解析几何：三角形面积问题、四边形面积问题复习讲义-2027届高三数学一轮复习讲义

2027届高三数学一轮复习讲义 解析几何：三角形面积问题、四边形面积问题复习讲义 考点目录 解析几何中的三角形面积问题 解析几何中的四边形面积问题 考点一 解析几何中的三角形面积问题 核心方法与适用场景 方法1：公式法（弦长+点线距，通用通法） · 适用场景：已知三角形的一条边为直线与曲线的相交弦，第三个点为定点/动点，是直线与圆锥曲线面积问题的标准解法。 · 核心公式： · 其中为弦长（底），为第三个顶点到直线的距离（高）。 · 配套公式： · 弦长公式：（联立方程后用韦达定理计算）； · 点到直线距离：点到直线的距离 。 方法2：水平宽·铅垂高法（计算量最小，优先推荐） · 适用场景：已知两个定点、，第三个动点在曲线上，是二次函数、椭圆中三角形面积最值的首选方法。 · 核心定义： · 水平宽：两定点横坐标差的绝对值 ； · 铅垂高：过动点作竖直线，交直线于点，两点纵坐标差的绝对值 。 · 核心公式： · 优势：无需计算斜向弦长与点线距离，仅用横、纵坐标差即可表示面积，大幅降低运算量。 方法3：分割补形法 · 适用场景：三角形有边平行于坐标轴，或顶点在坐标轴上；通过补成矩形/梯形，减去周围直角三角形的面积，间接求出目标面积。 特殊模型：圆锥曲线焦点三角形 · 椭圆焦点三角形：（为两焦半径的夹角）； · 双曲线焦点三角形：。 常见经典题型 1. 三定点求面积：直接用鞋带公式或法计算； 1. 定弦+动点面积最值：直线与曲线交于定弦，动点在曲线上，求三角形面积最大值，优先用铅垂高法转化为单变量函数求最值； 1. 过定点动弦面积最值：过定点的动直线交曲线于、，求的面积最值，常用原点三角形面积公式结合韦达定理求解。 通用解题步骤 1. 确定三角形的三个顶点，区分定点与动点； 1. 根据点的位置特征选择最优面积表示方法（优先铅垂高法，其次法）； 1. 联立直线与曲线方程，写出韦达定理，将面积表示为参数的函数； 1. 定值问题化简消参，最值问题用基本不等式、函数单调性求解； 1. 验证判别式、参数取值范围与等号成立条件。 例1．（26-27高三上·山西运城·阶段检测）已知直线的斜率为1，在轴上的截距为，若直线与椭圆交于、两点，是原点． (1)求实数的取值范围； (2)当的面积最大时，求的直线方程． 例2．（25-26高三上·山西大同·阶段检测）已知点在双曲线上，是的左､右顶点，是的右焦点，，且是整数. (1)求双曲线的方程； (2)设过点的直线与的右支交于两点，直线与直线交于点. （i）证明：点在定直线上； （ii）若直线与直线交于点，求面积的最小值. 例3．（26-27高三上·辽宁鞍山·开学考试）在平面直角坐标系中，已知椭圆短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形， (1)求椭圆的标准方程； (2)直线与椭圆交于，两点，设直线，的斜率分别为，，已知． ①求的值； ②当的面积最大时，求直线的方程． 变式1．（2026·湖南湘潭·一模）已知椭圆：，过右焦点垂直于轴的直线被所截线段长为1． (1)求椭圆的离心率； (2)过直线上一点作椭圆的两条切线，，切点分别为，． （ⅰ）证明直线过定点； （ⅱ）求面积的最大值． 变式2．（26-27高三上·浙江杭州·开学考试）已知椭圆，点为椭圆的右焦点，过点作直线交曲线于、两点，当直线与轴垂直时，． (1)求曲线的方程； (2)若轴上一点满足． （i）求实数的值； （ii）若，求的面积． 变式3．（26-27高三上·江苏连云港·阶段检测）已知椭圆：（）的离心率为，右焦点为，若点为椭圆的右顶点，且． (1)求椭圆的方程； (2)已知椭圆上两点，（异于点）关于坐标原点对称，直线，分别交椭圆于另一点和点． （i）求直线与直线的斜率之积； （ii）求面积的最大值． 考点二 解析几何中的四边形面积问题 核心方法与适用场景 四边形面积问题的核心思路是化整为零，拆分为三角形，特殊结构的四边形可直接用对应公式简化计算。 方法1：对角线拆分法（通用通法） · 适用场景：任意四边形，是最稳妥的通用解法。 · 操作：沿其中一条对角线将四边形拆分为两个三角形，分别计算两个三角形的面积，再求和。 例：四边形，沿对角线拆分，则 。 · 优势：无需判断四边形形状，适用所有凸四边形，与三角形面积方法完全衔接。 方法2：对角线垂直公式 · 适用场景：四边形的两条对角线互相垂直（菱形、正方形、筝形，或两条垂直弦构成的四边形）。 · 核心公式： · 其中、分别为两条对角线的长度。 · 典型场景：两条互相垂直的直线与椭圆交于四点，以两交点弦为对角线的四边形，直接用此公式计算。 方法3：多边形鞋带公式 · 适用场景：已知四边形四个顶点的坐标，按顺序排列。 · 核心公式：若四边形顶点按顺/逆时针为，则 方法4：特殊四边形公式 · 平行四边形：，或用向量叉乘：邻边向量为，则； · 梯形：，适用于有一组对边平行于坐标轴的场景。 常见经典题型 1. 两定两动型：两个定点+曲线上两个动点构成四边形，求面积最值，通常沿定点连线拆分为两个三角形分别求解； 1. 双动弦型：两条满足特定条件的动直线与曲线交于四点，构成四边形，求面积最值/定值，常结合对角线垂直公式； 1. 圆锥曲线内接特殊四边形：如椭圆内接矩形（边平行坐标轴），最大面积为。 通用解题步骤 1. 明确四边形的四个顶点与运动约束，判断是否为特殊四边形； 1. 选择对应方法：特殊结构用专属公式，普通四边形用对角线拆分法； 1. 联立直线与曲线方程，结合韦达定理表示对角线长度、三角形面积； 1. 整理面积的函数表达式，求解最值、定值； 1. 验证斜率不存在、直线重合等边界情况。 例1．（2026·浙江温州·模拟预测）已知椭圆的离心率为，抛物线的准线与相交，所得弦长为. (1)求的方程； (2)若在上，且，分别以为切点，作的切线相交于点，点恰好在上，直线分别交轴于两点.求四边形面积的取值范围. 例2．（2026·广东湛江·模拟预测）已知抛物线，过抛物线的焦点的直线与抛物线交于，两点，当垂直于轴时，． (1)求抛物线的标准方程； (2)设点在线段上运动，原点关于点的对称点为，求四边形面积的最小值． 例3．（25-26高三下·河南鹤壁·阶段检测）在平面直角坐标系xOy中，已知点，直线，作直线l的平行线，动点P满足到F的距离与到直线的距离之和等于直线l与之间的距离．记动点P的轨迹为E． (1)求E的方程； (2)过作倾斜角互补的两条直线分别交E于A，B两点和C，D两点，且直线AB的倾斜角，求四边形ACBD面积的最大值． 变式1．（25-26高三上·湖南长沙·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线上． (1)求的方程； (2)过作两条相互垂直的直线和，与的右支分别交，两点和，两点，求四边形面积的最小值． 变式2．（25-26高三上·江苏苏州·阶段检测）已知双曲线的左、右焦点分别为，直线过交的左支于两点，过交的右支于两点，且．当与轴垂直时，点的纵坐标为3. (1)求的方程； (2)求四边形面积的最小值． 变式3．（25-26高三上·上海杨浦·期中）如图，为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为、，离心率为；双曲线的左、右焦点分别为、，离心率为，已知， 且 过作的不垂直于轴的弦，为的中点，直线与交于、两点. (1)求、的方程； (2)若四边形为平行四边形，求直线的方程； (3)求四边形面积的最小值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $2027届高三数学一轮复习讲义 解析几何：三角形面积问题、四边形面积问题复习讲义 考点目录 解析几何中的三角形面积问题 解析几何中的四边形面积问题 考点一 解析几何中的三角形面积问题 核心方法与适用场景 方法1：公式法（弦长+点线距，通用通法） · 适用场景：已知三角形的一条边为直线与曲线的相交弦，第三个点为定点/动点，是直线与圆锥曲线面积问题的标准解法。 · 核心公式： · 其中为弦长（底），为第三个顶点到直线的距离（高）。 · 配套公式： · 弦长公式：（联立方程后用韦达定理计算）； · 点到直线距离：点到直线的距离 。 方法2：水平宽·铅垂高法（计算量最小，优先推荐） · 适用场景：已知两个定点、，第三个动点在曲线上，是二次函数、椭圆中三角形面积最值的首选方法。 · 核心定义： · 水平宽：两定点横坐标差的绝对值 ； · 铅垂高：过动点作竖直线，交直线于点，两点纵坐标差的绝对值 。 · 核心公式： · 优势：无需计算斜向弦长与点线距离，仅用横、纵坐标差即可表示面积，大幅降低运算量。 方法3：分割补形法 · 适用场景：三角形有边平行于坐标轴，或顶点在坐标轴上；通过补成矩形/梯形，减去周围直角三角形的面积，间接求出目标面积。 特殊模型：圆锥曲线焦点三角形 · 椭圆焦点三角形：（为两焦半径的夹角）； · 双曲线焦点三角形：。 常见经典题型 1. 三定点求面积：直接用鞋带公式或法计算； 1. 定弦+动点面积最值：直线与曲线交于定弦，动点在曲线上，求三角形面积最大值，优先用铅垂高法转化为单变量函数求最值； 1. 过定点动弦面积最值：过定点的动直线交曲线于、，求的面积最值，常用原点三角形面积公式结合韦达定理求解。 通用解题步骤 1. 确定三角形的三个顶点，区分定点与动点； 1. 根据点的位置特征选择最优面积表示方法（优先铅垂高法，其次法）； 1. 联立直线与曲线方程，写出韦达定理，将面积表示为参数的函数； 1. 定值问题化简消参，最值问题用基本不等式、函数单调性求解； 1. 验证判别式、参数取值范围与等号成立条件。 例1．（26-27高三上·山西运城·阶段检测）已知直线的斜率为1，在轴上的截距为，若直线与椭圆交于、两点，是原点． (1)求实数的取值范围； (2)当的面积最大时，求的直线方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）联立直线与椭圆方程，消元得出一元二次方程，利用判别式求出的范围； （2）由（1）求及点O到直线的距离，表示的面积，基本不等式求最值，得直线l的方程. 【详解】（1）由题意直线的方程为， 由，消去y得， 因为直线与椭圆有两个交点， 所以， 解得， 故实数的取值范围为. （2）设，， 则， 原点O到直线的距离， ， 所以， 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以面积最大时，， 此时直线的方程为或. 例2．（25-26高三上·山西大同·阶段检测）已知点在双曲线上，是的左､右顶点，是的右焦点，，且是整数. (1)求双曲线的方程； (2)设过点的直线与的右支交于两点，直线与直线交于点. （i）证明：点在定直线上； （ii）若直线与直线交于点，求面积的最小值. 【答案】(1) (2) （i）     证明：由（1）知， 由题意可设直线的方程为，. 联立方程得， 则， 直线的方程为的方程为， 所以 ， ，即点坐标为， 所以点在定直线上. （ii）9 【分析】（1）利用和两点间距离公式得到，再结合点在双曲线上和可得双曲线方程； （2）（i）设直线的方程，联立曲线方程，得到韦达定理，再表示出直线、的方程，解出交点坐标可得； （ii）利用与（i）同样的解法求出点坐标，得到，再利用三角形面积公式可解. 【详解】（1）    设的右顶点，右焦点， 由得， 又，又是整数，且， 所以， 所以的方程为. （2）（i）略 （ii）解：因为直线与直线交于点， 同样可求得直线与直线交于点. ， ， ， 所以，当且仅当时取等号， 又点到直线的距离为3， 所以面积的最小值为9.    例3．（26-27高三上·辽宁鞍山·开学考试）在平面直角坐标系中，已知椭圆短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形， (1)求椭圆的标准方程； (2)直线与椭圆交于，两点，设直线，的斜率分别为，，已知． ①求的值； ②当的面积最大时，求直线的方程． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据题意，列出关于的方程，代入计算，即可得到标准方程；（2）①设出的坐标，联立直线与椭圆方程，再结合韦达定理代入计算，即可求得；②由弦长公式以及点到直线的距离公式表示出三角形的面积，再由基本不等式即可求得其最大值以及直线的方程. 【详解】（1）设椭圆的焦距为，则． 因为短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，所以 ，所以，， 所以椭圆的标准方程为 （2）①设，，联立， 消去得， ，化简得， 所以，， 又的斜率，的斜率， 所以，化简得 ， 所以．又因为，即，又，所以 ②由①得，直线的方程为，且，， 又，所以．所以 ， 点到直线的距离， 所以， 当且仅当，即时， 的面积最大，所以，直线的方程为 变式1．（2026·湖南湘潭·一模）已知椭圆：，过右焦点垂直于轴的直线被所截线段长为1． (1)求椭圆的离心率； (2)过直线上一点作椭圆的两条切线，，切点分别为，． （ⅰ）证明直线过定点； （ⅱ）求面积的最大值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）由（1）．