解析几何：椭圆中的弦长问题、面积问题 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦椭圆中的弦长与面积问题，按定义、公式、解题思路系统架构知识点，通过考点梳理、方法指导（如分类讨论斜率、韦达定理应用）、真题训练（例题与变式）帮助学生突破难点，体现复习教学的系统性和针对性。 讲义特色在于融入数学思维与数学语言培养，如弦长问题中引导学生先判断斜率是否存在，再联立方程用韦达定理计算根差，通过分层练习（例题到变式）保障复习效果，能有效提升学生应考能力，为教师把控复习节奏提供有力指导。

2027届高三数学一轮复习讲义 解析几何：椭圆中的弦长问题、面积问题复习讲义 考点目录 椭圆中的弦长问题 椭圆中的面积问题 考点一 椭圆中的弦长问题 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 弦的定义：直线与椭圆相交于两个不同点 、，两点之间的线段称为椭圆的弦。 1. 弦长公式 · 斜率 存在时： · 也可以用纵坐标表达： · 斜率不存在（直线垂直 轴）：直线 直接代入椭圆求出上下两点纵坐标，弦长为 。 1. 称为根差，完全由韦达定理的 和 计算，不需要单独求交点坐标。 1. 焦点弦：经过椭圆焦点的弦。除通用弦长公式外，还可以使用椭圆焦半径公式计算弦长；焦点弦是特殊弦。 1. 通径：垂直于长轴的焦点弦。椭圆通径长 ，是所有焦点弦中最短的弦。 1. 判别式前提：直线与椭圆要有两个不同交点，必须 ，这是弦存在的前提条件。 二、解题思路 1. 设直线方程，优先考虑斜率存在、斜率不存在两类情况；斜率存在常设 ，注意 参数；过定点直线注意定点位置。 1. 直线与椭圆联立，整理为关于 的一元二次方程；写出判别式 得到参数约束范围；写出韦达定理 、。 1. 计算根差：。 1. 代入弦长公式得到弦长表达式，表达式一般含有参数 、。 1. 常见考法： · 已知弦长，反求直线中的参数（斜率、截距）； · 求弦长的最值范围，转化为函数求值域； · 焦点弦问题，可选择焦半径或者通用弦长公式两种路径。 1. 斜率不存在的情况不能省略，单独代入椭圆直接算两点纵坐标求弦长，并验证是否满足题目条件。 1. 若题目条件涉及弦中点，可结合点差法辅助。点差法多用于中点与斜率关系，一般不直接算弦长。 【例题分析】 例1．（25-26高三上·河南周口·期中）已知椭圆的离心率为，点在椭圆C上． (1)求椭圆C的标准方程． (2)直线与椭圆C交于M，N两点． ①求m的取值范围； ②若，求的值． 例2．（25-26高三上·河北衡水·阶段检测）著名古希腊数学家阿基米德首次用“逼近法”的思想得到了椭圆的面积公式，（分别为椭圆的长半轴长和短半轴长）为后续微积分的开拓奠定了基础，已知椭圆：． (1)求的面积； (2)若直线交于两点，求． 例3．（2026·四川遂宁·模拟预测）已知椭圆的左、右顶点为，点是椭圆的上顶点，直线与圆相切，且椭圆的离心率为 (1)求椭圆的标准方程； (2)若点在椭圆上，过左焦点的直线与椭圆交于两点（不在轴上）且(O为坐标原点)，求的取值范围． 【变式训练】 变式1．（2026·天津河东·模拟预测）设椭圆的一个顶点与抛物线的焦点重合，，分别是椭圆的左、右焦点，离心率，过椭圆右焦点的直线与椭圆交于，两点． (1)求椭圆的方程； (2)若，求直线的方程； (3)已知直线斜率存在，若是椭圆经过原点的弦，且，求证：为定值． 变式2．（2026·陕西西安·模拟预测）已知点在椭圆C：（）上，且椭圆的离心率为. (1)求椭圆C的方程； (2)若斜率为1的直线l与椭圆C交于A，B两点，点，是以为底边的等腰三角形，求弦的长度. 变式3．（2026·新疆阿勒泰·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点，点为动点，点为线段的中点，直线与的斜率之积为. (1)求动点的轨迹的方程； (2)设过点且不与坐标轴垂直的直线与交于两点，线段的垂直平分线与轴交于点，若点的横坐标，求的取值范围. 考点二 椭圆中的面积问题 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 椭圆内面积问题，图形大多由直线与椭圆交点、坐标轴、定点构成；常见：三角形面积、四边形面积。 1. 三角形面积常用公式 ① 以弦 为底，点 为顶点： · 为弦长， 是点 到直线 的距离。 这是最通用公式，适用于任意顶点。 · ② 若三角形两个顶点在坐标轴上，或 ， 为坐标原点： · 原点三角形不需要算弦长和点到直线距离，直接用坐标运算。 · ③ 分割法：把复杂图形拆成多个三角形面积相加；四边形经常拆成两个三角形求和。 1. 四边形： · 对角线互相垂直的四边形：， 为两条对角线长度； · 普通四边形：分割成两个三角形分别计算再相加。 1. 约束条件：面积表达式建立在直线与椭圆相交（）的前提下，参数受判别式限制。 二、解题思路 1. 设直线方程，区分斜率存在、不存在；直线椭圆联立，得到韦达定理 、。 1. 识别图形结构，选择合适面积公式： · 普通三角形：底取弦长 ，高取定点到直线距离； · 含原点的三角形：优先用 简化计算； · 四边形：优先观察对角线是否垂直；不垂直就分割为多个三角形。 1. 把面积全部转化为韦达定理可以表达的代数式：弦长依靠 ；距离依靠直线截距、定点坐标。 1. 化简得到面积关于参数（、）的函数表达式。 1. 常见考向： · 已知面积大小，反求直线参数； · 求面积的最大值、最小值；结合判别式得到参数定义域，再求函数值域。 1. 处理斜率不存在这种特殊直线，单独计算面积，检验是否符合题意。 1. 最值类：得到面积函数后，可以使用换元、基本不等式、函数单调性求解最值；注意参数范围受 约束。 【例题分析】 例1．（2026·甘肃·模拟预测）已知椭圆的左焦点为，的离心率为，且过点． (1)求椭圆的方程； (2)已知，，过点的直线与交于，两点（，不在轴上）． （ⅰ）求证：； （ⅱ）求面积的最大值． 例2．（2026·湖南湘西·三模）已知椭圆的短轴长为2，离心率为． (1)求的方程； (2)直线与有唯一公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴于点为坐标原点，若的面积为，求． 例3．（2026·北京顺义·二模）已知椭圆的离心率为分别是椭圆的上､下顶点，. (1)求椭圆的方程； (2)设是椭圆的左顶点，过点作斜率为的直线与椭圆交于点（不同于点），且与轴交于点，点在直线上，且.求证：的面积为定值. 【变式训练】 变式1．（2026·广东东莞·模拟预测）设是圆上的动点，点为点在轴上的投影，点满足. (1)当点在圆上运动时，求点的轨迹的方程； (2)直线与曲线交于两点，且线段的中点为，求的面积. 变式2．（2026·湖北鄂州·模拟预测）已知椭圆过点，其焦距为，直线交椭圆于两点． (1)求的标准方程； (2)求面积的最大值． 变式3．（25-26高三上·贵州遵义·阶段检测）已知椭圆，为坐标原点． (1)求椭圆的焦点坐标和离心率； (2)设直线与椭圆交于两点，记弦的中点为，求点的轨迹方程； (3)求面积的最大值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $2027届高三数学一轮复习讲义 解析几何：椭圆中的弦长问题、面积问题复习讲义 考点目录 椭圆中的弦长问题 椭圆中的面积问题 考点一 椭圆中的弦长问题 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 弦的定义：直线与椭圆相交于两个不同点 、，两点之间的线段称为椭圆的弦。 1. 弦长公式 · 斜率 存在时： · 也可以用纵坐标表达： · 斜率不存在（直线垂直 轴）：直线 直接代入椭圆求出上下两点纵坐标，弦长为 。 1. 称为根差，完全由韦达定理的 和 计算，不需要单独求交点坐标。 1. 焦点弦：经过椭圆焦点的弦。除通用弦长公式外，还可以使用椭圆焦半径公式计算弦长；焦点弦是特殊弦。 1. 通径：垂直于长轴的焦点弦。椭圆通径长 ，是所有焦点弦中最短的弦。 1. 判别式前提：直线与椭圆要有两个不同交点，必须 ，这是弦存在的前提条件。 二、解题思路 1. 设直线方程，优先考虑斜率存在、斜率不存在两类情况；斜率存在常设 ，注意 参数；过定点直线注意定点位置。 1. 直线与椭圆联立，整理为关于 的一元二次方程；写出判别式 得到参数约束范围；写出韦达定理 、。 1. 计算根差：。 1. 代入弦长公式得到弦长表达式，表达式一般含有参数 、。 1. 常见考法： · 已知弦长，反求直线中的参数（斜率、截距）； · 求弦长的最值范围，转化为函数求值域； · 焦点弦问题，可选择焦半径或者通用弦长公式两种路径。 1. 斜率不存在的情况不能省略，单独代入椭圆直接算两点纵坐标求弦长，并验证是否满足题目条件。 1. 若题目条件涉及弦中点，可结合点差法辅助。点差法多用于中点与斜率关系，一般不直接算弦长。 【例题分析】 例1．（25-26高三上·河南周口·期中）已知椭圆的离心率为，点在椭圆C上． (1)求椭圆C的标准方程． (2)直线与椭圆C交于M，N两点． ①求m的取值范围； ②若，求的值． 【答案】(1) (2)①；②． 【分析】（1）根据离心率和过点，代入计算得到答案； （2）将直线的方程与椭圆方程联立得，利用根的判别式求解即可； （3）由（2）结合，利用韦达定理和弦长公式即可求解. 【详解】（1）因为点在椭圆C上，所以． 椭圆C的离心率为，解得． 故椭圆C的标准方程为． （2）联立得． ①，解得， 所以m的取值范围为． ②因为，所以，解得． ． 例2．（25-26高三上·河北衡水·阶段检测）著名古希腊数学家阿基米德首次用“逼近法”的思想得到了椭圆的面积公式，（分别为椭圆的长半轴长和短半轴长）为后续微积分的开拓奠定了基础，已知椭圆：． (1)求的面积； (2)若直线交于两点，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆方程和椭圆面积公式，即可求解； （2）直线与椭圆方程来努力，利用弦长公式，即可求解. 【详解】（1）椭圆的方程为，所以，， 则，， 所以椭圆的面积； （2）联立，得， ，，， . 例3．（2026·四川遂宁·模拟预测）已知椭圆的左、右顶点为，点是椭圆的上顶点，直线与圆相切，且椭圆的离心率为 (1)求椭圆的标准方程； (2)若点在椭圆上，过左焦点的直线与椭圆交于两点（不在轴上）且(O为坐标原点)，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）应用点到直线距离结合直线和圆的位置关系求参即可； （2）设直线联立方程组，结合弦长公式，计算求范围可得. 【详解】（1）由题设因为， 所以： ，所以， 所以椭圆方程为 （2）由（1）知的坐标为， ①当直线的斜率不存在时，，，则； ②当直线的斜率存在且不为0时，设直线的方程为且， 联立，得， 设，，则，， ， 设点，则，即，代入椭圆方程得， 解得，，所以， 所以， 又，所以的取值范围是． 综上所述，的取值范围是． 【变式训练】 变式1．（2026·天津河东·模拟预测）设椭圆的一个顶点与抛物线的焦点重合，，分别是椭圆的左、右焦点，离心率，过椭圆右焦点的直线与椭圆交于，两点． (1)求椭圆的方程； (2)若，求直线的方程； (3)已知直线斜率存在，若是椭圆经过原点的弦，且，求证：为定值． 【答案】(1) (2)， (3) 证明：由（2）可得， 设直线，设，， 联立，消去得， 所以、， 所以， 所以，即为定值. 【分析】（1）首先求出抛物线的焦点坐标，依题意可得，解得，即可求出椭圆方程； （2）分直线的斜率存在与不存在两种情况讨论，当斜率不存在时直接求出、的坐标，即可判断，当直线存在时，设直线，，，联立直线与椭圆方程，消元，列出韦达定理，由得到方程，求出的值，即可求出直线方程； （3）由弦长公式表示出，设直线，，，联立求出、，即可表示，代入即可得证. 【详解】（1）抛物线的焦点为， 由题意得， 解得，，所以椭圆的方程为. （2）由（1）可得，由题意知，直线与椭圆必相交， ①当直线斜率不存在时，由，解得或， 不妨令，，则，不合题意； ②当直线存在时，设直线，设，， 联立，消去整理得， 所以，， 则， 解得， 所以直线方程为或. （3）略 变式2．（2026·陕西西安·模拟预测）已知点在椭圆C：（）上，且椭圆的离心率为. (1)求椭圆C的方程； (2)若斜率为1的直线l与椭圆C交于A，B两点，点，是以为底边的等腰三角形，求弦的长度. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知条件列出关于的方程组，求出的值即可求出椭圆C的方程； （2）以AB为底作等腰三角形，顶点为且，其中AB中点为，这样可得等量关系，利用韦达定理可得弦中点坐标，解得m=2，进而可得A，B两点坐标，即可求解． 【详解】（1）由已知得，解得， 故椭圆C的方程为； （2）设直线/的方程为，，，的中点为. 由消去y，整理得， 由得， 由根与系数的关系得，， 则，，即. ∵是等腰的底边，的中点为D， ∴. ∴的斜率，解得，满足. 此时，， 则． 变式3．（2026·新疆阿勒泰·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点，点为动点，点为线段的中点，直线与的斜率之积为. (1)求动点的轨迹的方程； (2)设过点且不与坐标轴垂直的直线与交于两点，线段的垂直平分线与轴交于点，若点的横坐标，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设动点，则的中点，根据坐标转化与直线斜率与坐标的关系，整理运算即可得动点的轨迹的方程； （2）设直线，设，联立直线与椭圆方程即可得交点坐标关系，再根据垂直平分线与轴交于点的横坐标得的范围，从而可求弦长的取值范围. 【详解】（1）设动点，则的中点，所以 则，依题意，， 整理得，又， 故动点的轨迹方程为； （2）设直线，设， 联立直线与椭圆方程，得， 则恒成立， 所以由韦达定理可得， 可得的中点的纵坐标 的中点为， 线段的垂直平分线方程为， ，由已知条件得：，解得， ， ，，所以. 考点二 椭圆中的面积问题 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 椭圆内面积问题，图形大多由直线与椭圆交点、坐标轴、定点构成；常见：三角形面积、四边形面积。 1. 三角形面积常用公式 ① 以弦 为底，点 为顶点： · 为弦长， 是点 到直线 的距离。 这是最通用公式，适用于任意顶点。 · ② 若三角形两个顶点在坐标轴上，或 ， 为坐标原点： · 原点三角形不需要算弦长和点到直线距离，直接用坐标运算。 · ③ 分割法：把复杂图形拆成多个三角形面积相加；四边形经常拆成两个三角形求和。 1. 四边形： · 对角线互相垂直的四边形：， 为两条对角线长度； · 普通四边形：分割成两个三角形分别计算再相加。 1. 约束条件：面积表达式建立在直线与椭圆相交（）的前提下，参数受判别式限制。 二、解题思路 1. 设直线方程，区分斜率存在、不存在；直线椭圆联立，得到韦达定理 、。 1. 识别图形结构，选择合适面积公式： · 普通三角形：底取弦长 ，高取定点到直线距离； · 含原点的三角形：优先用 简化计算； · 四边形：优先观察对角线是否垂直；不垂直就分割为多个三角形。 1. 把面积全部转化为韦达定理可以表达的代数式：弦长依靠 ；距离依靠直线截距、定点坐标。 1. 化简得到面积关于参数（、）的函数表达式。 1. 常见考向： · 已知面积大小，反求直线参数； · 求面积的最大值、最小值；结合判别式得到参数定义域，再求函数值域。 1. 处理斜率不存在这种特殊直线，单独计算面积，检验是否符合题意。 1. 最值类：得到面积函数后，可以使用换元、基本不等式、函数单调性求解最值；注意参数范围受 约束。 【例题分析】 例1．（2026·甘肃·模拟预测）已知椭圆的左焦点为，的离心率为，且过点． (1)求椭圆的方程； (2)已知，，过点的直线与交于，两点（，不在轴上）． （ⅰ）求证：； （ⅱ）求面积的最大值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）设过点的直线的方程为，，， 由，得，， 所以，． 因直线的斜率分别为， 因为 则的倾斜角互为补角，故；（ⅱ） 【分析】（1）利用题设条件建立关于的方程组，求解即得椭圆方程； （2）（ⅰ）设直线的方程为，与椭圆方程联立，写出韦达定理，化简计算推得的斜率之和为0即得证；（ⅱ）结合图形，得到的面积为，利用韦达定理代入，借助于求导判断函数的单调性即可求得面积最大值. 【详解】（1）由可得① 由点在上，则② 联立①②得，， 所以椭圆C的方程为； （2）（ⅰ）略 （ⅱ）因，则 ， 令，设， 则， 所以在上单调递减，则， 故当，即时，取到最大值. 例2．（2026·湖南湘西·三模）已知椭圆的短轴长为2，离心率为． (1)求的方程； (2)直线与有唯一公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴于点为坐标原点，若的面积为，求． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）由条件列方程求可得结论； （2）分析相切条件并建立参数关系，再利用三角形面积公式得到关于的方程，进而求解参数的值. 【详解】（1）由短轴长，得. 由，得，解得. 所以的方程为 （2）联立，得， 整理得. 由题意知，，则，化简得. 设，由根与系数的关系可知， ，即， 所以， 所以直线的方程为， 令，得，令，得. 的面积， 整理得，解得， 故. 例3．（2026·北京顺义·二模）已知椭圆的离心率为分别是椭圆的上､下顶点，. (1)求椭圆的方程； (2)设是椭圆的左顶点，过点作斜率为的直线与椭圆交于点（不同于点），且与轴交于点，点在直线上，且.求证：的面积为定值. 【答案】(1) (2)依题意，，， 过斜率为的直线（），与椭圆方程联立： 解得（对应）或， 则.得， 直线与轴交于点， 令得，故. 点，直线的斜率， 所以直线方程为， 点在上，可设 ， 由 ，即， ， 所以垂直条件等价于 ， 即 ，解得， 于是， 因此点的纵坐标为定值， 而 ， 所以的面积 所以的面积为定值. 【分析】（1）根据椭圆上下顶点的距离得出短半轴的长度，再利用离心率与长半轴、短半轴的关系求出长半轴，从而得到椭圆的标准方程； （2）设过点的直线方程，与椭圆方程联立求得交点的坐标；求出直线与轴的交点，进而写出直线的方程，点在上，由垂直条件得出的纵坐标为常数，由此得到的面积为定值. 【详解】（1）由题意，上、下顶点 ，故，得， 离心率，且 ， 代入 ，得 ，解得 ，故 ，所以椭圆方程为 . （2）略 【变式训练】 变式1．（2026·广东东莞·模拟预测）设是圆上的动点，点为点在轴上的投影，点满足. (1)当点在圆上运动时，求点的轨迹的方程； (2)直线与曲线交于两点，且线段的中点为，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，运用相关点法即可解决； （2）设，利用点差法得到，所以直线方程为与椭圆方程联立，由韦达定理得到，再由弦长公式得到，原点到直线的距离：，即可求的面积. 【详解】（1）设，则，由，得， 得，而是圆上的动点，所以，即 （2）设，即①，② 两式相减得到， 即 所以， 所以直线方程为，即， 与椭圆方程联立得， 由韦达定理：， 所以， 原点到直线的距离：， 所以. 变式2．（2026·湖北鄂州·模拟预测）已知椭圆过点，其焦距为，直线交椭圆于两点． (1)求的标准方程； (2)求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知焦距和所过定点，利用椭圆的定义及两点间距离公式算出长轴长，进而由椭圆基本关系求得标准方程； （2）联立直线与椭圆方程，利用韦达定理和弦长公式表示弦长，结合点到直线距离公式得出三角形面积的函数表达式，最后通过导数或函数单调性分析求得面积的最大值. 【详解】（1）依题意焦点坐标为 椭圆方程为 （2）设联立得 由得且 点到直线的距离为 设 令，则（舍去）或， 当，， 故在上单调递增，在上单调递减， 面积的最大值为 变式3．（25-26高三上·贵州遵义·阶段检测）已知椭圆，为坐标原点． (1)求椭圆的焦点坐标和离心率； (2)设直线与椭圆交于两点，记弦的中点为，求点的轨迹方程； (3)求面积的最大值． 【答案】(1)焦点坐标为，，离心率为 (2) (3) 【分析】（1）直接套用椭圆的标准方程和基本性质公式即可求出焦点和离心率； （2）联立直线与椭圆方程，利用韦达定理表示出中点坐标，再消去参数即可得到中点的轨迹方程，注意对特殊情况的讨论； （3）利用弦长公式及点到直线的距离公式，将三角形面积表示成斜率的式子，转化为函数求最值即可求出面积最大值. 【详解】（1）由题意知，，则， 由，，则，， 所以，椭圆的焦点坐标为，， 离心率. （2）设，，， 联立，消去得， 整理得，则，， 点为中点，所以由中点坐标公式可得， 又点在直线上，所以，则当，， 代入，化简整理得， 当时，直线为，此时中点为， 代入方程成立，满足方程， 因此，点的轨迹方程为. （3）由（2）知，， 所以， 化简得. 设点到直线的距离为，则， 所以. 令，则， 所以， 易知函数在时单调递增，因为， 所以当时，取最小值，为， 此时取最大值，为. 因此，面积的最大值为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $