天津市双菱中学2026-2027学年高二上学期期中质量检测数学试题

双菱中学2026~2027学年度高二年级期中数学质量检测 一、单选题：本题共9小题，共27分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.直线x+√3y+2=0的倾斜角为() A.30° B.60° C.120° D.150° 2.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，设AA=a,AB=b,AC=,M是BC1的中 C 点，则AM可表示为() A.Am=五+拓+2 M B.Am=a+6+2 B C.AM=a+B+d D.A=a+石+c 3.已知直线l1:ax+9y+3=0,l2:x+ay-1=0,则“a=3”是l1/2的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.下列方程表示的椭圆中，形状最接近于圆的是() A号+=1 B+号=1c号+-1 D学+号=1 5.若点PK,)在以A(-3,1),B(-1,0,C(-2,0)为顶点的△ABC的内部运动（包含边界），则的取值范 围是() A.[2 B.(2,1) C.[异] D.(1) 6.著名数学家华罗庚曾说过，“数无形时少直觉，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题都可以转化 为几何问题加以解决，如：√(x-a)+y-b)可以转化为平面上点M(x,y)与点N(a,b)的距离.结合上述 观点，可得函数f(x)=Vx2+6x+25+Vx2-2x+10的最小值为() A.3V7 B.5V2 C.7 D.V65 7.直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于A,B两点，点P在圆(x-2)2+y2=2上，则△ABP面积的取值 范围是() A.[2,6] B.[4,8] C.[v2,3V2] D.[2V2,3V② 8.设F为双曲线C:兰-茶=1a>0,b>0)的右焦点，0为坐标原点，以0F为直径的圆与圆2+y2=a2交 于P,Q两点.若1PQ=IOF引，则C的离心率为() A.V2 B.v3 C.2 D.5 9.如图，圆锥的轴截面PAB是等边三角形，C是底面圆周上一动点，D是PA的中 点，则直线CD与PB所成角的余弦值的取值范围是() D A.[吃刘 B A B c. D.) 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 10.经过点P(1,2),且在y轴上的截距为x轴上截距的2倍的直线方程为一 11.己知圆C:(x-3)2+y+3)2=4,过点(2，-1)的直线m与圆C交于M,N两点，且IMW1=2√3，则直 线m的方程为一 12.已知空间中三点A(0,3,-2),B(1,2,-3),C(2,0,-4),则点A到直线BC的距离为一 13.设双曲线C:兰-景=1a>0,b>0)的左、右焦点分别为F,P,过P,作平行于y猫的直线交c于A日 两点，若引F1A=13,AB|=10,则C的离心率为一· 14.已知F1,R2为椭圆G:号+苦=1的两个焦点，P,Q为C上关于坐标原点对称的两点，且PQ=R,P4 4 则四边形PF1QF2的面积为一 15.已知双曲线Cc:爷-景=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为1，P2,过r1的直线与C的两条渐近线分别 交于A,B两点.若F1A=AB,F1B·F2B=0,则C的离心率为一· 三、解答题：本题共5小题，共49分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.(本小题9分) 已知△ABC的三个顶点分别为A(-3,0),B(2,1),C(-2,3),求： (1)BC边所在直线的方程： (2)BC边上中线AD所在直线的方程： (3)BC边的垂直平分线DE的方程. 17.(本小题9分) 如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD,PA=AD=2,BD=2V2. A 沙D B (1)求证：BD⊥平面PAC: (2)求二面角P-CD-B余弦值的大小： (3)求点C到平面PBD的距离. 18.(本小题9分) 已知椭圆5兰+茶=1(a>b>0)的离心率为受， 上顶点为A(0,1) (1)求E的方程； (2)过点P(O,V斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点M、N,且IMNI-8 2,求k的值. 19.(本小题10分) 已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB/DC,∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD,且PA=AD=DC=1, AB=2. (1)求AC与PB所成的角的余弦值： (2)证明：平面PAD⊥平面PCD: ③)设M是PB上一点，且直线CM与平面PGD夹角的正弦值为需求器的值。 M Ak-- 20.(本小题12分) 已知椭圆B:兰+发=1a>b>0)的短轴长为2V3,离心率号 (1)求椭圆E的方程； (2)过点P(O,1)的直线交E于M,N两点， ①若NP=3PM,求直线的方程： ②若点A(1,1),求△AMN的面积的取值范围.一、单选题：本题共9小题，共27分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.直线x+√3y+2=0的倾斜角为() A.30° B.60° C.120° D.150° 【答案】D 【解析】【分析】 本题考查直线的一般式方程，涉及直线的倾斜角和斜率的关系，属基础题. 由直线的方程可得直线的斜率，由倾斜角和斜率的关系可得答案。 【解答】 解：直线x+V+2=0可化为y=-号x-2 3 直线的斜率为-写 设直线的倾斜角为a,可得tana=-3, 31 .=150° 故选：D 2.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，设AA=d,AB=b,AC=C,M是BC1的中 点，则AM可表示为() A丽=五+邦+ B.AM=a+石+ C.AM-a+-B+d D.AM-a+i+元 【答案】A 【解析】解：因为M是BC的中点，所以BM=BC, AM=AB+BM AB+ZBCi-AB+(BC+BB)=AB+BC+AA=AB+(AC-AB)+ ZAAi-74B+AC+AAi. 因为AA1=a,AB=b,AC=c, 所以AM=五+B+. 第1页，共17页 故选：A. 利用空间向量的线性运算求解。 本题主要考查了空间向量的线性运算，属于基础题 3.已知直线l1:ax+9y+3=0,l2:x+ay-1=0,则“a=3”是L1/几2的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】解：当a=3时，l1:3x+9y+3=0,l2:x+3y-1=0,则直线l1斜率为-子，截距为- 直线12斜率为-子截距为行因为两条直线斜率k1=k2,且在y轴上的截距b≠b2 所以l1/八2，此“a=3”是L1/儿2的充分条件： 若l1/l2,当a=0时，11：9y+3=0,l2:x-1=0,显然两条直线有交点， 当a≠0时，若l1//儿2，则需满足两条直线斜率相等且在y轴上的截距不相等， =- 1- 即： 9 ,a,解得：a=3,因此“a=3”是l1/儿2的必要条件， 11 -3+a 所以“a=3”是l1/儿2的充要条件. 故选：C 结合充分必要条件的定义即可求解. 本题主要考查了充分必要条件的判断，属于基础题， 4.下列方程表示的椭圆中，形状最接近于圆的是() A号+号-1 B号+号-1 c号+号-1 D+号-1 【答案】D 【解析】解：椭圆离心率越小，椭圆越接近圆，由®-1一多可知，离心率越小，就越大， +-1，- .b22 ab2_3 鳄+号=1，得- +号-1，略- b2 3 好+苦-1，相经- 第2页，共17页 “D选项椭圆离心率最小，形状最接近圆. 故选D. 5若点P(y在以A(-3,1),B(-1,0),C(-2,0)为顶点的△ABC的内部运动（包含边界），则二的取值范 围是() A[片1] B.(1) c.[ D.(经1) 【答案】C 【解析】解：根据已知条件，可知点P(x,y)是以点A,B,C为顶点的△ABC内部一动点（不包含边界）， 的几何意义是过动点P(x)与定点M(1,2)的直线的斜率， M0,2 由已知得kAM=子kBM=1,kcM=子 可得的取值范围是片，刂 故选：C 由已知结合直线的斜率公式即可求解. 本题主要考查了直线的斜率公式的应用，属于基础题， 6.著名数学家华罗庚曾说过，“数无形时少直觉，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题都可以转化 为几何问题加以解决，如：√(x-a)2+y-b)2可以转化为平面上点M(x,y)与点N(a,b)的距离.结合上述 观点，可得函数f(x)=√x2+6x+25+√x2-2x+10的最小值为() A.3V7 B.5V2 C.7 D.V65 【答案】D 【解析】解：由题意得f(x)=√(x+3)2+(0-4)2+√(x-1)2+(0-3)2, 可得f(x)的值等于M(x,0)到定点A(-3,4)、B(1,3)的距离之和. 设点A(-3,4)关于x轴的对称点为A′，则A′的坐标为(-3，-4)， 第3页，共17页 求f(x)的最小值，等价于求MA+IMB的最小值， 根据对称性质，可得1MA+IMB=IMA'|+IMB≥|A'B1=√(-3-1)2+(-4-3)Z=V65, 所以川MA+|MB|的最小值为V65,即f(x)=Vx2+6x+25+Vx2-2x+10的最小值为V65 故选：D 根据两点之间的距离公式，问题转化为x轴上动点M(x,0)到两定点A(-3,4)、B(1,3)的距离之和，借助“将 军饮马“模型求解，即可得到本题的答案， 本题主要考查轴对称的性质、两点之间的距离公式及其应用，考查了等价转化的数学思想，属于基础题. 7.直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于A,B两点，点P在圆(x-2)2+y2=2上，则△ABP面积的取值 范围是() A.[2,6] B.[4,8] C.[V2,3V2] D.[22,3V2] 【答案】A 【解析】略 8设F为双曲线C:兰-花-1a>0,b>0)的右焦点，0为坠标原点，以0F为直径的圆与圆2+)2-a2交 于P,Q两点.若PQ1=IOF,则C的离心率为() A.V2 B.V3 C.2 D.V5 【答案】A 【解析】【分析】 本题考查双曲线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，属于中档题. 方法一：根据题意画图，由图形的对称性得出P点坐标，代入圆的方程得到c与a的关系，可求双曲线的离心 率 方法二：由题意画出图形，先求出PQ,再由PQ|=|OF列列式求C的离心率. 【解答】 解：方法一：设PQ与x轴交于点A,由对称性可知PQ1x轴， 又~IPQI=IOFI=c,∴|PA= 第4页，共17页 PA为以OF为直径的圆的半径， :A为圆心，IOA= ∴P(（,),又P点在圆x2+y2=2上， t号=a,即=， C2 e2= a22 e=V2, 故选A. 方法二：如图，以0F为直径的圆的方程为x2+y2一cx=0, 又圆0的方程为x2+y2=a2, ∴PQ所在直线方程为x=足 把x=2代入2+y=a2,得1PQ=2吧 再由PQ1=10F1,得2a地=c, 即4a2(c2-a2)=c4, ∴e2=2,解得e=√2. 故选A. 9.如图，圆锥的轴截面PAB是等边三角形，C是底面圆周上一动点，D是PA的中 点，则直线CD与PB所成角的余弦值的取值范围是() D A[2,1] .-h B悟 B c. 第5页，共17页 D.,1) 【答案】C 【解析】解：法一：取底面圆心为O,连接0D,OC,PO,作DE1AB,垂足为E,连接CE,如图所示. D 0. B C 因为D是PA的中点，O为AB的中点，故OD/PB, 则∠CDO即为直线CD与PB所成角， 设底面半径为，则0C=r,0D=PB=,0P=V3r. 因为DE1AB,0P1AB,放DE-0P-号r 由余弦定理可知cos∠CD0= CD2+0D2-0C2 CD2 CD 2XCDXOD 2rxCD= 2r 由CD=VDE2+CE= 2+cB2, 因为c是底面圆周上一动点，故cBe[5,],则cD=、r2+cB2ErV3列： 代入可得cos2CD0=架∈[哈，1 法二：取AB的中点O,连接OP,O与AB的中点， 由圆锥的垂直关系可知OP垂直于底面，O与AB的中点的连线垂直于直径AB. 故以O为原点，O与AB的中点的连线为x轴，OB为y轴建立空间直角坐标系，如图所示 ZA D B 因为圆锥的轴截面PAB是等边三角形，设AB=2,则OP=√3. 故A0.-1o.P0,V.B01,0.D0,号)设ccos0,sin0.. 第6页，共17页 则P丽=0,1，-V3,而=(-cos0,-专sin0,号)： 则cos<PB,CD>= PB.CD -2+sin0 PBLICDI 2×cos20+(+sin0)2+ 2. 因为9ER,则sin9∈[-1,1，则直线cD与PB所成角的余弦值为cos<P呢，CD>=am∈[哈，]， 2 故选：C 法一：异面直线求夹角作平行线与己知直线相交，构成的夹角为异面直线所成角，通过解三角形计算取值 范围： 法二：通过建立空间直角坐标系，利用三角函数法对C点设出坐标，将异面直线所成角转化为两条直线方向 向量所成的角，进而计算取值范围 本题考查异面直线所成角，找到异面直线所成角的平面角，或采用向量法求解，属于中档题. 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 10.经过点P(1,2),且在y轴上的截距为x轴上截距的2倍的直线方程为· 【答案】2x-y=0或2x+y-4=0/y=2x或y=-2x+4 【解析】【分析】 本题考查了直线的截距式、分类讨论思想方法，属于中档题. 当直线过原点时，直线方程为2x一y=0.直线不经过原点时，设直线方程为+名=1，把点(1,2)代入即可 得出. 【解答】 解：当直线过原点时，可设方程为y=kx,代入点M(1,2), 可得k=2,故方程为y=2x,即2x-y=0: 当直线不过原点时，可设方程为+云=1，代入点M(1,2), 可得a=2,故方程为+￥=1，即2x+y-4=0: 故所求方程为：2x-y=0或2x+y-4=0, 11.己知圆C:(x-3)2+y+3)2=4,过点(2，-1)的直线m与圆C交于M,W两点，且MW|=2W3,则直 线m的方程为 【答案】x=2或3x+4y-2=0 【解析】【分析】 第7页，共17页 本题考查直线与圆相交弦长公式的应用及分类讨论求过定点的直线方程的求法，属于中档题. 根据点到直线的距离公式，结合圆的弦长公式即可求解. 【解答】 解：由题知，圆C的圆心为C(3,-3),半径为2， 当直线m的斜率不存在时，直线m的方程为x=2, 圆心C到直线m的距离为3-2=1，此时1MN1=2√22-12=2√3，符合题意： 当直线m的斜率存在时，设直线m的方程为y+1=k(x-2),即kx-y-2k-1=0, 设C到直线的距离为d,由题意及弦长公式可得|MN=2√r2-d亚=2√4-d2=2v3, 可得d2=1, 所以圆心C到直线m的距离为d2=(3k+3-2k-斗)2=1， k2+-1)2 解得k=-子所以直线m的方程为y+1=-x-2), 即3x+4y-2=0, 综上可知，直线m的方程为x=2或3x+4y-2=0. 故答案为：x=2或3x+4y-2=0. 12.己知空间中三点A(0,3,-2),B(1,2,-3),C(2,0,-4),则点A到直线BC的距离为一· 【答案】号 【解析】【分析】 本题考查空间中点到直线的距离问题，属于基础题. 根据空间中点到直线的距离的向量公式求解。 【解答】 解：由点的坐标可得BC=(1,-2,-1),AB=(1,-1,-1) AB·BC 则点A到直线BC的距离为d AB 3；9 故答案为： 3 13.设双曲线c:是-兰=1Qa>0,b>0)的左、右焦点分别为那，F,过，作平行于)轴的直线交c于A,B 两点，若引F1A=13,|AB=10,则C的离心率为 【答案】月 【解析】【分析】 第8页，共17页 本题考查与双曲线离心率有关的参数问题，属于基础题. 利用条件求出a,c,即可求离心率， 【解答】 解：由题得14F1-AF2l=F1A-14=2a=8→a=4, 同时9-号-号-5-20， 则c2=a2+b2=36,即c=6. 所以双曲线离心率为=台-是 故答案为：2》 14已知FB为椭圆C:若+学=1的两个焦点，A,Q为c上关于华标原点对称的两点，且PQ1=厂F小， 则四边形PF1QF2的面积为 【答案】8 【解析】解：因为P,Q为C上关于坐标原点对称的两点，且IPQ=IF1F2, 所以四边形PF1QF2为矩形， 设1PFl=m,PF2l=n, 由椭圆的定义可得|PF1+lPF2l=m+n=2a=8, 所以m2+2mm+n2=64, 因为PF12+1PF212=1F1F22=4c2=4(a2-b2)=48, 即m2+n2=48, 所以mn=8, 所以四边形PF1QF2的面积为PFPF2l=mn=8. 故答案为：8。 15已知双曲线c:兰茶=1Q>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F,过F,的直线与G的两条渐近线分别 交于A,B两点.若F1A=AB,F1B·F2B=0,则C的离心率为 【答案】2 【解析】【分析】 本题考查双曲线的简单性质，是中档题. 由题意画出图形，结合已知可得F1B10A,从而可得=tan60°=√3，进而求出离心率. 第9页，共17页 【解答】 解：如图， F1A=AB,且F1B.F2B=0, ∴.F1B⊥F2B,F1A=AB 又点A是F1B的中点，点0是F1F2的中点，OA//F2B, ..OA L F B, 则△AOF1兰△AOB, 则∠A0F1=∠A0B=∠B0F2=60°， 所以一条渐近线的斜率为2=tan60°=√3， 所以e=￡= 1+ b a 22, 故答案为：2. 三、解答题：本题共5小题，共49分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.(本小题9分) 已知△ABC的三个顶点分别为A(-3,0),B(2,1),C(-2,3),求： (1)BC边所在直线的方程； (2)BC边上中线AD所在直线的方程： (3)BC边的垂直平分线DE的方程. 【答案】解：(1)因为直线BC经过B(2,1)和C(-2,3)两点， 由两点式得直线BC的方程为号=号即x+2y-4=0. (②设BC中点D的坐标为(0，o,则x=2号=0，y%=生=2， BC边的中线AD过点A(-3,0),D(0,2)两点， 第10页，共17页 由截距式得AD所在直线方程为+兰=1，即2x-3y+6=0. (3)BC的斜率k1=3克-京则BC的垂直平分线DE的斜率k2=2, 由斜截式得直线DE的方程为y=2x+2,即2x-y+2=0. 【解析】本题考查直线方程的两点式，斜截式，截距式，一般式方程，考查中点坐标公式，以及两直线垂 直的性质，考查直线的斜率的求解，属于中档题. (1)由B和C的坐标直接利用直线方程的两点式求出直线方程即可； (2)根据中点坐标公式求出B与C的中点D的坐标，利用A和D的坐标由直线的截距式写出中线方程即可； (③)求出直线BC的斜率，根据两直线垂直时斜率乘积为-1，求出BC垂直平分线的斜率，由(2)中D的坐标， 写出直线DE的方程即可. 17.(本小题9分) 如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，PAI平面ABCD,PA=AD=2,BD=2V2. P A B C (1)求证：BD1平面PAC: (2)求二面角P-CD一B余弦值的大小： (③)求点C到平面PBD的距离. 【答案】(1)证明：建立如图所示的直角坐标系， 本2 C 则A(0,0,0)、D(0,2,0)、P(0,0,2) 第11页，共17页 在Rt△BAD中，AD=2,BD=22, .AB=2..B(2,0,0)、C(2,2,0) Ap=(0,0,2),AC=(2,2,0),BD=（-2,2,0) BD·AP=0,BD·AC=0,即BD⊥AP,BD⊥AC, 又因为AP∩AC=A,AP,AC∈平面PAC. ·BDI平面PAC; 解：(2)由(1)得PD=(0,2,-2),CD=（-2,0,0) 设平面PCD的法向量为n=(x,y,z), 则n·PD=0,n·CD=0, 叫x420400 化二g故平面PCD的法向量可取为元=01) PA⊥平面ABCD, ·.AP=(0,0,1)为平面ABCD的法向量 设=面P-CD-B的大小为0，依短弦可得cos9-哥需-号 (3)由(1)得PB=(2,0,-2),PD=(0,2,-2): 设平面PBD的法向量为=(a,b,c), P明=0，店P防=0,648-280 a=b=c,故可取为n2=(1,1,1) PC=(2,2-2) C到面P8D的距离为d=哥1-等号 3 【解析】本题考查线面垂直的判定定理的运用以及二面角的余弦值求法：考查利用空间向量解决空间角的 问题 (1)证明直线BD所在的向量与平面内两个不共线的向量垂直，即可得到直线与平面内的两条相交直线垂直， 进而得到线面垂直. (2)由题意求出两个平面的法向量，求出两个向量的夹角，进而转化为二面角P-CD-B的平面角即可. (③)求出平面PBD的法向量，再求出平面的斜线PC所在的向量PC,然后根据公式可得到点到平面的距离. 18.(本小题9分) 已知椭圆5兰+长-1(a>b>0的离心率为 ,上顶点为A(0,1). 第12页，共17页 (1)求E的方程； (2)过点P(O,√3)斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点M、N,且IMN1=8Y三 7 ,求k的值. 【答案】解：(A因为椭圆6受+兰-1Q>b>D)的离心率为浮上顶点为401， 所以b=1,-号，即c=号a 因为a2=b2+c2,解得a2=2, 所以稀圆的方程为号+少=1。 (2)根据题意，直线l:y=kx+V√3，设M(x1,y1),N(x2,y2), +y2-1，整理得1+2)x2+4N3x+4=0. =kx+V3 则 x2 4=(4W32-4×4×(1+2k2)>0,即k2>1, x1+X2=- 4v3k 4 1+22,X1x2=1+2k2 4(1+k2(k2-1) .|MN|=V1+k2x1-x2l=V1+k2Vx1+x2)2-4x1X2= 1+2k2 7 即17k4-32k2-57=0,解得k2=3(负值舍去)， k=士V3 【解析】详细解答和解析过程见【答案】 19.(本小题10分) 己知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB//DC,∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD,且PA=AD=DC=1, AB=2. (1)求AC与PB所成的角的余弦值； (2)证明：平面PAD1平面PCD: (间设M是PB上一点，且直线CM与平面PC0夹角的正弦值为求号器的值. 力 M Ak=-- B 第13页，共17页 【答案】TPAI面ABCD,CDC面ABCD,则PA1CD, ∠DAB=90°，AB//DC,则AD1CD, PA∩AD=A,PA,ADC面PAD,则CD1面PAD, CDC面PCD,则面PADI面PCD 2 【解析】解：(1)建立空间直角坐标系，如图所示： B D A(0,0,0),C(1,1,0),P(0,0,1),B(0,2,0), AC=(1,1,0),PB=(0,2,-1), cos<AC,PB>= AC-PB V10 IACIIPBI 5 则AC与PB所成的角的余弦值为， 5 (2)证明：PA⊥面ABCD,CDc面ABCD,则PA1CD, ∠DAB=90°，AB/DC,则AD⊥CD, PA∩AD=A,PA,ADC面PAD,则CDI面PAD, CDC面PCD,则面PAD⊥面PCD: (3)C(1,1,0),D(1,0,0),P(0,0,1) CD=(0,-1,0),Dp=(-1,0,1), 设平面PCD的一个法向量为元=(x,y,z), i·cD=0∫-y=0 (元.DP=0 ”{-x+2=0'令2=1，则元=(1,0,1)， 设%=则PM=1PB=(0,2以-)： CM=CP+PM=(-1,-1,1)+(0,2%,-)=（-1,21-1,1-), |CM列- 1-刘 1c网√572-61+3×√2 巴解得1=方 即路台 (1)建立坐标系，利用向量夹角公式求解即可： 第14页，共17页 (②)利用线线垂直证明线面垂直，结合平面与平面垂直的判定定理可证； (3)求出平面PCD的法向量，利用线面角的向量表示可得答案 本题主要考查异面直线所成的角以及面面垂直的判定，属于中档题 20.(本小题12分) 已知椭圆E: x2y2 点+影=1(a>b>0)的短轴长为2√3，离心率为号， (1)求椭圆E的方程： (2)过点P(0,1)的直线交E于M,N两点， ①若NP=3PM,求直线的方程： ②若点A(1,1),求△AMN的面积的取值范围. 2b=2V3 【答案】解：(1由题可得： 2 a2=b2+c2 解得： a2=4 b2=31 所以椭圆E的方程为：兰+苦-1： (2)设直线l交E于M(x1y1),N(x2,y2)两点，点P(0,1)在椭圆E内， ①若直线的斜率不存在， 易得NPI=V3+1,IMPI=V3-1, 不满足NP=3PM, 故设直线的方程为y=kx+1, (y=kx+1 联立2y2 (+=1 化简得：(3+4k2)x2+8kx-8=0, -8k -8 所以x1+x为=3+42：x12=3+47(四， 又Np=(-x2,1-y2),PM=(x1,y1-1): NP =3PM 所以-x2=3x1), 由（四四两式解得：k=士5 21 所以直线的方程为炒=土x+1: ②当直线的斜率不存在时， 第15页，共17页 直线l与E的交点为M(-√3,0)，N(N3,0), 则Sa4w=号×1×2W3=V3, 当斜率为0时， 直线过点A(1,1),故不能构成三角形， 当斜率存在且不为0时， 由①知，IMW=√1+k2√(x1+x2)2-4x1x2 8k 8 =√1+k2 ( 3+4)2-4×(-3+4) =V1+k2xW22+6 3+4k2, 点A(1,1)到直线l:y=kx+1的距离d=- I 1+k21 所以S△Aww=MW·d ×V1+k2 1 4V12k2+6、Ik 1 3+4k2 V1+k2 16k4+8k2 =V3×4w2+3 令3+4k2=t,则t>3,0<专 则S△AMw=V3X, t2-4t+3 t2 =×-+1, =V3×3- 因为0<←分 所以S△AMw∈(0，V3), 综上，△AMN的面积的取值范围为(O,V3 【解析】本题考查向量与椭圆的综合问题，椭圆中三角形（四边形）的面积，椭圆的标准方程，二次函数的最 值，属于较难题 (1)由题，联立方程组求出a,b即可得解： (2)①将直线与椭圆联立，得到根与系数关系式，再根据共线向量得到-x2=3x1,代入计算即可： 第16页，共17页 ②利用弦长公式和点到直线的距离公式得到面积表达式√3× 16k4+8k2 V(4k2+3)2, 再利用换元法及二次函数得到其 范围即可. 第17页，共17页