解析几何：双曲线中的弦长问题、面积问题复习讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦双曲线中的弦长问题与面积问题两大核心考点，按“公式梳理-特殊情形分析-通用解题步骤-易错点警示”逻辑架构知识点，通过考点解析、典例精讲、变式训练三个教学环节，帮助学生系统掌握弦长公式应用、焦点三角形面积计算等关键技能，突破分类讨论与韦达定理应用难点。 资料突出数学思维与数学语言培养，如弦长问题“设线-联立-韦达-弦长”四步流程强化推理能力，面积问题推导链（定义+余弦定理）深化模型意识。分层例题（基础到综合）与易错提醒（如交点位置判断）保障复习实效，助力学生提升运算与应用能力，为教师把控复习节奏提供精准教学支持。

2027届高三数学一轮复习讲义 解析几何：双曲线中的弦长问题、面积问题复习讲义 考点目录 双曲线中的弦长问题 双曲线中的面积问题 考点一 双曲线中的弦长问题 【知识点解析】 一、弦长公式 设直线与双曲线交于 、，直线斜率为 ： 当 时，也可用： 设线技巧：直线过 轴上定点 或可能垂直 轴时，优先设 ，此时，可避免讨论斜率不存在。 二、通径与焦点弦 · 通径：过焦点且垂直于实轴的弦，长为 。 · 焦点弦：过焦点的弦，需分两种情况： · 弦的两个端点在同一支上； · 弦的两个端点在两支上。 · 焦半径公式（以 右焦点 为例，）： · 在右支：； · 在左支：。 三、通用解题步骤（设线→联立→韦达→弦长） 1. 设直线：（或 ）； 1. 联立消元：代入双曲线方程，整理为关于 （或 ）的方程； 1. 两个前提条件： · 二次项系数 （否则直线平行于渐近线，最多一个交点，不构成弦）； · 判别式 （保证有两个交点）； 1. 韦达定理：写出 、； 1. 代入弦长公式计算。 四、易错提醒 易错点 注意事项 直线与渐近线平行 联立后二次项系数为0，只有一个交点，不能用弦长公式 交点在同一支还是两支 对 ， 同支， 两支，焦点弦长计算方式不同 斜率不存在 垂直于 轴的弦要单独验证，或用 规避 焦点弦≠通径最短 双曲线中过焦点的弦，两支之间的弦长可以趋近于 （实轴长），不一定是通径最短 【例题分析】 例1．（2026·河北·二模）已知双曲线的渐近线方程为，点在双曲线上． (1)求双曲线的焦距； (2)过双曲线的右焦点且倾斜角为的直线与交于两点，求． 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）根据双曲线的渐近线方程得到与的关系，再将点的坐标代入双曲线方程，联立求解出，的值，进而求出的值，得到焦距； （2）先求出直线的方程，然后联立直线与双曲线的方程，利用弦长公式求出即可. 【详解】（1）由题意得： ， 又，可得， ，则双曲线的焦距为． （2）双曲线的方程为， 右焦点坐标为， 设直线的斜率为． 直线的方程为：， 联立，整理得， 因 设，则 ． 例2．（2026·海南·模拟预测）已知双曲线的实轴长为，点在双曲线上. (1)求双曲线的标准方程； (2)过点且斜率为的直线与双曲线的另一个交点为，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将点代入双曲线方程即可求解； （2）写出直线方程，与双曲线方程联立，由弦长公式可得结果. 【详解】（1）因为双曲线的实轴长为，所以，解得：； 又因为点在双曲线上，所以，解得：， 所以双曲线的标准方程为： （2）设， 由题可得过点且斜率为的直线方程为：，即， 联立，消去可得：， 所以，， 所以 例3．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知双曲线：（,）的左、右焦点分别为，，实轴长为，双曲线的一条渐近线为. (1)求双曲线的标准方程； (2)为坐标原点，点、、是双曲线上不同的三点，且、两点关于轴对称，的外接圆经过点. ①求证：直线与圆相切； ②直线与渐近线交于，两点,求的取值范围. 【答案】(1) (2) ①设，，则，均满足. 因为的外接圆经过点，所以可设的外接圆方程为. 所以，， 两式相减得，，故外接圆方程为. 则，，所以. 又，，代入中整理得，， 因为，所以，所以直线的斜率一定存在， 设直线的方程为，联立双曲线方程整理得， 当时，，，， 则， 所以，即. 原点到直线的距离为，等于圆的半径， 故直线与圆相切. ② 【分析】（1）根据双曲线的实轴长和渐近线方程求出，值，即可求出标准方程. （2）①设点，，结合的外接圆过点设出外接圆方程，再结合点在双曲线上可得；设出直线方程与双曲线方程联立，结合韦达定理得到，进而得到；利用点到直线的距离公式求出原点到直线的距离与圆的半径比较即可. ②分别求出和，结合得到，根据直线与双曲线相交求出的范围，即可求出的范围. 【详解】（1）已知双曲线实轴长为，则，所以. 因为双曲线的一条渐近线为，即，所以，即. 所以双曲线的标准方程为. （2）①略 ②直线与渐近线交于，与渐近线交于. 则. 直线与双曲线相交的弦长. 故. 由直线与双曲线相交可得，即且， 又点、、是双曲线上不同的三点，所以，故. 当时，，即； 当时，，即， 综上，的取值范围为. 【变式训练】 变式1．（2026·山东威海·一模）已知双曲线的焦距为2c，渐近线方程为，右焦点到直线的距离为． (1)求的方程； (2)已知直线交于B，C两点，的左顶点记为，若，求弦长|BC|． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意建立关于的方程组，求解即得双曲线的方程； （2）将直线方程与双曲线方程联立，写出韦达定理，利用和三角形相似可推得，与韦达定理联立求得，再用弦长公式即可求得答案. 【详解】（1）由题意知，，      解得，      所以的方程为 （2）联立，整理得，      由，可得， 设，则      因为， 又直线过点，且，     所以，所以①，（也可利用斜率相等或向量共线得出）     将①式代入得，消去得，     解得，     则    变式2．（25-26高三上·江西·阶段检测）已知双曲线的左焦点为，离心率为2. (1)求的方程； (2)过点的直线与交于两点，与轴交于点，且是的中点，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知求，由关系求，写出方程； （2）由已知可得，求出直线方程，联立-消元-韦达定理，利用弦长公式求解. 【详解】（1）由已知可得，所以，所以， 所以的方程为. （2）因为是中点，所以点的横坐标为2，所以， 所以直线的斜率，方程为， 由，得， 设，则， 所以. 变式3．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知双曲线C：的离心率为2.且经过点. (1)求C的方程； (2)若直线l与C交于A，B两点，且（点O为坐标原点），求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据离心率以及经过的点即可联立求解曲线方程； （2）联立直线与双曲线方程得韦达定理，进而根据向量的数量积的坐标运算化简得，根据弦长公式，结合不等式即可求解， 【详解】（1）由题意可得，解得， 故双曲线方程为. （2）当直线斜率不存在时，可设， 则， 将其代入双曲线方程， 又，解得， 此时， 当直线斜率存在时，设其方程为，设， 联立， 故， 则 ， 化简得，此时， 所以 ， 当时，此时， 当时，此时， ，故， 因此， 综上可得. 考点二 双曲线中的面积问题 【知识点解析】 一、焦点三角形面积（核心公式） 设 为双曲线上一点，，则： 推导链：双曲线定义 + 余弦定理 ，解得 ，再由 化简即得。 对比记忆：椭圆焦点三角形面积为 ，双曲线为 ，互为倒数关系。 二、弦与点构成的三角形面积 · 基本公式：，其中 为定点到弦所在直线的距离。 · 原点三角形（弦 与原点 ）： · 直线为 时：； · 通用行列式公式：。 · 底在坐标轴上：，高为交点纵坐标（或横坐标）的绝对值。 三、通用解题步骤 1. 识别类型：焦点三角形直接用公式；其他三角形先确定底和高； 2. 弦长+距离：涉及弦的面积，先联立求弦长，再求点到直线距离； 3. 韦达定理：将面积表达式化为 或 的形式，用韦达定理代入； 4. 面积最值：将面积表示为参数（斜率 、截距 等）的函数，用基本不等式或导数求最值。 四、常见面积模型与技巧 模型 方法 焦点三角形 ，或定义结合余弦定理 弦与原点 焦点弦与另一焦点 分割为两个三角形，分别求高 四边形（两条弦） 对角线互相垂直时 ；否则分割为两个三角形 面积最值/定值 联立后整体代换韦达定理，消参化简；注意验证 对参数范围的限制 五、易错提醒 · 焦点三角形面积公式中是 ，不要与椭圆的 混淆； · 面积最值问题求出结果后，必须回代检验 ，确认参数取值合法； · 弦与双曲线交于两支时，三角形面积公式仍然成立，但图形位置关系不同，画图时注意区分。 【例题分析】 例1．（2026·湖北黄冈·模拟预测）设双曲线的左､右焦点分别为，过点且垂直于轴的直线被截得的弦长为，过原点且斜率为的直线交于两点． (1)求的方程； (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据弦长以及焦距计算可得，可求出的方程； （2）由对称性求得交点横坐标计算可得四边形的面积. 【详解】（1）过点且垂直于轴的直线为， 将代入双曲线方程可得，解得； 因此可得，又，且， 解得， 故双曲线的方程为． （2）如下图所示： 联立，解得， 所以四边形的面积. 例2．（2026·四川成都·模拟预测）已知双曲线的右焦点为. (1)求双曲线的渐近线方程； (2)已知，点在双曲线上且不与坐标轴垂直，若为直角三角形，求的面积. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据渐近线的定义即可写出； （2）分、两种情况讨论，分别求出点的坐标，即可求的面积. 【详解】（1）由题意知，，则， 所以双曲线的渐近线方程为. （2）易知，已知， 点在双曲线上且不与坐标轴垂直，则， ①当时，将代入双曲线方程可得， 则； ②当时，设， 则， 则，解得， 则.       故的面积为或. 例3．（2026·贵州·模拟预测）已知双曲线的右焦点为，虚轴长为，点在双曲线上，PF垂直于轴，且为实半轴长和半焦距的等差中项. (1)求双曲线的标准方程. (2)已知直线与双曲线相切. ①若与直线PF相交于点，与直线相交于点，证明恒为定值，并求此定值； ②若直线分别与双曲线的两条渐近线交于M，N两点，为坐标原点，判断的面积是否为定值. 【答案】(1) (2)①是，；②是 【分析】（1）根据条件列方程组求解； （2）①设直线的方程为，与双曲线方程联立，根据得出，再根据弦长公式化简即可； ②联立直线与渐近线的方程求出两点的纵坐标，化简即可. 【详解】（1）因为的虚轴长为，所以.     因为PF垂直于轴，所以， 因为为实半轴长和半焦距的等差中项，所以， 因为，所以，则，故，     所以双曲线的标准方程为． （2）由题意可知，直线的斜率存在且不为，故设直线的方程为， 因为，所以直线与直线PF的交点， 直线与直线的交点，    由，得，    则，即.    ①因为，且，    所以，所以，为定值.    ②由得，同理可得，    所以.     因为原点到直线的距离，所以.    因为，所以，即的面积为定值.    【变式训练】 变式1．（2026·福建厦门·模拟预测）已知定直线l：，点M在l右侧，且M到的距离与到l的距离之比为2，记其轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)过F与x轴垂直的直线交于A，C两点，过F的直线交于B，D两点.若四边形ABCD的面积为，求的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，根据题意可得，化简可得曲线的方程； （2）设直线的方程为，，与双曲线方程联立，结合根与系数的关系可得，进而可得，结合题意求解即可. 【详解】（1）设， 因为M到的距离与到l的距离之比为2，所以， 两边平方可得，所以， 所以，所以， 所以的方程为； （2）由题意可知的方程为，代入的方程可得， 由题意的斜率存在，所以设直线的方程为， 联立，可得， 设，所以， 所以或， 所以 ， 因为为的中点，所以，所以， 所以，整理得，解得（舍去）或， 所以，所以的方程. 变式2．（24-25高三上·海南省直辖县级单位·阶段检测）已知双曲线：（，）的左顶点为，右焦点为，动点在双曲线上，当时，. (1)求的离心率； (2)已知，，两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、四象限.若，求的面积. 【答案】(1)2； (2). 【分析】（1）根据条件求出时的坐标，根据，列出关于的齐次等式，即可求离心率； （2）先求出双曲线方程与渐近线方程，通过找出坐标之间关系，用坐标表示的坐标，代入双曲线方程得到，再用表示出的面积，整体代入即可. 【详解】（1）设，将代入双曲线方程得，此时， 所以，即，， 则，所以（负值舍去）， 故的离心率为2. （2）因为，由（1）知， 双曲线方程为：，渐近线方程为， 设， 则， 所以， 又在双曲线上，所以，整理得：， 由渐近线方程为得， 所以的面积为 . 变式3．（2026·上海普陀·模拟预测）设，，、分别是双曲线的左、右焦点，直线经过点与的右支交于、两点，点是坐标原点. (1)若点是上的一点，，求的值； (2)设、，点在直线上，若点、、、满足：，，求点的坐标； (3)设的延长线与交于点，若向量与满足：，求的面积的取值范围. 【答案】(1) (2) (3)的面积的取值范围为 【分析】（1）由直线过点，可求，判断点的位置，结合双曲线定义求结论； （2）联立方程组，设，利用设而不求法求，由条件证明四边形为平行四边形，列方程求，由此确定的坐标； （3）由条件列不等式求的范围，表示的面积，利用换元法求其最值. 【详解】（1）双曲线的右焦点的坐标为， 因为过点， 所以，所以， 因为， 所以点在双曲线的左支上， 由双曲线定义知，又， 所以. （2）由（1）知，，则双曲线， 联立 ，消去得， 则， 设，则，， 所以， ， 又，所以， 因为点、、、满足：，， 所以，，所以四边形为平行四边形， 故与互相平分，点在直线上， 所以，又，所以， 所以点的纵坐标为， 所以点的坐标为. （3）因为， 所以， 所以，又，所以， 由双曲线的对称性可得，， 所以， 所以， 令，，即， 所以， 因为在区间上单调递减，当时，， 所以在上单调递增，所以， 所以的面积的取值范围为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $2027届高三数学一轮复习讲义 解析几何：双曲线中的弦长问题、面积问题复习讲义 考点目录 双曲线中的弦长问题 双曲线中的面积问题 考点一 双曲线中的弦长问题 【知识点解析】 一、弦长公式 设直线与双曲线交于 、，直线斜率为 ： 当 时，也可用： 设线技巧：直线过 轴上定点 或可能垂直 轴时，优先设 ，此时，可避免讨论斜率不存在。 二、通径与焦点弦 · 通径：过焦点且垂直于实轴的弦，长为 。 · 焦点弦：过焦点的弦，需分两种情况： · 弦的两个端点在同一支上； · 弦的两个端点在两支上。 · 焦半径公式（以 右焦点 为例，）： · 在右支：； · 在左支：。 三、 通用解题步骤（设线→联立→韦达→弦长） 1. 设直线：（或 ）； 1. 联立消元：代入双曲线方程，整理为关于 （或 ）的方程； 1. 两个前提条件： · 二次项系数 （否则直线平行于渐近线，最多一个交点，不构成弦）； · 判别式 （保证有两个交点）； 1. 韦达定理：写出 、； 1. 代入弦长公式计算。 四、易错提醒 易错点 注意事项 直线与渐近线平行 联立后二次项系数为0，只有一个交点，不能用弦长公式 交点在同一支还是两支 对 ， 同支， 两支，焦点弦长计算方式不同 斜率不存在 垂直于 轴的弦要单独验证，或用 规避 焦点弦≠通径最短 双曲线中过焦点的弦，两支之间的弦长可以趋近于 （实轴长），不一定是通径最短 【例题分析】 例1．（2026·河北·二模）已知双曲线的渐近线方程为，点在双曲线上． (1)求双曲线的焦距； (2)过双曲线的右焦点且倾斜角为的直线与交于两点，求． 例2．（2026·海南·模拟预测）已知双曲线的实轴长为，点在双曲线上. (1)求双曲线的标准方程； (2)过点且斜率为的直线与双曲线的另一个交点为，求. 例3．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知双曲线：（,）的左、右焦点分别为，，实轴长为，双曲线的一条渐近线为. (1)求双曲线的标准方程； (2)为坐标原点，点、、是双曲线上不同的三点，且、两点关于轴对称，的外接圆经过点. ①求证：直线与圆相切； ②直线与渐近线交于，两点,求的取值范围. 【变式训练】 变式1．（2026·山东威海·一模）已知双曲线的焦距为2c，渐近线方程为，右焦点到直线的距离为． (1)求的方程； (2)已知直线交于B，C两点，的左顶点记为，若，求弦长|BC|． 变式2．（25-26高三上·江西·阶段检测）已知双曲线的左焦点为，离心率为2. (1)求的方程； (2)过点的直线与交于两点，与轴交于点，且是的中点，求. 变式3．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知双曲线C：的离心率为2.且经过点. (1)求C的方程； (2)若直线l与C交于A，B两点，且（点O为坐标原点），求的取值范围. 考点二 双曲线中的面积问题 【知识点解析】 一、焦点三角形面积（核心公式） 设 为双曲线上一点，，则： 推导链：双曲线定义 + 余弦定理 ，解得 ，再由 化简即得。 对比记忆：椭圆焦点三角形面积为 ，双曲线为 ，互为倒数关系。 二、弦与点构成的三角形面积 · 基本公式：，其中 为定点到弦所在直线的距离。 · 原点三角形（弦 与原点 ）： · 直线为 时：； · 通用行列式公式：。 · 底在坐标轴上：，高为交点纵坐标（或横坐标）的绝对值。 三、通用解题步骤 1. 识别类型：焦点三角形直接用公式；其他三角形先确定底和高； 2. 弦长+距离：涉及弦的面积，先联立求弦长，再求点到直线距离； 3. 韦达定理：将面积表达式化为 或 的形式，用韦达定理代入； 4. 面积最值：将面积表示为参数（斜率 、截距 等）的函数，用基本不等式或导数求最值。 四、常见面积模型与技巧 模型 方法 焦点三角形 ，或定义结合余弦定理 弦与原点 焦点弦与另一焦点 分割为两个三角形，分别求高 四边形（两条弦） 对角线互相垂直时 ；否则分割为两个三角形 面积最值/定值 联立后整体代换韦达定理，消参化简；注意验证 对参数范围的限制 五、易错提醒 · 焦点三角形面积公式中是 ，不要与椭圆的 混淆； · 面积最值问题求出结果后，必须回代检验 ，确认参数取值合法； · 弦与双曲线交于两支时，三角形面积公式仍然成立，但图形位置关系不同，画图时注意区分。 【例题分析】 例1．（2026·湖北黄冈·模拟预测）设双曲线的左､右焦点分别为，过点且垂直于轴的直线被截得的弦长为，过原点且斜率为的直线交于两点． (1)求的方程； (2)求四边形的面积． 例2．（2026·四川成都·模拟预测）已知双曲线的右焦点为. (1)求双曲线的渐近线方程； (2)已知，点在双曲线上且不与坐标轴垂直，若为直角三角形，求的面积. 例3．（2026·贵州·模拟预测）已知双曲线的右焦点为，虚轴长为，点在双曲线上，PF垂直于轴，且为实半轴长和半焦距的等差中项. (1)求双曲线的标准方程. (2)已知直线与双曲线相切. ①若与直线PF相交于点，与直线相交于点，证明恒为定值，并求此定值； ②若直线分别与双曲线的两条渐近线交于M，N两点，为坐标原点，判断的面积是否为定值. 【变式训练】 变式1．（2026·福建厦门·模拟预测）已知定直线l：，点M在l右侧，且M到的距离与到l的距离之比为2，记其轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)过F与x轴垂直的直线交于A，C两点，过F的直线交于B，D两点.若四边形ABCD的面积为，求的方程. 变式2．（24-25高三上·海南省直辖县级单位·阶段检测）已知双曲线：（，）的左顶点为，右焦点为，动点在双曲线上，当时，. (1)求的离心率； (2)已知，，两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、四象限.若，求的面积. 变式3．（2026·上海普陀·模拟预测）设，，、分别是双曲线的左、右焦点，直线经过点与的右支交于、两点，点是坐标原点. (1)若点是上的一点，，求的值； (2)设、，点在直线上，若点、、、满足：，，求点的坐标； (3)设的延长线与交于点，若向量与满足：，求的面积的取值范围. 2 学科网（北京）股份有限公司 $