2026-2027学年苏科版九年级数学上册第十周模拟练习（期中热身）（盐城专版）

2026-2027学年苏科版九年级数学第十周模拟练习（期中热身）（盐城专版） （范围：第一章～第三章 时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（共24分） 1.（2026盐都区九上学情调研）盐城湿地研学小组整理方程，下列属于一元二次方程的是（ ） A.x+2y=5　B.x2-3x=0　C.+x=2　 D.ax2+bx+c=0 【答案】：B 【解析】：一元二次方程要求只含一个未知数、未知数最高次数为2、整式方程。A二元，C分式方程，D缺少a≠0条件。 2.（2026滨海二模改编）已知点是数轴上一定点，点是数轴上一动点，点表示的实数为，点所表示的实数为，作以为圆心，为半径的，若点在外，则的值可能是（）. A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵B在外，∴AB＞2，∴＞2，∴b＞或b＜，∴b可能是-1.故选A． 3.（2026东台期中改编）近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）之间有如图所示的反比例函数关系，若配制一副度数小于500度的近视眼镜，则焦距x的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】设反比例函数解析式为，将代入得，，∴反比例函数解析式为：，当时，，∴配制一副度数小于500度的近视眼镜，则焦距x的取值范围是.故选：A． 4.（2026盐都区学情调研改编）x＝是下列哪个一元二次方程的根（　　） A．3x2+2x﹣1＝0 B．2x2+4x﹣1＝0 C．﹣x2﹣2x+3＝0 D．3x2﹣2x﹣1＝0 【答案】D 【解析】：A、3x2+2x﹣1＝0中，x＝，不合题意；B、2x2+4x﹣1＝0中，x＝，不合题意； C、﹣x2﹣2x+3＝0中，x＝，不合题意； D、3x2﹣2x﹣1＝0中，x＝，符合题意；故选：D． 5.（2026滨海二模改编）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中广泛使用．如图，筒车的半径为2m，筒车上均匀设置了12个盛水筒，其中A，B，C是相邻的三个盛水筒，在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速运动．通过观察，当A离开水面时，C恰好开始进入水中，每个盛水筒经过水流用时3秒，离开水面6秒后水开始倒出，为使接水槽能够尽可能多地接到水，则接水槽距离水面的最大高度是（　　） A．（2+）m B．2m C．2m D．3m 【答案】B 【解析】∵筒车上均匀设置了12个盛水筒，∴∠BOC＝30°，∴∠AOC＝2×30°＝60°， 设盛水筒经过水流在圆上的K点开始倒水，连接OK，AK，∵每个盛水筒经过水流用时3秒，离开水面6秒后水开始倒水，∴∠AOK＝2×60°＝120°，∴∠COK＝60°+120°＝180°， ∴KC是圆的直径，∴∠CAK＝90°，∴KA⊥AC，∵OC＝OA，∠AOC＝60°，∴△AOC是等边三角形，∴∠ACK＝60°，∵筒车的半径为2m，∴CK＝4m，∴AK＝2m，∴接水槽距离水面的最大高度是2m．故选：B． 6.（2026东台期中改编）在同一平面直角坐标系中，函数与（其中m，n是常数，）的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】A选项，依图得，此时一次函数中，，，则，则在反比例函数中，，反比例函数图像应在一、三象限，与图像不符，A选项错误； B选项，依图得，此时一次函数中，，，则，则在反比例函数中，，反比例函数图像应在一、三象限，与图像不符，B选项错误；C选项，依图得，此时一次函数中，，，则，则在反比例函数中，，反比例函数图像应在二、四象限，与图像相符，C选项正确； D选项，依图得，此时一次函数中，，，则，则在反比例函数中，，反比例函数图像应在二、四象限，与图像不符，D选项错误． 故选：C． 7.（2026滨海二模）已知反比例函数y=图象在二、四象限，关于x方程x2-2x+a=0根的说法正确的是（ ） A.两个不等实根　 B.两个相等实根　 C.无实根　 D.有一个根为0 【答案】：A 【解析】：y=的图像在二四象限a<0，△=(-2)2-4×1× a=4-4a，a<0,-4a>0，△>0， 8.（2026盐都区学情调研改编）如图，矩形ABCD是由边长为1的五个小正方形拼成，O是第2个小正方形的中心，将矩形ABCD绕O点逆时针旋转90°得矩形A′B′C′D′，现用一个最小的圆覆盖这个图形，则这个圆的半径是（　　） A． B． C． D． 【答案】：C 【解析】：如图，取A'D'的中点E，作ME⊥A'D'，取B'的中点F，作MF⊥BC'，以M为圆心，MB长为半径作⊙M，则⊙M经过点D'、B、A'、C，⊙M为整个图形最小覆盖圆，∵矩形ABCD是由边长为1的五个小正方形拼成，∴MF＝，BF＝，在Rt△BMF中， BM＝．故选：C． 二．填空题（共24分） 9.（2026盐都区学情调研改编）若2－是方程x2－4x＋c＝0的一个根，则c的值是___________. 【答案】1 【解析】 (解法一)∵2－是方程x2－4x＋c＝0的一个根，∴(2－)2－4(2－)＋c＝0.∴c＝1.(解法二)令此一元二次方程的另一个根为x2，由根与系数的关系， 得解得 10.（2026东台期中改编）如图，在平面直角坐标系中，的边BC与y轴交于点D，且D是BC边的中点，反比例函数与的图像分别经过B，C两点，则的面积为      ． 【答案】 【解析】过点B和C分别作轴的垂线，垂足分别为E和F，连接，∴，，，∵D是边的中点，即，∴，∴，∵点B在反比例函数的图像，∴，同理， ∴，∴的面积为. 11.（2026滨海二模改编）如图,若干个全等的正五边形排成环状,图中所示的是前3个正五边形,要完成这一圆环还需正五边形的个数为____. 【答案】7 【解析】∵五边形的内角和为(5-2)×180°=540°,∴正五边形的每一个内角为540°÷5=108°.如图,延长正五边形的两边相交于点O,则∠1=360°-108°×3 =360°-324°=36°,360°÷36°=10.∵已经有3个正五边形,∴10-3=7,即完成这一圆环还需7个正五边形. 12.（2026盐都区学情调研改编）关于x的方程x2－(2k－1)x＋k2－2k＋3＝0有两个实数根x1，x2，且|x1|－|x2|＝，则k＝___． 【答案】4 【解析】 根据题意，得[－(2k－1)]2－4×1×(k2－2k＋3)＞0，∴k＞，由根与系数的关系，得x1＋x2＝2k－1，x1·x2＝k2－2k＋3，∵k2－2k＋3＝(k－1)2＋2＞0，即x1·x2＞0， ∴x1，x2同号，∵x1＋x2＝2k－1，k＞，∴x1＋x2＞0，∴x1＞0，x2＞0，∴|x1|－|x2|＝x1－x2＝，∴(x1－x2)2＝5，即(x1＋x2)2－4x1·x2＝5，∴(2k－1)2－4(k2－2k＋3)＝5，解得k＝4. 13.（2026东台期中改编）如图，已知⊙O的半径为2，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ABC＝∠AOC，且AD＝CD，图中阴影部分的面积为_________． 【答案】π﹣ 【解析】连接AC，OD，过点O作OE⊥AD，垂足为E，∵∠ABC＝∠AOC，∠AOC＝2∠ADC，∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠ABC＝120°，∠ADC＝60°，∵AD＝CD，∴△ACD是正三角形，∴∠AOD＝120°，OE＝1，AD＝2，∴S阴影部分＝S扇形OAD﹣S△AOD＝×π×22﹣×2×1＝π﹣，故答案为：π﹣． 14.（2026盐都区学情调研，难题）点A在反比例y=上，过A作AB⊥x轴，以OA为半径作圆，若A横坐标为2，则OA=________。 【答案】： 【解析】：x=2,y=3，A(2,3)，OA2=22+32=13→0A=（反比例+勾股+圆半径综合） 15.（2026东台期中改编） 如图要设计一幅宽120 cm，长180 cm的矩形图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为2∶3，如果要使所有彩条所占面积为原矩形图案面积的三分之一，每个彩条的宽度为_______, 【答案】：15 cm 【解析】：设横彩条的宽度为2x cm，则竖彩条的宽度为3x cm，依题意，得(180－2×2x)(120－2×3x)＝180×120×（1-），整理，得x2－65x＋300＝0，解得x1＝5，x2＝60.∵当x＝60时，3x＝180＞120，∴x＝60舍去，∴2x＝10，3x＝15. 16.（2026滨海二模改编）如图，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，OD平分∠BOC交于点D，点E为半径OB上一动点．若OB＝2，则阴影部分周长的最小值为　 　． 【答案】 【解析】如图，作点D关于OB的对称点D′，连接D′C交OB于点E′，连接E′D、OD′，此时E′C+E′D最小，即：E′C+E′D＝CD′，由题意得，∠COD＝∠DOB＝∠BOD′＝30°，∴∠COD′＝90°，∴CD′＝＝＝2，的长l＝＝，∴阴影部分周长的最小值为2+＝． 故答案为：． 三．解答题（共102分） 17．（8分）解下列方程 （1）2x2﹣4x+1=0 （2）2x2﹣4x﹣5=0（公式法） 解：（1）方程变形得：x2﹣2x=﹣，配方得：x2﹣2x+1=，即（x﹣1）2=，开方得：x﹣1=±，解得：x1=1+，x2=1﹣； （2）△=（﹣4）2﹣4×2×（﹣5）=56，x=，所以x1=，x2=； 18.（6分）如图，反比例函数，矩形OABC的顶点B的坐标为，仅用无刻度直尺，按下列要求作图． （1）在图①中，找到点，并作出点E关于原点的对称点F． （2）在（1）的前提下，在图②中，在反比例图像上找到点G，点H，使得点E，F，G，H构成的四边形正好为矩形． 解：（1）如图①所示， （2）如图②所示， 19.（8分）如图，的网格中，每个小方格的边长为1．的三个顶点都在格点上，为的外接圆． (1)仅用无刻度的直尺在指定的网格中作图（保留作图痕迹，不写作法）． ①标出的外接圆圆心； ②在上作点，使平分； （2）的长度为______． 解：(1)①的外接圆圆心，如图1即为所求； ②在上使平分的点，如图2即为所求； （2）由（1）中的②得出四边形是正方形，，，则的长度． 20.（10分）“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力． 定义：我们把关于x的一元二次方程与（，）称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是． (1)写出一元二次方程的“友好方程”______； (2)已知一元二次方程的两根为，，它的“友好方程”的两根______，______；根据以上结论，猜想的两根，与其“友好方程”的两根，之间存在的一种特殊关系为______，请证明你的结论； (3)已知关于x的方程的两根是，．请利用（2）中的结论，求出关于x的方程的两根． 解：（1）根据“友好方程”的定义，方程中，，，互换与的值，保持不变，得到其“友好方程”为； （2）方程的“友好方程”为，整理得，因式分解得，解得，； 证明；设是方程的根.∵，∴.将两边同时除以，得，∴是方程的根.同理可证，“友好方程”的任意一个根的倒数也是原方程的根.∴两方程的两根互为倒数. （3）整理方程，得，设，则方程变为，两边乘得，∵方程的两根为，，且是的“友好方程”，根据（2）的结论，“友好方程”的两根是原方程两根的倒数，∴，，当时，，解得；当时，，解得，综上所述，方程的两根为，． 21.（10分）阅读理解： 在平面直角坐标系中，点P的坐标为，点Q的坐标为，且，若P、Q为某矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为P、Q的“相关矩形”，如图①中的矩形为点P、Q的“相关矩形”． (1)已知点A的坐标为 ①若点B的坐标为，则点A、B的“相关矩形”的周长为____________． ②若点C在直线上，且点A、C的“相关矩形”为正方形，求直线的解析式． (2)已知点M的坐标为，点N的坐标为，若使函数的图象与点M、N的“相关矩形”有两个公共点，直接写出k的取值范围． 解：（1）①∵点A的坐标为，点B的坐标为，∴点A、B的“相关矩形”如图所示，∴点A、B的“相关矩形”周长=，故答案为：14；②由定义知，AC是点A，C的“相关矩形”的对角线，∵点C的在直线y=5上，∴点C的纵坐标为5，又∵点A，C的相关矩形是正方形，且A，∴点A到直线y=5的距离为5-1=4，∴A，C的“相关矩形”为正方形时，该正方形的边长为4，∴点C的坐标为或，如图，设直线AC的解析式为，当点C的坐标为，将A，C代入，可得，解得，，∴；当点C的坐标为，将A，C代入，可得，解得，∴；∴符合题意得直线AC的解析式为或． （2）∵点M的坐标为，点N的坐标为，∴点P，Q的“相关矩形”的另两个顶点的坐标分别为、，当函数的图象经过时，k=-6，当函数的图象经过时，k=-20，作图如下：∴函数的图象与点P、Q的“相关矩形 ”有两个公共点时，k的取值范围是：． 22.（10分）如图1，为圆的直径，是圆上异于的任一点，连接，过点作射线为射线上一点，连接． (1)若点在直线同侧，且，求的长度； (2)若在点运动过程中，始终有，连接． ①如图2，当与圆相切时，求的长度； ②求长度的取值范围． 解：（1）是的直径，，，，， 在中，，在中，， ，，四边形是平行四边形，； （2）连接，与圆相切，，，在中，，，， ，是等边三角形，，在中，，，，， ，在中，； ， ，即， 在点运动过程中，始终有，点在一个定圆上运动，又是的一条弦，当点与点重合时，弦的最大，此时是定圆的直径，设定圆的圆心为， 当时，，，即， 的直径为，半径为，如图所示，连接，，的最短距离为，最大距离为，． 23.（12分）一元二次方程的判别式，当的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是当一元二次方程的根都为整数时，的值一定是一个完全平方数．例如：方程，，的值是一个完全平方数，但是该方程的根为，不都为整数；方程的两根都为整数，此时，的值是一个完全平方数． 我们定义：两根都为整数的一元二次方程称为“全整根方程”，代数式的值为该“全整根方程”的“关爱码”，用表示，即；若另一关于的一元二次方程也为“全整根方程”，其“关爱码”记为，当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“全整根伴侣方程”． (1)关于的一元二次方程是一个“全整根方程”．若该全整根方程的“关爱码”是，求的值． (2)关于的一元二次方程（为整数，且）是“全整根方程”，求该方程的“关爱码”． (3)已知一元二次方程是“全整根方程”．若方程是它的“全整根伴侣方程”，且均为正整数，请直接写出的值． 解：（1）一元二次方程中，由题意得，解得：，则当或5时，该全整根方程的“关爱码”是； （2）∵，，，，其中完全平方数只有，当时，，当时，原方程为，则，综上所述：该方程的“关爱码”为； （3）方程的“关爱码”，方程的“关爱码”，∵方程是一元二次方程的“全整根伴侣方程”，∴，，或，∵均为正整数，∴不合题意，． 24.（12分）如图，有一个直径MN＝4的半圆形纸片，其圆心为点P，从初始阶段Ⅰ位置开始，在无滑动的情况下沿数轴向右翻滚至位置Ⅴ，其中位置Ⅰ中的MN平行于数轴，且半⊙P与数轴相切于原点O；位置Ⅱ和位置Ⅳ中的MN垂直于数轴；位置Ⅲ中的MN在数轴上；位置Ⅴ中的点N到数轴的距离为3，且半⊙P与数轴相切于点A．解答下列问题： （1）位置Ⅰ中的MN与数轴之间的距离为 　 　；位置Ⅱ中的半⊙P与数轴位置关系是 　 　； （2）求位置Ⅲ中的圆心P在数轴上表示的数； （3）纸片半⊙P从位置Ⅲ翻滚到位置Ⅳ时，求点N所经过路径长及该纸片所扫过的图形的面积； （4）求OA的长．（结果保留π） 解：（1）∵⊙P的直径MN＝4，∴⊙P的半径＝2，∵⊙P与直线有一个交点， ∴位置Ⅰ中的MN与数轴之间的距离为2；位置Ⅱ中的半⊙P与数轴的位置关系是相切； 故答案为：2，相切； （2）位置Ⅲ中的长与数轴上线段ON相等，∵的长为＝π，NP＝2， ∴位置Ⅲ中的圆心P在数轴上表示的数为π+2； （3）由弧长公式可得，点N所经过路径长为＝2π，∵S半圆＝＝2π，S扇形＝＝4π，∴半⊙P所扫过图形的面积为2π+4π＝6π； （4）如图，作NC垂直数轴于点C，作PH⊥NC于点H，连接PA，则四边形PHCA为矩形． 在Rt△NPH中，PN＝2，NH＝NC﹣HC＝NC﹣PA＝1，∴∠NPH＝30°．∴∠MPA＝60°．从而的长为＝，∴OA的长为：π+4+π＝π+4． 25.（12分）在人工智能飞速发展的当下，机器人可在平面直角坐标系中完成移动操作．若机器人从点移动到点满足（p是常数，且），则称点A，B是“p瞬移点”． (1)下列各组点中，是“2瞬移点”的有________．（填序号） ①点与； ②点与； ③点与． (2)如图1，直线与反比例函数在第一象限内的两个交点A，B是“瞬移点”． ①k的值为________；②若的面积为4，求m的值． （3）如图2，已知，D为反比例函数上一点．若且，E为平面内一点，若四边形为正方形，正方形的四个顶点中是否存在相邻的两个顶点是“2瞬移点”？若不存在请说明理由，存在请求出m的值． 解：（1）解：∵，∴，①，②，③，∴是“2瞬移点”的有②③； （2） ①设，∵，在直线上，∴∴， （3） ∵，是“瞬移点”，∴，∴，②联立消去y得，，，，，∵有两个交点A，B，∴，即，又∵B在A的右侧，则，，如图所示，过点A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为C，D，∵A，B在第一象限，则，， ；所以，，经检验是原方程的解，∴m的值为3； （3）存在，∵，，①当时，解得：，满足，此时，当在第三象限时，如图所示，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，∴，，∴，∵四边形为正方形，∴，∴，∴，∴，∴，∴；当在第四象限时，设，则与关于对称，∴，解得：，∴，∴；②当时，解得：，满足，结论同①，∵不能为对角线，且，不存在其他情形，综上所述，或． 26.（14分）【学习心得】 （1）小雯同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易． 例如：如图，在中，，，D是外一点，且，求的度数．若以点A为圆心，AB长为半径作辅助圆，则C，D两点必在上，是的圆心角，是的圆周角，则______°． 【初步运用】 （2）如图，在四边形ABCD中，，，求的度数； 【方法迁移】 （3）如图，已知线段AB和直线l，用直尺和圆规在l上作出所有的点P，使得（不写作法，保留作图痕迹）； 【问题拓展】 （4）①如图，已知矩形ABCD，，，M为边CD上的点．若满足的点M恰好有两个，则m的取值范围为______． ②如图，在中，，AD是BC边上的高，且，，求AD的长． 解：（1）∵AB=AC=AD，∴B、C、D三点都在以A为圆心，以AB长为半径的圆上， ∵∠BAC=90°，∴，故答案为：； （2）如图所示，取BD中点E，连接AE，CE，∵∠BAD=∠BCD=90°，E为BD的中点， ∴，∴A、B、C、D在以E为圆心，为半径的圆心，∴； （3）如图所示，、即为所求； （4）①如图所示，在BC上截取一点F使得BF=BA，连接AF，以AF为直径作圆O，过点F作EF⊥AD交AD于E，过点O作OG⊥EF交EF于H交圆O于G，过点G作圆O的切线分别交AD，BC于K、Q，则四边形ABFE为正方形∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABE=90°， ∴B在圆O上，，∴，∵OH⊥EF，∴，∴，∴，∴，∴，即 ②如图所示，作△ABC的外接圆，过圆心O作OE⊥BC于E，OF⊥AD于F，连接OB，OC，OA，则四边形OFDE是矩形∵∠BAC=45°，∴∠BOC=90°，在直角△BOC中BC=BD+CD=8， ∴，∵OE⊥BC，∴，∴DE=OF=2 ，∴，∴ ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年苏科版九年级数学第十周模拟练习（期中热身）（盐城专版） （范围：第一章～第三章 时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（共24分） 1.（2026盐都区九上学情调研）盐城湿地研学小组整理方程，下列属于一元二次方程的是（ ） A.x+2y=5　B.x2-3x=0　C.+x=2　 D.ax2+bx+c=0 2.（2026滨海二模改编）已知点是数轴上一定点，点是数轴上一动点，点表示的实数为，点所表示的实数为，作以为圆心，为半径的，若点在外，则的值可能是（）. A． B． C． D． 3.（2026东台期中改编）近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）之间有如图所示的反比例函数关系，若配制一副度数小于500度的近视眼镜，则焦距x的取值范围是（    ） A. B. C. D. 4.（2026盐都区学情调研改编）x＝是下列哪个一元二次方程的根（　　） A．3x2+2x﹣1＝0 B．2x2+4x﹣1＝0 C．﹣x2﹣2x+3＝0 D．3x2﹣2x﹣1＝0 5.（2026滨海二模改编）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中广泛使用．如图，筒车的半径为2m，筒车上均匀设置了12个盛水筒，其中A，B，C是相邻的三个盛水筒，在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速运动．通过观察，当A离开水面时，C恰好开始进入水中，每个盛水筒经过水流用时3秒，离开水面6秒后水开始倒出，为使接水槽能够尽可能多地接到水，则接水槽距离水面的最大高度是（　　） A．（2+）m B．2m C．2m D．3m 6.（2026东台期中改编）在同一平面直角坐标系中，函数与（其中m，n是常数，）的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 7.（2026滨海二模）已知反比例函数y=图象在二、四象限，关于x方程x2-2x+a=0根的说法正确的是（ ） A.两个不等实根　 B.两个相等实根　 C.无实根　 D.有一个根为0 8.（2026盐都区学情调研改编）如图，矩形ABCD是由边长为1的五个小正方形拼成，O是第2个小正方形的中心，将矩形ABCD绕O点逆时针旋转90°得矩形A′B′C′D′，现用一个最小的圆覆盖这个图形，则这个圆的半径是（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共24分） 9.（2026盐都区学情调研改编）若2－是方程x2－4x＋c＝0的一个根，则c的值是___________. 10.（2026东台期中改编）如图，在平面直角坐标系中，的边BC与y轴交于点D，且D是BC边的中点，反比例函数与的图像分别经过B，C两点，则的面积为      ． 11.（2026滨海二模改编）如图,若干个全等的正五边形排成环状,图中所示的是前3个正五边形,要完成这一圆环还需正五边形的个数为____. 12.（2026盐都区学情调研改编）关于x的方程x2－(2k－1)x＋k2－2k＋3＝0有两个实数根x1，x2，且|x1|－|x2|＝，则k＝___． 13.（2026东台期中改编）如图，已知⊙O的半径为2，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ABC＝∠AOC，且AD＝CD，图中阴影部分的面积为_________． 14.（2026盐都区学情调研，难题）点A在反比例y=上，过A作AB⊥x轴，以OA为半径作圆，若A横坐标为2，则OA=________。 15.（2026东台期中改编） 如图要设计一幅宽120 cm，长180 cm的矩形图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为2∶3，如果要使所有彩条所占面积为原矩形图案面积的三分之一，每个彩条的宽度为_______, 16.（2026滨海二模改编）如图，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，OD平分∠BOC交于点D，点E为半径OB上一动点．若OB＝2，则阴影部分周长的最小值为　 　． 三．解答题（共102分） 17．（8分）解下列方程 （1）2x2﹣4x+1=0 （2）2x2﹣4x﹣5=0（公式法） 18.（6分）如图，反比例函数，矩形OABC的顶点B的坐标为，仅用无刻度直尺，按下列要求作图． （1）在图①中，找到点，并作出点E关于原点的对称点F． （2）在（1）的前提下，在图②中，在反比例图像上找到点G，点H，使得点E，F，G，H构成的四边形正好为矩形． 19.（8分）如图，的网格中，每个小方格的边长为1．的三个顶点都在格点上，为的外接圆． (1)仅用无刻度的直尺在指定的网格中作图（保留作图痕迹，不写作法）． ①标出的外接圆圆心； ②在上作点，使平分； （2）的长度为______． 20.（10分）“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力． 定义：我们把关于x的一元二次方程与（，）称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是． (1)写出一元二次方程的“友好方程”______； (2)已知一元二次方程的两根为，，它的“友好方程”的两根______，______；根据以上结论，猜想的两根，与其“友好方程”的两根，之间存在的一种特殊关系为______，请证明你的结论； (3)已知关于x的方程的两根是，．请利用（2）中的结论，求出关于x的方程的两根． 21.（10分）阅读理解： 在平面直角坐标系中，点P的坐标为，点Q的坐标为，且，若P、Q为某矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为P、Q的“相关矩形”，如图①中的矩形为点P、Q的“相关矩形”． (1)已知点A的坐标为 ①若点B的坐标为，则点A、B的“相关矩形”的周长为____________． ②若点C在直线上，且点A、C的“相关矩形”为正方形，求直线的解析式． (2)已知点M的坐标为，点N的坐标为，若使函数的图象与点M、N的“相关矩形”有两个公共点，直接写出k的取值范围． 22.（10分）如图1，为圆的直径，是圆上异于的任一点，连接，过点作射线为射线上一点，连接． (1)若点在直线同侧，且，求的长度； (2)若在点运动过程中，始终有，连接． ①如图2，当与圆相切时，求的长度； ②求长度的取值范围． 23.（12分）一元二次方程的判别式，当的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是当一元二次方程的根都为整数时，的值一定是一个完全平方数．例如：方程，，的值是一个完全平方数，但是该方程的根为，不都为整数；方程的两根都为整数，此时，的值是一个完全平方数． 我们定义：两根都为整数的一元二次方程称为“全整根方程”，代数式的值为该“全整根方程”的“关爱码”，用表示，即；若另一关于的一元二次方程也为“全整根方程”，其“关爱码”记为，当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“全整根伴侣方程”． (1)关于的一元二次方程是一个“全整根方程”．若该全整根方程的“关爱码”是，求的值． (2)关于的一元二次方程（为整数，且）是“全整根方程”，求该方程的“关爱码”． (3)已知一元二次方程是“全整根方程”．若方程是它的“全整根伴侣方程”，且均为正整数，请直接写出的值． 24.（12分）如图，有一个直径MN＝4的半圆形纸片，其圆心为点P，从初始阶段Ⅰ位置开始，在无滑动的情况下沿数轴向右翻滚至位置Ⅴ，其中位置Ⅰ中的MN平行于数轴，且半⊙P与数轴相切于原点O；位置Ⅱ和位置Ⅳ中的MN垂直于数轴；位置Ⅲ中的MN在数轴上；位置Ⅴ中的点N到数轴的距离为3，且半⊙P与数轴相切于点A．解答下列问题： （1）位置Ⅰ中的MN与数轴之间的距离为 　 　；位置Ⅱ中的半⊙P与数轴位置关系是 　 　； （2）求位置Ⅲ中的圆心P在数轴上表示的数； （3）纸片半⊙P从位置Ⅲ翻滚到位置Ⅳ时，求点N所经过路径长及该纸片所扫过的图形的面积； （4）求OA的长．（结果保留π） 25.（12分）在人工智能飞速发展的当下，机器人可在平面直角坐标系中完成移动操作．若机器人从点移动到点满足（p是常数，且），则称点A，B是“p瞬移点”． (1)下列各组点中，是“2瞬移点”的有________．（填序号） ①点与； ②点与； ③点与． (2)如图1，直线与反比例函数在第一象限内的两个交点A，B是“瞬移点”． ①k的值为________；②若的面积为4，求m的值． （3）如图2，已知，D为反比例函数上一点．若且，E为平面内一点，若四边形为正方形，正方形的四个顶点中是否存在相邻的两个顶点是“2瞬移点”？若不存在请说明理由，存在请求出m的值． 26.（14分）【学习心得】 （1）小雯同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易． 例如：如图，在中，，，D是外一点，且，求的度数．若以点A为圆心，AB长为半径作辅助圆，则C，D两点必在上，是的圆心角，是的圆周角，则______°． 【初步运用】 （2）如图，在四边形ABCD中，，，求的度数； 【方法迁移】 （3）如图，已知线段AB和直线l，用直尺和圆规在l上作出所有的点P，使得（不写作法，保留作图痕迹）； 【问题拓展】 （4）①如图，已知矩形ABCD，，，M为边CD上的点．若满足的点M恰好有两个，则m的取值范围为______． ②如图，在中，，AD是BC边上的高，且，，求AD的长． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $