抛物线中三角形（四边形）面积问题专项训练-2027届高三数学一轮复习

抛物线中三角形（四边形）面积问题 1．已知抛物线过点，且点到其准线的距离为4． (1)求抛物线的方程； (2)设直线与抛物线交于异于原点的P、Q两点，求的面积． 2．已知抛物线的焦点为F，点在C上，且． (1)求C的方程； (2)过F的直线与C交于A，B两点，若P在以为直径的圆上，求的面积． 3．如图所示，已知抛物线：的焦点为，直线过点． (1)若直线与抛物线相切于点，求线段的长度； (2)若直线与抛物线相交于，两点，且，直线与抛物线交于另一点，连接，记中点为，直线交于点，求的面积． 4．已知抛物线C：的焦点为F，直线与C交于A，B两点，且. (1)求抛物线C的方程； (2)过点F且斜率不为0的直线l与抛物线C交于M，N两点.若四边形的面积为，求直线的方程. 5．已知抛物线，过点作直线与抛物线相交于两点，为坐标原点. (1)证明：； (2)若存在异于点的定点，使得恒成立，请求出点的坐标，并求出面积的最小值. 6．已知抛物线的焦点为，过点作两条互相垂直的直线，，与抛物线交于，两点，与抛物线交于，两点．设，，，． (1)若，直线的斜率为1，求的值； (2)求四边形面积的最小值及此时直线的斜率． 7．在直角坐标系中，一点在轴上，抛物线：的焦点为，线段的中点为.与另交于一点，不与重合.已知当时，. (1)求的方程； (2)记的面积为，的面积为，若，求. 8.已知抛物线：（）的焦点到其准线的距离为，过点的直线交抛物线于，两点，点在抛物线上，且的重心在轴上，直线交轴于点，且在点右侧． (1)求抛物线的标准方程； (2)若，求点的坐标； (3)记，的面积分别为，，求的最小值及此时点的坐标． 参考答案 1．(1) (2) 【分析】（1）由抛物线的定义即可求得的值，进而解得抛物线的方程； （2）先设出两点的坐标，直线与抛物线联立，韦达定理解得，，再代入面积公式求解即可. 【详解】（1）根据题意知抛物线过点， 所以抛物线准线方程为，且点A到其准线的距离为4， 所以，即，所以抛物线的方程为； （2）由得，， 设，为直线与轴交点，则，， 所以． 2．(1); (2); 【分析】(1)由点P在抛物线上及，结合抛物线定义求p，得到方程； (2)联立直线AB:与抛物线方程，结合韦达定理与，可解得的值，再利用弦长公式和点到直线的距离求解. 【详解】（1）    因为点在抛物线上，所以，得， 因为抛物线的准线方程为，且， 由抛物线的定义可得，解得， 所以抛物线的方程为； （2）由（1）知，，， 易知过点F的直线斜率不为0，设其方程为， 将代入，得到， 设，，则，， ， ， ，， 因为P在以为直径的圆上， 所以， 即， 化简得：，解得：或. 当时，直线为，此时但与重合，舍去. 当时，直线为，此时，， 则, 点到直线的距离：， 所以的面积为. 3．(1)4 (2) 【分析】（1）利用直线与抛物线相切得到参数值，进而得到点坐标，再利用抛物线的定义求解长度即可. （2）联立方程组结合韦达定理得到，结合给定向量关系建立方程，求出点的不同坐标，再结合重心的性质求解三角形面积即可. 【详解】（1）设直线的方程为， 联立方程组，得到， 因为直线PQ与抛物线相切，所以，解得， 此时，代入抛物线中得， 由抛物线定义得． （2）由题意得直线的方程为， 如图，设，，连接， 联立方程组， 得，则．    ， 且，， ，解得， 当时，，，直线， 联立方程， 得，则， 由已知得点为的重心， 所以 ， 同理当时，， 综上所述． 4．(1) (2)或 【分析】（1）根据抛物线的定义可得，解得即可求解； （2）设，联立得到，再根据，得到，再结合求出即可得到直线方程． 【详解】（1）解：由题意，得的准线方程为， 因为直线与交于两点，所以的纵坐标为2， 又，所以，解得， 所以抛物线的方程为；    （2）因为直线与交于两点，不妨设在第一象限， 所以， 由题意知直线的斜率存在且不为0，， 故可设直线，不妨设， 则由题意知， 联立，得， ， 因为， 所以， 又 ， 解得或， 所以直线的方程为或， 即或． 5．(1) 设直线的方程为， 由，得，即， 因为，所以， ， 所以，所以. (2)  8 【分析】（1）设出直线方程与抛物线联立，结合向量运算可证结论； （2）根据条件得出为的角平分线，结合斜率和为0，可求，求出弦长和高，利用三角形面积公式可得答案. 【详解】（1）略 （2）因为，所以， 由角平分线的性质可知，为的角平分线，由抛物线对称性可得，在轴上， 设，， 因为在轴上，所以，， 整理得，由，代入可得， 即，由于上式对任意恒成立，所以，即. ， 到直线的距离为：，面积， 当时，面积有最小值8. 6．(1)8 (2)，． 【分析】（1）求出抛物线方程和焦点坐标，得出直线的方程，直曲联立，借助韦达定理即可求出的值； （2）写出直线的方程，直曲联立得出的表达式，利用两直线垂直求出直线的斜率与的表达式，写出四边形的面积表达式，借助基本不等式即可求出四边形面积的最小值及此时直线的斜率. 【详解】（1）由题意，在抛物线中， 当时，，焦点， ∵直线的斜率为1， ∴直线的方程为， 联立，解得， ∴， ∴． （2）由题意， 在抛物线中，焦点， ，，，， 设直线的斜率为，则直线的方程为， 联立，消去得：， ∴． ∴， ∵， ∴直线的斜率为， 同理可得，， ∴四边形的面积： ， 当且仅当即时，等号成立， ∴四边形面积的最小值是，此时直线的斜率． 7．(1) (2)3 【分析】根据抛物线定义与中点坐标公式，列出关于的方程，求出值，即得抛物线方程. 设，求出中点与直线方程，联立抛物线方程求得的坐标，分别计算与的面积、，由解出，再由抛物线定义求得. 【详解】（1）抛物线的焦点为，在轴上且， 故，即 或. 若，则中点，； 若，则中点，； 两种情况相同，由，得，解得，故 ； （2）设可正可负，，则中点，直线， 联立，得，解得或，故. ， ， 由，得，即, 当时，若，则，即，解得（负根舍去）； 若，方程无解； 当时，令，方程化为，即，解得， 故； 综上，，故由抛物线定义. 8．(1) (2) (3)最小值，． 【分析】（1）根据定义代入计算即可； （2）设出A点坐标和直线方程，求出B点坐标，再根据重心性质，列方程求解即可； （3）列出表达式，再利用基本不等式计算即可. 【详解】（1）由题意可得， 则，抛物线方程为． （2）设，重心，令，，则．                                             由于直线过，故直线方程为，代入，得， 故，即，所以． 又由于，，重心在轴上，故， 得，．- ，故，故 （3）由（2）设 ，，． 所以，直线方程为，得． 由于在焦点的右侧，故．从而 令，则，．- 当时，取得最小值，此时． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $