精品解析：甘肃省庆阳市镇原县2025-2026学年上学期九年级数学期中测试卷

2025－2026学年度九年级第一学期学习评价 数学（2） 注意事项： 1.本试卷满分120分，考试时间120分钟． 2.答卷前将密封线内的项目填写清楚． 一、选择题：每题只有一个正确答案，请将正确答案填在下面的表格里．每题3分，共30分． 1. 科技创新型企业的不断涌现，促进了我国新质生产力的快速发展．以下四个科技创新型企业的品牌图标中，为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 将方程化成的形式，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知二次函数，若随的增大而减小，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的值可以是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 6. 如图，若绕点按逆时针方向旋转后与重合，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 下表给出了二次函数中的一些对应值，则可以估计一元二次方程的一个近似解的范围为（ ） … 0.6 0.7 0.8 0.9 1 … … 0.24 0.61 1 … A. B. C. D. 8. 若抛物线向左平移个单位长度后，经过，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 0或4 9. 甘肃省图书馆创建于1916年，现坐落于甘肃省兰州市，占地6600平方米，阅览席位2000个，现藏书容量100万册．在7月份，有5000人在该图书馆借阅了名著类书籍，9月增加至7200人，设7－9月份借阅名著类书籍的人数的平均增长率为，依题意，可列方程（ ） A. B. C. D. 10. 如图是二次函数的图象的一部分，对称轴为直线且经过点，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 方程的两个根为 二、填空题：每题3分，共18分． 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点Q的坐标为__________． 12. 已知二次函数的图象经过原点，则______． 13. 请写出一个一元二次方程，使其一个根为3，另一个根为0：_________． 14. 如图，在中，是的中点，与关于点成中心对称，若，则的度数为______． 15. 某菱形的两条对角线长都是方程的根，则该菱形的周长为_____ 16. 如图1是某公园一座抛物线型拱桥，按如图所示建立坐标系，得到函数，在正常水位时水面宽米，当水位上升5米时，则水面宽______米 三、解答题：本大题6个小题，共32分 17. 解方程：． 18. 已知抛物线与轴分别交于点，．求抛物线的解析式． 19. 如图，在平面直角坐标系中，，，．画出，并画出绕原点顺时针旋转得到的． 20. 以下是嘉嘉在用配方法解一元二次方程的过程： 解：移项，得， 配方，得，， 开平方，得， 移项，得， 所以． 嘉嘉的解答过程是否有误？如果有错，请写出正确的解答过程． 21. 一个直角三角形的两条直角边的和是，面积是．求两条直角边的长． 22. 如图，在2×2的网格中，每个格内分别写有A，B，C，D四个整式，其中，，，C＝2x－1．已知A＋B＝C·D． （1）求整式D； （2）B＋2D的值可能为8吗？请说明理由． 四、解答题：本大题5个小题，共40分 23. 对于实数，，定义一种运算“☆”，都有．如． （1）若，则______； （2）若，求的值． 24. 我国是最早发明火箭的国家，制作火箭、模拟火箭升空是青少年喜爱的一项科技活动．已知学校航模组织设计制作的火箭的升空高度与飞行时间的关系是，如果火箭在点火升空的最高点时打开降落伞，那么火箭点火后多少时间降落伞将打开？这时火箭的高度是多少？ 25. 如图，把一副三角板如图①放置，其中，∠ACB=∠DEC=90°，∠A=45°，∠D=30°，斜边AB=6cm，DC=7cm．把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D1CE1（如图②）． (1)求∠OFE1的度数； (2)求线段AD1的长． 26. 文旅发展促进经济增长的同时，也带动了电器销售．一电器商场销售某品牌空调，该空调每台进价为2500元，已知该商场6月份售出75台空调，8月份售出108台空调． （1）求该商场7，8两个月售出空调数的月平均增长率； （2）调查发现，当该空调售价为3000元时，平均每天能售出8台；售价每降低50元，平均每天能多售出4台，该商场如何定价能使每天的利润最大？最大利润是多少？ 27. 如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与y轴的交点坐标为，图象的顶点为M．矩形的顶点D与原点O重合，顶点A，C分别在x轴，y轴上，顶点B的坐标为． （1）求c的值及顶点M的坐标， （2）如图2，将矩形沿x轴正方向平移t个单位得到对应的矩形．已知边，分别与函数的图象交于点P，Q，连接，过点P作于点G． ①当时，求的长； ②当点G与点Q不重合时，是否存在这样的t，使得的面积为1？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度九年级第一学期学习评价 数学（2） 注意事项： 1.本试卷满分120分，考试时间120分钟． 2.答卷前将密封线内的项目填写清楚． 一、选择题：每题只有一个正确答案，请将正确答案填在下面的表格里．每题3分，共30分． 1. 科技创新型企业的不断涌现，促进了我国新质生产力的快速发展．以下四个科技创新型企业的品牌图标中，为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、是中心对称图形，故本选项符合题意； 故选：． 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用顶点式的特点可知顶点坐标． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是． 故选：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式写出顶点坐标的方法是解题的关键． 3. 将方程化成的形式，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了将一元二次方程化为一般式． 将原一元二次方程化为一般式，比较系数即可． 【详解】解：原方程为， 移项得， 与比较得，，． 故选：B． 4. 已知二次函数，若随的增大而减小，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握开口方向和对称轴是解题关键． 根据二次函数的性质，由二次项系数为负，可知抛物线开口向下，在对称轴右侧y随x增大而减小． 【详解】解：∵ 二次函数 ， ∴ ，开口向下，对称轴为 ， ∴ 当 时，y 随 x 的增大而减小， 故选：C． 5. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的值可以是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式，当判别式大于0时，方程有两个不相等的实数根．将方程化为标准形式后，计算判别式并解不等式即可确定a的取值范围．熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 【详解】解：对于方程 ，其判别式为 ， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴ ， 即， 解得． 故选：D． 6. 如图，若绕点按逆时针方向旋转后与重合，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质、等边对等角，由旋转可得，，推出，即可求解． 【详解】解：由旋转可得，， ， 故选：B． 7. 下表给出了二次函数中的一些对应值，则可以估计一元二次方程的一个近似解的范围为（ ） … 0.6 0.7 0.8 0.9 1 … … 0.24 0.61 1 … A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了求一元二次方程的近似根，熟练掌握求一元二次方程的近似根的方法是解题的关键． 【详解】解：解：由表格知，当时，； 当时，； ∴一元二次方程的一个近似解的范围为． 故选：B． 8. 若抛物线向左平移个单位长度后，经过，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 0或4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的平移． 先求出平移后的函数解析式，再将代入解析式计算即可． 【详解】解：抛物线向左平移个单位长度后，解析式为， ∵平移后的抛物线经过点， ∴， 即， 解得或， ∵， ∴． 故选：C． 9. 甘肃省图书馆创建于1916年，现坐落于甘肃省兰州市，占地6600平方米，阅览席位2000个，现藏书容量100万册．在7月份，有5000人在该图书馆借阅了名著类书籍，9月增加至7200人，设7－9月份借阅名著类书籍的人数的平均增长率为，依题意，可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，审清题意、弄清量之间的关系是解题的关键． 设每月平均增长率为x，则9月人数为7月人数乘以的平方，据此列出方程即可． 【详解】解：∵ 7月人数为5000，平均月增长率为x， ∴ 8月人数为， ∴ 9月人数为， 又∵ 9月人数为7200， ∴ ． 故选：B． 10. 如图是二次函数的图象的一部分，对称轴为直线且经过点，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 方程的两个根为 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，抛物线与坐标轴的交点问题等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 先根据对称轴为直线且经过点得到，抛物线经过点，即可判断C、D；由图象可得，则，即可判断A；再由抛物线经过点，得到当时，，即可判断B． 【详解】解：∵对称轴为直线且经过点， ∴抛物线经过点，， ∴，则，故C错误； 由图象可得，则， ∴，故A错误； ∵抛物线经过点，开口向下， ∴当时，代入，则， 故B错误； ∵抛物线与x轴交于点，， ∴方程的两个根为，故D正确， 故选：D． 二、填空题：每题3分，共18分． 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点Q的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标，根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答． 【详解】解：点关于原点对称的点Q的坐标为． 故答案为：． 12. 已知二次函数的图象经过原点，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图像与性质，掌握知识点是解题的关键．由二次函数图象经过原点，将原点坐标代入解析式求解． 【详解】解：将点代入函数解析式中，得 ， 即， 解得． 故答案为：3． 13. 请写出一个一元二次方程，使其一个根为3，另一个根为0：_________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程，解题的关键在于正确的写出方程的因式分解的形式．一元二次方程可表示为的形式，令的值代入即可． 【详解】已知一元二次方程可表示为 的形式， 一元二次方程的一个根为3，另一个根为0， ， ，即． 故答案为：． 14. 如图，在中，是的中点，与关于点成中心对称，若，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了中心对称图形的性质，直接利用中心对称图形的性质得出四边形是平行四边形，进而即可得出答案，得出四边形是平行四边形是解题的关键． 【详解】解：∵是的中点，与关于点成中心对称， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 某菱形的两条对角线长都是方程的根，则该菱形的周长为_____ 【答案】 【解析】 【分析】由菱形的两条对角线长分别是方程的两根，可求得菱形的两条对角线长分别是2与4，然后由菱形的性质与勾股定理，即可求得菱形周长． 【详解】解：， ∴ 解得， ∵菱形的两条对角线长分别是方程的两根， ∴菱形的两条对角线长分别是2，4或2，2或4，4 设菱形的两条对角线相交于O， ∴，， ∴， ∴菱形周长为：或或． 16. 如图1是某公园一座抛物线型拱桥，按如图所示建立坐标系，得到函数，在正常水位时水面宽米，当水位上升5米时，则水面宽______米 【答案】20 【解析】 【分析】根据正常水位时水面宽米，找出当时，再根据水位上升5米时，代入解析式求值即可． 【详解】解：∵， ∴当时，， 当水位上升5米时，， 把代入，得， 解得， 此时水面宽米， 故答案为：20． 【点睛】本题考查二次函数的应用，根据图形找出相关数据求值是解题的关键． 三、解答题：本大题6个小题，共32分 17. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法．利用因式分解法求解即可． 【详解】解： 或 ，． 18. 已知抛物线与轴分别交于点，．求抛物线的解析式． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法，准确计算．直接把点，代入抛物线解析式，求解即可． 【详解】解：抛物线与轴分别交于点，， ， 解得， 抛物线的解析式为． 19. 如图，在平面直角坐标系中，，，．画出，并画出绕原点顺时针旋转得到的． 【答案】 解：如图，和为所求． 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标表示，三角形的绘制及图形绕原点旋转的性质．先根据题意找到各点在坐标系中的位置，并依次连接得到，再根据题意求出绕原点顺时针旋转后各顶点的对应点坐标，再依次连接并得到． 【详解】略 20. 以下是嘉嘉在用配方法解一元二次方程的过程： 解：移项，得， 配方，得，， 开平方，得， 移项，得， 所以． 嘉嘉的解答过程是否有误？如果有错，请写出正确的解答过程． 【答案】 解：嘉嘉的解答过程有误，正确解答过程如下： 配方，得，， 开平方，得，移项，得， 所以，． 【解析】 【分析】此题主要考查了解一元二次方程，正确掌握配方法解方程的步骤是解题关键． 直接利用配方法解一元二次方程的方法进而分析得出答案． 【详解】略 21. 一个直角三角形的两条直角边的和是，面积是．求两条直角边的长． 【答案】这两条直角边为，． 【解析】 【分析】设其中一条直角边长为未知数，表示出另一直角边长，根据面积为24列式求值即可． 【详解】解：设其中一条直角边长为xcm，则另一直角边长为（14﹣x）cm，得： x（14﹣x）=24，解得x1=6，x2=8． 当x1=6时，14﹣x=8； 当x2=8时，14﹣x=6； 答：两条直角边的长分别为，． 22. 如图，在2×2的网格中，每个格内分别写有A，B，C，D四个整式，其中，，，C＝2x－1．已知A＋B＝C·D． （1）求整式D； （2）B＋2D的值可能为8吗？请说明理由． 【答案】（1） （2） 解：， 若， 则， 整理得到：， 此时该一元二次方程的判别式，该方程无解， ∴的值不可能为8． 【解析】 【分析】(1)根据已知条件得到，然后对等号左边进行因式分解即可求解； (2)计算，解该方程，若有解则值可以为8，若无解，则的值不可能为8． 【小问1详解】 解：由已知A＋B＝C·D可得：， 整理得到：， ∴． 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了因式分解及一元二次方程的解法，属于基础题，读懂题意，计算过程中细心即可． 四、解答题：本大题5个小题，共40分 23. 对于实数，，定义一种运算“☆”，都有．如． （1）若，则______； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算，解一元二次方程，正确理解题意是解题的关键． （1）根据新定义的运算法则得到关于的方程，即可求解； （2）根据新定义的运算法则得到关于的方程，即可求解． 【小问1详解】 解： ， 故答案为：； 【小问2详解】 ， ， 整理得， ， ， ，． 24. 我国是最早发明火箭的国家，制作火箭、模拟火箭升空是青少年喜爱的一项科技活动．已知学校航模组织设计制作的火箭的升空高度与飞行时间的关系是，如果火箭在点火升空的最高点时打开降落伞，那么火箭点火后多少时间降落伞将打开？这时火箭的高度是多少？ 【答案】火箭点火后13秒降落伞将打开，这时火箭的高度是170米 【解析】 【分析】直接利用配方法将二次函数写成顶点式，进而求出即可． 【详解】解：由题意可得： ， ， ， 故火箭点火后13秒降落伞将打开，这时火箭的高度是170米． 【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，正确配方求出顶点式是解题关键． 25. 如图，把一副三角板如图①放置，其中，∠ACB=∠DEC=90°，∠A=45°，∠D=30°，斜边AB=6cm，DC=7cm．把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D1CE1（如图②）． (1)求∠OFE1的度数； (2)求线段AD1的长． 【答案】（1）120°；（2）5. 【解析】 【分析】（1）利用已知得出∠BCO=45°，进而根据三角形内角和定理求出∠BOC的度数； （2）根据OFE1=∠B+∠1，易得∠OFE1的度数，进而得出∠4=90°，在Rt△AD1O中根据勾股定理就可以求得AD1的长． 【详解】（1）如图乙所示， ∠BCO=60°-15°=45°， ∠BOC=180°-45°-45°=90°； （2）如图乙所示， ∵∠3=15°，∠E1=90°， ∴∠1=∠2=75°， 又∵∠B=45°， ∴∠OFE1=∠B+∠1=45°+75°=120°； ∴∠D1FO=60°， ∵∠CD1E1=30°， ∴∠4=90°， 又∵AC=BC，∠A=45° 即△ABC是等腰直角三角形． ∴OA=OB=AB=3cm， ∵∠ACB=90°， ∴CO=AB=×6=3（cm）， 又∵CD1=7（cm）， ∴OD1=CD1-OC=7-3=4（cm）， 在Rt△AD1O中，AD1=（cm） 【点睛】本题主要考查了勾股定理和旋转的性质，能熟练应用勾股定理，并且掌握旋转前后的两个图形完全相等． 26. 文旅发展促进经济增长的同时，也带动了电器销售．一电器商场销售某品牌空调，该空调每台进价为2500元，已知该商场6月份售出75台空调，8月份售出108台空调． （1）求该商场7，8两个月售出空调数的月平均增长率； （2）调查发现，当该空调售价为3000元时，平均每天能售出8台；售价每降低50元，平均每天能多售出4台，该商场如何定价能使每天的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）空调定价为2800元时，每天的利润最大，为7200元 【解析】 【分析】（1）设月平均增长率为x，列出方程即可求解． （2）列出利润关于降价金额的二次函数，利用顶点式即可求解． 【小问1详解】 解：设月平均增长率为x， 依题意，得：， 解得：，（舍）， 商场7、8两个月售出空调的月平均增长率为． 【小问2详解】 设该商场每台空调降价m元，则每天可多售台，每天的利润为w元， ， 当时，， ∴空调定价为2800元时，每天的利润最大，为7200元． 【点睛】本题考查了一元二次方程与二次函数的应用，解题关键是理解题意，正确列出方程和函数关系式，会利用顶点式求出函数的最大值． 27. 如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与y轴的交点坐标为，图象的顶点为M．矩形的顶点D与原点O重合，顶点A，C分别在x轴，y轴上，顶点B的坐标为． （1）求c的值及顶点M的坐标， （2）如图2，将矩形沿x轴正方向平移t个单位得到对应的矩形．已知边，分别与函数的图象交于点P，Q，连接，过点P作于点G． ①当时，求的长； ②当点G与点Q不重合时，是否存在这样的t，使得的面积为1？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），顶点M的坐标是 （2）①1；②存在，或 【解析】 【分析】（1）把代入抛物线的解析式即可求出c，把抛物线转化为顶点式即可求出顶点坐标； （2）①先判断当时，，的坐标分别是，，再求出，时点Q的纵坐标与点P的纵坐标，进而求解； ②先求出，易得P，Q的坐标分别是，，然后分点G在点Q的上方与点G在点Q的下方两种情况，结合函数图象求解即可． 【小问1详解】 ∵二次函数的图象与y轴的交点坐标为， ∴， ∴， ∴顶点M的坐标是． 【小问2详解】 ①∵A在x轴上，B的坐标为， ∴点A的坐标是． 当时，，的坐标分别是，． 当时，，即点Q的纵坐标是2， 当时，，即点P的纵坐标是1． ∵， ∴点G的纵坐标是1， ∴． ②存在．理由如下： ∵的面积为1，， ∴． 根据题意，得P，Q的坐标分别是，． 如图1，当点G在点Q的上方时，， 此时（在的范围内）， 如图2，当点G在点Q的下方时，， 此时（在的范围内）． ∴或． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特点、矩形的性质以及三角形的面积等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质、灵活应用数形结合思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $