精品解析：甘肃省庆阳市镇原县部分校 2026-2027 学年第一学期九年级数学期中测试卷

2026—2027学年度第一学期九年级半期教学质量评估 数学 注意事项： 1．本试卷共120分．考试时间120分钟． 2．请将各题答案填在答题卡上． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项． 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A．含有2个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； B．不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； C．符合一元二次方程的定义，符合题意； D．未知数最高次数为1，不是一元二次方程，不符合题意． 2. 对于抛物线在平面直角坐标系中的图象，下列叙述正确的是（ ） A. 与x轴交于一点 B. y随x的增大而增大 C. 顶点是最高点 D. 开口向下 【答案】A 【解析】 【分析】由二次项系数的符号确定开口方向，结合顶点、对称轴、与轴交点情况判断各选项． 【详解】解：对于抛物线， ∵ 二次项系数为， ∴ 抛物线开口向上，D错误； ∵ 抛物线开口向上，顶点坐标为， ∴ 顶点是最低点，C错误； ∵ 抛物线开口向上，对称轴为轴， ∴ 当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大，B错误； 令，得，解得， ∴ 抛物线与轴交于点，即交于一点，A正确． 3. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：原方程为， 移项得， 等式两边同时加上一次项系数一半的平方得， 由完全平方公式整理得． 4. 已知点，都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】把点的坐标代入函数解析式，求出，的值，进行比较即可． 【详解】解：点，在反比例函数的图象上， ，， ， ． 5. 将抛物线 向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 【详解】解：将抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是， 故选：B． 6. 某次冰壶比赛有x支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，则下列方程中符合题意的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：每支队伍需与其余支队伍各赛1场，支队伍累计比赛场次为， ∵单循环比赛每两队仅赛1场，累计场次将每场比赛计算了2次， ∴实际总场数为． ∵总场数为45， ∴． 7. 如图，点P为反比例函数的图象上一点，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为A、B，若矩形的面积为4，则k的值为（ ） A. 4 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的几何意义，读懂图形，理解点在第二象限是解答关键．先利用矩形的面积公式得到，结合点在第二象限来求解． 【详解】解：矩形的面积为4， ． 过点分别向轴、轴作垂线，垂足分别为、，点在第二象限， ． ． 故选：B． 8. 二次函数在范围内的最小值为，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】找出二次函数的对称轴，根据在 的范围内有最小值得出答案． 【详解】解：对配方，得， ∵ 函数图象开口向上，对称轴为直线，且， ∴ 当时，取得最小值， ∵在范围内的最小值为， ∴ ， 解得. 9. 已知一元二次方程有解，则a的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义及根的判别式求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程有解， ， 且， ∴且． 10. 已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③．其中正确的有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】D 【解析】 【分析】根据开口方向，对称轴和与y轴的交点位置可判断①；根据与x轴的交点个数可判断②；求出与x轴的另一个交点在点和点之间，得到当时，，可判断③． 【详解】解：∵抛物线开口向上，与y轴交于负半轴， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故①正确； 由函数图象可知，二次函数与x轴有两个交点， ∴对应的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，故②正确； 由函数图象可知，二次函数与x轴的一个交点在点和点之间， ∴由对称性可知，二次函数与x轴的另一个交点在点和点之间， ∴当时，， ∴，故③正确； 综上所述，正确的有①②③，共3个． 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 函数y＝中，若x＞0，则它的图象位于第　 　象限． 【答案】一 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质：y=，k＞0时，图象位于一三象限，k＜0时，图象位于二四象限，可得答案． 【详解】∵k=3＞0， ∴ 函数图象在第一、三象限， ∵x＞0， ∴函数图象位于第一象限， 故答案为：一 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，利用y=，k＞0时，图象位于一三象限，k＜0时，图象位于二四象限判断是解题关键． 12. 一本800页的《红楼梦》，小明计划每天读m页，n天读完，则m与n之间的函数关系式是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数的应用，根据每天读书的页数乘以读书的天数等于总页数，再变形即可得到答案． 【详解】解：根据题意，得， ∴m与n之间的函数关系式是． 13. 函数图象的对称轴是______． 【答案】 【解析】 【分析】用配方法将抛物线的一般式转化为顶点式，可求出抛物线的对称轴．本题考查了二次函数的解析式与对称轴的关系．用配方法或对称轴公式可求抛物线的对称轴． 【详解】∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 对称轴是：． 故本题答案为：． 14. 若m是方程的一个根，则的值为________． 【答案】2026 【解析】 【分析】根据方程根的定义得到，整体代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴把代入方程得， 整理得， ∴． 15. 某种品牌电动汽车经过连续两次降价，售价由32万降为18万，则平均每次降价的百分率是________． 【答案】 【解析】 【分析】设平均每次降价的百分率为，根据连续降价的数量关系列方程，舍去不符合题意的根即可得到结果． 【详解】解：设平均每次降价的百分率是， 根据题意得， 整理得 ， 解得 ，， 降价百分率不能大于， 舍去， 即平均每次降价的百分率是． 16. 如图，一名男生推实心球，实心球行进高度与水平距离之间的关系是，则他将实心球推出的距离是____m． 【答案】9 【解析】 【分析】求出抛物线与x轴的交点坐标即可进行解答． 【详解】解：当时，， 解得：（舍）， ∴抛物线与x轴正半轴的交点坐标为， 他将实心球推出的距离是． 故答案为：9． 【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的额图象和性质，会求二次函数与x轴的交点坐标． 三、解答题：本大题共6小题，共32分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 用适当的方法解方程 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，将方程左边用十字相乘法因式分解，再用因式分解法求解即可． 【详解】解：， ， ， 解得：． 18. 选择适当的方法解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握因式分解解一元二次方程． 利用因式分解解一元二次方程即可． 【详解】解： ∴或 ∴，． 19. 已知函数的图象如图所示，根据图象可得： （1）抛物线顶点坐标为________． （2）当________时，y随着x的增大而增大． （3）当________时，． （4）关于x的方程的解为________． 【答案】（1） （2） （3） （4）， 【解析】 【小问1详解】 解：∵抛物线与x轴交于点， ∴对称轴为直线， 又∵顶点的纵坐标为2， ∴顶点坐标为； 【小问2详解】 解：∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，y随着x的增大而增大； 【小问3详解】 解：由函数图象可知，当时，； 【小问4详解】 解：∵抛物线与x轴交于点， ∴关于x的方程的解为，． 20. 已知抛物线（为常数），求证：无论为何值，抛物线与轴总有两个公共点． 【答案】 证明：∵， ∴无论为何值，抛物线与轴总有两个公共点． 【解析】 【分析】求得判别式并分解得到平方与正数的和，得到判别式大于0即可证明． 【详解】略． 【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，把抛物线与x轴的交点问题转化为一元二次方程的问题是解题的关键． 21. 已知反比例函数的图象经过点． （1）求函数解析式； （2）判断点是否在该函数图象上． 【答案】（1） （2）点在函数图象上 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）把代入，可得，进一步求解即可. 【小问1详解】 解：把代入， ∴， ∴解析式为. 【小问2详解】 解：当时，， ∴点在图象上. 22. 已知是方程的两个不同的实数根，求下列各式的值． （1）； （2）． 【答案】（1）4 （2）8 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系即可解答； （2）根据一元二次方程根与系数的关系求出，，对所求式子因式分解后代入求值即可． 【小问1详解】 解：∵是方程的两个不同的实数根， ∴． 【小问2详解】 解：∵是方程的两个不同的实数根， ∴，， ∴． 四、解答题：本大题共5小题，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心，水管的长应为多少？ 【答案】 水管的长应为 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，根据抛物线顶点坐标设顶点式解析式，代入落地点坐标求出系数，计算时的函数值即为水管长度． 【详解】解：以池中心为原点，水平向右为轴正方向，竖直向上为轴正方向建立平面直角坐标系 由题意得，抛物线的顶点坐标为，且过点 设抛物线的解析式为（） 将代入解析式，得  解得 ∴抛物线的解析式为（） 当时，    答：水管的长应为． 24. 如图，在宽为，长为的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路，把耕地分成大小相等的六块作试验田，要使试验田面积为，求道路的宽度． 【答案】道路的宽为． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找出题中的等量关系是解本题的关键．耕地的面积矩形耕地的面积三条道路的面积道路重叠部分的两个小正方形的面积．如果设道路宽，可根据此关系列出方程求出的值，然后将不合题意的舍去即可． 【详解】解：设道路宽为， 根据题意，得：， 整理，得：， 解得：，， 经检验，是原方程的解，但，不符合题意，舍去； 答：道路的宽为． 25. 某商店销售一种齐齐哈尔特色手工艺品，进价为每件元，经市场调查发现，售价（元/件）与销售量（件）之间满足一次函数关系． （1）设该商店销售这种手工艺品的利润为元，求与之间的函数解析式； （2）当售价为多少元时，利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）售价元时，利润最大，最大利润元 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，理解题意确定等量关系并据此列出函数解析式是解答本题的关键． （1）根据“每件利润销售量总利润”，列出与之间的函数关系式即可； （2）根据（1）中与之间的函数关系式，然后利用二次函数性质求最值即可． 【小问1详解】 解：根据题意可得：， 将代入，得， 整理得， 故与之间的函数解析式为． 【小问2详解】 解： ， ∵， ∴当时，取最大值，最大值为． 故售价元时，利润最大，最大利润元． 26. 综合与实践：生物生长规律的模型研究． 如图1，砗磲ēú是地球上最大的双壳类动物，某海洋研究院对南海的砗磲样本进行分析，得到某砗磲样本年龄单位：岁与平均日生长速率单位：天的数据如下表： x 0 5 10 15 20 25 y 【模型构建1】如图2，数学小组A在直角坐标系中描出以表中的值为坐标的点，根据图1点的分布情况，猜想其函数图象是过的抛物线，设解析式为 （1）选取两个点，，求抛物线解析式，并直接写出该砗磲样本平均日生长速率最小时的年龄． 【模型构建2】数学小组B观察表格中数据，发现后四组数据中x与y的乘积分别为，，，，猜想当时y与x符合反比例关系，设解析式为 （2）为减少偏差，取，求反比例函数解析式． 【模型应用】研究发现，正常情况下砗磲的平均日生长速率总体随年龄增长持续降低． （3）为求该砗磲样本35岁时的平均日生长速率，请从上述模型中选择恰当的一个，说明选择的理由并计算． 【答案】（1），29岁；（2）；（3）选模型2，该砗磲样本35岁时的平均日生长速率为4天 【解析】 【分析】（1）依据题意，利用待定系数法求二次函数解析式即可； （2）依据题意，求出平均数，然后根据待定系数法求出反比例函数解析式； （3）依据题意，根据函数的性质解答即可． 本题主要考查了二次函数、反比例函数的实际应用，掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）由题意，将，代入， 该砗磲样本平均日生长速率最小时的年龄为29岁． （2）由题意，当，， （3）由模型1可知，当时，y随x的增大而增大，不符合砗磲的生长规律；又由模型2可知，当时，y随x的增大而减小，符合砗磲的生长规律， 选择模型当时， 答：该砗磲样本35岁时的平均日生长速率为天． 27. 如图，已知抛物线的对称轴为，且抛物线经过两点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）在第二象限抛物线上找一点，的面积最大，求出此点的坐标； （3）设点为抛物线的对称轴上的一个动点，求使为直角三角形的点的坐标． 【答案】（1）抛物线的解析式为：； （2）面积最大时点的坐标为； （3）点的坐标为或或或． 【解析】 【分析】本题为二次函数综合题，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，三角形面积，勾股定理，一元二次方程等知识点．第三问，根据直角顶点的不同进行分类讨论是解答的关键． （1）由对称轴公式及、两点的坐标代入直接求解即可； （2）设点的坐标为，连接，然后表示出，然后利用二次函数的性质求解即可． （3）设出点的纵坐标，分别表示出，，三条线段的长度的平方，分三种情况，用勾股定理列出方程求解即可． 【小问1详解】 由题意得：解得： 抛物线的解析为：； 【小问2详解】 设点的坐标为，连接 因为对称轴为， 所以，故 因为，故 ∴当时，的面积最大，此时点的坐标为； 【小问3详解】 设点的坐标为 ，， ①当点为直角顶点时， ，解得： ②当点为直角顶点时， ，解得： ③当点为直角顶点时， 解得：或 或 综上所述，点的坐标为或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年度第一学期九年级半期教学质量评估 数学 注意事项： 1．本试卷共120分．考试时间120分钟． 2．请将各题答案填在答题卡上． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项． 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 对于抛物线在平面直角坐标系中的图象，下列叙述正确的是（ ） A. 与x轴交于一点 B. y随x的增大而增大 C. 顶点是最高点 D. 开口向下 3. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知点，都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 5. 将抛物线 向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（　　） A. B. C. D. 6. 某次冰壶比赛有x支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，则下列方程中符合题意的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，点P为反比例函数的图象上一点，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为A、B，若矩形的面积为4，则k的值为（ ） A. 4 B. C. 2 D. 8. 二次函数在范围内的最小值为，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 9. 已知一元二次方程有解，则a的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 10. 已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③．其中正确的有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 函数y＝中，若x＞0，则它的图象位于第　 　象限． 12. 一本800页的《红楼梦》，小明计划每天读m页，n天读完，则m与n之间的函数关系式是_________． 13. 函数图象的对称轴是______． 14. 若m是方程的一个根，则的值为________． 15. 某种品牌电动汽车经过连续两次降价，售价由32万降为18万，则平均每次降价的百分率是________． 16. 如图，一名男生推实心球，实心球行进高度与水平距离之间的关系是，则他将实心球推出的距离是____m． 三、解答题：本大题共6小题，共32分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 用适当的方法解方程 18. 选择适当的方法解方程：． 19. 已知函数的图象如图所示，根据图象可得： （1）抛物线顶点坐标为________． （2）当________时，y随着x的增大而增大． （3）当________时，． （4）关于x的方程的解为________． 20. 已知抛物线（为常数），求证：无论为何值，抛物线与轴总有两个公共点． 21. 已知反比例函数的图象经过点． （1）求函数解析式； （2）判断点是否在该函数图象上． 22. 已知是方程的两个不同的实数根，求下列各式的值． （1）； （2）． 四、解答题：本大题共5小题，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心，水管的长应为多少？ 24. 如图，在宽为，长为的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路，把耕地分成大小相等的六块作试验田，要使试验田面积为，求道路的宽度． 25. 某商店销售一种齐齐哈尔特色手工艺品，进价为每件元，经市场调查发现，售价（元/件）与销售量（件）之间满足一次函数关系． （1）设该商店销售这种手工艺品的利润为元，求与之间的函数解析式； （2）当售价为多少元时，利润最大？最大利润是多少？ 26. 综合与实践：生物生长规律的模型研究． 如图1，砗磲ēú是地球上最大的双壳类动物，某海洋研究院对南海的砗磲样本进行分析，得到某砗磲样本年龄单位：岁与平均日生长速率单位：天的数据如下表： x 0 5 10 15 20 25 y 【模型构建1】如图2，数学小组A在直角坐标系中描出以表中的值为坐标的点，根据图1点的分布情况，猜想其函数图象是过的抛物线，设解析式为 （1）选取两个点，，求抛物线解析式，并直接写出该砗磲样本平均日生长速率最小时的年龄． 【模型构建2】数学小组B观察表格中数据，发现后四组数据中x与y的乘积分别为，，，，猜想当时y与x符合反比例关系，设解析式为 （2）为减少偏差，取，求反比例函数解析式． 【模型应用】研究发现，正常情况下砗磲的平均日生长速率总体随年龄增长持续降低． （3）为求该砗磲样本35岁时的平均日生长速率，请从上述模型中选择恰当的一个，说明选择的理由并计算． 27. 如图，已知抛物线的对称轴为，且抛物线经过两点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）在第二象限抛物线上找一点，的面积最大，求出此点的坐标； （3）设点为抛物线的对称轴上的一个动点，求使为直角三角形的点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $