精品解析：浙江省金华市永康市城西中学2025--2026学年上学期九年级数学期中考试卷

永康市城西中学2025学年第一学期九年级数学期中考试 一 、选择题(本题有10小题，每小题3分，共30分) 1. 下列函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的定义逐项判断即可． 【详解】，是一次函数，故A不符合题意； ，右边是分式，不是二次函数，故B不符合题意； 当时，原函数变为，为一次函数，故C不符合题意； ，符合二次函数的定义，是二次函数，故D符合题意． 故选D． 【点睛】本题考查二次函数的定义．掌握一般地，我们把形如（其中是常数，且)的函数叫做二次函数． 2. 下列事件属于必然事件的是（ ） A. 永康明年会下雪 B. 经过有交通信号灯的路口，恰好遇到绿灯 C. 足球队员在罚点球时，未进球 D. 实心铁块放入水中会下沉 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查事件分类，熟练掌握必然事件的定义是解题的关键；根据必然事件是指在一定条件下一定会发生的事件，逐项判断即可． 【详解】解：A．永康明年会下雪，是随机事件，故此选项不符合题意； B．经过有交通信号灯的路口，恰好遇到绿灯，是随机事件，故此选项不符合题意； C．足球队员在罚点球时，未进球，是随机事件，故此选项不符合题意； D．∵实心铁块的密度大于水的密度，∴放入水中必然会下沉，∴该事件是必然事件，故此选项不符合题意． 故选：D． 3. 下列各组数不能成比例的是（ ） A. 3，，，6 B. ，，， C. 3，，，2 D. 4，3，5， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查比例问题． 判断各组数是否能成比例，只需检查是否存在内项积与外项积相等的情况． 【详解】解：A．，能成比例，不符合题意； B．，能成比例，不符合题意； C．，不能成比例，符合题意； D．，能成比例，不符合题意； 故选：C． 4. 已知二次函数，则下列表述正确的是（ ） A. 若，抛物线的开口向下 B. 当时，随的增大而增大 C. 图象与轴一定有两个交点 D. 图象与轴的交点坐标为 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数的图象和性质．利用二次函数的性质对A、B选项进行判断；由于不能确定抛物线的开口方向，所以不能确定抛物线与轴的交点情况，于是可对C选项进行判断；通过计算自变量为0对应的函数值可对D选项进行判断． 【详解】解：对于， A、当，即时，抛物线的开口向下，所以A选项不符合题意； B、当，即，则时，随的增大而增大，所以B选项不符合题意； C、抛物线的顶点坐标为，当时，抛物线开口向上，此时抛物线与轴没有公共点，，所以C选项不符合题意； D、当时，，则抛物线与轴的交点坐标为，所以D选项符合题意． 故选：D． 5. 如图，将绕着点逆时针旋转得到，若点的对应点恰好落在的延长线上，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质、等边对等角、三角形内角和定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．根据旋转的性质得，，再根据等边对等角以及三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：由旋转的性质得，，， ， 故选：C． 6. 如图，直线，直线分别与相交于点和点若则等于（ ） A. 6 B. 8 C. 9 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例和题目中的条件，可以求得EF的长，从而可以解答本题． 【详解】∵l1∥l2∥l3， ∴， ∵,DE＝3 ∴， 解得，EF＝9， 故选C. 【点睛】本题考查的知识点是平分线分线段成比例，解题关键是熟记平分线的性质. 7. 如图，将一个含角的直角三角板的斜边和量角器的直径所在的边重合放置，其中点所在位置在量角器外侧的读数为，，连接交于点，则（ ） A. 80° B. 70° C. 60° D. 50° 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理和三角形的角的关系．根据题意可知点在以为直径的圆上，根据圆心角和圆周角的关系求出，再利用三角形的外角的性质就可以求出答案． 【详解】解：根据题意可知点在以为直径的圆上， 设圆心为，连接，则， ， ． 故选：A． 8. 有一个转盘如图，让转盘自由转动一次，则指针落在黄色区域的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查几何概率，掌握概率公式是解题的关键． 利用概率公式即可求得答案． 【详解】解：∵ ∴指针落在黄色区域的概率为． 故选：C． 9. 如图，在平面直角坐标系中，点A在轴正半轴上，曲线是由半径为4个单位长度，圆心角为的经足够多次复制并依次连接而成的．现有一动点从原点出发，以每秒个单位长度的速度沿曲线向右运动，则第2021秒时点的纵坐标为（　　） A. 2 B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查弧长的计算、点的坐标的特点，含角的直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 过圆心B作于点D，交于点E， 求出，，得到，推导出点E的纵坐标为，由图可知，每走两个弧为一个循环，根据，得到一个循环需要4秒，继而推导出第2021秒时点的纵坐标与点E的纵坐标相同，即可解答． 【详解】解：如图，过圆心B作于点D，交于点E，有 ， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即点E的纵坐标为， ∵， ∴每4秒一个循环， ∵， ∴第2021秒时点的纵坐标与点E的纵坐标相同，为． 故选D． 10. 如图，已知线段和线段，．点先沿着线段从点匀速运动到点，再沿着射线方向以同样的速度运动；点出发的同时点从点出发，以相同的速度沿着射线的方向运动；对于，两点间的距离的变化情况，下列说法正确的是（ ） A. 先变大后变小，最后不变 B. 先变小后变大，最后不变 C. 当时，先变小后变大，最后不变 D. 当时，先变大后变小，最后不变 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用、勾股定理，利用二次函数的性质求解是解答的关键．设，，运动时间为t，速度为1，分点D在线段上和点D在射线上两种情况，结合勾股定理和二次函数的性质求解即可． 【详解】解：设，，运动时间为t，速度为1， 当点D在线段上时，，此时，， 则， 当时，， ∴当时，随t的增大，先变小再变大， 即当时，随t的增大，先变小再变大； 当时，， ∴当时，随t的增大而增大， 即当时，随t的增大而增大； 当点D在射线上时，，此时，， ∴，即的值不变， 综上，选项C说法正确，符合题意，选项A、B、D说法错误，不符合题意； 故选：C． 二 、填空题(本题有6小题，每小题3分，共18分) 11. 把抛物线向上平移2个单位后得到抛物线，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的平移规律，知道“上加下减，左加右减”是解题的关键． 根据二次函数的平移规律“上加下减，左加右减”求解即可． 【详解】解：把抛物线向上平移2个单位后得到抛物线，即， 故答案为：． 12. 用抽签的办法从A，B，C三人中任选一人，选中A的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查简单的概率计算，直接利用概率公式求解即可． 【详解】解：从A，B，C三人中任选一人，共有3种等可能情况，选中A的情况只有一种，故选中A的概率是， 故答案为：． 13. 已知正多边形的一个外角为，则该正多边形的边数是________． 【答案】十 【解析】 【分析】本题考查正多边形的外角，根据正多边形的外角和为360度，进行求解即可． 【详解】解：； ∴该正多边形的边数是10； 故答案为：十． 14. 下表是函数的部分自变量与对应的函数值： x y 根据此表，可以判断方程的一 个解x 可能的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查观察图表得知函数值情况，一元二次方程的根，二次函数与一元二次方程的关系．通过观察函数值的变化，当时，时，因此方程根在和之间． 【详解】解：由表可知，当时，；当时，， 由于二次函数图象是连续的，函数值由负变正，说明方程的一个解在和之间，即， 故答案为：． 15. 有些植物相邻两片叶子成的角，这种角度使植物通风和采光的效果最佳．这一度数与_______的角的度数成黄金比．（注：黄金比取，结果精确到） 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查黄金分割比，熟练掌握黄金分割比是解题的关键；先把化为，然后根据黄金分割的定义分别把乘以或除以0.618即可． 【详解】解：∵，且黄金分割比约为0.618， ∴，， 所以与或的角成黄金比例． 故答案为或． 16. 如图，中，于点．点是射线上的一个动点，作于点，交直线于点，连接． （1）求的长为_______； （2）若，则的长为_______． 【答案】 ①. ②. 或4 【解析】 【分析】（1）根据可得的长，分别根据勾股定理可得和的长； （2）分两种情况：当在线段上时，如图3，过作于，根据同高三角形面积的比等于对应底边的比，得，可得，证明是等腰三角形，得，最后利用勾股定理可得结论；当在线段的延长线上时，过作于，同计算可得结论． 【详解】解：（1），， ， ， ， ， ， 由勾股定理得：， ； 故答案为：． （2）分两种情况： 当在线段上时，过作于，如图3所示： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形， ， ， ； 当在线段的延长线上时，过作于，如图4所示： 同理得：， ， ， 同理得：是等腰三角形， ， ， 中，； 综上所述，的长为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质、三角形的面积、勾股定理、分类讨论等知识；证明是等腰三角形是解题的关键． 三 、解答题(本题有8小题，第17-21题各8分，第22~23题各10分，第24题12分，共72分) 17. 如图，． 若，， 求的长． 【答案】 【解析】 【详解】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解此题的关键． 由相似三角形的性质可得，代入计算即可得解． 【分析】解：∵， ， ，， ，        故． 18. 如图，在正方形网格图中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点，， ，解答下列问题： （1）请在图中确定该圆弧所在圆心点的位置，则点坐标为_______． （2）连结，，求出的度数． 【答案】（1） 如图所示，作线段和线段的垂直平分线，两条直线的交点即为点． 故答案为： （2） 【解析】 【分析】本题主要考查确定圆的条件、勾股定理的逆定理、平面直角坐标系： （1）作线段和线段的垂直平分线，两条直线的交点即为点； （2）利用勾股定理的逆定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图所示，连接． ∵，，， ∴． ∴． 19. 已知二次函数． （1）求此二次函数图象的顶点坐标； （2）若此抛物线与轴交于，两点，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质． （1）把二次函数的一般式配成顶点式，从而得到抛物线的顶点坐标； （2）解方程得点、的坐标为，，从而可得的长． 【小问1详解】 解：， 抛物线的顶点坐标为； 【小问2详解】 当时，， 解得，， 点、的坐标为，， ． 20. 如图，是的直径，弦垂直平分为垂足． （1）求的度数； （2）若，求弓形的高． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理；解直角三角形； （1）连接，根据题意得出，则，进而根据圆周角定理可得，垂径定理得出，即可求解； （2）解，进而根据，即可求解． 【小问1详解】 证明：连接，如图所示， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵，是直径， ∴， ∴ ∴ 【小问2详解】 解：∵ ∴ 在中， ∴ 21. 在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共10只，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数 58 96 116 295 484 601 摸到白球的频率 0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601 （1）请估计：当很大时，摸到白球的频率将会接近　 　；（保留二个有效数字） （2）试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少只？ （3）请画树状图或列表计算：从中一次摸两只球，这两只球颜色不同的概率是多少？ 【答案】（1）0.60； （2）黑球有4只，白球有6只； （3） 【解析】 【分析】（1）观察表格，即可得当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.60； （2）根据（1）可得白球占60%，即可求得口袋中黑、白两种颜色的球各有多少只； （3）列表求得所有等可能的结果与从中一次摸两只球，这两只球颜色不同的情况，即可根据概率公式求解． 【详解】解：（1）由表格中数据可知，当很大时，摸到白球的频率将会接近0.60； （2）∵10×0.60=6，10-6=4， ∴黑球有4只，白球有6只； （3）列表得： 黑 黑 黑 黑 白 白 白 白 白 白 黑 黑黑 黑黑 黑黑 白黑 白黑 白黑 白黑 白黑 白黑 黑 黑黑 黑黑 黑黑 白黑 白黑 白黑 白黑 白黑 白黑 黑 黑黑 黑黑 黑黑 白黑 白黑 白黑 白黑 白黑 白黑 黑 黑黑 黑黑 黑黑 白黑 白黑 白黑 白黑 白黑 白黑 白 黑白 黑白 黑白 黑白 白白 白白 白白 白白 白白 白 黑白 黑白 黑白 黑白 白白 白白 白白 白白 白白 白 黑白 黑白 黑白 黑白 白白 白白 白白 白白 白白 白 黑白 黑白 黑白 黑白 白白 白白 白白 白白 白白 白 黑白 黑白 黑白 黑白 白白 白白 白白 白白 白白 白 黑白 黑白 黑白 黑白 白白 白白 白白 白白 白白 一共有90种等可能的结果，从中一次摸两只球，这两只球颜色不同的有48种情况， （两只球颜色不同）． 【点睛】此题考查了频率与概率以及树状图法与列表法求概率．解题的关键是根据题意列表或画树状图，注意列表法与树状图法可以不重不漏的表示出所有等可能的结果．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 22. 二次函数的图象经过点，且对称轴为直线． （1）求这个二次函数的解析式． （2）图象上的点称为函数的不动点，求这个函数不动点的坐标． （3）若是二次函数图象上不动点之间的点（包括端点），求的最大值与最小值的差． 【答案】（1） （2）和 （3）16 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数图象上点的左边特征，正确求得函数解析式是解答的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）将点代入（1）中求得的解析式中，然后解方程即可求解； （3）先将解析式化为顶点式，再根据二次函数的性质求出最大值和最小值，进而求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，，解得， ∴该二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：将代入中，得， 即， 解得，， ∴这个函数不动点的坐标为和； 【小问3详解】 解：由（2）知，， ∵，该抛物线的开口向上，对称轴为直线, ∴当时，y有最小值， 当时，y有最大值5， ∴的最大值与最小值的差为． 23. 如图，四边形内接于为的直径，且． （1）试判断的形状，并给出证明． （2）若． ①求线段的长． ②求的值． 【答案】（1） 是等腰直角三角形， 证明：∵是圆的直径， ∴， ∵，，， ∴， ∴是等腰直角三角形； （2）① ② 【解析】 【分析】本题是圆的综合题，考查圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，解直角三角形等，熟练掌握圆的性质是解题关键. （1）根据圆周角定理可得，由根据等弧对等角可得，即可证明； （2）①由为的直径，可得，利用勾股定理即可求得答案； ②过点作于点，由是等腰直角三角形，可得，再根据三角函数定义可得，可得，即可求得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①∵， ∴， ， ∵为的直径， ， ； ②如图，过点作于点， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ． 24. 如图，抛物线与x轴的交点为，，与y轴的交点为C，P是抛物线第一象限上一点，过点P作x轴的垂线，交x轴于点F，交直线BC于点E． （1）求抛物线的函数关系式． （2）当时，求点E的坐标， （3）连接，作点E关于的对称点E'，若E'落在y轴上，求点E的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与几何的综合、用待定系数法求函数解析式、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识点是解题的关键． （1）把，代入求出的值即可确定函数解析式； （2）先求出直线的函数解析式，设，则，，进而得到、，再根据列方程求得，即可确定点E的坐标； （3）过E作，先根据轴对称的性质、等腰三角形的性质、平行四边形的判定与性质得到，设，则，，进而得到，，再根据列方程求得m，即可确定点E的坐标． 【小问1详解】 解：把，代入 得：， 解得． 抛物线的函数关系式为． 【小问2详解】 解：设直线的解析式为， 把，代入 得∶， 解得：， 直线的解析式为， 设，则，， ∴，， ， ， 解得或（舍去）． ； 【小问3详解】 解：如图：过E作， ，关于PC对称， ∴，， ∵轴， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ， 设，则，， ， ，， ，即是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴ ， ∵， ，解得：， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 永康市城西中学2025学年第一学期九年级数学期中考试 一 、选择题(本题有10小题，每小题3分，共30分) 1. 下列函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列事件属于必然事件的是（ ） A. 永康明年会下雪 B. 经过有交通信号灯的路口，恰好遇到绿灯 C. 足球队员在罚点球时，未进球 D. 实心铁块放入水中会下沉 3. 下列各组数不能成比例的是（ ） A. 3，，，6 B. ，，， C. 3，，，2 D. 4，3，5， 4. 已知二次函数，则下列表述正确的是（ ） A. 若，抛物线的开口向下 B. 当时，随的增大而增大 C. 图象与轴一定有两个交点 D. 图象与轴的交点坐标为 5. 如图，将绕着点逆时针旋转得到，若点的对应点恰好落在的延长线上，则的度数为（　　） A. B. C. D. 6. 如图，直线，直线分别与相交于点和点若则等于（ ） A. 6 B. 8 C. 9 D. 12 7. 如图，将一个含角的直角三角板的斜边和量角器的直径所在的边重合放置，其中点所在位置在量角器外侧的读数为，，连接交于点，则（ ） A. 80° B. 70° C. 60° D. 50° 8. 有一个转盘如图，让转盘自由转动一次，则指针落在黄色区域的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，点A在轴正半轴上，曲线是由半径为4个单位长度，圆心角为的经足够多次复制并依次连接而成的．现有一动点从原点出发，以每秒个单位长度的速度沿曲线向右运动，则第2021秒时点的纵坐标为（　　） A. 2 B. 0 C. D. 10. 如图，已知线段和线段，．点先沿着线段从点匀速运动到点，再沿着射线方向以同样的速度运动；点出发的同时点从点出发，以相同的速度沿着射线的方向运动；对于，两点间的距离的变化情况，下列说法正确的是（ ） A. 先变大后变小，最后不变 B. 先变小后变大，最后不变 C. 当时，先变小后变大，最后不变 D. 当时，先变大后变小，最后不变 二 、填空题(本题有6小题，每小题3分，共18分) 11. 把抛物线向上平移2个单位后得到抛物线，则的值是______． 12. 用抽签的办法从A，B，C三人中任选一人，选中A的概率是______． 13. 已知正多边形的一个外角为，则该正多边形的边数是________． 14. 下表是函数的部分自变量与对应的函数值： x y 根据此表，可以判断方程的一 个解x 可能的取值范围是________． 15. 有些植物相邻两片叶子成的角，这种角度使植物通风和采光的效果最佳．这一度数与_______的角的度数成黄金比．（注：黄金比取，结果精确到） 16. 如图，中，于点．点是射线上的一个动点，作于点，交直线于点，连接． （1）求的长为_______； （2）若，则的长为_______． 三 、解答题(本题有8小题，第17-21题各8分，第22~23题各10分，第24题12分，共72分) 17. 如图，． 若，， 求的长． 18. 如图，在正方形网格图中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点，， ，解答下列问题： （1）请在图中确定该圆弧所在圆心点的位置，则点坐标为_______． （2）连结，，求出的度数． 19. 已知二次函数． （1）求此二次函数图象的顶点坐标； （2）若此抛物线与轴交于，两点，求的长． 20. 如图，是的直径，弦垂直平分为垂足． （1）求的度数； （2）若，求弓形的高． 21. 在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共10只，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数 58 96 116 295 484 601 摸到白球的频率 0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601 （1）请估计：当很大时，摸到白球的频率将会接近　 　；（保留二个有效数字） （2）试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少只？ （3）请画树状图或列表计算：从中一次摸两只球，这两只球颜色不同的概率是多少？ 22. 二次函数的图象经过点，且对称轴为直线． （1）求这个二次函数的解析式． （2）图象上的点称为函数的不动点，求这个函数不动点的坐标． （3）若是二次函数图象上不动点之间的点（包括端点），求的最大值与最小值的差． 23. 如图，四边形内接于为的直径，且． （1）试判断的形状，并给出证明． （2）若． ①求线段的长． ②求的值． 24. 如图，抛物线与x轴的交点为，，与y轴的交点为C，P是抛物线第一象限上一点，过点P作x轴的垂线，交x轴于点F，交直线BC于点E． （1）求抛物线的函数关系式． （2）当时，求点E的坐标， （3）连接，作点E关于的对称点E'，若E'落在y轴上，求点E的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $