第17章 因式分解单元自测培优卷- 2026-2027学年人教版八年级数学上册

第17章 因式分解单元自测培优卷 考试时间：60分钟　　满分：100分 适用：人教版九年级单元培优测试、周测 1、 选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．（25-26七年级下·云南昭通·期末）下列各式中，从左到右的变形属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·重庆·期中）若将多项式因式分解得，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．（26-27八年级上·河南新乡·阶段检测）将多项式添加上一个单项式后能成为一个整式的完全平方，下列单项式：①；②；③；④；⑤．其中符合条件的是（     ） A．①③ B．①②③ C．①③⑤ D．①②③④⑤ 4．（25-26八年级下·四川成都·期中）若三边a，b，c满足，则一定是（     ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 5．（24-25八年级上·河北邢台·期末）已知则按此规律推算的结果一定能（     ） A．被12整除 B．被13整除 C．被14整除 D．被15整除 6．（2025八年级上·河北邯郸·专题练习）将分解因式，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 7．（26-27七年级上·上海普陀·期中）如图，有三种不同形状的卡片①②③各若干张．现用2张卡片①、8张卡片②和6张卡片③无重叠无缝隙地拼成一个长方形．已知该长方形的一边长为，则另一边长为（     ） A． B． C． D． 8．（2026·江西九江·二模）对于一个关于的整式，我们可以通过因式分解，分解为不能再分解的非常数因式的乘积，将其写成个整式的乘积，取的值为，这个整式的和记作整式的解码值．如当时，因式分解的结果为，则的值为，，，由此可以得到整式的解码值为．当时，整式的解码值是（     ） A． B． C． D． 2、 填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9．（25-26八年级下·陕西西安·期中）与的公因式是_____． 10．（26-27九年级上·山东东营·阶段检测）分解因式：的结果是________． 11．（2025·黑龙江大庆·一模）分解因式：________ 12．（26-27七年级上·上海普陀·期中）因式分解：__________________． 13．（26-27八年级上·山东烟台·期中）若关于的多项式能被整除，则的值为_________． 14．（25-26八年级上·重庆江津·期末）运用数形结合思想可以使数与形之间相互转化．一次实践课上，某同学用如图1的、、三种卡片若干，拼成图2图形．借助图形，分解因式：______． 三、解答题（本大题共7小题，共58分） 15.（8分）（25-26八年级下·江西吉安·阶段检测）分解因式： （1）； （2）． 16.（8分）（26-27七年级上·上海普陀·期中）因式分解： （1）； （2）． 17.（8分）（26-27八年级上·河南新乡·阶段检测）把下列多项式分解因式： （1）； （2）． 18.（8分）（25-26八年级下·江西吉安·期末）利用因式分解计算： （1）； （2）． 19.（8分）（26-27八年级上·山东泰安·期中）把下列各式因式分解： （1）； （2）； （3）； （4）． 20.（8分）（26-27八年级上·湖南益阳·期中）先阅读材料，再回答问题． 分解因式：． 解：将看成整体，令，则原式，再将还原，得到：原式 上述解题过程中用到了整体思想，它是数学中常用的一种思想．请你用整体思想解决下列问题： （1）因式分解：_______． （2）因式分解：； （3）若n为正整数，则的值为某一个正整数的平方．请说明理由． 21.（10分）（25-26七年级下·浙江嘉兴·期末）综合与实践 【情境回顾】 浙教版7年级下教材第124页“图说因式分解”中有如下问题： 如图，剪两张边长均为x的正方形纸片，再剪三张长为x，宽为1的长方形纸片和一张边长为1的正方形纸片．试一试，能否把这些纸片拼成一个长方形？由此你发现了什么？ （1）如图1是某数学兴趣小组拼的长方形，观察图形，写出相应的因式分解的等式． 【尝试应用】 （2）如图2，小嘉同学用1张边长为x的大正方形纸片，3张边长为y的小正方形纸片，4张长为x，宽为y的小长方形纸片，拼出一个大长方形，请写出相应的因式分解的等式． 【探究拓展】 （3）若图2中一张大正方形纸片与一张小正方形纸片的面积和为20，一张小长方形纸片的面积为6，则小嘉同学拼出的大长方形周长为多少？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 第17章 因式分解单元自测培优卷 考试时间：60分钟　　满分：100分 适用：人教版九年级单元培优测试、周测 1、 选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．（25-26七年级下·云南昭通·期末）下列各式中，从左到右的变形属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据因式分解的定义，即把一个多项式化为几个整式的乘积的形式，逐一判断各选项即可． 解：A选项 ，将多项式化为整式的乘积，符合因式分解的定义，属于因式分解； B选项 ，是整式乘法运算，将乘积化为多项式，不属于因式分解； C选项 ，结果为和差形式，不是整式乘积的形式，不属于因式分解； D选项 右边式子中不是整式，不符合因式分解要求，不属于因式分解． 2．（25-26八年级下·重庆·期中）若将多项式因式分解得，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先展开因式分解后的多项式，利用多项式相等时对应项系数相等求出和的值，再计算． 解： ， ， ，解得， ． 3．（26-27八年级上·河南新乡·阶段检测）将多项式添加上一个单项式后能成为一个整式的完全平方，下列单项式：①；②；③；④；⑤．其中符合条件的是（     ） A．①③ B．①②③ C．①③⑤ D．①②③④⑤ 【答案】D 【分析】结合整式的完全平方的两类形式（二项式平方、单项式平方），逐一验证各单项式． 解：∵ ， ∴ ①③符合条件； ∵ ， ∴ ②符合条件； ∵ ， ∴ ④符合条件； ∵ ， ∴ ⑤符合条件； 故答案为D． 4．（25-26八年级下·四川成都·期中）若三边a，b，c满足，则一定是（     ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D ．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】本题考查因式分解与三角形形状判断，先对已知等式因式分解，再结合三角形三边关系得到边的等量关系，即可判断三角形形状． 解：∵ 是的三边长， ∴ ，即 ， ∵ ∴ ∵ ∴ ，即 ∴ 一定是等腰三角形 故选：． 5．（24-25八年级上·河北邢台·期末）已知则按此规律推算的结果一定能（     ） A．被12整除 B．被13整除 C．被14整除 D．被15整除 【答案】D 【分析】对连续运用平方差公式分解因式即可得到答案． 解： ， ∵都是正整数， ∴一定能被15整除， ∴的结果一定能被15整除． 6．（2025八年级上·河北邯郸·专题练习）将分解因式，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分解因式，可设（其中a、b为整数）则可求出，再根据可确定a、b的值，进而可得答案． 解：∵， ∴可设（其中a、b为整数） ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴， 故选：A． 7．（26-27七年级上·上海普陀·期中）如图，有三种不同形状的卡片①②③各若干张．现用2张卡片①、8张卡片②和6张卡片③无重叠无缝隙地拼成一个长方形．已知该长方形的一边长为，则另一边长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三种卡片的面积之和等于拼成的长方形面积，通过因式分解求出长方形的另一边长． 解：所有卡片的总面积为 而 ∵长方形面积长宽，且已知一边长为， ∴另一边长为． 8．（2026·江西九江·二模）对于一个关于的整式，我们可以通过因式分解，分解为不能再分解的非常数因式的乘积，将其写成个整式的乘积，取的值为，这个整式的和记作整式的解码值．如当时，因式分解的结果为，则的值为，，，由此可以得到整式的解码值为．当时，整式的解码值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先按因式分解规则分解整式，确定因式个数，再根据定义取，计算每个因式的值后求和得到解码值，用到因式分解的提公因式法和平方差公式． 解：， 分解得到个整式， 根据定义取， 分别计算各整式的值：，，， 解码值为 ． 2、 填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9．（25-26八年级下·陕西西安·期中）与的公因式是_____． 【答案】 【分析】此题考查了公因式的确定能力，运用公因式的定义和提公因式法因式分解进行求解，关键是能准确理解并运用该知识进行求解． 解：∵，， ∴与的公因式是， 故答案为：． 10．（26-27九年级上·山东东营·阶段检测）分解因式：的结果是________． 【答案】 解：， 原式 ． 11．（2025·黑龙江大庆·一模）分解因式：________ 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解，分别运用因式分解法和公式法求解即可． 解： 12．（26-27七年级上·上海普陀·期中）因式分解：__________________． 【答案】 【分析】先提取多项式各项的公因式，再对剩余的二次三项式进行因式分解． 解：∵ 多项式的每一项都含有公因式， ∴ 先提取公因式，将原式变形为， ∵ 二次三项式的常数项5可分解为与的乘积，且两数之和为，与一次项系数相等， ∴ ，∴ 原式因式分解的最终结果为． 13．（26-27八年级上·山东烟台·期中）若关于的多项式能被整除，则的值为_________． 【答案】 【分析】对除式进行因式分解，结合多项式整除的性质，代入对应根建立关于、的方程，求解后计算的值． 解：∵． ∵多项式能被整除． ∴当、时，． 将代入多项式得． 整理得①． 将代入多项式得． 整理得②． 联立①②，两式相加得． 解得． 将代入②式得． 解得． ∴． 14．（25-26八年级上·重庆江津·期末）运用数形结合思想可以使数与形之间相互转化．一次实践课上，某同学用如图1的、、三种卡片若干，拼成图2图形．借助图形，分解因式：______． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，多项式乘多项式与图形面积，根据所给图形，得出大长方形的长和宽即可求解，熟知多项式乘多项式法则及能用两种不同的方法表示同一个图形的面积是解题的关键． 解：观察图形可知，图中一共用了张卡片，张卡片，张卡片，组成的是一个长方形，长为，宽为， ∵张卡片，张卡片，张卡片的面积之和等于， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共7小题，共58分） 15.（8分）（25-26八年级下·江西吉安·阶段检测）分解因式： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） （1）解：； （2）解： ． 16.（8分）（26-27七年级上·上海普陀·期中）因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） （1）解： ； （2） ． 17.（8分）（26-27八年级上·河南新乡·阶段检测）把下列多项式分解因式： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先用平方差公式分解，再提取公因式完成分组分解； （2）先把化成完全平方式，再利用平方差公式继续分解． （1）解：原式， ； （2）解：原式， ， ， ． 18.（8分）（25-26八年级下·江西吉安·期末）利用因式分解计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先提取公因式，再用平方差公式因式分解后计算； （2）先对式子变形，再用完全平方公式因式分解后计算． （1）解： ； （2）解： ． 19.（8分）（26-27八年级上·山东泰安·期中）把下列各式因式分解： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】（1）先提取公因式，再用完全平方公式分解因式． （2）把式子看成平方差的形式，利用平方差公式分解，之后继续整理． （3）提取公因式，再合并括号内同类项化简． （4）先展开多项式，再合并同类项，最后用完全平方公式分解． （1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 20.（8分）（26-27八年级上·湖南益阳·期中）先阅读材料，再回答问题． 分解因式：． 解：将看成整体，令，则原式，再将还原，得到：原式 上述解题过程中用到了整体思想，它是数学中常用的一种思想．请你用整体思想解决下列问题： （1）因式分解：_______． （2）因式分解：； （3）若n为正整数，则的值为某一个正整数的平方．请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3） 解：的值是正整数的平方，理由如下： 令，则原式 是正整数， 是正整数， 的值是正整数的平方． 【分析】（1）把看作整体，套用完全平方公式分解因式． （2）先将前三项分组，用完全平方公式变形，再整体使用平方差公式分解因式． （3）先把展开，把看成整体，利用换元和完全平方公式变形，证明式子是完全平方数． （1）解：令， （2）解： （3）略 21.（10分）（25-26七年级下·浙江嘉兴·期末）综合与实践 【情境回顾】 浙教版7年级下教材第124页“图说因式分解”中有如下问题： 如图，剪两张边长均为x的正方形纸片，再剪三张长为x，宽为1的长方形纸片和一张边长为1的正方形纸片．试一试，能否把这些纸片拼成一个长方形？由此你发现了什么？ （1）如图1是某数学兴趣小组拼的长方形，观察图形，写出相应的因式分解的等式． 【尝试应用】 （2）如图2，小嘉同学用1张边长为x的大正方形纸片，3张边长为y的小正方形纸片，4张长为x，宽为y的小长方形纸片，拼出一个大长方形，请写出相应的因式分解的等式． 【探究拓展】 （3）若图2中一张大正方形纸片与一张小正方形纸片的面积和为20，一张小长方形纸片的面积为6，则小嘉同学拼出的大长方形周长为多少？ 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）观察图形即可解答； （2）画出图形，观察图形即可解答； （3）根据题意可得，，拼出的长方形的周长为，利用完全平方公式得到，，再解得，代入即可． （1）解：观察图形，可得； （2）解：画出图形， （3）解：根据题意可得，， 拼出的长方形的周长为， ， ， 根据题意可得， ，， ， 学科网（北京）股份有限公司 $