解析几何：三角形面积问题、四边形面积问题专项训练-2027届高三数学一轮复习

2027届高三数学一轮复习专项训练 解析几何：三角形面积问题、四边形面积问题专项训练 考点目录 解析几何中的三角形面积问题 解析几何中的四边形面积问题 考点一 解析几何中的三角形面积问题 解析几何中的三角形面积问题解题技巧 （1）三点坐标已知，用 鞋带公式（坐标行列式） 直接计算。 （2）含圆锥曲线弦的，以 弦为底、点到直线距离为高：。 （3）结合 韦达定理 整体求 ，不必解出交点。 （4）面积最值问题转化为 函数最值，注意变量范围。 （5）结果注意 绝对值，确保面积非负。 例1．（26-27高三上·广东深圳·阶段检测）已知椭圆离心率等于且椭圆经过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，直线，的斜率之积等于，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件列方程组求出即可； （2）联立直线与椭圆的方程，根据斜率之积得出，再利用化简即可. 【详解】（1）由题意得，得， 故椭圆C的标准方程为. （2）联立，得， 则，得， 设，则， 则 ，得， 则的面积 . 例2．（26-27高三上·上海浦东·期中）已知椭圆的长轴长为，离心率为，过点的直线交椭圆于，两点． (1)求椭圆的方程； (2)设点为椭圆的左顶点，求的值； (3)已知点，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3)2 【分析】（1）利用已知条件求出的值，从而求出椭圆方程； （2）设直线方程，设两点坐标，得出，联立椭圆方程结合韦达定理得出根与系数的关系，进而求出； （3）设直线方程，设两点坐标，联立椭圆方程结合韦达定理得出根与系数的关系求出，利用点到直线距离公式求出到直线距离，运用三角形面积公式结合函数的性质计算求解面积最大值． 【详解】（1）椭圆的长轴长为4，离心率为， ，解得，， 椭圆的方程为． （2）   当斜率不存在时过点的直线与椭圆无交点， 故直线斜率存在，设为，则直线方程为， 联立直线与椭圆方程得， 设点，由韦达定理得， ，， ． （3）   设直线方程为， 联立直线与椭圆方程得， ，解得， 设点，由韦达定理得， ， 点到直线的距离， ， 令，，， ，求导得，函数在上单调递增， 当时面积最大，最大值为， 的最大值为2． 例3．（26-27高三上·云南昆明·阶段检测）已知椭圆，为上位于第一象限的动点，，两点也在上，交轴于点，交轴于点． (1)求椭圆的离心率； (2)探究四边形的面积是否为定值，说明理由； (3)求面积的最大值． 【答案】(1) (2)设，四边形的面积为定值，证明如下： 的方程为，则，故． 的方程为，则，故． 所以四边形的面积为 ， ， 所以四边形的面积为2. (3) 【分析】（1）根据椭圆与坐标轴的交点，可得出长半轴、短半轴长，即可得出离心率. （2）先设点，再根据点斜式分别写出两条直线方程，求出交点坐标，四边形两条对角线垂直，求出长度，再求面积. （3）用基本不等式可求出面积的最大值，由第（2）问可知，四边形面积是定值，即可求出所求面积的最大值. 【详解】（1）由于，两点在上，所以， 因此椭圆的离心率． （2）略 （3）由题意可得， 直线方程为：，， 点到的距离为． 由（2）可知，当且仅当的面积最大时，的面积最大． 所以当d取最大值时，的面积最大． 由于在上，又因为，由基本不等式，． 所以，． 当且仅当时，即，时，等号成立，有最大值， 此时，有最大值． 的面积最大为. 变式1．（26-27高三上·上海徐汇·期中）双曲线的左右顶点为，，其渐近线上有一点．过点作直线交于点，点在第一象限． (1)求双曲线的焦距和离心率； (2)若的面积为14，求直线的方程． 【答案】(1)双曲线的焦距为，离心率为 (2)直线的方程为 【详解】（1）∵双曲线，∴，， ， ∴双曲线的焦距为， 离心率为. （2）∵直线过，设直线方程为，与交点在第一象限， 联立，化简得， 则由韦达定理得， ，∵点在第一象限， ∴，点到直线的距离， ， ， 化简得， 解得或（舍）， ∴直线的方程为. 变式2．（26-27高三上·重庆沙坪坝·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，渐近线方程为，焦距为．直线经过双曲线C的右焦点，且与双曲线C交于两点． (1)求双曲线C的方程； (2)已知椭圆D与双曲线C共焦点，且经过点．若点在椭圆D上，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用双曲线的渐近线及焦距计算参数即可； （2）根据椭圆的性质先设方程计算椭圆方程，根据点在椭圆上得两参数关系，结合直线过右焦点可建立方程计算，联立直线与双曲线方程结合韦达定理计算面积即可. 【详解】（1）设焦距为，则有， 又渐近线方程为，则 故双曲线的标准方程为：． （2）设椭圆的方程为：， 由（1）知，故有①， 又由椭圆经过点可得：②， 联立①②可解得：，或，（舍去）， 故椭圆方程为， 由点在椭圆上可得：③， 又由直线过点可得：④， 联立③④可解得：，． 联立：和双曲线， 可得：． 设，则有，， ， ， 故. 变式3．（25-26高三下·陕西渭南·阶段检测）已知双曲线的离心率为，点为坐标原点，过的右焦点的直线交的右支于，两点，当轴时，. (1)求的方程； (2)过作直线的垂线，垂足为. （i）证明：直线过定点； （ii）求面积的最小值. 【答案】(1) (2)（i）证明：设，，， 由题意可知，的斜率不为0，所以设. 联立得，，， 所以，，，         又，        令，得，         所以直线过定点.    （ii） 【分析】（1）利用离心率求得，再将焦点横坐标代入方程求出通径长，结合已知条件即可解出的值，进而得到标准方程； （2）（i）设出直线的方程为并联立双曲线方程，利用韦达定理得到交点纵坐标的关系式；再写出直线的方程，求出其轴截距即可证明恒过定点. （ii）将的面积表示为的函数，结合（i）中的韦达定理转化为关于的函数；通过换元法构造函数，利用单调性即可求出面积的最小值. 【详解】（1）由及，得，         将横坐标代入双曲线的方程，得到的纵坐标为， 又，所以，所以，         则双曲线的方程为. （2）（i）略 （ii），         由（i）得所以. 令，所以，         令，， 设，,所以， 因为，所以，， 所以，即在上单调递增，又因为在上单调递增， 所以在上单调递增，所以， 所以最小值为. 考点二 解析几何中的四边形面积问题 解析几何中的四边形面积问题解题技巧 （1）常连一条对角线，把四边形 分割成两个三角形 分别求面积再相加。 （2）顶点坐标已知时用 鞋带公式 统一处理。 （3）对角线互相垂直时，面积 。 （4）梯形按 (上底＋下底)/2 × 高 计算。 （5）注意结合平行、垂直等图形性质，减少计算量。 例1．（26-27高三上·上海黄浦·期中）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过的直线交椭圆于，两点，过的直线交椭圆于，两点，且，垂足为． (1)求椭圆的焦距和离心率； (2)证明：当的斜率存在且时，的值为定值； (3)求四边形的面积的最小值． 【答案】(1)焦距为，离心率为； (2)由（1）可知，，当的斜率存在且时，直线的方程为， 则，得， 设，则， 则 ， 因为，垂足为，所以直线的斜率为， 所以， 故； (3) 【分析】（1）根据椭圆的标准方程结合焦距、离心率的定义计算求解即可； （2）设直线的方程为，代入椭圆方程，得到两根之和，两根之积，由弦长公式得到，进而得到，代入计算即可得证； （3）在（2）的基础上，得，由基本不等式可得最值，再讨论直线的斜率与不存在两种情况，从而得到四边形的面积的最小值. 【详解】（1）已知椭圆：，则， 椭圆的焦距为，离心率为； （2）略 （3）当的斜率存在且时， 由（2）可知，四边形的面积， 当且仅当，即时，等号成立； 当直线的斜率时，如图所示： 此时，在中，令，得， 故，此时四边形的面积； 同理，当直线的斜率不存在时，可得四边形的面积； 综上：四边形的面积最小值为. 例2．（2026·广西南宁·一模）已知椭圆：（）的离心率为，左、右焦点分别为、，点到的4个顶点的距离的中位数为2． (1)求的方程； (2)过点作斜率存在且不为零的直线与交于两点，． （ⅰ）若，的斜率分别为，，当时，求； （ⅱ）记线段的中点为，为坐标原点，直线交直线于点，直线与交于、两点，求四边形面积的取值范围． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）利用离心率先得到，然后借助左焦点到四个顶点的距离的中位数即可求得. （2）（ⅰ）设点坐标，由两点斜率公式结合求出点横坐标，再联立过焦点的直线与椭圆，利用弦长公式即可计算弦长； （ⅱ）先求出弦的中点，得到与点，证得，写出四边形面积的表达式，通过换元转化为二次函数，即可得到面积的取值范围. 【详解】（1）因为椭圆的离心率为，即，即， 又因为左焦点到左右两个顶点的距离为，到上下两个顶点的距离都是，即四个距离分别为， 代入得，按从小到大排列为，则中位数为，即，， 所以，则椭圆的标准方程为. （2）（ⅰ）由（1）知，，设点， 则，因为，则， 因为，所以，即，代入椭圆方程， 即，解得. 设过点的直线为：，联立方程组， 得，所以， 又，则，所以， 所以. （ⅱ）由（ⅰ）知，线段的中点满足， 所以直线为， 交于点. 因为直线过和，且， 所以方程为， 因为，所以，即， 由（ⅰ）知，同理可得， 所以四边形面积为， 令，， 令，则分母为开口向下的二次函数，对称轴为， 所以最大值为， 而时，，当时，， 即，所以. 例3．（26-27高三上·江苏南通·开学考试）已知直线与椭圆：交于，两点（点在第一象限），点在椭圆的内部，射线，与椭圆的另一交点分别为，． (1)求点坐标； (2)求证：直线的斜率为定值； (3)求四边形面积的最大值． 【答案】(1) (2)设，，则，， 所以， 即，整理得， 又因为在椭圆内部，所以， 所以． 同理，设，得. 相减得， 因为，所以，则， 所以直线的斜率为2，故直线的斜率为定值. (3) 【分析】（1）直线方程与椭圆方程联立求解即可. （2）设，，代入椭圆方程整理得；设，同理可得，作差求得，进而得到，即可得证. （3）设：，与椭圆方程联立，结合有两个交点得到；根据弦长公式及平行线间的距离公式，结合梯形面积公式求出四边形面积，根据导数与单调性及最值的关系求解即可. 【详解】（1）由，整理得，解得. 又因为点在第一象限，所以，故点坐标为． （2）略 （3）设直线的方程为，根据对称性不妨设， 联立，消得，， 由，得． 则，， 所以. 又，点到直线的距离， 所以． 令， 所以， 令，易知在上为减函数， 令，即，解得， 当时，，，所以在上单调递增， 当时，，，所以在上单调递减， 所以当时，面积取最大值为. 变式1．（2026·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系 中，以椭圆 （ ）与坐标轴的交点为顶点的四边形的周长为 ，离心率为 . (1)求椭圆 的方程； (2)设 ， ，点 在第三象限且在椭圆 上.直线 与 轴交于点 ，直线 与 轴交于点 . ①是否存在点 ，使得 ？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由； ②求四边形 面积的最大值. 【答案】(1). (2)①存在， ② 【分析】（1）由已知得，解方程即可求解； （2）①设，利用直线的方程即可求出点的坐标，由得到两直线斜率关系，与椭圆方程联立即可求得点坐标； ②由图写出四边形面积表达式，借助于椭圆参数方程和换元，利用二次函数的性质即可求得其最大值. 【详解】（1）由已知得， 所以， 所以椭圆方程为. （2）①设，其中，则. 又因为，所以直线， 令，所以，同理， 若，则， 所以， 化简可得： 与联立， 化简得：， 即， 因为点在第三象限，所以，， 所以， 所以存在点 ，使得 ，即点坐标为 ②所以四边形的面积 ， 令， 所以， 令，则，，故， 故当时，，即时， 也即时，四边形的面积取最大值为.    变式2．（2026·浙江宁波·模拟预测）已知双曲线的左焦点为，离心率为． (1)求曲线的方程； (2)设为坐标原点，过的动直线与曲线交于，两点，且，直线与曲线的另一个交点为． （i）当时，求直线的方程； （ii）求四边形的面积的取值范围． 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）根据给定的条件列式求出即可. （2）（i）设出直线的方程，与双曲线方程联立，利用韦达定理及共线条件求解；（ii）求出四边形面积的表达式，利用函数的单调性求出范围. 【详解】（1）由双曲线的左焦点为，离心率为， 得，则， 所以双曲线的方程为. （2）（i）显然直线不垂直于轴，设其方程为，， 由消去得，， ，由，得，联立解得， 所以直线的方程为. （ii）由（i）知，连接，设四边形的面积为， 则，由对称性不妨令，由， 得，即，则，解得， ，而为中点，则， 而，因此， ，，， 则，函数在上单调递增， 于是，而当从小于的方向趋近于时，， 所以四边形的面积的取值范围为. 变式3．（25-26高三下·广东佛山·阶段检测）在平面直角坐标系xOy中，过点的直线与抛物线交于M，N两点在第一象限）. (1)当时，求直线的方程; (2)若三角形OMN的外接圆与曲线交于点（异于点O，M，N）， （i）证明:△MND的重心的纵坐标为定值，并求出此定值; （ii）求凸四边形OMDN的面积的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）方法1:设 因为O，M，D，N四点共圆，设该圆的方程为， 联立，消去，得， 即， 所以即为关于的方程的3个根， 则， 因为， 由的系数对应相等得，，所以的重心的纵坐标为0. 方法2:设，则， 因为O，M，D，N四点共圆，所以当M，D在直线异侧时，， 即， 化简可得:； 当M，D在直线同侧时，， 即， 化简可得:； 综上可得的重心的纵坐标为0. （ii）. 【分析】（1）设直线的方程为，联立方程，由韦达定理和已知关系即可求解. （2）（i）由O，M，D，N四点共圆，设该圆的方程为， 联立，消去，得，由方程根的思想即可求解. 或O，M，C，N四点共圆，由或，也可求解. （2）（ii）记的面积分别为，分别联立方程先求出，所以，结合根与系数的关系进一步化简为，再结合导数进而求解. 【详解】（1）解:设直线 联立，消去，得， 所以， ，则 ，则，又由题意， 直线的方程是; （2）（i）略 （ii）记的面积分别为，由已知得直线MN的斜率不为0，设直线，联立，消去，得，所以， 所以， 由（1）得，， 所以，即， 因为， 点到直线MN的距离， 所以， 所以 在第一象限，即， 依次连接O，M，D，N构成凸四边形OMDN，所以，即， 又因为，即，即， 所以，即，即， 所以， 设，则， 令，则， 因为，所以，所以在区间上单调递增，所以， 所以的取值范围为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $2027届高三数学一轮复习专项训练 解析几何：三角形面积问题、四边形面积问题专项训练 考点目录 解析几何中的三角形面积问题 解析几何中的四边形面积问题 考点一 解析几何中的三角形面积问题 解析几何中的三角形面积问题解题技巧 （1）三点坐标已知，用 鞋带公式（坐标行列式） 直接计算。 （2）含圆锥曲线弦的，以 弦为底、点到直线距离为高：。 （3）结合 韦达定理 整体求 ，不必解出交点。 （4）面积最值问题转化为 函数最值，注意变量范围。 （5）结果注意 绝对值，确保面积非负。 例1．（26-27高三上·广东深圳·阶段检测）已知椭圆离心率等于且椭圆经过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，直线，的斜率之积等于，求的面积． 例2．（26-27高三上·上海浦东·期中）已知椭圆的长轴长为，离心率为，过点的直线交椭圆于，两点． (1)求椭圆的方程； (2)设点为椭圆的左顶点，求的值； (3)已知点，求的最大值． 例3．（26-27高三上·云南昆明·阶段检测）已知椭圆，为上位于第一象限的动点，，两点也在上，交轴于点，交轴于点． (1)求椭圆的离心率； (2)探究四边形的面积是否为定值，说明理由； (3)求面积的最大值． 变式1．（26-27高三上·上海徐汇·期中）双曲线的左右顶点为，，其渐近线上有一点．过点作直线交于点，点在第一象限． (1)求双曲线的焦距和离心率； (2)若的面积为14，求直线的方程． 变式2．（26-27高三上·重庆沙坪坝·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，渐近线方程为，焦距为．直线经过双曲线C的右焦点，且与双曲线C交于两点． (1)求双曲线C的方程； (2)已知椭圆D与双曲线C共焦点，且经过点．若点在椭圆D上，求的面积． 变式3．（25-26高三下·陕西渭南·阶段检测）已知双曲线的离心率为，点为坐标原点，过的右焦点的直线交的右支于，两点，当轴时，. (1)求的方程； (2)过作直线的垂线，垂足为. （i）证明：直线过定点； （ii）求面积的最小值. 考点二 解析几何中的四边形面积问题 解析几何中的四边形面积问题解题技巧 （1）常连一条对角线，把四边形 分割成两个三角形 分别求面积再相加。 （2）顶点坐标已知时用 鞋带公式 统一处理。 （3）对角线互相垂直时，面积 。 （4）梯形按 (上底＋下底)/2 × 高 计算。 （5）注意结合平行、垂直等图形性质，减少计算量。 例1．（26-27高三上·上海黄浦·期中）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过的直线交椭圆于，两点，过的直线交椭圆于，两点，且，垂足为． (1)求椭圆的焦距和离心率； (2)证明：当的斜率存在且时，的值为定值； (3)求四边形的面积的最小值． 例2．（2026·广西南宁·一模）已知椭圆：（）的离心率为，左、右焦点分别为、，点到的4个顶点的距离的中位数为2． (1)求的方程； (2)过点作斜率存在且不为零的直线与交于两点，． （ⅰ）若，的斜率分别为，，当时，求； （ⅱ）记线段的中点为，为坐标原点，直线交直线于点，直线与交于、两点，求四边形面积的取值范围． 例3．（26-27高三上·江苏南通·开学考试）已知直线与椭圆：交于，两点（点在第一象限），点在椭圆的内部，射线，与椭圆的另一交点分别为，． (1)求点坐标； (2)求证：直线的斜率为定值； (3)求四边形面积的最大值． 变式1．（2026·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系 中，以椭圆 （ ）与坐标轴的交点为顶点的四边形的周长为 ，离心率为 . (1)求椭圆 的方程； (2)设 ， ，点 在第三象限且在椭圆 上.直线 与 轴交于点 ，直线 与 轴交于点 . ①是否存在点 ，使得 ？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由； ②求四边形 面积的最大值. 变式2．（2026·浙江宁波·模拟预测）已知双曲线的左焦点为，离心率为． (1)求曲线的方程； (2)设为坐标原点，过的动直线与曲线交于，两点，且，直线与曲线的另一个交点为． （i）当时，求直线的方程； （ii）求四边形的面积的取值范围． 变式3．（25-26高三下·广东佛山·阶段检测）在平面直角坐标系xOy中，过点的直线与抛物线交于M，N两点在第一象限）. (1)当时，求直线的方程; (2)若三角形OMN的外接圆与曲线交于点（异于点O，M，N）， （i）证明:△MND的重心的纵坐标为定值，并求出此定值; （ii）求凸四边形OMDN的面积的取值范围. 2 学科网（北京）股份有限公司 $