精品解析：甘肃古浪县泗水初级中学2026-2027学年第一学期学科素养阶段性诊断九年级数学试卷

WW2026-2027学年度第一学期学科素养阶段性诊断 九年级数学试卷 （本试卷满分120分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项． 1. 将方程化成一元二次方程的一般形式，一次项的系数为（ ） A. B. C. 3 D. 5 【答案】D 【解析】 【详解】解：将方程移项化为一般形式，得，一次项系数为 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：抛物线的顶点坐标是． 3. 用配方法解方程，配方后的方程可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的配方法，熟悉掌握配方的方法是解题的关键．移项后方程两边都加上一次项系数一半的平方即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 4. 已知反比例函数的图象经过点，则k的值为（ ） A. 6 B. C. 12 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的解析式，掌握将反比例函数图象上的点代入解析式可求出的值是解题的关键． 根据反比例函数的定义，将已知点的坐标代入函数解析式，即可求出的值． 【详解】解：已知反比例函数的图象经过点， 将代入解析式可得：． 解得． 故选：D． 5. 在平面直角坐标系中，将抛物线向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线对应的函数表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：将抛物线向右平移3个单位长度，得， 再向上平移2个单位长度，得 6. 如图，把绕点A逆时针旋转得到．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：由旋转的性质可知，． ， ． 7. 若点都在反比例函数的图象上，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将三点横坐标分别代入反比例函数解析式，求出，，的值后比较大小． 【详解】解：将代入，得， 将代入，得， 将代入，得， ∵， ∴． 8. 为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了个充电桩，第三个月新建了个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为，根据题意，列出方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】确定第一个月到第三个月的增长次数为，结合月平均增长率列方程． 【详解】解：∵第一个月新建个充电桩，月平均增长率为， ∴第二个月新建充电桩个数为， ∴第三个月新建充电桩个数为， ∵第三个月新建个充电桩， ∴可列方程为． 9. 已知二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 抛物线的开口向上 B. 抛物线与x轴没有交点 C. 函数的最小值是4 D. 当时，y随x的增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】通过配方得顶点式，结合二次项系数、根的判别式分析各选项． 【详解】解：∵二次项系数为， ∴抛物线开口向下，A错误． 当时，，即， ， ∴抛物线与轴有两个交点，B错误． ∵抛物线开口向下， ∴函数有最大值，无最小值，C错误． ， ∴对称轴为直线， 又∵抛物线开口向下， ∴当时，随的增大而增大，D正确． 10. 如图，是直角三角形，．点从点出发，沿方向以的速度向点运动到达点停止运动）；同时点从点出发，沿方向以的速度向点运动到达点停止运动；当其中一个动点到达终点时，则另一个动点也停止运动，则的最大面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查动点问题中三角形面积的最值求解，解题的关键是用含时间的表达式表示出的底和高，进而得出面积表达式，再根据二次函数性质求最值．先设运动时间为秒，分别表示出、的长度，再根据三角形面积公式得出面积关于的表达式，最后求该表达式的最大值． 【详解】解：点从到运动时间为秒，点从到运动时间为秒， 其中一个动点到达终点，另一个动点也停止运动， ． 已知点速度为，点速度为， 设运动时间为秒，则， ． ， ，且， 当时，有最大值，最大值为． 故选：A． 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 二次函数的对称轴是__________． 【答案】直线 【解析】 【分析】已知二次函数的一般式，可通过配方化为顶点式，或利用对称轴公式计算得到结果． 【详解】解：因为， 因此该二次函数图像的对称轴是直线． 12. 已知是方程的一个根，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据一元二次方程的解，把代入方程得到关于的一次方程，然后解此一次方程即可． 【详解】解：把代入得： ， 解得：， 故答案为：． 13. 已知反比例函数的图象经过第一、三象限，则的值可以是________．（写出一个即可） 【答案】3（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图像和性质，由反比例函数的图象位于第一、三象限，比例系数，根据k的取值范围即可得到结论． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过第一、三象限， ∴， ∴， 故的值可以是3， 故答案为：3． 14. 关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义及根的判别式求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个实数根， ∴且， ∴且． 15. 如图，将绕直角顶点C顺时针旋转，得到，连接，若，，则的长度为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据旋转的性质得到对应角和对应边相等，证明点在上，则可证明是等腰直角三角形，得到，进而得到，再根据勾股定理和含30度角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：由旋转的性质可得， ， ∴点在上， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 16. 廊桥是我国古老的文化遗产，如图是某座抛物线形的廊桥示意图．已知抛物线的函数表达式为，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面高为6米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离是______米． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二次函数在实际生活中的应用，将代入函数解析式求出x的值即可得到答案 【详解】解：当时，则， 解得 ∴(米） 故答案为 三、解答题：本大题共6小题，共32分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 解方程：x（x+5）＝2x+10 【答案】x1＝﹣5，x2＝2． 【解析】 【分析】直接利用提取公因式法分解因式解方程即可． 【详解】解：x（x+5）＝2x+10 x（x+5）﹣2（x+5）＝0， 则（x+5）（x﹣2）＝0， 解得：x1＝﹣5，x2＝2． 【点睛】本题考查了因式分解法解方程，正确分解因式是解题关键． 18. 解方程： 【答案】，. 【解析】 【分析】利用公式法求解即可. 【详解】， ，. 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 19. 已知是一元二次方程的两个实数根，且，求m的值． 【答案】 的值为 【解析】 【分析】利用根与系数的关系将已知条件转化为关于的方程，求解即可． 【详解】∵ ，是一元二次方程的两个实数根， ∴ ，． ∵ ， ∴ ． 解得 ． 20. 如图所示．在平面直角坐标系中，的顶点均在格点（网格线的交点）上． （1）将向左平移6个单位长度，画出平移后的图形； （2）将绕点顺时针旋转，画出旋转后的图形． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先确定三个顶点的坐标，将三个顶点的横坐标分别减6，纵坐标保持不变，得到对应点的坐标，依次连接这三个新顶点即可得到平移后的． （2）以点为旋转中心，将线段、分别绕点沿顺时针方向旋转，利用网格的垂直特性确定点和旋转后的对应点和，依次连接即可得到旋转后的． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 略． 21. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，分别连接、． （1）求反比例函数的表达式； （2）求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求反比例函数及一次函数反比例函数图像共存交点围成图形面积问题，解题关键是联立两函数求出交点将三角形转换成底边在x轴y轴上的三角形． （1）根据一次函数求出点A坐标，再代入反比例函数即可得到答案； （2）根据题意确定点B的坐标，结合图形求面积即可． 【小问1详解】 解：点在一次函数的图象上， 代入得：， ， 点在反比例函数的图象上， 代入得：， 反比例函数的解析式为， 【小问2详解】 由，得， ， 点在反比例函数的图象上， 代入得：， ， ． 22. 如图，一位运动员在到篮框水平距离处跳起投篮，篮球行进的高度（单位：）与水平距离（单位：）之间的关系为． （1）求篮球行进的水平距离是多少时，篮球达到最高点？最大高度是多少？ （2）该运动员的身高是，在这次跳投中，球在头顶处出手，球出手时，他跳离地面的高度是多少？ 【答案】（1）篮球行进的水平距离是时，篮球达到最高点，最大高度是． （2） 【解析】 【分析】（1）对二次函数解析式配方，根据二次项系数小于 0 确定抛物线开口向下，得到顶点横坐标、顶点纵坐标，即为最高点对应的水平距离和最大高度． （2）将代入函数求出出手高度为，再减去运动员身高和球在头顶上方的，算出跳离地面高度为． 【小问1详解】 解： 抛物线开口向下，顶点为最高点． 当 时， 取得最大值 ． 答：篮球行进的水平距离是时，篮球达到最高点，最大高度是． 【小问2详解】 解：当 时 ． 答：球出手时，他跳离地面的高度是． 四、解答题：本大题共5小题，共40分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 小明新买了一盏亮度可调节的台灯（如图1），他发现调节的原理是当电压一定时，通过调节电阻控制电流的变化从而改变灯光的明暗，台灯的电流（单位：A）与电阻（单位：）满足反比例函数关系，其图象如图2所示． （1）求关于的函数解析式． （2）当时，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的应用，求反比例函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设I关于R的函数解析式为，再把，代入进行计算，即可作答． （2）把代入进行计算，即可作答． 【小问1详解】 解：设I关于R的函数解析式为， 当时，， ， ； 【小问2详解】 解：依题意，当时，． 24. 如图，将绕点C顺时针旋转得到，点A，B的对应点分别为点E，D，连接，点D恰好落在线段上． （1）求证：； （2）连接，若，，求的长． 【答案】（1） 证明：由旋转得，，，且点恰好落在线段上， ∴， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）利用旋转性质得到，，推出，从而证明； （2）由旋转的性质得，在已证的中，用勾股定理计算得​． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由旋转的性质可知， ∵，， ∴在中，． 25. 某科技公司计划将一款新型机器人投入市场，经调研发现，当售价为每台10万元时，月销售量为60台；当售价每提高1万元时，月销售量就减少4台．已知这款机器人的生产成本为每台8万元．设机器人的售价为每台x万元（x为正整数）． （1）求月销售量y（台）与售价x（万元）之间的函数关系式； （2）当售价为多少万元时，销售这款机器人的月利润最大？最大月利润是多少？ 【答案】（1） （，且为正整数）. （2） 当售价为16万元或17万元时，月利润最大，最大月利润为288万元. 【解析】 【分析】（1）以售价10万元时的月销量60台为基准，根据提价幅度与销量减少量的对应关系推导一次函数关系式，结合销量非负与提价前提确定自变量取值范围； （2）根据月利润的计算方法构建二次函数，结合二次函数的最值性质与为正整数的条件求解最大利润及对应售价． 【小问1详解】 解：由题意得，售价为万元时，较10万元提高了万元，月销售量减少台， ∴， 即， ∵月销售量非负，即， ∴， 解得， 又∵售价不低于10万元，且为正整数， ∴函数关系式为（，且为正整数）． 【小问2详解】 解：设月利润为万元， 由题意得，单台利润为万元， ∴， 将代入， 得 ， ∵， ∴抛物线开口向下，当时，取得最大值， ∵为正整数，且， ∴当或时，有最大值，最大值为288． 答：当售价为16万元或17万元时，销售这款机器人的月利润最大，最大月利润是288万元． 26. 【基础回顾】 如图，点E是正方形中边上任意一点，以点A为旋转中心，将顺时针旋转后得到． （1）如图1，若连接，则的形状为___________； 【变式探究】 （2）如图2，在（1）的条件下，设与相交于点P，在上取点Q，使，连接，猜想与的数量关系，并给予证明； 【联想拓展】 （3）如图3，在中，．点P是上一点，直接写出之间的数量关系． 【答案】（1）等腰直角三角形 （2）解：，证明如下： ∵将绕点A顺时针旋转后得到， ， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质得出，再由正方形的性质确定，即可得出结果； （2）根据旋转的性质得出，利用全等三角形的判定和性质即可证明； （3）将绕点A逆时针旋转后得到，连接，得出是等腰直角三角形，根据旋转的性质得出，再由勾股定理即可得出结果． 【小问1详解】 解：由旋转的性质可知，， ∵四边形为正方形， ∴， ， ∴的形状为等腰直角三角形； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 将绕点A逆时针旋转后得到，连接， 则是等腰直角三角形， 由旋转的性质可知：， ， ， ∴， ∵， ∴． 27. 如图，抛物线，经过两点，点P在x轴上方且为抛物线上一动点，过点P作轴于点D，交直线于点C，设点P的横坐标为m． （1）求抛物线的解析式； （2）当时，求m的值． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）运用待定系数法求解即可； （2）由题意得，则，由于点C在直线上，轴，则，再由建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：把代入 得 解得 ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：由题意得 ∵点C在直线上，轴 ①当点C在点P的下方时，如图1 由得 解得（舍）， ②当点C在点P的上方时，如图2，由 得， 解得（舍）， 综上所述，m的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ WW2026-2027学年度第一学期学科素养阶段性诊断 九年级数学试卷 （本试卷满分120分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项． 1. 将方程化成一元二次方程的一般形式，一次项的系数为（ ） A. B. C. 3 D. 5 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 用配方法解方程，配方后的方程可以是（ ） A. B. C. D. 4. 已知反比例函数的图象经过点，则k的值为（ ） A. 6 B. C. 12 D. 5. 在平面直角坐标系中，将抛物线向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线对应的函数表达式是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，把绕点A逆时针旋转得到．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 若点都在反比例函数的图象上，则有（ ） A. B. C. D. 8. 为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了个充电桩，第三个月新建了个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为，根据题意，列出方程为（ ） A. B. C. D. 9. 已知二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 抛物线的开口向上 B. 抛物线与x轴没有交点 C. 函数的最小值是4 D. 当时，y随x的增大而增大 10. 如图，是直角三角形，．点从点出发，沿方向以的速度向点运动到达点停止运动）；同时点从点出发，沿方向以的速度向点运动到达点停止运动；当其中一个动点到达终点时，则另一个动点也停止运动，则的最大面积是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 二次函数的对称轴是__________． 12. 已知是方程的一个根，则______． 13. 已知反比例函数的图象经过第一、三象限，则的值可以是________．（写出一个即可） 14. 关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是______． 15. 如图，将绕直角顶点C顺时针旋转，得到，连接，若，，则的长度为___________． 16. 廊桥是我国古老的文化遗产，如图是某座抛物线形的廊桥示意图．已知抛物线的函数表达式为，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面高为6米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离是______米． 三、解答题：本大题共6小题，共32分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 解方程：x（x+5）＝2x+10 18. 解方程： 19. 已知是一元二次方程的两个实数根，且，求m的值． 20. 如图所示．在平面直角坐标系中，的顶点均在格点（网格线的交点）上． （1）将向左平移6个单位长度，画出平移后的图形； （2）将绕点顺时针旋转，画出旋转后的图形． 21. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，分别连接、． （1）求反比例函数的表达式； （2）求的面积． 22. 如图，一位运动员在到篮框水平距离处跳起投篮，篮球行进的高度（单位：）与水平距离（单位：）之间的关系为． （1）求篮球行进的水平距离是多少时，篮球达到最高点？最大高度是多少？ （2）该运动员的身高是，在这次跳投中，球在头顶处出手，球出手时，他跳离地面的高度是多少？ 四、解答题：本大题共5小题，共40分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 小明新买了一盏亮度可调节的台灯（如图1），他发现调节的原理是当电压一定时，通过调节电阻控制电流的变化从而改变灯光的明暗，台灯的电流（单位：A）与电阻（单位：）满足反比例函数关系，其图象如图2所示． （1）求关于的函数解析式． （2）当时，求的值． 24. 如图，将绕点C顺时针旋转得到，点A，B的对应点分别为点E，D，连接，点D恰好落在线段上． （1）求证：； （2）连接，若，，求的长． 25. 某科技公司计划将一款新型机器人投入市场，经调研发现，当售价为每台10万元时，月销售量为60台；当售价每提高1万元时，月销售量就减少4台．已知这款机器人的生产成本为每台8万元．设机器人的售价为每台x万元（x为正整数）． （1）求月销售量y（台）与售价x（万元）之间的函数关系式； （2）当售价为多少万元时，销售这款机器人的月利润最大？最大月利润是多少？ 26. 【基础回顾】 如图，点E是正方形中边上任意一点，以点A为旋转中心，将顺时针旋转后得到． （1）如图1，若连接，则的形状为___________； 【变式探究】 （2）如图2，在（1）的条件下，设与相交于点P，在上取点Q，使，连接，猜想与的数量关系，并给予证明； 【联想拓展】 （3）如图3，在中，．点P是上一点，直接写出之间的数量关系． 27. 如图，抛物线，经过两点，点P在x轴上方且为抛物线上一动点，过点P作轴于点D，交直线于点C，设点P的横坐标为m． （1）求抛物线的解析式； （2）当时，求m的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $