圆锥曲线专题训练（一）-2027届高三数学一轮复习

圆锥曲线专题 抛物线 · 阿基米德三角形 · 极点极线 三大模块统一编排 · 高观点下的解析几何 教师解析版 完整解析 · 一题多解 · 易错辨析 · 命题视角与教学建议 目　录 模块一　抛物线核心结论与阿基米德三角形 　　　　焦点弦八条结论 / 几何与圆 / 阿基米德三角形八性质 / 两类定点弦 模块二　极点极线视角下的圆锥曲线 　　　　定义与四性质 / 调和点列 / 分层例题 / 高考真题六连 模块三　典型算理算法 　　　　定比分点差法 / 齐次化 / 极点极线 / 蝴蝶模型 模块一 抛物线核心结论与阿基米德三角形 焦点弦八条核心结论 · 几何与圆的相切共线 · 阿基米德三角形八条性质 · 两类定点弦模型 抛物线是圆锥曲线中结构最简洁、结论最丰富的一支.以 为统一模型，凡过焦点 的弦、凡过定点 的弦、凡两条切线与弦围成的三角形，其结论均可由一组固定算理推出.本模块把这批结论整理为四个板块，先给结论与推导路径，再用例题落地，便于在考场上“认得模型、叫得出结论、写得出步骤”. 导学本模块学习路线 ① 焦点弦 → 坐标关系、焦半径、弦长、倒数定理、面积（第 1 节） ② 几何与圆 → 两类相切、两组共线、切线交点等比（第 2 节） ③ 阿基米德三角形 → 定义、八条性质与证明（第 3 节） ④ 特殊定点弦 → 过 与过 两类常考模型（第 4 节） §1　焦点弦的八条核心结论 模型约定：抛物线 ，焦点 ，准线 .过 的直线（倾斜角 ）交 于 、两点.以下八条全部建立在这一约定上. 结论 1　坐标关系 推导要点：设 ，代入 得 ，由韦达定理 ；再由 .两个定值一正一负，是全部结论的根. 结论 2　焦半径公式 推导要点：（抛物线定义），而 ，结合 即得.也可记作 ，. 结论 3　弦长公式 说明：，当 时取最小值，这正是通径（结论 5）的来源.结论 2 与结论 3 也可合并验证：. 结论 4　倒数定理（调和性质） 说明：这是把结论 2 通分直接得到的定值.其几何意义是 、、成调和数列——焦点弦的两个焦半径关于半通径调和共轭，这也是极点极线“调和分割性”在抛物线上的具体表现（见模块二）. 结论 5　通径 过焦点且垂直于对称轴的弦称为通径，其长为 ，是抛物线最短的焦点弦.半通径 是抛物线最重要的长度尺度，几乎所有定值都以 为单位. 结论 6　面积公式 推导要点：以 为底，到 的距离为 （为 横截式的参数），再代入结论 3 化简.面积最小值 ，在 （通径）时取得. 结论 7　焦半径之比与倾斜角 说明：与结论 2 同源，是处理“求斜率”这类题的速算式.由 反解 . 结论 8　中点坐标 说明：设 .中点 的轨迹是一条抛物线 ，即把原抛物线的顶点平移到焦点位置. 结论 表达式 关键用途 ① 坐标关系 ， 联立后代换、消元 ② 焦半径 已知角度求长度 ③ 弦长 最值、定值 ④ 倒数定理 定值证明 ⑤ 通径 （最短焦点弦） 范围估计 ⑥ 面积 面积最值 ⑦ 半径比 由比求斜率 ⑧ 中点 中点轨迹、平行关系 例 1-1 焦点弦基本量的联动计算 已知抛物线 的焦点为 ，过 的直线交抛物线于 、两点，若直线 的倾斜角为 . (1) 求 ；(2) 求 ；(3) 求 的面积. 【解析】 ，故 . (1) 由结论 3：. (2) 由结论 4：. (3) 由结论 6：. 方法点拨：本题三问分别对应弦长、倒数定理、面积三条结论，全部无需联立.若要求 、各自的值，再用结论 2：，，相加得 ，可作验算. 例 1-2 由焦半径之比反求斜率 已知抛物线 的焦点为 ，过 的直线交 于 、两点.若 ，求直线 的斜率. 【解析】 设直线 的倾斜角为 .由结论 7： 解得 ，故 或 ，斜率 . 方法点拨：“焦半径之比 ↔ 倾斜角”是双向通道.本题若用坐标硬算，需设 、坐标并联立，运算量是速算式的数倍.注意 可正可负，不可漏解. 例 1-3 焦点弦与向量数量积 已知抛物线 的焦点为 ，过 的直线交抛物线于 、两点. (1) 求 与 的值； (2) 判断 是否为定值，并说明理由. 【解析】 ，，故 ，. (1) 由结论 1：，. (2) ，为定值 . 方法点拨：定值证明的通用路径是“联立 + 韦达 + 代换”.设 ，与 联立得 ，于是 、，.注意 ，故 与 不垂直——这是与“过点 的弦”最易混淆之处（见第 4 节）. §2　焦点弦背后的几何性质：相切、共线、等比 焦点弦与焦半径背后藏着四个经典结论，它们是解析几何综合题的高频背景.本节的四条结论均可用“点到直线距离 + 中点坐标”完成证明，但记住结论后可直接判读. 性质 A　以焦点弦为直径的圆与准线相切 设 为 中点，则圆心为 ，半径 .由梯形中位线（、到准线的距离分别为 、）： 故圆与准线相切.推论：切点正是 中点在准线上的射影. 性质 B　以焦半径为直径的圆与 轴相切 以 为直径的圆，圆心为 中点 ，半径 .而 到 轴的距离恰为 ，故相切.同理以 为直径的圆也与 轴相切. 性质 C　切线交点与顶点的两组共线 设过 的切线与准线交于 ，过 的切线与准线交于 ，则 、、三点共线，、、三点共线. 推导：过 的切线为 ，令 得 ，利用 化简得 .再由 得 型的对称结构，代换后即证 . 性质 D　两切线交点 在准线上，且 、、成等比数列 设过 、的切线交于 .联立 与 ，利用 可解得 故 必在准线上，且 与 中点纵坐标相同（这正是阿基米德三角形“中线平行对称轴”，见 §3 性质 1）.又 （因 ），故在 中 为斜边上的高，由射影定理即得 即 、、成等比数列.这是“焦点弦阿基米德三角形”的核心度量关系. 速记四个性质的一句话记忆 弦为直径的圆 → 切准线；　焦半径为直径的圆 → 切 轴； 切线交准线于 → 与 各自共线； 两切线交点 → 在准线上，且 . 例 2-1 以焦点弦为直径的圆与准线相切 已知抛物线 的焦点为 ，过 的直线交抛物线于 、两点，为线段 的中点.求证：以 为直径的圆与抛物线的准线相切. 【解析】 ，，准线 ，焦点 . 设 、，由抛物线定义：，，故 ，半径 . 中点 到准线 的距离 故以 为直径的圆与准线相切，切点为 . 方法点拨：证“圆与直线相切”只需证 .本题的关键一步是把 用抛物线定义拆成 ，从而与中点横坐标自然衔接. 例 2-2 切线交点、准线与等比关系 性质 D 完整证明 已知抛物线 的焦点为 ，过 的直线交抛物线于 、两点，过 、的切线交于点 . (1) 求点 的横坐标，并说明 在准线上； (2) 证明：、、成等比数列. 【解析】 ，，焦点 ，准线 .设 、，由结论 1 知 . (1) 过 的切线为 ，过 的切线为 .两式相减得 又 ，代入得 .再代回切线方程，利用 得 故 在准线 上. (2) 由 (1) 知 ，于是 故 ，即 ，是 斜边上的高.由射影定理 即 、、成等比数列，得证. 方法点拨：本题把性质 D 的两半（“在准线上”与“等比”）一次证完，关键工具仍是结论 1 的 .注意 与底边是否过焦点无关地由 保证，而 恰恰是“过焦点”的代数标志——这就是两条结论的因果关系. §3　阿基米德三角形：定义与八条性质 定义：过圆锥曲线上任意两点 、分别作两条切线相交于点 ，则称 为阿基米德三角形.其中 为顶点，为底边.当底边 过焦点时，称为阿基米德焦点三角形.本节以抛物线 为例，结论可平移到椭圆与双曲线. 先给出贯穿全节的基础工具——切线方程：抛物线 上一点 处的切线为 推导：对 两边求导得 ，故 ，切线为 ，整理并代入 即得上式.这一方程同时也是点 关于抛物线的极线（见模块二）. 性质 1　底边上的中线平行于抛物线的轴 设 、，为 中点.过 的切线为 ，过 的切线为 ，联立两式相减： 由 得 ，即 轴.这条性质是“阿基米德三角形”全部度量结论的入口——它把顶点与中点的连线锁定为水平方向，从而使高、面积、距离都可用纵坐标之差表示. 性质 2　底边过定点，则顶点轨迹为一条直线 设 为顶点，则由性质 1 的推导，弦 所在直线恰为 （即以顶点坐标写出的极线）.若 过定点 ，代入得 即顶点 的轨迹是直线 .这正是配极原则：定点的极线就是顶点的轨迹，反之亦然. 性质 3　以 为中点的弦平行于顶点的轨迹 由性质 2，的轨迹为 ，其中 为弦中点 ，故轨迹斜率 .而弦 的斜率为 ，两者相等，且轨迹与弦不重合，故平行. 性质 4　与抛物线无公共点的直线上的点作顶点，则底边过定点 若直线 与抛物线无公共点，以其上任意点 为顶点的阿基米德三角形的底边恒过定点 推导：，代入底边方程 并整理，按 的系数归并，令系数为零即得上述坐标. 性质 5　底边长为 时面积的最大值 推导：由性质 1，到 的距离 .设 ，则 ，故 ，于是 ，.等号当 （轴）时取得. 性质 6　底边过焦点：顶点在准线上，面积最小值 底边过焦点 ，即性质 2 中取 ，得 的轨迹为 ，即准线.进一步可验证 ，故阿基米德焦点三角形必为以 为直角顶点的直角三角形，于是 等号在 为通径时取得.这条性质把“切线”“准线”“直角”“面积最值”四件事串成一体，是高考压轴题的常见骨架. 性质 7　的中点 在抛物线上，且 处切线与 平行 由性质 1，，，取中点得 代入 显然成立.又 处切线斜率 ，故平行.推论：过抛物线上一动点 作平行于定弦 的切线，则该切线与 的中点连线恰被 平分——这正是“面积最大”的临界位置（性质 5 的等号条件）. 性质 8　的面积是 面积的 倍 在抛物线上任取 （不与 、重合），过 作切线交 、于 、，则 . 推导依据是阿基米德抛物线求积定理：抛物线与弦所围弓形面积等于对应阿基米德三角形面积的 .于是 性质 结论 前置条件 1 对称轴 —— 2 顶点轨迹为直线 底边过定点 3 轨迹平行于以 为中点的弦 —— 4 底边过定点 与抛物线无公共点 5 底边长 固定 6 顶点在准线， 底边过焦点 7 中点在抛物线上且切线平行 —— 8 在抛物线上 例 3-1 性质 1 的直接应用（对应源例） 已知抛物线 ，过焦点 的弦 的端点处切线交于点 ，为 中点.证明：轴. 【解析】 ，.设 、. 由性质 1 的推导直接得 因为 与 的纵坐标相等，所以 轴. 方法点拨：的横坐标用 表示是关键一步，它来自联立两条切线并利用 、消元.本题只需纵坐标比较，故不必求出横坐标的具体值. 例 3-2 由中点纵坐标定顶点（变式） 抛物线 的弦 的中点为 ，过 、的切线交于点 ，求 的纵坐标. 【解析】 由性质 1，的纵坐标等于 的纵坐标，故 . 方法点拨：本题是性质 1 的“反向使用”——知道中点纵坐标即知顶点纵坐标，无需任何运算.若还要求 的横坐标，则用性质 3：在以 为中点的弦的平行线（即 的轨迹）上，结合 轴方向的相对位置可定出唯一值. 例 3-3 性质 2 的应用：由顶点轨迹反求底边定点 已知抛物线 ，为直线 上的动点，过 作抛物线的两条切线，切点分别为 、.证明：直线 过定点. 【解析】 设 ，则 .由性质 2，弦 所在直线方程为 ，，故 .令 得 . 所以直线 恒过定点 . 方法点拨：这是性质 2 的逆向应用——已知顶点所在直线，求底边定点.要点是把 当作参数保留在方程 中，再令含 的项消失.对照第 4 节“过 的弦”，当 时定点正是 ，而本题得 ，对应的是案例二模型——两条模型的区别只在定点横坐标的取值. 例 3-4 性质 5：底边长固定时的面积最大值 已知抛物线 的阿基米德三角形的底边长为 ，求该三角形面积的最大值. 【解析】 ，，.由性质 5： 方法点拨：中底边长 是一次方以上的，故面积随底边长增长很快；同时 越小（开口越窄），同样底边围出的三角形面积越大.等号条件 轴，此时 ，. 例 3-5 性质 6：焦点弦阿基米德三角形的最值 过抛物线 的焦点 作弦 ，过 、作切线交于 ，求 面积的最小值. 【解析】 .由性质 6，面积最小值为 此时 为通径（轴），顶点 在准线 上，且 . 方法点拨：本题三行即可完成，但必须交代等号条件.若题目改为“求面积最小值及此时顶点 的位置”，则答“最小值为 ，的轨迹为准线 ”.注意区分：面积最小值在 为通径时取得，而 始终在准线上（无论 如何变化）. 例 3-6 性质 7 的应用与系数陷阱 易错提醒 已知 、是抛物线 上两点，过 、作切线交于 ，为 中点.求证：线段 的中点在抛物线上，并指出推理中最易出错的环节. 【解析】 设 ，、，记 ，，则 、. 由性质 1 的结论（联立两条切线 、）： 因 ，线段 平行于 轴，故其中点 满足 验证：，故 在抛物线 上，得证. 取两组数据验算（）： ① 、、，在抛物线上； ② 、、，而 ，在抛物线上. 易错陷阱：、，两个分母 与 极易混写为 与 .一旦漏掉因子，会误算为 ，验证必然失败.规范做法：凡涉及“切线交点”与“中点”的坐标，先把 显式写进分母，再代 . 例 3-7 性质 8：面积比 已知抛物线 的阿基米德三角形 ，为抛物线上异于 、的点，过 的切线交 、于 、.若 的面积为 ，求 的面积. 【解析】 由性质 8，. 方法点拨：本题是性质 8 的直接套用.其逆用同样常见：已知 ，则 .理解这一结论的关键是阿基米德求积定理（弓形面积 三角形面积），它把“曲边面积”与“直边面积”以 与 的比例固定下来. §4　特殊定点弦：两类常考模型 抛物线 上，过 轴上两个特殊定点的弦，其结论固定、可直接套用.这两类模型是高考与模考的“常驻嘉宾”，务必记牢并能快速推导. 模型一　过点 的弦 设过 的直线交抛物线于 、两点，则有以下四条结论： · ：即 ； · 以 为直径的圆过原点 ； · 的最小值为 ，此时 轴； · 过 作 ，垂足 在圆 上（除原点外）. 推导：设 ，代入 得 ，故 ，进而 .于是 结论 1、2 成立.面积 与笛卡尔坐标下的距离都指向 时最小，得 .第 4 条由 知 、、共圆且 为直径，即 在以 为直径的圆上，该圆正是 . 模型二　过点 的弦 设过 的直线交抛物线于 、两点，焦点为 ，、在准线上的射影分别为 、，则有以下三条结论： · ； · ； · . 推导：设 ，代入得 ，故 ，，于是 三条结论均可由 出发，配合 等距式推出. 辨析两类模型的分水岭 过 ：，，（不垂直）； 过 ：，，（垂直）； 记忆口诀：定点横坐标翻倍，乘积取相反数——对应 ，对应 . 例 4-1 过 的弦：垂直与圆 已知抛物线 ，过点 的直线交抛物线于 、两点，为坐标原点. (1) 证明：； (2) 求 的最小值，并求此时直线 的方程. 【解析】 ，，故 恰为点 的横坐标，本题正是“过 的弦”模型. (1) 设 ，代入 得 ，故 ，，. 故 . (2) ，当 时取最小值 . 此时 轴，方程为 . 方法点拨：本题的 用 计算最省力（把 看成底、看成两个三角形高的和）.若用弦长乘距离，运算量会翻倍. 例 4-2 过 的弦：数量积与长度关系 模型对照 已知抛物线 ，过点 的直线交抛物线于 、两点，为坐标原点. (1) 求 的值； (2) 求 的值. 【解析】 ，点 ，属于“过 的弦”模型. (1) 设 ，代入 得 ，故 ，.于是 (2) 由 、： 方法点拨：第 (2) 问的化简关键是用 与 同步展开，会发现 恰好约去——这是定值题的典型“巧合”，实为设计. 例 4-3 垂足轨迹：圆 已知抛物线 ，过点 的直线交抛物线于 、两点，过 作 ，垂足为 .证明：点 在定圆上（除原点外）. 【解析】 ，.设 . 因为 且 在 外，故 ，即 在以 为直径的圆上.的中点为 ，半径为 ，故圆的方程为 即 在圆 上（除原点外）. 方法点拨：本题的通法是“几何定位”——见到“垂足”，立刻想“以定线段为直径的圆”.若用代数硬算，需先求 的坐标（联立 与其垂线）再消参，运算量为几何法的数倍.注意“除原点外”：当 为 轴时 退化为 ，此时 与抛物线只有一个公共点，不符合“交于两点”. §5　本模块方法小结 小结一张图记住模块一 焦点弦 → 一把钥匙：（过焦点的代数标志） 　　　　 → 由此派生出焦半径、弦长、倒数定理、面积、半径比 阿基米德三角形 → 一条主线：对称轴（性质 1） 　　　　 → 由此派生出顶点轨迹、面积最值、中点落在抛物线上 定点弦 → 一个判据：由 的值直接读出数量积 　　　　 过焦点 → 数量积 ；过 得 → 数量积 ； 　　　　 过 得 → 数量积 （垂直） 三条备考建议： ① 先核验前提再套结论.本模块所有结论都有前置条件（过焦点、底边过焦点、定点横坐标取值等），模考题最常设置的陷阱就是“条件看似满足实则不满足”. ② 把结论当作“验算工具”而非“解题捷径”.高考解答题要求过程规范，可用结论预判答案，书写时仍以联立 + 韦达为主干（参见模块二策略一）. ③ 建立“意识”.本模块所有定值都可写成 的表达式，凡遇具体数字先化归为 ，可大幅减少记忆量并避免系数错误（如例 3-6 的 与 ）. 要点速记（结论速查表） 一、焦点弦八结论 ① ，；　② ； ③ 通径 ，；　④ （定值）； ⑤ 与准线相切；　⑥ 互相垂直，交点落在准线上； ⑦ ；　⑧ . 二、阿基米德三角形 ① ；若 过焦点，则 ，故 ；　② 与 轴平行； ③ ；　④ 的轨迹为 （与 轴垂直的直线）；　⑤ 在准线上，. 三、两类定点弦 ① 定点 ；　② 定点 ；　③ 定点 . 推导要点：设 ，代入 得 ，而 ，令其等于 得 ，故定点为 . ②取 得定点 ；③设 ，由 ，解得 ，取“过 轴的定点”一支即 型. 教学提示　三处定点公式不要死记，统一用“设 → 韦达 → 代入条件解 ”的流程，避免符号出错. 当堂检测 · 参考答案与点评 1. 焦点 ，准线 .由 得 ，故 ，. 2.（1）设 ，代入 得 ，. 由 得 ，故 恒过定点 . （2），当 （轴）时取到最小值 . 3.（1）在 处的切线为 ，代入 得 ，结合 消去 得 ，同理 亦满足该方程，故 ，. 由阿基米德三角形性质，为弦 的极点，为 的极线： （2）联立 与 得 ，，；到 的距离 ，故 . 模块二 极点极线视角下的圆锥曲线 射影几何高观点 · 代数与几何双定义 · 四大性质 · 调和点列 · 分层例题 · 高考真题六连 极点极线是射影几何的核心概念，也是圆锥曲线的一种内在属性.近年来，以极点极线为背景命制的高考解析几何试题频繁出现——2010 年江苏卷 18、2012 年北京理 19、2020 年新课标Ⅰ卷理 20、2022 年全国乙卷理 20、2023 年新课标Ⅱ卷 21、2023 年全国甲卷理 20，均可在这一框架下获得统一的解释. 极点极线本身不属于高考直接考查的知识范围，但掌握其思想方法有两重价值：一是“高观点”审题，能迅速判断定点、定直线的位置，避免盲目联立；二是“低起点”书写，用结论预判答案，再以初等方法（联立 + 韦达）规范成文.本章按“定义 → 性质 → 调和点列 → 分层例题 → 高考真题”的顺序展开. §1　极点极线的两个定义 1.1　代数定义（便于计算） 在一般二次曲线 中，对点 作如下替换：，，，，，得到的直线 称为点 关于 的极线，称为该直线的极点.记忆口诀：平方拆两半，一次取平均，常数不变. 三个最常用的特例（务必背熟）： 曲线 极线方程 备注 椭圆 切点弦 / 切线统一式 双曲线 注意中间是减号 抛物线 一次项取平均后乘 1.2　几何定义（揭示本质） 设 是圆锥曲线 外一点，过 引两条割线分别交 于 、与 、，连接 、交于 ，连接 、交于 ，则直线 就是点 的极线. 特别地：若 在 上，则过 的切线就是 的极线；若 在 外，极线就是两条切线的切点弦. 理解两种定义等价 代数定义便于列式运算，几何定义揭示射影本质. 解题时：算用代数式，看用几何图. §2　四条基本性质 性质 1　位置关系 设点 与极线 关于 互配，则： · 在 上 是 在 处的切线； · 在 外 是过 的两条切线的切点弦； · 在 内 与 相离，且是过 的割线两端点处切线交点的轨迹. 以圆 与点 为例：极线为 ，它到圆心的距离 .于是在圆上（）（相切）；在圆内（）（相离）；在圆外 （相交）.位置关系一一对应，无例外. 性质 2　配极原则 若点 的极线经过点 ，则点 的极线也经过点 . 推论 1：共线点的极线必共点，共点线的极点必共线. 推论 2：两点连线的极点是这两点极线的交点；两直线交点的极线是这两直线极点的连线. 证明思路（代数版）：设 ，的极线 .若 ，则 ，此式关于 、对称，故等价于 . 性质 3　调和分割性 设极点为 ，过 作 的割线交曲线于 、，交极线于 ，则 、、、构成调和点列： 等价形式（用长度表示，在 外侧时）： 性质 4　焦点与准线的互配 圆锥曲线的焦点与其对应准线互为极点与极线.这是最有用的一条：它把“过焦点的弦”与“顶点在准线上”直接联系起来（正是模块一性质 6 的射影解释）. 以椭圆 为例：右焦点 的极线为 ，即 ——正是右准线.同理左焦点配左准线；抛物线 的焦点 的极线为 ，即准线. 索引四条性质的功能定位 性质 1 → 判断位置（选择题秒杀）； 性质 2 → 处理“共点共线”与“三线共点”（配极原则）； 性质 3 → 处理比例、角平分线、中点（调和分割）； 性质 4 → 处理“焦点—准线”型定点问题（最常考）. §3　调和点列专题 3.1　定义与基本性质 若 、、、四点共线，且 则称 、、、构成调和点列，记作 .等价形式为 ，即 是 与 的调和平均. 调和线束：从一点 出发的四条射线 、、、，若与任意一条不过 的直线相交所得四点构成调和点列，则称这四条射线构成调和线束.射影变换保持调和性，这是它能“穿越”到圆锥曲线上的根本原因. 例 1 调和点列的基本判定 已知点 、在 轴上，点 、也在 轴上.若 、、、构成调和点列，求 的值. 【解析】 由调和点列定义：. 其中 ，，，，代入得 即 ，解得 ，故 . 方法点拨：注意有向线段的方向：与 同向为正，与 反向故出现负号.若题目改用长度（无向）表述，则须先判断 在 的哪一侧，如例 2. 例 2 调和点列与定比分点 已知 、、，点 在 轴上，且 、、、构成调和点列，求点 的坐标. 【解析】 由定义 .因 ，，故 ，于是 ，即 在 的外侧.设 . 情形一：在 的左侧（），则 ，，于是 情形二：在 的右侧（），则 ，，于是 与 矛盾，舍去.综上，. 方法点拨：调和点列的一个基本事实是内分点与外分点成对出现：内分 ，必外分 .故若已知 在 、之间，必在 外，可先据此缩小讨论范围. 例 3 调和点列在高考真题中的应用（2023 全国乙卷理 20） 高考真题 已知椭圆 的离心率为 ，点 在 上. (1) 求 的方程； (2) 过点 的直线交 于 、两点，直线 、与 轴的交点分别为 、，证明：线段 的中点为定点. 【解析】 (1) 由 得 .又 ，故 ，，于是 . (2) 设 .关于 的极线（即过 所引两切线的切点弦）为 由配极原则的推论 2，过 的任意弦 的两端点切线交点的轨迹即为该极线，而 轴截调和线束 所得四点 、、、构成调和点列，其中 为 （即 轴）与 轴的交点，即原点 . 由调和点列的性质：.当 、趋于重合（与椭圆相切）的极限位置，该式给出 、关于 对称，故 的中点为 . 规范书写（初等方法）：设 ，与 联立得 设 、，由 、、共线得 ，同理 .代入 并用韦达定理化简，可证 ，即 的中点为 . 方法点拨：本题是“极点极线预判 + 初等书写”的典型范例.射影视角只负责告诉我们答案（定点为 ），真正得分靠联立与韦达.这也是模块二贯穿始终的策略（见 §6 策略一）. §4　分层例题 第一层　基础巩固 例 4 极点极线判断（2021 新高考Ⅱ卷 11，多选） 已知直线 与圆 ，点 ，则下列说法正确的是（　　） A. 若点 在圆 上，则直线 与圆 相切 B. 若点 在圆 内，则直线 与圆 相离 C. 若点 在圆 外，则直线 与圆 相离 D. 若点 在直线 上，则直线 与圆 相切 【解析】 由极点极线定义，点 关于圆 的极线方程为 ，即题中直线 .由性质 1 的位置关系： A. 极点在圆上 极线与圆相切.正确. B. 极点在圆内 极线与圆相离.正确. C. 极点在圆外 极线与圆相交（不是相离）.错误. D. 点 ，即 ，说明 在圆上，由 A 知相切.正确. 答案：ABD. 方法点拨：本题用 与 比较也能做（），但用极线框架可一眼判定且不会漏项.这是极点极线在选择题中的最大价值. 例 5 极线方程计算 已知椭圆 ，点 .求点 关于椭圆 的极线方程. 【解析】 由椭圆极线公式 ，代入 、、、： 化简得 ，即 . 方法点拨：极线方程是“切点弦”的统一表达式，点 在椭圆上时即为切线，在椭圆外时即为切点弦.注意 满足 ，故 在椭圆外，此时 是过 的两条切线的切点弦. 例 6 切线方程（极线的特例） 已知抛物线 ，点 在抛物线上.求抛物线在点 处的切线方程. 【解析】 点 在抛物线上，其极线即为切线.由抛物线极线公式 ，其中 即 ，代入 、： 化简得 . 方法点拨：验证——联立 与 得 ，判别式 ，确为切线.抛物线切线公式 是最易记错的公式之一：左边是 （不是 ），右边括号内是 （不是 ）. 第二层　能力提升 例 7 切点弦与三角形面积 已知抛物线 ，过点 作抛物线的两条切线，切点为 、.求 的面积. 【解析】 切点弦：点 关于 的极线为 ，即 ，化为标准形式 . 联立 ：由 代入得 ，即 .设 、，则 ，. 弦长：由 知 （横截式 ），故 点 到直线 的距离 面积 方法点拨：本题的运算主干是“切点弦 + 弦长 + 点线距”，极线公式只省去“求切点”的一步.注意弦长公式用 （横截式）还是 （斜截式）要与所设直线一致，本题直线为 ，写成 后 ，故用 . 例 8 双曲线中的定点问题 已知双曲线 ，点 .过 作双曲线的两条切线，切点为 、.求证：直线 过定点. 【解析】 点 关于双曲线 的极线方程为 即 . 由极点极线性质，切点弦 即为点 的极线，故直线 的方程为 ，恒过定点 . 方法点拨：本题“过定点”其实是 为定直线 ——定直线必过其上每一点，故题设所称“定点”可取 .这类题的标准答法是“直线 的方程为 ，故过 轴上任意定点，特别地过 ”.注意双曲线极线公式中间是减号，且 恰好消去系数. 例 9 配极原则与定直线 已知椭圆 ，点 在椭圆内部.过 作两条直线分别交椭圆于 、和 、，连接 、交于点 .求证：点 在定直线上. 【解析】 由配极原则的推论 2：两直线交点的极线是这两条直线极点的连线.在完全四边形 中，（对角线交点）与 互为极点与极线关系. 点 的极线方程为 由极点极线的几何定义，完全四边形 的对角线交点 与 构成一对极点与极线，因此点 必在点 的极线上，即直线 上. 方法点拨：本题若用坐标硬算（设四条直线、求四个交点、再求 的轨迹），运算量极大且极易出错；而配极原则一步到位.这是“高观点”威力的最佳例证——它把“求轨迹”变成了“写一条极线”. §5　高考真题六连（极点极线视角） 以下六道真题均可在极点极线框架下“预判答案 + 初等书写”.每道题只给出核心步骤与结论，完整过程请对照学生版留白自行补全——这也是训练“规范书写”的最佳材料. 真题 1 2010 年江苏卷 18（3） 真题 在平面直角坐标系 中，已知椭圆 的左、右顶点为 、，右焦点为 .设过点 的直线 、与椭圆分别交于点 、，其中 ，，. (1) 设动点 满足 ，求点 的轨迹； (2) 设 ，，求点 的坐标； (3) 设 ，求证：直线 必过 轴上的一定点（其坐标与 无关）. 【解析】 第 (3) 问（极点极线视角）：，.当 时 ，其关于椭圆的极线方程为 不论 为何值，该直线恒过定点 .由极点极线性质，即为 的极线，故 恒过定点 . 答案：恒过定点 . 方法点拨：初等写法是设 、方程、求 、坐标、写出 方程，再用 代入整理成“含 的项归零”的形式.极线法把这一整段压缩为一行. 真题 2 2012 年北京理 19（2） 真题 已知曲线 . (1) 若曲线 是焦点在 轴上的椭圆，求 的取值范围； (2) 设 ，曲线 与 轴的交点为 、（在 上方），直线 与曲线 交于不同的两点 、，直线 与直线 交于点 .求证：、、三点共线. 【解析】 第 (2) 问：时 ，即 ，与 轴交于 、. 直线 恒过点 .点 关于椭圆的极线方程为 由配极原则，直线 与极线 的交点 与 、共线. 答案：、、三点共线. 方法点拨：本题的关键是“看出 过定点 ”并“算对该点的极线”.极线恰为 ，与题中给定的直线 完全吻合——这绝非巧合，而是命题者按极线反向设计. 真题 3 2020 年新课标Ⅰ卷理 20（2） 真题 已知 、分别为椭圆 的左、右顶点，为 的上顶点，.为直线 上的动点，与 的另一交点为 ，与 的另一交点为 . (1) 求 的方程； (2) 证明：直线 过定点. 【解析】 (1) 、、，则 、，故 ，，. 第 (2) 问：设 ，其关于椭圆的极线方程为 直线 即为 的极线，令 得 . 答案：直线 恒过定点 . 方法点拨：本题是“定点在 轴上”的标准题型——只需在极线方程中令 消去参数 .这是一个通用技巧：凡定点在坐标轴上，就在极线方程中令另一坐标为 . 真题 4 2022 年全国乙卷理 20（2） 真题 已知椭圆 的中心为坐标原点，对称轴为 轴、轴，且过 、两点. (1) 求 的方程； (2) 设过点 的直线交 于 、两点，过 且平行于 轴的直线与线段 交于点 ，点 满足 .证明：直线 过定点. 【解析】 (1) 设 ，代入 得 ；代入 得 ，故 .于是 . 第 (2) 问：直线 的方程为 .点 关于椭圆的极线方程为 由极点极线的调和性质，直线 必过点 的极线与 轴的交点.令 得 . 答案：直线 恒过定点 . 方法点拨：本题题面复杂（意味着 是 的中点），但结论形式仍是“过 轴定点”.极线法直接给出 ，剩下的工作只是用初等方法验证——这正是“高观点预判、低起点书写”的完整流程. 真题 5 2023 年新课标Ⅱ卷 21（2） 真题 已知双曲线 的中心为坐标原点，左焦点为 ，离心率为 . (1) 求 的方程； (2) 记 的左、右顶点分别为 、，过点 的直线与 的左支交于 、两点，在第二象限，直线 与 交于 .证明：在定直线上. 【解析】 (1) ，，故 ，，. 第 (2) 问：、.点 关于双曲线的极线方程为 即 .由配极原则，直线 与 的交点 必在点 的极线上. 答案：点 在定直线 上. 方法点拨：注意“左支”这一限制只影响图形的存在性，不影响极线结论.本题的极线 恰在双曲线两支之间（为含虚轴的区域），与“在左支对应位置”的图形相符——可作为答案合理性的快速核验. 真题 6 2023 年全国甲卷理 20 真题 已知直线 与抛物线 交于 、两点，且 . (1) 求 ； (2) 设 为 的焦点，、为 上两点，且 ，求 面积的最小值. 【解析】 (1) 由 得 ，代入 得 .直线与抛物线有两个交点，故 ，即 .由韦达定理 ，.于是 故 ，焦点 . (2) 设 、，直线 （，否则 过 ）.代入 得 由 得 ，即 点 到直线 的距离 ，又 .故 把 代入，得 ，于是 由 得 或 .当 时 取最小值 . 答案：面积的最小值为 . 方法点拨：本题是“垂直条件 → 参数约束 → 单变量最值”的标准链条.关键一步是把 化成 与 的关系 ，再把面积 也化成只含 的式子——两个式子用同一组参数表达，才能消元.这正是极点极线视角下“设线不设点”（设 而非设两点坐标）的威力所在. §6　命题规律与解题策略 6.1　命题规律 ① 常出现在解答题压轴位置，分值约 分； ② 以定点、定值、定直线为主要考查方向； ③ 题干常出现“切线”“切点弦”“三点共线”“过定点”等关键词； ④ 解题时可用极点极线快速预判结论，再以初等方法规范书写； ⑤ 近年涉及年份：2023 全国甲卷理 20、2023 新课标Ⅱ卷 21、2023 全国乙卷理 20、2022 全国乙卷理 20、2021 全国甲卷理 20、2020 新课标Ⅰ卷理 20 等. 6.2　三条解题策略 策略策略一　预判结论，初等验证 用极线方程快速确定定点、定直线的位置，再用联立 + 韦达规范书写过程. 例：2010 江苏 18(3)，先由 预判定点 ，再联立验证. 策略二　配极原则，化繁为简 把复杂几何关系转化为极线方程的计算. 例：2023 新课标Ⅱ 21，利用 的极线 直接得出 的轨迹. 策略三　调和性质，角度转化 用性质 3 的调和分割性处理角平分线、等比关系. 例：涉及 的等角问题，可用调和点列快速证明. 变式 1 椭圆过 的切点弦 已知椭圆 ，过点 作椭圆的两条切线，切点为 、.求证：直线 必过定点. 【解析】 点 关于椭圆的极线为 由性质 1，切点弦 即为该极线，故 ，恒过 轴上的点 （实际上是过整条直线 ）. 方法点拨：与抛物线“过 的弦”对照——抛物线的结论是 ，椭圆的结论是切点弦为定直线 .两者的共性在于“定点在对称轴上，极线垂直于对称轴”. 变式 2 双曲线的“垂线对称”与定点 已知双曲线 ，过点 的直线与双曲线交于 、两点，过 作 轴的垂线交双曲线于另一点 .求证：直线 过定点. 【解析】 设直线 ，代入 得 设 、，则 由对称性，.设直线 与 轴交于 ，由 、、三点共线： 把 代入并整理（消去 ），得 将韦达定理代入： 故直线 恒过定点 . 方法点拨：定点横坐标满足 ，这是“过 轴上点 作弦、把一端关于 轴反射后与另一端连线”的标准结论.记忆方式：的极线为 ，而反射连线所过定点恰在该极线上.故本题虽由垂线生成，结论却落在极线上——这正是极点极线“穿透”初等题型的体现. 变式 3 切点弦交点的轨迹 题设修正 已知抛物线 ，过点 作直线与抛物线交于 、两点，分别过 、作抛物线的切线，两切线交于点 .求点 的轨迹. 【解析】 ，.由性质 2：设 ，则底边 所在直线为 因 过 ，代入得 ，即 . 故点 的轨迹为直线 ，即点 关于抛物线的极线. 验证：取 ，与 联立得 ，故 ，.由切线交点公式 与结论一致. 方法点拨：本题是“已知底边过定点 顶点轨迹为直线”的正向应用（性质 2）.反向提问（“已知顶点在定直线上，求底边定点”）同样常见，见例 3-3.注意：源材料中曾将此题设为“求证 在 处的切线 上”，经核算 一般不满足 （仅 时成立），故该设问有误，此处已修正为求轨迹. 变式 4 调和点列应用 已知椭圆 ，点 、，过点 的直线与椭圆交于 、两点.求证：直线 与 的交点在定直线上. 【解析】 点 关于椭圆的极线为 由配极原则，与 的交点 必在 的极线上. 答案：交点 在定直线 上. 方法点拨：本题与真题 1（2010 江苏）同构：都是“轴上定点 + 顶点连线交点在定直线”.通用结论：椭圆 上，左顶点 、右顶点 ，过 轴上点 作弦 ，则 与 （或 与 ）的交点在定直线 上.本题 ，，故 ，与计算一致. §7　学习建议 ① 先掌握定义与基本性质，特别是代数定义中极线方程的写法（“平方拆两半、一次取平均”）； ② 通过分层例题熟练应用，从基础巩固到高考真题逐步提升； ③ 注意高考评分标准：解题过程仍需以常规方法规范书写，极线只用于预判； ④ 适度拓展至调和点列与配极原则，理解射影几何的对称之美； ⑤ 建议学习时长 课时，配合变式训练巩固. 收束一句话总结模块二 极线 = 切点弦 = 定点的“影子”；配极原则 = “你过我的极线，我就过你的极线”； 把这三句记牢，六道高考真题都能在 30 秒内看出答案. 要点速记（结论速查表） 一、极点极线定义：的轨迹是一条直线，称为 关于 的极线；也是 的极点（二者互为极点与极线）. 二、极线方程：；当 在椭圆上时，该直线即为过 的切线；当 在椭圆外时，是两条切线的切点弦. 三、四性质：① 在 的极线上；② 极点所在直线为过定点的动直线（对偶）；③ 成调和点列，即 ；④ 中心 的极线是无穷远直线，焦点与对应准线互为极点极线. 四、调和点列：. 当堂检测 · 参考答案与点评 1. 极线为 ，即 .又 ，故 在椭圆外，该极线是过 的两条切线的切点弦. 2. 设 ，代入 得 ，，. 设 ，直线 交 轴于 ，由 、、共线得 ，解得 . 代入 ：. 故直线 恒过定点 .极线视角：关于椭圆的极线为 ，、关于 轴对称使 过 轴上的无穷远点，故 必过该极线与 轴的交点. 3. 由 、得 ，，故 . 设 、，由 、、共线得 ，同理 ，故 . 设 ，由过 得 .代入椭圆化简后由韦达定理可证 为与 无关的常数，故 的中点恒为定点. 教学说明　本题完整推导（含韦达代入与整体代换）见模块二正文例 3，此处只列关键步骤供核对；学生作答时应按正文规范（设参数 → 列韦达 → 整体代换 → 收口）呈现. 模块三 典型算理算法 定比分点差法 · 齐次化 · 极点极线 · 蝴蝶模型 · 参数方程 · 非对称韦达 “算理”回答为什么这样算，“算法”回答按什么步骤算.本章整理四类圆锥曲线解答题的核心算理，每一类都配有典型例题、变式与“导师点评”，力求让学生在遇到新题时能识别类型、调出算法、写清步骤. 导览四类算理速览 一、定比分点差法：处理“三点共线的定比分点”，核心是“配比作差消平方”； 二、齐次化：处理“过定点的两直线斜率之和/积”，核心是“构造常数 1”； 三、极点极线：处理“定点、定直线、切点弦”，核心是“极线方程”； 四、蝴蝶模型：处理“两直线与曲线交点的连线过定点”，核心是“求交点坐标 + 因式分解”. §1　算理一：定比分点差法 适用特征：题中出现 、等“定比分点”条件，且 、都在曲线上. 核心算理：把定比条件翻译成坐标的线性关系（），再把 、的坐标分别代入曲线方程，对含 的式子乘以 后作差，使平方项抵消，提取出公因式 与 ，从而直接求出所需的量. 算法步骤： ① 设 、，由定比条件列线性关系； ② 写出两个“点在曲线上”的方程 、； ③ 将 乘以 得 ，作 ； ④ 用平方差公式分解，代入 ① 的线性关系求值. 例 1 椭圆中的定比分点（） 核心算理 已知椭圆 的离心率为 ，过右焦点 且斜率为 的直线与 相交于 、两点，若 ，求 . 【解析】 第一步：化归.由 得 ，即 ，.为便于计算，令 ，则 ，，椭圆化为 第二步：翻译定比.设 、，由 得 第三步：配比作差.由 、在椭圆上： 将 乘以 得 ，再用 ： 代入 、，得 ，即 . 第四步：解出坐标.两式相加得 ，故 ；两式相减得 ，故 .代回椭圆方程得 ，即 . 第五步：由 定号求斜率.因 ，要使 ，必须取 .故 答案：. 导师点评：本题算理核心是“设而不求”与“整体代换”.关键算法在配比：对含 的式子乘 ，使作差后能提取公因式 、，从而直接代入定比关系.这是处理“曲线上两点与定比分点连线”问题的根本算法——比值是多少，就乘它的平方. 例 2 由长度比反求参数范围 已知 ，过点 的直线交椭圆于 、（可以重合），求 的取值范围. 【解析】 设 、，令 .由定比分点坐标公式 得 配比作差.由 、在椭圆上，对含 的式子乘 后作差： 代入 、，第一项为零，得 与 联立相加，解得 由 得 ，即 . 用几何位置筛解.因 在椭圆外部，且直线过 与椭圆的交点都在 的同一侧，故 、分处 的两侧并不成立，而由 知（在 、之间时 与 反向）.于是 ， 故 . 导师点评：算理与例 1 同源，精妙在于把几何比例转化为代数参数 ，再用坐标的有界性反求参数范围.“配比作差”绕过了求交点坐标，直接建立 与纵坐标 的函数关系，再结合椭圆的范围限制得出比值范围，体现了方程思想与函数思想的融合.注意最后一步必须用几何位置筛除增解. 例 3 双焦点的两次定比 中间量对接 已知椭圆 的左、右焦点分别为 、，、、是椭圆上的三个动点，且 ，.求证：. 若进一步给定 ，，求 的值. 【解析】 设 、、. ① 关于 的定比.由 及 ： ② 配比作差.由 、在椭圆上，对含 的式子乘 后作差： 代入 ① 中的两个线性关系，第二项为零，得 与 相加，解出中间量 ： ③ 关于 的同法操作.由 、得 ；同样作差得 .相加得 ④ 用 对接.比较两式（是同一个量）： 整理即得 ⑤ 代入求值.取 ，则 、，，.代入上式得 ，故 . 答案：；当 、时，. 导师点评：本题是定比分点差法在“双焦点”背景下的高级应用.两次运用向量关系，分别得出含 与 的坐标关系，再分别与椭圆方程联立作差.算法的核心在于用中间变量 作桥梁——同一张图上 只有一个，于是两次算得的 必须相等，这正是“算理闭合”的地方.值得注意：结论中 、的地位并不对称（前是负号），它反映的是 、分居 两侧的几何事实，代入时务必保持符号. §2　算理二：齐次化 适用特征：题中要求处理“过某定点的两条直线的斜率之和或斜率之积”，或要求证明“两直线斜率之和为定值”. 核心算理：把曲线方程中的常数项，用“过定点直线的方程变形得到的 ”替换，使整个方程变成关于 、的二次齐次式；再除以 ，即得关于 （斜率）的一元二次方程，斜率之和与积由韦达定理一步得出. 算法步骤： ① 写出曲线方程（若定点不在原点，先作平移使定点为新原点）； ② 把过定点的直线方程变形为“”的形式； ③ 用该式替换曲线方程中的常数项，化为二次齐次式； ④ 两边同除以 ，利用韦达定理读出斜率之和/积. 例 4 抛物线的齐次化： 构造常数 1 已知抛物线 ，过点 的直线与抛物线交于 、两点，为坐标原点.证明：. 【解析】 显然直线 不垂直于 轴（否则只有一个交点），设 ，变形得 ——这就是要构造的“常数 ”. 齐次化.把抛物线方程 写成 ，再用上式替换 ： 这是关于 、的二次齐次式.两边同除以 （、均不在 轴上，）： 这说明 与 是方程 的两根.由韦达定理 即 ，故 ，即 . 导师点评：齐次化算理的精髓在于构造常数 .传统联立需设 后分别算出 、，再逐个求 与 ，最后验证 ，运算冗长；本算理把过定点的直线方程变形成“”，用它替换常数项，从而把方程整体化为二次齐次式，除以 后一步读出斜率之积.特别注意：定点 恰好使“”右端只含 、、而无常数，这是命题者保证齐次化顺畅的设计；若定点为 ，则需先把方程写为 . 例 5 平移齐次化：斜率之和为定值 平移法 已知椭圆 ，经过点 的直线与椭圆 交于不同两点 、（均异于点 ），证明：直线 与 的斜率之和为定值，并求出该定值. 【解析】 第一步：把定点搬到原点.令 （即 ），则 对应 ，对应 .椭圆方程变为 此时 ，正是新坐标下的斜率. 第二步：设直线并构造常数 .因 过 且不过 ，可设 第三步：齐次化.把椭圆方程中的“”写成 ，得 第四步：除以 ，记 ： 设 、对应的斜率分别为 、，由韦达定理 第五步：用定点条件收口.由 得 ，故 答案：，为定值. 验算.取 ，则 ，（即 ），与椭圆交于 ，两斜率分别为 ，和为 ，与之相符. 导师点评：本题算理是平移齐次化.求“过定点 的两直线斜率之和”，若直接在原坐标系齐次化，曲线方程中会残留一次项 ，无法除尽 得到纯斜率方程；把 搬成新原点后，一次项恰好可以“借”直线方程凑成二次齐次项.核心算理：斜率之和/积问题，先平移把定点变原点，再施行齐次化.另需注意第二步的细节——直线设为 （而非 ），这样“”才能与常数项精确对位，也才能直接代入韦达结果. 例 6 齐次化反求定点 反求定点 已知椭圆 ，设直线 不经过点 且与 相交于 、两点.若直线 与直线 的斜率之和为 ，证明：直线 恒过定点. 【解析】 第一步：平移.令 ，则 对应原点，椭圆变为 此时 . 第二步：设直线并齐次化.因 不过原点，可设 ，即“常数 ”就是 .把上式中的 改写为 ： 第三步：除以 用韦达.记 ，得 由题设 ，得 ，即 第四步：直线系定定点.把 代回 的方程（换回原坐标 ）： 对任意 恒成立，需 且 ，解得 ，. 答案：直线 恒过定点 . 导师点评：本题是平移齐次化的“正向用”与“反向用”——例 5 是已知定点证斜率之和，本题是已知斜率之和反求定点.算理链条十分干净：齐次化 → 韦达给出 → 由已知条件得 、的一次关系 → 代回直线方程、用直线系思想把含参数的项归并，读出定点.一个细节必须交代：不过 等价于“原点不在 上”，即 ——这自动成立，因此设 不会漏解（若设为 ，则 且需再除以 ，反而添乱）. §3　算理三：极点极线的实操（参数化 + 降幂消元） 模块二给出了极点极线的理论框架，本节聚焦没有“标准极线型”设问时的实操算法：当题目要求“直线 过定点”而无法直接写出极线时，就用坐标参数化 + 降幂消元. 算法步骤： ① 设动点 ，把所有相关点（、等）的坐标都用 、表示； ② 写出目标直线（如 ）的方程； ③ 用 在曲线上的关系式（如 ）降幂消元，把方程整理成 “” 的形式； ④ 令含参数的项系数为零，解出定点. 例 7 参数化求定点（椭圆） 已知椭圆 过 、两点. (1) 求椭圆 的离心率； (2) 设椭圆 的右顶点为 ，点 在椭圆 上（不与顶点重合），直线 与直线 交于点 ，直线 交 轴于点 .求证：直线 过定点. 【解析】 (1) 由 、在椭圆上得 ，，，故 . (2) 椭圆方程为 ，.直线 . 设 ，则 在 上，可设 ；在 轴上，设 . 由 、、三点共线（）： 由 、、三点共线： 写出直线 的方程并代入 化简（降幂消元）.由两点式 ，交叉相乘并整理，得 令 即 ，则 （此时第一项系数 ，因为 不在 上时 ）. 答案：直线 恒过定点 . 导师点评：本题算理在于坐标参数化与方程的交汇.设 点坐标，利用 、分别求出 、，再写 的方程；核心操作是代入 降幂消元，把 的一次项系数整体凑成含 、的表达式.若能站在极点极线的视角，可知这一“凑”并非巧合：与 轴的交点 的极线正是过 的切线，而 在椭圆上，其切线为 ——定点就落在 上，且 恰是 的横坐标，运算因而必然收敛到 .先有几何预判，再有代数收口，这是极线视角给运算带来的最大红利. 例 8 非对称韦达的处理 非对称韦达 若双曲线 与椭圆 共顶点，且它们的离心率之积为 . (1) 求椭圆 的标准方程； (2) 若椭圆 的左、右顶点分别为 、，直线 与椭圆 交于 、两点，设直线 与 的斜率分别为 、，且 .试问：直线 是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由. 【解析】 (1) 双曲线化为 ，顶点为 ，.故椭圆 ，，，.椭圆 . (2) 设 （不与 轴平行；若 轴可另行验证），代入 得 设 、，由韦达定理 由 、得 ，.题设 即 交叉相乘并整理，得非对称式 配凑：把 中不含 的部分按“与 ”重新分配.注意到 ，故 等价于 前两项的通分结果为 ，于是 换一条路消元（只用 ）：若不引入 ，可直接把 代入 （），整理得 恒等分析：上式须对任意 及对应的 成立.若 ，则需 ，但 是由求根公式确定的、含 的量，不可能对一切 等于该有理式，故只能 .（最快的判定：时（即 ，的场合）左端恒为 ，不由 决定.） 当 时，恒成立，直线与椭圆必有两交点. 答案：直线 恒过定点 . 导师点评：本题算理为斜率关系的代数化.把斜率条件转化为坐标的比例关系，交叉相乘化简，避免直接求根.关键步骤是对含 、的非对称式进行配凑——把 拆成 ，使对称部分可用韦达定理整体代入，非对称部分则借“恒成立”逼出参数.这就是处理非对称韦达问题的经典算理：先造对称，再用韦达.也正因为 时式 首尾系数恰好一致（），非对称部分才可能被消灭——命题者的数据设计正落在这里. §4　算理四：蝴蝶模型与参数方程 适用特征：题中出现“过 轴上定点 的两条直线分别交曲线于 、，求证 过定点”，或出现线段乘积的等比关系. 核心算理：先用“特殊位置探路”锁定定点大致位置，再用“一般位置验证”；求交点坐标时，因已知一个交点，可用韦达定理直接写出另一个交点的坐标，避免硬解. 例 9 蝴蝶模型：椭圆 + 上顶点引线 蝴蝶模型 已知 、分别为椭圆 的左、右顶点，为 的上顶点，，为直线 上的动点，直线 与 的另一交点为 ，直线 与 的另一交点为 . (1) 求 的方程； (2) 证明：直线 过定点. 【解析】 (1) 由 的方程得 、、，故 ，，，即 .椭圆 . (2) 特殊位置探路.取 （此时 是要单独排除的奇点，暂避），按下面的一般计算可得 ——据此猜测定点为 . 一般位置求交点.设 .直线 的方程为 ，与椭圆联立： 已知 是它的一个根（点），由韦达定理 ，故 同理，直线 与椭圆联立得 ，由 得 写出 并令 .由两点式算出斜率 ，代入 点得直线 ： 整理为 ，令 得 ，即 （时；当 时上式退化为 ，同样成立）. 答案：直线 恒过定点 . 导师点评：本题算理分两段.前半是几何算理：由数量积条件反解 ，一步到位.后半是典型的蝴蝶模型：核心化简技巧不在“算”，而在“认”——联立后已知一根，用韦达定理直接写出另一交点，避免硬解根式；而 过定点的根本原因，是 在定直线 上运动时，二次曲线上的“对合”结构把 、配成对，连线必过对合的中心.定位中心最快的办法就是让 走到特殊位置（如 或 的极限情形）先“看见”定点，再回来做一般性验证——这就是“特殊探路、一般收口”的解题节奏. 例 10 直线参数方程处理等比关系（变式 3） 参数方程 已知椭圆 过点 ，且左焦点为 . (1) 求椭圆 的方程； (2) 当过点 的动直线 与椭圆 相交于不同点 、时，在线段 上取点 ，且满足 ，证明：点 总在某定直线上. 【解析】 (1) ，设 ，代入 得 ，解得 ，.椭圆 . (2) 引入参数方程.设 过 、倾斜角为 ，取参数方程 此时 就是直线上动点到 的距离，对应 .代入椭圆方程 ，整理得 设 、对应 、，对应 .由韦达定理 关键转化.由 得 ，即 .设 在 、之间，去掉绝对值号得 （这正是 ，即 是 、关于 的调和共轭点.）代入韦达定理，分子 与分母 中的公因式 恰好约去： 于是 的坐标为 消参.纵坐标为常数 ，与 无关，故点 恒在定直线 上（横坐标随 变化可取到任意实数）. 答案：点 总在定直线 上. 导师点评：本题算理极为巧妙——引入直线的参数方程.核心是把线段的乘积比例关系转化为参数 的比例关系，从而认出 是 、关于 的调和共轭点；再用韦达定理把 用倾斜角表示.此后出现了一个“幸运”的化简：的分母只含 ，于是 中的 被完全约掉，得到一个与 无关的常数——这正是“算理通了，计算自然漂亮”.顺便指出：定点 关于椭圆的极线是 ，即 ，与本题结论完全一致——调和共轭正是极点极线性质 3 的内容，可见此处是“参数方程”与“极点极线”两条路径的合流. 要点速记（结论速查表） 一、定比分点差法：① 两个坐标关系；② 乘 ，作差；③ 解出同一个中间量（如 ），用它对接两次结果（“算理闭合”）. 二、齐次化：斜率之和或积为定值.① 先平移；② “”；③ 替换常数项；④ 除以 . 注意：只有 中的“”才能与曲线方程的常数项 精确对位，替换后不残留一次项；若设为 ，需再整体除以 ，且韦达结果中出现 ，无法与定点条件衔接. 三、蝴蝶模型：求斜率关系或证明过定点；用参数式（）；把“共线”翻译成斜率相等. 当堂检测 · 参考答案与点评 1. 由 得 、，即 ，. 对 作差（第二式乘 ）：，代入得 ，即 . 联立解得 ，代入椭圆得 ，.又 ，故 ，即 . 2. 设 ，代入 得 ，. 为定值 .说明：本题因 为原点、定点在 轴上，直接代换已足够简洁，不必强行齐次化——“能用韦达就不必齐次化”也是算理选择的一条经验. 3. 设 ，代入 得 ，，. 由 得 、，故 代入韦达：分母 ，分子 ，故 ，为定值. 推广：椭圆 ，顶点 ，过 的弦 ，则 .本题 ，，，代入得 ，与上一致. 教学提醒　易错求 （它等于 ，不是定值）.判定“定值”的标准是：结果里不再残留参数 ，即韦达代入后 被完全约去. §5　学习建议 ① 先练定比分点差法：凡见 ，一律“配比作差消平方”； ② 齐次化只在“过定点的两直线斜率之和/积”出现时用，且必须验证常数项非零； ③ 极点极线用作预判，正写过程仍需联立 + 韦达；极线只帮你提前知道答案长什么样； ④ 蝴蝶模型的关键是“已知一根用韦达写另一根”，避免硬解根式； ⑤ 四类算理各配 至 道变式，建议学习时长 课时. 收束一句话总结模块三 看到定比就作差，看到斜率和就齐次化，看到定点定直线就想极线，看到两线交点过定点就设参数； 四把钥匙对上四把锁，圆锥曲线大题的第二问就有了起手式. 学科网（北京）股份有限公司 $ 圆锥曲线专题 抛物线 · 阿基米德三角形 · 极点极线 三大模块统一编排 · 高观点下的解析几何 学生导学案 知识要点填空 · 典型例题解析留白 · 当堂检测 · 方法小结 目　录 模块一　抛物线核心结论与阿基米德三角形 　　　　焦点弦八条结论 / 几何与圆 / 阿基米德三角形八性质 / 两类定点弦 模块二　极点极线视角下的圆锥曲线 　　　　定义与四性质 / 调和点列 / 分层例题 / 高考真题六连 模块三　典型算理算法 　　　　定比分点差法 / 齐次化 / 极点极线 / 蝴蝶模型 模块一 抛物线核心结论与阿基米德三角形 焦点弦八条核心结论 · 几何与圆的相切共线 · 阿基米德三角形八条性质 · 两类定点弦模型 抛物线是圆锥曲线中结构最简洁、结论最丰富的一支.以 为统一模型，凡过焦点 的弦、凡过定点 的弦、凡两条切线与弦围成的三角形，其结论均可由一组固定算理推出.本模块把这批结论整理为四个板块，先给结论与推导路径，再用例题落地，便于在考场上“认得模型、叫得出结论、写得出步骤”. 导学本模块学习路线 ① 焦点弦 → 坐标关系、焦半径、弦长、倒数定理、面积（第 1 节） ② 几何与圆 → 两类相切、两组共线、切线交点等比（第 2 节） ③ 阿基米德三角形 → 定义、八条性质与证明（第 3 节） ④ 特殊定点弦 → 过 与过 两类常考模型（第 4 节） §1　焦点弦的八条核心结论 模型约定：抛物线 ，焦点 ，准线 .过 的直线（倾斜角 ）交 于 、两点.以下八条全部建立在这一约定上. 结论 1　坐标关系 推导要点：设 ，代入 得 ，由韦达定理 ；再由 .两个定值一正一负，是全部结论的根. 结论 2　焦半径公式 推导要点：（抛物线定义），而 ，结合 即得.也可记作 ，. 结论 3　弦长公式 说明：，当 时取最小值，这正是通径（结论 5）的来源.结论 2 与结论 3 也可合并验证：. 结论 4　倒数定理（调和性质） 说明：这是把结论 2 通分直接得到的定值.其几何意义是 、、成调和数列——焦点弦的两个焦半径关于半通径调和共轭，这也是极点极线“调和分割性”在抛物线上的具体表现（见模块二）. 结论 5　通径 过焦点且垂直于对称轴的弦称为通径，其长为 ，是抛物线最短的焦点弦.半通径 是抛物线最重要的长度尺度，几乎所有定值都以 为单位. 结论 6　面积公式 推导要点：以 为底，到 的距离为 （为 横截式的参数），再代入结论 3 化简.面积最小值 ，在 （通径）时取得. 结论 7　焦半径之比与倾斜角 说明：与结论 2 同源，是处理“求斜率”这类题的速算式.由 反解 . 结论 8　中点坐标 说明：设 .中点 的轨迹是一条抛物线 ，即把原抛物线的顶点平移到焦点位置. 结论 表达式 关键用途 ① 坐标关系 ， 联立后代换、消元 ② 焦半径 已知角度求长度 ③ 弦长 最值、定值 ④ 倒数定理 定值证明 ⑤ 通径 （最短焦点弦） 范围估计 ⑥ 面积 面积最值 ⑦ 半径比 由比求斜率 ⑧ 中点 中点轨迹、平行关系 例 1-1 焦点弦基本量的联动计算 已知抛物线 的焦点为 ，过 的直线交抛物线于 、两点，若直线 的倾斜角为 . (1) 求 ；(2) 求 ；(3) 求 的面积. 【规范答题区】 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 例 1-2 由焦半径之比反求斜率 已知抛物线 的焦点为 ，过 的直线交 于 、两点.若 ，求直线 的斜率. 【规范答题区】 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 例 1-3 焦点弦与向量数量积 已知抛物线 的焦点为 ，过 的直线交抛物线于 、两点. (1) 求 与 的值； (2) 判断 是否为定值，并说明理由. 【规范答题区】 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · §2　焦点弦背后的几何性质：相切、共线、等比 焦点弦与焦半径背后藏着四个经典结论，它们是解析几何综合题的高频背景.本节的四条结论均可用“点到直线距离 + 中点坐标”完成证明，但记住结论后可直接判读. 性质 A　以焦点弦为直径的圆与准线相切 设 为 中点，则圆心为 ，半径 .由梯形中位线（、到准线的距离分别为 、）： 故圆与准线相切.推论：切点正是 中点在准线上的射影. 性质 B　以焦半径为直径的圆与 轴相切 以 为直径的圆，圆心为 中点 ，半径 .而 到 轴的距离恰为 ，故相切.同理以 为直径的圆也与 轴相切. 性质 C　切线交点与顶点的两组共线 设过 的切线与准线交于 ，过 的切线与准线交于 ，则 、、三点共线，、、三点共线. 推导：过 的切线为 ，令 得 ，利用 化简得 .再由 得 型的对称结构，代换后即证 . 性质 D　两切线交点 在准线上，且 、、成等比数列 设过 、的切线交于 .联立 与 ，利用 可解得 故 必在准线上，且 与 中点纵坐标相同（这正是阿基米德三角形“中线平行对称轴”，见 §3 性质 1）.又 （因 ），故在 中 为斜边上的高，由射影定理即得 即 、、成等比数列.这是“焦点弦阿基米德三角形”的核心度量关系. 速记四个性质的一句话记忆 弦为直径的圆 → 切准线；　焦半径为直径的圆 → 切 轴； 切线交准线于 → 与 各自共线； 两切线交点 → 在准线上，且 . 例 2-1 以焦点弦为直径的圆与准线相切 已知抛物线 的焦点为 ，过 的直线交抛物线于 、两点，为线段 的中点.求证：以 为直径的圆与抛物线的准线相切. 【规范答题区】 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 例 2-2 切线交点、准线与等比关系 性质 D 完整证明 已知抛物线 的焦点为 ，过 的直线交抛物线于 、两点，过 、的切线交于点 . (1) 求点 的横坐标，并说明 在准线上； (2) 证明：、、成等比数列. 【规范答题区】 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · §3　阿基米德三角形：定义与八条性质 定义：过圆锥曲线上任意两点 、分别作两条切线相交于点 ，则称 为阿基米德三角形.其中 为顶点，为底边.当底边 过焦点时，称为阿基米德焦点三角形.本节以抛物线 为例，结论可平移到椭圆与双曲线. 先给出贯穿全节的基础工具——切线方程：抛物线 上一点 处的切线为 推导：对 两边求导得 ，故 ，切线为 ，整理并代入 即得上式.这一方程同时也是点 关于抛物线的极线（见模块二）. 性质 1　底边上的中线平行于抛物线的轴 设 、，为 中点.过 的切线为 ，过 的切线为 ，联立两式相减： 由 得 ，即 轴.这条性质是“阿基米德三角形”全部度量结论的入口——它把顶点与中点的连线锁定为水平方向，从而使高、面积、距离都可用纵坐标之差表示. 性质 2　底边过定点，则顶点轨迹为一条直线 设 为顶点，则由性质 1 的推导，弦 所在直线恰为 （即以顶点坐标写出的极线）.若 过定点 ，代入得 即顶点 的轨迹是直线 .这正是配极原则：定点的极线就是顶点的轨迹，反之亦然. 性质 3　以 为中点的弦平行于顶点的轨迹 由性质 2，的轨迹为 ，其中 为弦中点 ，故轨迹斜率 .而弦 的斜率为 ，两者相等，且轨迹与弦不重合，故平行. 性质 4　与抛物线无公共点的直线上的点作顶点，则底边过定点 若直线 与抛物线无公共点，以其上任意点 为顶点的阿基米德三角形的底边恒过定点 推导：，代入底边方程 并整理，按 的系数归并，令系数为零即得上述坐标. 性质 5　底边长为 时面积的最大值 推导：由性质 1，到 的距离 .设 ，则 ，故 ，于是 ，.等号当 （轴）时取得. 性质 6　底边过焦点：顶点在准线上，面积最小值 底边过焦点 ，即性质 2 中取 ，得 的轨迹为 ，即准线.进一步可验证 ，故阿基米德焦点三角形必为以 为直角顶点的直角三角形，于是 等号在 为通径时取得.这条性质把“切线”“准线”“直角”“面积最值”四件事串成一体，是高考压轴题的常见骨架. 性质 7　的中点 在抛物线上，且 处切线与 平行 由性质 1，，，取中点得 代入 显然成立.又 处切线斜率 ，故平行.推论：过抛物线上一动点 作平行于定弦 的切线，则该切线与 的中点连线恰被 平分——这正是“面积最大”的临界位置（性质 5 的等号条件）. 性质 8　的面积是 面积的 倍 在抛物线上任取 （不与 、重合），过 作切线交 、于 、，则 . 推导依据是阿基米德抛物线求积定理：抛物线与弦所围弓形面积等于对应阿基米德三角形面积的 .于是 性质 结论 前置条件 1 对称轴 —— 2 顶点轨迹为直线 底边过定点 3 轨迹平行于以 为中点的弦 —— 4 底边过定点 与抛物线无公共点 5 底边长 固定 6 顶点在准线， 底边过焦点 7 中点在抛物线上且切线平行 —— 8 在抛物线上 例 3-1 性质 1 的直接应用（对应源例） 已知抛物线 ，过焦点 的弦 的端点处切线交于点 ，为 中点.证明：轴. 【规范答题区】 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 例 3-2 由中点纵坐标定顶点（变式） 抛物线 的弦 的中点为 ，过 、的切线交于点 ，求 的纵坐标. 【规范答题区】 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 例 3-3 性质 2 的应用：由顶点轨迹反求底边定点 已知抛物线 ，为直线 上的动点，过 作抛物线的两条切线，切点分别为 、.证明：直线 过定点. 【规范答题区】 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 例 3-4 性质 5：底边长固定时的面积最大值 已知抛物线 的阿基米德三角形的底边长为 ，求该三角形面积的最大值. 【规范答题区】 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 例 3-5 性质 6：焦点弦阿基米德三角形的最值 过抛物线 的焦点 作弦 ，过 、作切线交于 ，求 面积的最小值. 【规范答题区】 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 例 3-6 性质 7 的应用与系数陷阱 易错提醒 已知 、是抛物线 上两点，过 、作切线交于 ，为 中点.求证：线段 的中点在抛物线上，并指出推理中最易出错的环节. 【规范答题区】 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 例 3-7 性质 8：面积比 已知抛物线 的阿基米德三角形 ，为抛物线上异于 、的点，过 的切线交 、于 、.若 的面积为 ，求 的面积. 【规范答题区】 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · §4　特殊定点弦：两类常考模型 抛物线 上，过 轴上两个特殊定点的弦，其结论固定、可直接套用.这两类模型是高考与模考的“常驻嘉宾”，务必记牢并能快速推导. 模型一　过点 的弦 设过 的直线交抛物线于 、两点，则有以下四条结论： · ：即 ； · 以 为直径的圆过原点 ； · 的最小值为 ，此时 轴； · 过 作 ，垂足 在圆 上（除原点外）. 推导：设 ，代入 得 ，故 ，进而 .于是 结论 1、2 成立.面积 与笛卡尔坐标下的距离都指向 时最小，得 .第 4 条由 知 、、共圆且 为直径，即 在以 为直径的圆上，该圆正是 . 模型二　过点 的弦 设过 的直线交抛物线于 、两点，焦点为 ，、在准线上的射影分别为 、，则有以下三条结论： · ； · ； · . 推导：设 ，代入得 ，故 ，，于是 三条结论均可由 出发，配合 等距式推出. 辨析两类模型的分水岭 过 ：，，（不垂直）； 过 ：，，（垂直）； 记忆口诀：定点横坐标翻倍，乘积取相反数——对应 ，对应 . 例 4-1 过 的弦：垂直与圆 已知抛物线 ，过点 的直线交抛物线于 、两点，为坐标原点. (1) 证明：； (2) 求 的最小值，并求此时直线 的方程. 【规范答题区】 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 例 4-2 过 的弦：数量积与长度关系 模型对照 已知抛物线 ，过点 的直线交抛物线于 、两点，为坐标原点. (1) 求 的值； (2) 求 的值. 【规范答题区】 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 例 4-3 垂足轨迹：圆 已知抛物线 ，过点 的直线交抛物线于 、两点，过 作 ，垂足为 .证明：点 在定圆上（除原点外）. 【规范答题区】 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · §5　本模块方法小结 小结一张图记住模块一 焦点弦 → 一把钥匙：（过焦点的代数标志） 　　　　 → 由此派生出焦半径、弦长、倒数定理、面积、半径比 阿基米德三角形 → 一条主线：对称轴（性质 1） 　　　　 → 由此派生出顶点轨迹、面积最值、中点落在抛物线上 定点弦 → 一个判据：由 的值直接读出数量积 　　　　 过焦点 → 数量积 ；过 得 → 数量积 ； 　　　　 过 得 → 数量积 （垂直） 三条备考建议： ① 先核验前提再套结论.本模块所有结论都有前置条件（过焦点、底边过焦点、定点横坐标取值等），模考题最常设置的陷阱就是“条件看似满足实则不满足”. ② 把结论当作“验算工具”而非“解题捷径”.高考解答题要求过程规范，可用结论预判答案，书写时仍以联立 + 韦达为主干（参见模块二策略一）. ③ 建立“意识”.本模块所有定值都可写成 的表达式，凡遇具体数字先化归为 ，可大幅减少记忆量并避免系数错误（如例 3-6 的 与 ）. 知识要点填空（结论速记） 一、焦点弦的八条结论（设 为抛物线 过焦点 的弦，、，倾斜角为 ） ① 　　　，　　　；　② 　　　； ③ 弦长最小值（通径）为 　　　，此时 　　　； ④ 　　　（定值）；　⑤ 以 为直径的圆与准线 　　　； ⑥ 、两点处的切线互相 　　　，交点落在 　　　 上； ⑦ 、在准线上的射影与 的张角 　　　； ⑧ 面积 　　　（用 表示）. 二、阿基米德三角形（抛物线 的弦 ，、处切线交于 ） ① 的坐标为 　　　；　② 的中点为 ，则 与 轴 　　　； ③ 　　　 ；　④ 的轨迹（过定点 时）为 　　　； ⑤ 若 过焦点 ，则 在 　　　 上，且 　　　. 三、两类定点弦 ① 抛物线 上两点 、，若 （定值），则 恒过定点 　　　； ② 若 ，则 恒过定点 　　　； ③ 若 （定值），则 恒过 轴上定点 　　　. 填空提示　①②③用韦达定理；④由 记忆；⑤⑥⑦均与准线有关；⑧用 . 当堂检测 1. 设 是抛物线 的焦点弦，，求 的中点 到准线的距离. 2. 抛物线 上两点 、满足 .（1）证明 过定点，并求出该点；（2）求 面积的最小值. 3.（阿基米德三角形）过抛物线 上两点 、的切线交于点 .（1）求直线 的方程；（2）求 的面积. 模块二 极点极线视角下的圆锥曲线 射影几何高观点 · 代数与几何双定义 · 四大性质 · 调和点列 · 分层例题 · 高考真题六连 极点极线是射影几何的核心概念，也是圆锥曲线的一种内在属性.近年来，以极点极线为背景命制的高考解析几何试题频繁出现——2010 年江苏卷 18、2012 年北京理 19、2020 年新课标Ⅰ卷理 20、2022 年全国乙卷理 20、2023 年新课标Ⅱ卷 21、2023 年全国甲卷理 20，均可在这一框架下获得统一的解释. 极点极线本身不属于高考直接考查的知识范围，但掌握其思想方法有两重价值：一是“高观点”审题，能迅速判断定点、定直线的位置，避免盲目联立；二是“低起点”书写，用结论预判答案，再以初等方法（联立 + 韦达）规范成文.本章按“定义 → 性质 → 调和点列 → 分层例题 → 高考真题”的顺序展开. §1　极点极线的两个定义 1.1　代数定义（便于计算） 在一般二次曲线 中，对点 作如下替换：，，，，，得到的直线 称为点 关于 的极线，称为该直线的极点.记忆口诀：平方拆两半，一次取平均，常数不变. 三个最常用的特例（务必背熟）： 曲线 极线方程 备注 椭圆 切点弦 / 切线统一式 双曲线 注意中间是减号 抛物线 一次项取平均后乘 1.2　几何定义（揭示本质） 设 是圆锥曲线 外一点，过 引两条割线分别交 于 、与 、，连接 、交于 ，连接 、交于 ，则直线 就是点 的极线. 特别地：若 在 上，则过 的切线就是 的极线；若 在 外，极线就是两条切线的切点弦. 理解两种定义等价 代数定义便于列式运算，几何定义揭示射影本质. 解题时：算用代数式，看用几何图. §2　四条基本性质 性质 1　位置关系 设点 与极线 关于 互配，则： · 在 上 是 在 处的切线； · 在 外 是过 的两条切线的切点弦； · 在 内 与 相离，且是过 的割线两端点处切线交点的轨迹. 以圆 与点 为例：极线为 ，它到圆心的距离 .于是在圆上（）（相切）；在圆内（）（相离）；在圆外 （相交）.位置关系一一对应，无例外. 性质 2　配极原则 若点 的极线经过点 ，则点 的极线也经过点 . 推论 1：共线点的极线必共点，共点线的极点必共线. 推论 2：两点连线的极点是这两点极线的交点；两直线交点的极线是这两直线极点的连线. 证明思路（代数版）：设 ，的极线 .若 ，则 ，此式关于 、对称，故等价于 . 性质 3　调和分割性 设极点为 ，过 作 的割线交曲线于 、，交极线于 ，则 、、、构成调和点列： 等价形式（用长度表示，在 外侧时）： 性质 4　焦点与准线的互配 圆锥曲线的焦点与其对应准线互为极点与极线.这是最有用的一条：它把“过焦点的弦”与“顶点在准线上”直接联系起来（正是模块一性质 6 的射影解释）. 以椭圆 为例：右焦点 的极线为 ，即 ——正是右准线.同理左焦点配左准线；抛物线 的焦点 的极线为 ，即准线. 索引四条性质的功能定位 性质 1 → 判断位置（选择题秒杀）； 性质 2 → 处理“共点共线”与“三线共点”（配极原则）； 性质 3 → 处理比例、角平分线、中点（调和分割）； 性质 4 → 处理“焦点—准线”型定点问题（最常考）. §3　调和点列专题 3.1　定义与基本性质 若 、、、四点共线，且 则称 、、、构成调和点列，记作 .等价形式为 ，即 是 与 的调和平均. 调和线束：从一点 出发的四条射线 、、、，若与任意一条不过 的直线相交所得四点构成调和点列，则称这四条射线构成调和线束.射影变换保持调和性，这是它能“穿越”到圆锥曲线上的根本原因. 例 1 调和点列的基本判定 已知点 、在 轴上，点 、也在 轴上.若 、、、构成调和点列，求 的值. 【规范答题区】 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 例 2 调和点列与定比分点 已知 、、，点 在 轴上，且 、、、构成调和点列，求点 的坐标. 【规范答题区】 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 例 3 调和点列在高考真题中的应用（2023 全国乙卷理 20） 高考真题 已知椭圆 的离心率为 ，点 在 上. (1) 求 的方程； (2) 过点 的直线交 于 、两点，直线 、与 轴的交点分别为 、，证明：线段 的中点为定点. 【规范答题区】 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · §4　分层例题 第一层　基础巩固 例 4 极点极线判断（2021 新高考Ⅱ卷 11，多选） 已知直线 与圆 ，点 ，则下列说法正确的是（　　） A. 若点 在圆 上，则直线 与圆 相切 B. 若点 在圆 内，则直线 与圆 相离 C. 若点 在圆 外，则直线 与圆 相离 D. 若点 在直线 上，则直线 与圆 相切 【规范答题区】 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 例 5 极线方程计算 已知椭圆 ，点 .求点 关于椭圆 的极线方程. 【规范答题区】 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 例 6 切线方程（极线的特例） 已知抛物线 ，点 在抛物线上.求抛物线在点 处的切线方程. 【规范答题区】 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 第二层　能力提升 例 7 切点弦与三角形面积 已知抛物线 ，过点 作抛物线的两条切线，切点为 、.求 的面积. 【规范答题区】 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 例 8 双曲线中的定点问题 已知双曲线 ，点 .过 作双曲线的两条切线，切点为 、.求证：直线 过定点. 【规范答题区】 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 例 9 配极原则与定直线 已知椭圆 ，点 在椭圆内部.过 作两条直线分别交椭圆于 、和 、，连接 、交于点 .求证：点 在定直线上. 【规范答题区】 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · §5　高考真题六连（极点极线视角） 以下六道真题均可在极点极线框架下“预判答案 + 初等书写”.每道题只给出核心步骤与结论，完整过程请对照学生版留白自行补全——这也是训练“规范书写”的最佳材料. 真题 1 2010 年江苏卷 18（3） 真题 在平面直角坐标系 中，已知椭圆 的左、右顶点为 、，右焦点为 .设过点 的直线 、与椭圆分别交于点 、，其中 ，，. (1) 设动点 满足 ，求点 的轨迹； (2) 设 ，，求点 的坐标； (3) 设 ，求证：直线 必过 轴上的一定点（其坐标与 无关）. 【规范答题区】 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 真题 2 2012 年北京理 19（2） 真题 已知曲线 . (1) 若曲线 是焦点在 轴上的椭圆，求 的取值范围； (2) 设 ，曲线 与 轴的交点为 、（在 上方），直线 与曲线 交于不同的两点 、，直线 与直线 交于点 .求证：、、三点共线. 【规范答题区】 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 真题 3 2020 年新课标Ⅰ卷理 20（2） 真题 已知 、分别为椭圆 的左、右顶点，为 的上顶点，.为直线 上的动点，与 的另一交点为 ，与 的另一交点为 . (1) 求 的方程； (2) 证明：直线 过定点. 【规范答题区】 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 真题 4 2022 年全国乙卷理 20（2） 真题 已知椭圆 的中心为坐标原点，对称轴为 轴、轴，且过 、两点. (1) 求 的方程； (2) 设过点 的直线交 于 、两点，过 且平行于 轴的直线与线段 交于点 ，点 满足 .证明：直线 过定点. 【规范答题区】 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 真题 5 2023 年新课标Ⅱ卷 21（2） 真题 已知双曲线 的中心为坐标原点，左焦点为 ，离心率为 . (1) 求 的方程； (2) 记 的左、右顶点分别为 、，过点 的直线与 的左支交于 、两点，在第二象限，直线 与 交于 .证明：在定直线上. 【规范答题区】 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 真题 6 2023 年全国甲卷理 20 真题 已知直线 与抛物线 交于 、两点，且 . (1) 求 ； (2) 设 为 的焦点，、为 上两点，且 ，求 面积的最小值. 【规范答题区】 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · §6　命题规律与解题策略 6.1　命题规律 ① 常出现在解答题压轴位置，分值约 分； ② 以定点、定值、定直线为主要考查方向； ③ 题干常出现“切线”“切点弦”“三点共线”“过定点”等关键词； ④ 解题时可用极点极线快速预判结论，再以初等方法规范书写； ⑤ 近年涉及年份：2023 全国甲卷理 20、2023 新课标Ⅱ卷 21、2023 全国乙卷理 20、2022 全国乙卷理 20、2021 全国甲卷理 20、2020 新课标Ⅰ卷理 20 等. 6.2　三条解题策略 策略策略一　预判结论，初等验证 用极线方程快速确定定点、定直线的位置，再用联立 + 韦达规范书写过程. 例：2010 江苏 18(3)，先由 预判定点 ，再联立验证. 策略二　配极原则，化繁为简 把复杂几何关系转化为极线方程的计算. 例：2023 新课标Ⅱ 21，利用 的极线 直接得出 的轨迹. 策略三　调和性质，角度转化 用性质 3 的调和分割性处理角平分线、等比关系. 例：涉及 的等角问题，可用调和点列快速证明. 变式 1 椭圆过 的切点弦 已知椭圆 ，过点 作椭圆的两条切线，切点为 、.求证：直线 必过定点. 【规范答题区】 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 变式 2 双曲线的“垂线对称”与定点 已知双曲线 ，过点 的直线与双曲线交于 、两点，过 作 轴的垂线交双曲线于另一点 .求证：直线 过定点. 【规范答题区】 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 变式 3 切点弦交点的轨迹 题设修正 已知抛物线 ，过点 作直线与抛物线交于 、两点，分别过 、作抛物线的切线，两切线交于点 .求点 的轨迹. 【规范答题区】 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 变式 4 调和点列应用 已知椭圆 ，点 、，过点 的直线与椭圆交于 、两点.求证：直线 与 的交点在定直线上. 【规范答题区】 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · §7　学习建议 ① 先掌握定义与基本性质，特别是代数定义中极线方程的写法（“平方拆两半、一次取平均”）； ② 通过分层例题熟练应用，从基础巩固到高考真题逐步提升； ③ 注意高考评分标准：解题过程仍需以常规方法规范书写，极线只用于预判； ④ 适度拓展至调和点列与配极原则，理解射影几何的对称之美； ⑤ 建议学习时长 课时，配合变式训练巩固. 收束一句话总结模块二 极线 = 切点弦 = 定点的“影子”；配极原则 = “你过我的极线，我就过你的极线”； 把这三句记牢，六道高考真题都能在 30 秒内看出答案. 知识要点填空（结论速记） 一、极点极线的定义（圆锥曲线 ，点 不在 上） 过 引两条割线交 于 、与 、，若 与 交于点 ，则 的轨迹是一条 　　　，称为 关于 的 　　　；反之 也是 的 　　　（二者互为 　　　）. 二、椭圆 的极线方程 点 的极线为 　　　；当 在椭圆上时，该直线即为 　　　； 当 在椭圆外时，极线是过 所作两条切线的 　　　 的连线. 三、四条性质 ① 配极原则：若 在 的极线上，则 在 的 　　　 上； ② 极线过定点 极点所在直线为 　　　（对偶）； ③ 过 的割线交曲线于 、，交极线于 ，则 成 　　　； ④ 中心 的极线是 　　　，焦点与 　　　 互为极点极线. 四、调和点列 若 ，则 ；当 为 中点时，　　　. 填空提示　②的“对偶”指：若所有极线都过定点 ，则对应极点必在 的极线上；③的答案是四个字母的顺序关系；④与“无穷远”和“准线”有关. 当堂检测 1. 已知椭圆 ，点 .求 关于该椭圆的极线方程，并判断 在椭圆外还是椭圆上. 2. 椭圆 ，过点 引直线交椭圆于 、，关于 轴的对称点为 .证明：直线 过定点. 3.（2023 全国乙卷理 20）椭圆 的离心率为 ，在 上.过 的直线交 于 、，直线 、与 轴交于 、.证明：线段 的中点为定点. 模块三 典型算理算法 定比分点差法 · 齐次化 · 极点极线 · 蝴蝶模型 · 参数方程 · 非对称韦达 “算理”回答为什么这样算，“算法”回答按什么步骤算.本章整理四类圆锥曲线解答题的核心算理，每一类都配有典型例题、变式与“导师点评”，力求让学生在遇到新题时能识别类型、调出算法、写清步骤. 导览四类算理速览 一、定比分点差法：处理“三点共线的定比分点”，核心是“配比作差消平方”； 二、齐次化：处理“过定点的两直线斜率之和/积”，核心是“构造常数 1”； 三、极点极线：处理“定点、定直线、切点弦”，核心是“极线方程”； 四、蝴蝶模型：处理“两直线与曲线交点的连线过定点”，核心是“求交点坐标 + 因式分解”. §1　算理一：定比分点差法 适用特征：题中出现 、等“定比分点”条件，且 、都在曲线上. 核心算理：把定比条件翻译成坐标的线性关系（），再把 、的坐标分别代入曲线方程，对含 的式子乘以 后作差，使平方项抵消，提取出公因式 与 ，从而直接求出所需的量. 算法步骤： ① 设 、，由定比条件列线性关系； ② 写出两个“点在曲线上”的方程 、； ③ 将 乘以 得 ，作 ； ④ 用平方差公式分解，代入 ① 的线性关系求值. 例 1 椭圆中的定比分点（） 核心算理 已知椭圆 的离心率为 ，过右焦点 且斜率为 的直线与 相交于 、两点，若 ，求 . 【规范答题区】 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 例 2 由长度比反求参数范围 已知 ，过点 的直线交椭圆于 、（可以重合），求 的取值范围. 【规范答题区】 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 例 3 双焦点的两次定比 中间量对接 已知椭圆 的左、右焦点分别为 、，、、是椭圆上的三个动点，且 ，.求证：. 若进一步给定 ，，求 的值. 【规范答题区】 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · §2　算理二：齐次化 适用特征：题中要求处理“过某定点的两条直线的斜率之和或斜率之积”，或要求证明“两直线斜率之和为定值”. 核心算理：把曲线方程中的常数项，用“过定点直线的方程变形得到的 ”替换，使整个方程变成关于 、的二次齐次式；再除以 ，即得关于 （斜率）的一元二次方程，斜率之和与积由韦达定理一步得出. 算法步骤： ① 写出曲线方程（若定点不在原点，先作平移使定点为新原点）； ② 把过定点的直线方程变形为“”的形式； ③ 用该式替换曲线方程中的常数项，化为二次齐次式； ④ 两边同除以 ，利用韦达定理读出斜率之和/积. 例 4 抛物线的齐次化： 构造常数 1 已知抛物线 ，过点 的直线与抛物线交于 、两点，为坐标原点.证明：. 【规范答题区】 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 例 5 平移齐次化：斜率之和为定值 平移法 已知椭圆 ，经过点 的直线与椭圆 交于不同两点 、（均异于点 ），证明：直线 与 的斜率之和为定值，并求出该定值. 【规范答题区】 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 例 6 齐次化反求定点 反求定点 已知椭圆 ，设直线 不经过点 且与 相交于 、两点.若直线 与直线 的斜率之和为 ，证明：直线 恒过定点. 【规范答题区】 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · §3　算理三：极点极线的实操（参数化 + 降幂消元） 模块二给出了极点极线的理论框架，本节聚焦没有“标准极线型”设问时的实操算法：当题目要求“直线 过定点”而无法直接写出极线时，就用坐标参数化 + 降幂消元. 算法步骤： ① 设动点 ，把所有相关点（、等）的坐标都用 、表示； ② 写出目标直线（如 ）的方程； ③ 用 在曲线上的关系式（如 ）降幂消元，把方程整理成 “” 的形式； ④ 令含参数的项系数为零，解出定点. 例 7 参数化求定点（椭圆） 已知椭圆 过 、两点. (1) 求椭圆 的离心率； (2) 设椭圆 的右顶点为 ，点 在椭圆 上（不与顶点重合），直线 与直线 交于点 ，直线 交 轴于点 .求证：直线 过定点. 【规范答题区】 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 例 8 非对称韦达的处理 非对称韦达 若双曲线 与椭圆 共顶点，且它们的离心率之积为 . (1) 求椭圆 的标准方程； (2) 若椭圆 的左、右顶点分别为 、，直线 与椭圆 交于 、两点，设直线 与 的斜率分别为 、，且 .试问：直线 是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由. 【规范答题区】 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · §4　算理四：蝴蝶模型与参数方程 适用特征：题中出现“过 轴上定点 的两条直线分别交曲线于 、，求证 过定点”，或出现线段乘积的等比关系. 核心算理：先用“特殊位置探路”锁定定点大致位置，再用“一般位置验证”；求交点坐标时，因已知一个交点，可用韦达定理直接写出另一个交点的坐标，避免硬解. 例 9 蝴蝶模型：椭圆 + 上顶点引线 蝴蝶模型 已知 、分别为椭圆 的左、右顶点，为 的上顶点，，为直线 上的动点，直线 与 的另一交点为 ，直线 与 的另一交点为 . (1) 求 的方程； (2) 证明：直线 过定点. 【规范答题区】 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 例 10 直线参数方程处理等比关系（变式 3） 参数方程 已知椭圆 过点 ，且左焦点为 . (1) 求椭圆 的方程； (2) 当过点 的动直线 与椭圆 相交于不同点 、时，在线段 上取点 ，且满足 ，证明：点 总在某定直线上. 【规范答题区】 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 知识要点填空（结论速记） 一、定比分点差法（“三定”套路） 适用：题中出现 型的定比条件.三步： ① 由定比分点公式写出 ，得到两个 　　　 关系； ② 把 、的坐标代入曲线方程，对含 的式子乘 　　　 后与含 的式子 　　　； ③ 与 ① 中的线性关系联立，解出 　　　，再用它对接两次结果. 二、齐次化 适用：过定点的两条直线的斜率之 　　　 为定值.四步： ① 若定点不在原点，先 　　　 使定点成为新原点； ② 把过定点的直线方程变形成“　　　”的形式； ③ 用该式替换曲线方程中的 　　　 项，化为二次齐次式； ④ 两边同除以 　　　，用韦达定理读出 与 . 注意：直线必须设为 ，而不能设为 ，原因是 　　　. 三、蝴蝶模型 适用：过曲线上一点 的两条弦与另一条直线交于四点，求 　　　 或证明 　　　. 核心：设过 的直线用 　　　 式（便于用韦达），把“共线”翻译成 　　　 相等. 填空提示　一的③要找的是“同一个量”（如 ）；二的③是常数项；三的“共线”翻译成斜率相等后，用 消元. 当堂检测 1. 椭圆 ，，过 的直线交椭圆于 、，且 .求直线 的斜率. 2.（齐次化）抛物线 ，过点 的直线交抛物线于 、.证明：为定值，并求出该值. 3.（综合）椭圆 ，，过 的直线交椭圆于 、两点（均不与 重合）.证明：为定值，并求出该定值. 学科网（北京）股份有限公司 $