精品解析：四川凉山彝族自治州会东县和文中学2026-2027学年高二上学期11月期中数学试题

会东县和文中学高2025级高二上期半期考试数学试卷 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列四条直线中，倾斜角最大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线求出斜率，然后转换成倾斜角的大小作比较即可. 【详解】A，B，C选项中直线的倾斜角分别为0，，，D选项中直线的斜率为负值，则其倾斜角为钝角. 故选：D. 2. 已知样本空间中有4个等可能的样本点，且，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由样本空间和事件包含的样本点个数，利用古典概型概率公式计算可得. 【详解】因为样本空间，又， 则，所以， 样本空间中包含4个等可能的样本点，事件包含1个样本点， 由古典概型概率公式，． 故选：D. 3. 设，向量，，且，，则（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由，求出，再求出，再用坐标求模即可. 【详解】因为，且， 所以，解得，即， 又因为，且， 所以，则，即， 故， 所以. 故选：A. 4. 已知点，，则直线的一个方向向量可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量中直线的方向向量的坐标运算求解即可. 【详解】解：由题意得： ，则直线的方向向量为 逐项分析即可知只有C符合要求. 故选：C 5. 两条直线和在同一直角坐标系中的图象可以是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线的截距式方程，可得直线的横、纵截距分别为，，直线的横、纵截距分别为，，逐项根据截距的正负判断即可． 【详解】由截距式方程可得直线的横、纵截距分别为，，直线的横、纵截距分别为，， 选项A，由的图象可得，即，则，可得直线的截距均为正数，故正确； 选项B，由的图象可得，即，则，可得直线的截距均为正数，由图象不对应，故错误； 选项C，由的图象可得，即，则，可得直线的横截距为负数，纵截距为正数，由图象不对应，故错误； 选项D，由的图象可得，即，则，可得直线的横截距为正数，纵截距为负数，由图象不对应，故错误． 6. 在三棱柱中，，分别是线段，上靠近，的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用已知条件得出相关向量关系，再利用三棱柱的性质结合向量加减法计算求解． 【详解】 ，分别是线段，上靠近，的三等分点， ，， ，， 又，， ，即 ，故A正确． 故选：A． 7. 直线，直线，若，则两直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两直线的位置关系，求得，得到与的直线方程，结合两平行线间的距离公式，即可求解. 【详解】直线和，， 由，即，解得或， 当时，直线即，和， 此时与的距离为； 当时，和，此时与重合，不符合题意，舍去. 综上可得，当时，两平行线间的距离为. 故选：B. 8. 已知是圆锥的底面直径，C是底面圆周上的点，，，，则与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求出平面平面的法向量，代入公式即可求解. 【详解】依题意：圆锥的高， 以O为原点，建立如图所示空间直角坐标系： 则，，，， ，，， 设平面的法向量，则， 取，得，设与平面所成角为， 则， 即与平面所成角的正弦值为. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2 B. 点关于直线的对称点为 C. 过，两点的直线方程为 D. 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 【答案】AB 【解析】 【分析】对选项A，分别令和，求出直线与坐标轴交点，再结合面积公式判断即可；对选项B，求出对称点坐标即可判断；对选项C特殊情况不成立；对选项D，缺少过原点的直线． 【详解】A．令得，令得，则直线与两坐标轴围成的三角形的面积，正确； B．设关于直线对称点坐标为，则，解得，正确； C．两点式使用的前提是，错误； D．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线还有过原点的直线，错误． 故选：AB． 10. 已知事件A，B，且，则（ ） A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 如果A与B相互独立，那么 D. 如果A与B相互独立，那么 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据事件关系及运算有、，由事件的相互独立知，结合事件的运算求、. 【详解】A：由，则，正确； B：由，则，正确； C：如果A与B相互独立，则， ，错误； D：由C分析及事件关系知：，正确. 故选：ABD. 11. 已知正方体的棱长为1，点、分别是、的中点，在正方体内部且满足，则下列说法正确的是（ ） A. 点到直线的距离是 B. 点到平面的距离为 C. 平面与平面间的距离为 D. 点到直线的距离为 【答案】BC 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系后利用向量法求点到面，面与面的距离. 【详解】如图，建立空间直角坐标系，则，，，， ，，， 所以，. 设，则，. 故到直线的距离，故A错误. ， 平面的一个法向量， 则点到平面的距离，故B正确. ，，. 设平面的法向量为， 则，所以 令，得，，所以. 所以点到平面的距离. ，所以， 又因平面，平面， 所以平面，同理平面， 所以平面平面， 所以平面与平面间的距离等于点到平面的距离， 所以平面与平面间的距离为，故C正确. 因为，所以， 又，则， 所以点到的距离，故D错. 故选：BC 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，点是线段（包括端点）上的动点，则的取值范围是 ________． 【答案】[1，2] 【解析】 【分析】可以看成过点与坐标原点的直线的斜率，数形结合即得解 【详解】设，则可以看成过点与坐标原点的直线的斜率. 当点在线段上由点运动到点时，直线的斜率由增大到，如图所示. 又，，所以，即的取值范围是[1，2]. 故答案为：[1，2] 13. 甲、乙两人有三个不同的学习小组A，B，C可以参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组（两人参加各小组的可能性相同），则两人参加不同学习小组的概率为______． 【答案】 【解析】 【详解】以表示甲参加学习小组，乙参加学习小组， 则试验的基本事件有，，，，，， ，，，共9种， 其中两人参加不同学习小组的基本事件有，，，， ，，共6种， 所以两人参加不同学习小组的概率为． 14. 如图，已知，均为正方形，二面角的大小为，则异面直线与所成角的余弦值为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】解法一：根据题目条件可知，即为二面角的平面角，将异面直线与所成角的余弦值转化成直线方向向量夹角余弦值的绝对值，结合空间向量线性运算及数量积运算即可求解．解法二：通过补形建立空间直角坐标系，用坐标运算求解． 【详解】解法一：根据题意可知，即为二面角的平面角，所以， 设正方形与边长均为1，异面直线与所成的角为． 因为，，，， 所以， 所以，即． 解法二：不妨假设正方形与的边长均为2， 如图，补形成直三棱柱，以中点为原点，建立空间直角坐标系， 则有，，，，由此可得，， 设异面直线与所成的角为，则． 故答案为： 四、解答题；本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚. 15. 已知的三个顶点分别是，，. （1）求边上的高所在的直线方程； （2）若直线过点，且与直线平行，求直线的方程； （3）求边上的中线所在的直线方程. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用斜率坐标公式及垂直关系求出高所在直线的斜率，再利用直线的点斜式方程求解即得. （2）设出直线的方程，利用待定系数法求出直线方程. （3）求出中点坐标及中线所在直线的斜率，再利用直线的点斜式方程求解即得. 【小问1详解】 直线的斜率，则边上的高所在的直线斜率为3， 所以边上的高所在的直线方程为，即. 【小问2详解】 依题意，设直线的方程为，而直线过点，则，解得， 所以直线的方程为. 【小问3详解】 依题意，边的中点，因此边上的中线所在直线的斜率， 所以边上的中线所在直线的方程为，即. 16. 先后抛掷两枚质地均匀的骰子． （1）求点数之和为7的概率； （2）求掷出两个4点的概率； （3）求点数之和能被3整除的概率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】根据样本空间的个数，结合（1）（2）（3）问包含的样本点个数，根据古典概型概率公式可得. 【小问1详解】 由题意样本空间包含的样本点为： ，，，，，，，，，，，， ，，，，，，，，，，，， ，，，，，，，，，，，，共36个. 记“点数之和为7”为事件，事件包含的样本点共有6个：． 故． 【小问2详解】 记“掷出两个4点”为事件，事件包含的样本点只有1个，即． 故． 【小问3详解】 记“点数之和能被3整除”为事件，则事件包含的样本点共12个： ． 故． 17. 如图，在四棱锥中，底面，，，，. （1）求异面直线与所成角的余弦值； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由向量法即可求得异面直线的夹角余弦值； （2）由向量法即可求得面面角的夹角余弦值. 【小问1详解】 因为底面，底面， 所以，， 且，，所以， 以为坐标原点，分别以为轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 则，， 所以， 故异面直线与所成角的余弦值为. 【小问2详解】 ，设平面的法向量为， 则，即， 令，得. 易知是平面的一个法向量， 因为， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 18. 甲乙二人喜欢打乒乓球，根据经验，甲每局获胜的概率为，乙每局获胜概率为，且各局相互独立，二人约定：先胜2局者获胜，比赛结束． （1）求比赛了2局就结束比赛的概率； （2）求甲获胜的概率； （3）若约定改为：先胜3局者获胜，比赛结束；问哪种约定对甲更有利？为什么？ 【答案】（1） （2） （3） 先胜3局的约定对甲更有利，该赛制下甲获胜概率更高。 【解析】 【分析】（1）利用独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式计算； （2）利用独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式计算； （3）分别计算两类赛制下对应事件的概率，再比较甲的获胜概率大小即可. 【小问1详解】 比赛2局结束包含“甲连胜2局”和“乙连胜2局”两个互斥事件： 甲连胜2局的概率：，乙连胜2局的概率：，  由互斥事件概率加法公式，所求概率. 【小问2详解】 甲获胜包含“2局获胜”和“3局获胜”两个互斥事件： 2局获胜：即甲连胜2局，概率为， 3局获胜：前2局甲恰好胜1局、第3局甲胜，概率为， 故甲获胜的概率. 【小问3详解】 计算“先胜3局者获胜”赛制下甲的获胜概率，包含3类互斥情况： 打3局获胜：甲连胜3局，概率； 打4局获胜：前3局甲恰好胜2局、第4局甲胜，概率； 打5局获胜：前4局甲恰好胜2局、第5局甲胜，概率， 该赛制下甲获胜总概率. 通分比较得，即先胜3局的赛制下甲获胜概率更高，因此该约定对甲更有利. 19. 如图1，在平行四边形中，，E为的中点．将沿折起，连接与，如图2． （1）当为何值时，平面平面? （2）设，当时，是否存在实数，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． （3）当三棱锥的体积最大时，求三棱锥的内切球的半径． 【答案】（1） （2）存在， （3） 【解析】 【分析】（1）先探索面面垂直的必要条件，再证明充分性即可. （2）由（1）得面面垂直、线面垂直关系，建立空间直角坐标系，用向量方法表示线面角的正弦值，建立关于的方程求解即可 （3）借助体积公式可得当平面时，三棱锥的体积最大，借助等体积法计算可得内切球半径. 【小问1详解】 连接，由题意得，， 则为等边三角形，， 在中，， 由余弦定理得， 所以，由， 则，故. 若平面平面， 由平面平面，平面，， 则平面，平面，则， 所以. 下面证明当时，平面平面. 证明：由，则， 所以，又，平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面， 故当时，平面平面； 【小问2详解】 由（1）知，，则平面平面. 在平面内过作， 由平面平面，平面， 则平面，平面，则. 如图，以点为坐标原点，以所在直线分别为轴，过垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 故， 由， ， 因为轴垂直平面，故可取平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 所以， 化简得，解得或（舍去）， 故当时，存在，使直线与平面所成角的正弦值为； 【小问3详解】 设点到平面的距离为， 由，其中为定值， 则要使三棱锥的体积最大时，则点到平面的距离取最大， 取中点，连接，则， 当平面时，点到平面的距离最大， 此时，由平面，则平面平面， 由（1）知，，为直角三角形， . 则， ， ， 在中，，取中点， 则，且， 所以， 设内切球球心为，内切球半径为，由等体积法知， 其中，， 故， 故当三棱锥的体积最大时，三棱锥的内切球的半径为. 【点睛】方法点睛：空间几何体的内切球问题，一是找球心，球心到切点的距离相等且为球的半径，作出或找到截面，在截面中求半径；二是利用等体积法直接求内切球的半径；三是建立空间直角坐标系，设出球心坐标，利用有关半径等的等量关系解方程组可得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 会东县和文中学高2025级高二上期半期考试数学试卷 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列四条直线中，倾斜角最大的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知样本空间中有4个等可能的样本点，且，则（ ） A. 1 B. C. D. 3. 设，向量，，且，，则（    ） A. B. C. D. 4. 已知点，，则直线的一个方向向量可以为（ ） A. B. C. D. 5. 两条直线和在同一直角坐标系中的图象可以是（    ） A. B. C. D. 6. 在三棱柱中，，分别是线段，上靠近，的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 7. 直线，直线，若，则两直线的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 已知是圆锥的底面直径，C是底面圆周上的点，，，，则与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2 B. 点关于直线的对称点为 C. 过，两点的直线方程为 D. 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 10. 已知事件A，B，且，则（ ） A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 如果A与B相互独立，那么 D. 如果A与B相互独立，那么 11. 已知正方体的棱长为1，点、分别是、的中点，在正方体内部且满足，则下列说法正确的是（ ） A. 点到直线的距离是 B. 点到平面的距离为 C. 平面与平面间的距离为 D. 点到直线的距离为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，点是线段（包括端点）上的动点，则的取值范围是 ________． 13. 甲、乙两人有三个不同的学习小组A，B，C可以参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组（两人参加各小组的可能性相同），则两人参加不同学习小组的概率为______． 14. 如图，已知，均为正方形，二面角的大小为，则异面直线与所成角的余弦值为__________． 四、解答题；本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚. 15. 已知的三个顶点分别是，，. （1）求边上的高所在的直线方程； （2）若直线过点，且与直线平行，求直线的方程； （3）求边上的中线所在的直线方程. 16. 先后抛掷两枚质地均匀的骰子． （1）求点数之和为7的概率； （2）求掷出两个4点的概率； （3）求点数之和能被3整除的概率． 17. 如图，在四棱锥中，底面，，，，. （1）求异面直线与所成角的余弦值； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 18. 甲乙二人喜欢打乒乓球，根据经验，甲每局获胜的概率为，乙每局获胜概率为，且各局相互独立，二人约定：先胜2局者获胜，比赛结束． （1）求比赛了2局就结束比赛的概率； （2）求甲获胜的概率； （3）若约定改为：先胜3局者获胜，比赛结束；问哪种约定对甲更有利？为什么？ 19. 如图1，在平行四边形中，，E为的中点．将沿折起，连接与，如图2． （1）当为何值时，平面平面? （2）设，当时，是否存在实数，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． （3）当三棱锥的体积最大时，求三棱锥的内切球的半径． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $