数和，但遇到较大的点数，逐个数行数很繁琐． 【提出问题】前多少行的点数和是120？ 【分析问题】数形结合是解决数学问题的重要思想．下表分别从数和形两个角度探究前行的点数和． 从数的角度看 从形的角度看 通过具体的数字，想到了一种计算方法——倒序相加法．例如：求前10行的点数和， ①， 由①式倒序：②． ①②，得： ． 所以，即前10行的点数和为55个． 利用图形的特征进行计算．如图2，将一个正立的三角点阵倒立，再与正立的原图形的三角点阵拼成一个平行四边形点阵，三角形点阵点数和为平行四边形点阵数量的一半． 【解决问题】 （1）请根据材料，类比“从数的角度看”的计算方法，求出前行的点数和． （2）前________行的点数和是120． 【拓展应用】 （3）如果把图1中的三角点阵中各行的点数依次换为2，4，6，…，，…，你能探究出前行的点数之和的规律吗？请说明理由． 五、解答题（每题12分，共24分） 22．如图1，四边形为正方形，点A在y轴上，点B在x轴上，且，，反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点C． （1）点C的坐标为____________，反比例函数的表达式为____________； （2）如图2，将正方形绕B点顺时针旋转得到正方形，点恰好落在反比例函数的图象上，求点的坐标； （3）在（2）的条件下，点P为x轴上一动点，Q在直线上使以点O、、P，Q为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点Q的坐标以及菱形的最大面积，若不存在，请说明理由． 23．点D是等边内一点，点E是边的中点，，连接、、． （1）如图1，若将绕点C逆时针得（T与D对应），连接， ①直接写出________； ②证明：； （2）如图2，若，直接写出的最小值________． 学科网（北京）股份有限公司 $