设，，设切线的方程为， 联立整理得， 由，得， 因为在椭圆上，所以，则，则， 所以过与相切的直线方程为，即的方程为， 同理的方程为， 又因为，都经过点，所以， 显然，在直线上，即直线方程为，所以直线过定点. （ⅱ） 【分析】（1）利用椭圆通径公式求出基本量，计算离心率； （2）（i）借助切点处切线方程，利用点在两条切线上，得到切点弦的直线方程，证明直线过定点； （ii）将三角形面积表达为参数t的函数，通过换元，结合对勾函数性质求解面积的最大值. 【详解】（1）此椭圆，过焦点垂直于轴的弦即通径， 长为，得，，故． （2）（i）略 （ii）联立直线与椭圆方程得． ，. ， 设，原式 ， 所以当即，点，切线，关于轴对称时， 取最大值为． 【点睛】本题重点考查椭圆切点弦（极线）模型，利用切点切线方程快速写出切点弦直线，是简化运算的关键.定点问题需整理直线方程分离参数；面积借助根与系数的关系表示，换元后利用对勾函数求最值.注意换元后变量的取值范围，避免最值误判. 变式2．（26-27高三上·浙江杭州·开学考试）已知椭圆，点为椭圆的右焦点，过点作直线交曲线于、两点，当直线与轴垂直时，． (1)求曲线的方程； (2)若轴上一点满足． （i）求实数的值； （ii）若，求的面积． 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）根据题意得，再结合通径长公式得，最后根据即可求得，得答案； （2）（i）设出直线方程，与椭圆方程联立，结合韦达定理及求解即可. （ⅱ）根据角平分线的性质，结合韦达定理求出值，进而求出交点纵坐标，代入三角形面积公式求解即可. 【详解】（1）解：因为点为椭圆的右焦点，所以， 因为过点作直线交曲线于、两点，当直线与轴垂直时，， 所以，将代入方程得，所以，即， 因为，所以，即，解得或（舍）， 所以，即曲线的方程为； （2）解：（i）设直线的方程为，，， 联立，整理得， 则，. 设直线与的斜率分别为，，则，， 因为，所以直线与的倾斜角互补，即， 则， 所以，代入韦达定理整理得， 又为任意实数，所以. 当直线的斜率为0时，，符合题意. 综上所述，. （ii）因为，所以为的角平分线， 所以. 因为，所以， 因为， 所以，解得， 所以 因为， 所以，即，解得， 不妨设，则，． 所以的面积. 变式3．（26-27高三上·江苏连云港·阶段检测）已知椭圆：（）的离心率为，右焦点为，若点为椭圆的右顶点，且． (1)求椭圆的方程； (2)已知椭圆上两点，（异于点）关于坐标原点对称，直线，分别交椭圆于另一点和点． （i）求直线与直线的斜率之积； （ii）求面积的最大值． 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）设出点坐标，则，根据离心率，可得，的值，根据，，的关系，可得，即可得答案. （2）（i）设，则，由（1）得，可得直线的方程，与椭圆方程联立，根据韦达定理，可得点坐标，进而可得点坐标，即可得直线，斜率，整理计算，即可得答案. （ⅱ）由（i）知，，的坐标，即可得直线的方程和，两点间距离，根据点到直线距离公式，可得点到直线的距离，代入面积公式，利用换元法，结合基本不等式，化简计算，即可得答案. 【详解】（1）设半焦距为，则右焦点，又椭圆右顶点，所以， 由，解得，则， 所以椭圆的方程为． （2）（i）设，则，由（1）得，则直线的方程为， 联立，得， 设，由韦达定理得，解得， 代入直线方程，可得，即， 因为，同理可得， 因为，所以，， 所以. （ii）由（i）知，，，， 则，且直线的方程为，即， 则点到直线的距离， 所以面积 则， 令，由，得，则， 代入可得， 令，则， 当且仅当，即时取等号，则， 代入可得， 因为，所以当时，有最大值，且为， 所以面积的最大值为． 考点二 解析几何中的四边形面积问题 核心方法与适用场景 四边形面积问题的核心思路是化整为零，拆分为三角形，特殊结构的四边形可直接用对应公式简化计算。 方法1：对角线拆分法（通用通法） · 适用场景：任意四边形，是最稳妥的通用解法。 · 操作：沿其中一条对角线将四边形拆分为两个三角形，分别计算两个三角形的面积，再求和。 例：四边形，沿对角线拆分，则 。 · 优势：无需判断四边形形状，适用所有凸四边形，与三角形面积方法完全衔接。 方法2：对角线垂直公式 · 适用场景：四边形的两条对角线互相垂直（菱形、正方形、筝形，或两条垂直弦构成的四边形）。 · 核心公式： · 其中、分别为两条对角线的长度。 · 典型场景：两条互相垂直的直线与椭圆交于四点，以两交点弦为对角线的四边形，直接用此公式计算。 方法3：多边形鞋带公式 · 适用场景：已知四边形四个顶点的坐标，按顺序排列。 · 核心公式：若四边形顶点按顺/逆时针为，则 方法4：特殊四边形公式 · 平行四边形：，或用向量叉乘：邻边向量为，则； · 梯形：，适用于有一组对边平行于坐标轴的场景。 常见经典题型 1. 两定两动型：两个定点+曲线上两个动点构成四边形，求面积最值，通常沿定点连线拆分为两个三角形分别求解； 1. 双动弦型：两条满足特定条件的动直线与曲线交于四点，构成四边形，求面积最值/定值，常结合对角线垂直公式； 1. 圆锥曲线内接特殊四边形：如椭圆内接矩形（边平行坐标轴），最大面积为。 通用解题步骤 1. 明确四边形的四个顶点与运动约束，判断是否为特殊四边形； 1. 选择对应方法：特殊结构用专属公式，普通四边形用对角线拆分法； 1. 联立直线与曲线方程，结合韦达定理表示对角线长度、三角形面积； 1. 整理面积的函数表达式，求解最值、定值； 1. 验证斜率不存在、直线重合等边界情况。 例1．（2026·浙江温州·模拟预测）已知椭圆的离心率为，抛物线的准线与相交，所得弦长为. (1)求的方程； (2)若在上，且，分别以为切点，作的切线相交于点，点恰好在上，直线分别交轴于两点.求四边形面积的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可得曲线过点，然后根据曲线的离心率和之间的关系即可求解； （2）设直线的方程为，与曲线方程联立，用韦达定理，利用切线方程求出两点的坐标，然后将面积的表达式求出来，再根据函数的性质即可求解. 【详解】（1）由题知过点，则，解得， . （2）设直线的方程为，    联立，得， ， 则，而，则， 故以为切点的切线为，即， 同理以为切点的切线为，则， 由，故两式作差得：，所以， 两式求和得：， 所以点由在椭圆上，即. 点到直线的距离， 所以，， ， 而、在上递增且恒正， 则在上递增，. 例2．（2026·广东湛江·模拟预测）已知抛物线，过抛物线的焦点的直线与抛物线交于，两点，当垂直于轴时，． (1)求抛物线的标准方程； (2)设点在线段上运动，原点关于点的对称点为，求四边形面积的最小值． 【答案】(1) (2)9 【分析】（1）根据题意点在抛物线上，则，即，即可得解； （2）设直线方程为，与抛物线的方程联立可得， 设，，则，利用韦达定理可得，，根据，结合弦长公式即可得解. 【详解】（1）抛物线的焦点为． 当轴时，． 所以点在抛物线上，则，即． 由于，得，因此抛物线的标准方程为． （2）设直线方程为，与抛物线的方程联立，消去得． 设，， 则，，． 由点与原点交于点对称、得是线段的中点， 从而点与点到直线的距离相等， 所以四边形的面积等于． 因为 ． 所以当时，四边形的面积最小，最小值是9． 例3．（25-26高三下·河南鹤壁·阶段检测）在平面直角坐标系xOy中，已知点，直线，作直线l的平行线，动点P满足到F的距离与到直线的距离之和等于直线l与之间的距离．记动点P的轨迹为E． (1)求E的方程； (2)过作倾斜角互补的两条直线分别交E于A，B两点和C，D两点，且直线AB的倾斜角，求四边形ACBD面积的最大值． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）过P分别作直线l，的垂线，垂足为M，N，可得，根据抛物线的定义即可求解； （2）设，，，由可得，联立,根据韦达定理可得，，由弦长公式可求，，根据，可得，令，构造函数，利用导数即可求最大值. 【详解】（1）过P分别作直线l，的垂线，垂足为M，N，则由题意可得，即， 则由抛物线的定义可知，动点P的轨迹为以为焦点，直线为准线的抛物线， 则有，，故E的方程为． （2）由题目条件过作倾斜角互补的两条直线分别交E于A，B两点和C，D两点， 可知直线AB，CD的斜率互为相反数．设，，， 由直线AB的倾斜角，且直线AB的斜率， 可知，解得． 联立,消去x可得， 则，，， 则 ， 同理可得． 记直线AB，CD的夹角为， 则 ， 又， 则， 令，，则， 令，则， 当时，，单调递增， 则， 故四边形ACBD面积的最大值为． 【点睛】方法点睛： (1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系； (2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式，若不过焦点，则必须用一般弦长公式． 变式1．（25-26高三上·湖南长沙·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线上． (1)求的方程； (2)过作两条相互垂直的直线和，与的右支分别交，两点和，两点，求四边形面积的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设双曲线，依题意可得，解得即可； （2）设直线，，求得，联立方程组，利用弦长公式，求得，，得到，令，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】（1）设双曲线，则，解得， 所以双曲线的方程为. （2）根据题意，直线，的斜率都存在且不为0， 设直线，，其中， 双曲线的渐近线为， 因为，均与的右支有两个交点，所以，，所以， 将的方程与联立，可得， 设，则，， 所以 ， 用替换，可得， 所以． 令，所以， 则， 当，即时，等号成立， 故四边形面积的最小值为． 【点睛】解答圆锥曲线的最值问题的方法与策略： （1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决； （2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）单调性法；（4）三角换元法；（5）导数法等，要特别注意自变量的取值范围. 变式2．（25-26高三上·江苏苏州·阶段检测）已知双曲线的左、右焦点分别为，直线过交的左支于两点，过交的右支于两点，且．当与轴垂直时，点的纵坐标为3. (1)求的方程； (2)求四边形面积的最小值． 【答案】(1) (2)24 【分析】（1）依据题意可知，然后代值计算即可； （2）依题意可知，设直线的方程为并与双曲线方程联立，利用韦达定理，代值计算可得，然后换元，最后根据函数单调性可知. 【详解】（1）当与轴垂直时，易知四边形为矩形， 因为，所以，此时； 将代入双曲线中，得， 解得，故的方程为． （2）由题意设直线的方程为，且． 如图，      由过过及双曲线的对称性可得，故四边形为平行四边形，则， 结合两直线平行及双曲线的对称性可知，则． 联立消去得． ， 由于均在双曲线右支，故，即， 解得， ， 令，则， 易知随的增大而减小，当时，， 故四边形面积的最小值为24． 变式3．（25-26高三上·上海杨浦·期中）如图，为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为、，离心率为；双曲线的左、右焦点分别为、，离心率为，已知， 且 过作的不垂直于轴的弦，为的中点，直线与交于、两点. (1)求、的方程； (2)若四边形为平行四边形，求直线的方程； (3)求四边形面积的最小值. 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】（1）由椭圆和双曲线的离心率公式可得出，由可求得、的值，即可得出椭圆和双曲线的方程； （2）设直线的方程为，设点、、，将直线的方程与椭圆的方程联立，求出点的坐标，分析可知为线段的中点，可得出点的坐标，将点的坐标代入双曲线的方程，求出的值，即可得出直线的方程； （3）求出，可得出直线的方程，求出、两点的坐标，求出、两点到直线的距离之和，可得出四边形的面积，进而可求得该四边形面积的最小值. 【详解】（1）解：由题意可得，，，则， ，，， 所以，椭圆的方程为，双曲线的方程为. （2）解：由（1）可知，因为直线不垂直于轴，设直线的方程为， 设点、、， 联立可得，， 由韦达定理可得，， 则，，所以，点， 因为四边形为平行四边形，则为线段的中点，故点， 将点的坐标代入双曲线的方程可得，即， 解得， 因此，直线的方程为或. （3）解：由（2）可得， ，所以，直线的方程为， 联立可得，所以，， 不妨取点、， 所以点到直线的距离为， 点到直线的距离为， 则， 所以，四边形的面积为 ， 故当时，四边形的面积取最小值. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种： 一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值； 二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $