精品解析：北京市西城区北京师范大学第二附属中学西城实验学校2026—2027学年度上学期八年级数学期中试题

北京师大二附中西城实验学校2026——2027学年度第一学期期中试卷 八年级数学 注意事项 1．本试卷共7页，共三道大题，26道小题，满分100分．考试时间100分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写学校、班级、姓名和学号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，请将考试材料一并交回． 一、选择题（每题2分，共16分） 1. 近期，放学后老师发现不少同学喜欢购买奶茶，奶茶香甜好喝，很受同学们欢迎，但含糖较高，喝多了不利于健康；杯装奶茶还容易洒漏，弄脏课桌、作业本和教室地面，喝完的杯子和吸管也会影响校园卫生．为此，学校呼吁不要过度饮用奶茶，更不要带入校园．下列有关奶茶的图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念，根据轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就叫做轴对称图形．逐项判断各图形即可． 【详解】解：A．选项中的图形沿竖直或水平直线折叠，两旁部分能完全重合，是轴对称图形，故符合题意； B．选项中的图形左右形状不同，找不到对称轴，不是轴对称图形，故不符合题意； C．选项中的图形左右形状不同，找不到对称轴，不是轴对称图形，故不符合题意； D．选项中的图形手部动作及身体细节导致左右不重合，找不到对称轴，不是轴对称图形，故不符合题意． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同底数幂相乘、同底数幂相除、幂的乘方、积的乘方法则逐项判断即可． 【详解】解：∵，∴A错误； ∵，∴B错误； ∵，∴C错误； ∵，∴D正确． 3. 如图，在中，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形外角性质列式求解即可． 【详解】解：是的外角， ， ，， ． 4. 如图 ，平分，P 是 上任意一点， 于点 D，于点 E，则下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据角平分线的性质解答即可． 【详解】解：∵平分，P 是 上任意一点，，， ∴，故A选项正确； 根据题意无法确定与的大小关系，，故B，C选项错误； ∵平分，， ∴，， ∴，故D选项错误； 5. 傣族油纸伞是傣家人引以为豪的传统手工艺之一，被列入第一批国家级非物质文化遗产保护名录，我县某中学八年级同学在了解了傣族油纸伞后，即组成数学兴趣小组进行了设计伞的实践活动．同学们依据全等三角形的判定设计了截面如图所示的伞骨结构，当伞完全打开后，测得，请添加一个条件，使得（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可得，据此结合全等三角形的判定定理逐一判断即可，全等三角形的判定定理有． 【详解】解：根据题意可得， 添加条件时，结合，不可以利用证明，故A不符合题意； 添加条件时，结合，不可以利用证明，故B不符合题意； 添加条件时，则，即，结合，不可以利用证明，故C不符合题意； 添加条件时，结合，可以利用证明，故D符合题意； 6. 下列图形中通过计算阴影部分的面积可以不经计算直接解释完全平方公式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别用两种方式表示各选项的阴影面积，进而判断即可． 【详解】解：A．阴影面积可表示为或，即，符合题意； B．阴影面积可表示为或，即，不符合题意； C．阴影面积可表示为或，即，不符合题意； D．阴影面积可表示为或，即，不符合题意． 7. 下图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为C，且，，保持不变．为了舒适，需调整的大小，使，根据图中数据信息，下列调整大小的方法正确的是（ ） A. 增大 B. 减小 C. 增大 D. 减小 【答案】D 【解析】 【分析】延长交于点，利用三角形内角和定理及对顶角性质求出，再根据三角形外角性质得出与的关系，计算调整后的度数即可； 【详解】解：延长交于点， ∵， ， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵是的外角， ∴，即， 当时，， ∴， ∵原， ∴应减小． 8. 如图，已知，点A在射线OM上，以点O为圆心，OA长为半径画弧，交射线ON于点B．若分别以点A，B为圆心，AB长为半径画弧，两弧在内部交于点C，连接OC，再以点A为圆心、AO长为半径画弧，交ON于点D，连接AD．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如图：连接，设相交于点E，设，则，根据作图结论利用角平分线的性质、等边三角形的判定与性质、，利用三角形外角的性质以及等边对等角可得、，再根据直角三角形两锐角互余求解即可． 【详解】解：如图：连接，设相交于点E， 由作图过程可知：，，， 设，则， ∵， ∴垂直平分， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即，解得：． 二、填空题（每题2分，共16分） 9. 若有意义，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据零指数幂有意义的条件即可解答． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∴， 10. 在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，根据该规律即可得结果． 【详解】解：∵ 关于轴对称的点满足横坐标不变，纵坐标互为相反数， ∴ 点的横坐标保持不变，纵坐标变为的相反数， ∴所求对称点的坐标为． 11. 如图，四边形中，，，的平分线交于点E，，则线段的长为________． 【答案】 4 【解析】 【分析】利用角平分线的定义和平行线的性质得出，从而判定为等腰三角形，得到，再根据线段的和差关系计算即可； 【详解】解：平分， ， ， ， ， ， ， ， ． 12. 如图，在中，已知，，的垂直平分线交于点．若，则________cm． 【答案】 【解析】 【分析】连接，利用线段垂直平分线的性质得出，结合等腰三角形性质求出，进而推导出，利用含角的直角三角形性质求出的长，最后计算即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 13. 若是一个完全平方式，则的值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m的值． 【详解】解：是一个完全平方式， ， ． 14. 如图，在平面直角坐标系中，将直角三角板的直角顶点放在点处，两直角边分别与坐标轴交于点A和点B，那么的值为________． 【答案】6 【解析】 【分析】如图：过点P作轴于M，轴于N，证得，利用线段和差求解即可． 【详解】解：如图：过点P作轴于M，轴于N， ∵， ∴， ，， ∴ 四边形是正方形，  ∴， ∵， ∴， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 15. 如图，已知点P是射线上的一动点，若，当______时，为等腰三角形． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定与性质以及三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键．分、和三种情况，分别利用等腰三角形的两底角相等可求得的度数． 【详解】解：分三种情况： ①当时，则， ； ②当时，则； ③当时，则， 综上所述，当为或或时，为等腰三角形， 故答案为：或或． 16. 如图，动点C与线段AB构成，其边长满足，，．点D在的平分线上，且，则a的取值范围是________，的面积的最大值为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用三角形三边关系定理列不等式组求的取值范围；延长交的延长线于点，利用证明，得出，，进而求出的长，根据等底同高得出，当时面积最大，从而求解． 【详解】解：在中，由三角形三边关系定理得 ， ，解得， 又， ，解得， 综上所述，的取值范围是； 如图，延长交的延长线于点， 平分， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 当时，的面积取最大值，最大值为， 的面积的最大值为， 故答案为：，． 三、解答题（共68分，第17题13分，第18-21题每题6分，22题7分，23题5分，第24题6分，第25题8分，第25题5分） 17. 计算： （1）； （2）； （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）直接运用单项式乘法法则计算； （2）运用多项式乘法法则展开后合并同类项； （3）运用多项式除以单项式法则逐项计算； （4）将式子变形为平方差公式结构，再展开化简． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 18. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】化简结果为，代入求值的结果为 【解析】 【分析】利用平方差公式、完全平方公式展开整式，去括号合并同类项化简，再代入字母数值计算． 【详解】解：原式 ； 把，代入， 原式 ． 19. 如图，已知， （1）现要从如下条件中再添加一个①；②；③；④得到．你添加的条件是：________．（填序号） （2）选择（1）中的一种情况进行证明． 【答案】（1）②或③（任选一个填即可） （2） 选择② 证明：， ， ， ， ， 在和中，， ； 选择③ 证明：， ， ， ， ， 在和中，， ； 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定；分析条件，可得一边与一角对应相等，若用判定，则选择②；若用判定，则选择③，从而可完成两问的解答． 【小问1详解】 解：②或③（任选一个填即可） 【小问2详解】 略 20. 如图，在等腰中，，，求的度数． （1）依题意补全图形 ①在上确定一点，使得点到边和边的距离相等（要求：尺规作图，保留作图痕迹）； ②在①的条件下，作出线段的垂直平分线，交于点，交于点；（要求：尺规作图，保留作图痕迹） ③过点作于点，过点作于点，连接．（不要求尺规作图）． （2）请把以下计算推理过程补充完整． ∵等腰中，，， ∴① ， ∵在中， ∴， ∴， ，，， ∴② ， ∴， 又∵垂直平分， ∴，（③ ）．（填依据） ∴，（④ ）．（填依据） ∴． 【答案】（1）①点如图所示： ②垂直平分线如图所示： ③垂足、与线段如图所示： （2），，垂直平分线的性质，等边对等角 【解析】 【分析】（1）①作的平分线，与的交点即为点； ②按照垂直平分线的操作步骤作图即可； ③按要求作图即可； （2）按照角平分线与垂直平分线的性质定理结合等腰三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵等腰中，，， ∴， ∵在中， ∴， ∴， ，，， ∴， ∴， 又∵垂直平分， ∴（垂直平分线的性质）， ∴（等边对等角）， ∴ 21. 已知：方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点的坐标为． （1）请在图中画出关于轴对称的图形； （2）点与点关于轴对称，则 ， ； （3）如果要使与全等，那么不同于点的格点的坐标是 ． 【答案】（1） （2） （3）、、 【解析】 【分析】（1）利用关于轴对称的点横坐标不变、纵坐标取相反数的性质，算出的对称点坐标，描点连线画出． （2）根据关于轴对称的点纵坐标相等、横坐标互为相反数，列出等式，，计算得到． （3）以为公共边，结合网格找出能和全等、异于点的格点，得到坐标为、、． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解： 两点关于轴对称，纵坐标相等，横坐标互为相反数，点． 由 ． 由 ． 【小问3详解】 解：与全等，为公共边，． 根据全等三角形、格点特征，满足条件的格点坐标为： 、、 22. 如图，在等边中，D是的中点，E是延长线上的一点，且，，垂足为M．求证∶ （1）； （2）M是的中点． 【答案】（1） 证明：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴在中，， ∴． （2） 证明：∵是等边三角形，D是的中点， ∴， ， ∴， ∴， ∵， ∴点M是的中点． 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的判定及性质，含角的直角三角形的性质，三角形外角的性质，综合运用相关知识是解题的关键． （1）由等边三角形的性质得到，从而根据三角形外角的性质求得，再根据含角的直角三角形的性质即可证明； （2）根据等边三角形的性质得到，从而，得到是等腰三角形，再由“三线合一”即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. “以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现．例如图1，可得等式 （1）如图2，请写出你发现的恒等式： ； （2）利用（1）中的发现计算：若，，则的值是 ； （3）如图3，将一张大长方形纸板沿图中的虚线裁剪成块，其中块是边长为的小正方形，5块是长为，宽为的小长方形，块是边长为的大正方形．若这块大长方形纸板的面积为，每块长为，宽为的小长方形的面积是8． ①图3中1块边长为的小正方形和1块边长为的大正方形的面积之和为 ； ②求图中所有裁剪线（虚线部分）的长度之和为 ． 【答案】（1） （2） （3）①；② 【解析】 【分析】（1）利用面积相等写出对应的恒等式即可； （2）利用（1）的恒等式先计算的值，再开方即可； （3）①根据题意，，作差可得， ②由①可得，利用平移可得虚线长度之和为，代入求值即可． 【小问1详解】 解：由图可知，对应的恒等式为； 【小问2详解】 解：由（1）可知， ， ∴； 【小问3详解】 解：①由题意可知，，， ∴， ∴， ∴， 正方形的面积之和为； ②∵，， ∴， ∴（负值舍去）， 由图可知，虚线长度之和为． 24. 地球吸引物体的每个部分，由于地球的吸引而使物体受到的力叫作重力．物体重心的位置对于物体保持平衡、运动和稳定的状态至关重要． （1）探究1：物理上通常用支撑法或悬挂法确定物体的重心． 支撑法确定匀质薄板的重心：若用一个支点顶住匀质薄板的重心，则薄板能保持平衡． 根据物理学知识，将匀质薄板悬挂至静止，悬线的延长线一定经过薄片的重心． 悬挂法确定匀质薄板的重心： 【素材】厚度均匀的硬纸板（三角形、矩形、正方形、不规则形状）、钉子、螺钉、线、笔、刻度尺、量角器等． 【实践操作】 如图1，步骤1：用细棉线系住小孔A将硬纸板悬挂起来，当硬纸板静止时，用笔和刻度尺在硬纸板上画出与细棉线方向相同即竖直向下的重力的作用线，重心一定也在这条直线上； 步骤2：用细棉线系住另一个小孔C将硬纸板悬挂起来，利用同样的方法再画出另一重力作用线；作用线与作用线的交点O即为硬纸板的重心． 根据实践操作，图2已经完成了步骤1，请在图2中完成步骤2并标明不规则形状硬纸板的重心O； 探究2：按照同样的步骤继续实践操作，发现形状规则、质量分布均匀的物体，它的重心在它的几何中心上．如：三角形匀质薄板的重心在三条中线的交点上（三角形的三条中线交于一点），长方形匀质薄板的重心在两条对角线的交点上，圆形匀质薄板的重心在圆心上，球的重心在球心上，对称图形的重心在其对称中心或对称轴上 （2）如图3，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点A，B，C均在格点上，点D是与格线交点．请你根据上面发现的结论，仅用无刻度直尺在图3中分别按下列要求画图（保留画图痕迹，不需要写画法，不需要证明）． ①作出的中线；②确定边的中点P． 探究3：平面组合图形由简单平面图形组成．小王同学查阅相关资料后发现：若把一个图形分割成两部分，则该图形的重心G一定在这两部分图形的重心M，N所连直线上． （3）如图4是质地均匀筝形匀质薄板，其中，，．请你利用小王查阅的方法，在图4中分割，并用尺规作图确定该筝形匀质薄板的重心位置（保留画图痕迹）． 【答案】（1）如图所示，重心即为所求： （2）①如图所示，即为所求： ②如图所示，点P即为所求： （3）如图所示，点G即为所求： 【解析】 【分析】（1）延长交于点，则重心即为所求； （2）构造全等图形即可； （3）连接，分别作出两三角形的重心，再取重心与的交点即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵，，， ∴， 可知四边形是轴对称图形，对称轴为， ∵对称图形的重心在其对称中心或对称轴上， ∴结合小王查阅的方法可知薄板的重心为的重心和的重心的连线与线段的交点． 25. 在和中，，． （1）如图1，若，连接，．求证：； （2）如图2，若，连接，设的中点为点，连接，，猜想与的位置关系，并证明． 【答案】（1）证明：∵，， 又∵， ∴与都是等边三角形， ∴，，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． （2）， 证明：如图，延长至点，使得，连接、、，设， ∵， ∴， ∵， ∴， 同理，， ∴， ∵点为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【解析】 【分析】（1）容易判断与都是等边三角形，利用“手拉手”模型可证明，则； （2）延长至点，使得，连接、、，设，则，容易证明，则，．由等腰三角形的性质结合三角形内角和定理可得，进而可证明，则，由等腰三角形的性质可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 26. 在平面直角坐标系中，直线过点且平行于轴，对于点和图形，给出如下定义：若点关于直线对称点落在图形所围成的区域内（包含边界），则称图形是点关于直线的“对称形”． （1）如图，已知，，，，直线过点， ①在点，，中，线段是点________关于直线l的“对称形”； ②若四边形是点关于直线的“对称形”，求的取值范围． （2）如图，已知，，，，四边形是点关于直线的“对称形”，直接写出和的取值范围． 【答案】（1）①；② （2）， 【解析】 【分析】（1）①根据关于直线的“对称形”的定义求解即可；②由①直线为直线，利用轴对称得关于直线的对称点为，又四边形是点关于直线的“对称形”，得在四边形上，从而得不等式组，，求解即可； （2）由直线过点，得直线为直线，进而得关于直线的对称点为，又四边形是点关于直线的“对称形”，得在四边形上，进而列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：①∵直线过点， ∴直线为直线， ∵，， ∴线段为直线的一部分，且， ∵直线为直线，，， ∴，，关于直线的对称点分别为，， ∴在线段上，，都不在线段上， ∴线段是点关于直线的“对称形”； ②由①直线为直线， ∵， ∴关于直线的对称点为， ∵四边形是点关于直线的“对称形”， ∴在四边形上， ∵，，，， ∴，， ∴； 【小问2详解】 解：∵直线l过点且平行于y轴， ∴直线为直线， ∵， ∴关于直线l的对称点为， ∵四边形是点关于直线l的“对称形”， ∴在四边形内部（包括边界）， ∵，，，， ∴四边形的y坐标范围是， ∴点的纵坐标m需满足：， 对于四边形内任意一点，其横坐标x受左右边界限制， 左边界：过点和，设解析式为， ∴，解得， ∴左边界的解析式为，即， 右边界：过点和，设解析式为， ∴，解得， ∴右边界的解析式为，即， ∴对于给定的y（即m），横坐标x需满足， 将点代入得：， 解得：， 综上所述，m的取值范围是，n的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京师大二附中西城实验学校2026——2027学年度第一学期期中试卷 八年级数学 注意事项 1．本试卷共7页，共三道大题，26道小题，满分100分．考试时间100分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写学校、班级、姓名和学号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，请将考试材料一并交回． 一、选择题（每题2分，共16分） 1. 近期，放学后老师发现不少同学喜欢购买奶茶，奶茶香甜好喝，很受同学们欢迎，但含糖较高，喝多了不利于健康；杯装奶茶还容易洒漏，弄脏课桌、作业本和教室地面，喝完的杯子和吸管也会影响校园卫生．为此，学校呼吁不要过度饮用奶茶，更不要带入校园．下列有关奶茶的图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 如图 ，平分，P 是 上任意一点， 于点 D，于点 E，则下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 傣族油纸伞是傣家人引以为豪的传统手工艺之一，被列入第一批国家级非物质文化遗产保护名录，我县某中学八年级同学在了解了傣族油纸伞后，即组成数学兴趣小组进行了设计伞的实践活动．同学们依据全等三角形的判定设计了截面如图所示的伞骨结构，当伞完全打开后，测得，请添加一个条件，使得（　　） A. B. C. D. 6. 下列图形中通过计算阴影部分的面积可以不经计算直接解释完全平方公式的是（ ） A. B. C. D. 7. 下图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为C，且，，保持不变．为了舒适，需调整的大小，使，根据图中数据信息，下列调整大小的方法正确的是（ ） A. 增大 B. 减小 C. 增大 D. 减小 8. 如图，已知，点A在射线OM上，以点O为圆心，OA长为半径画弧，交射线ON于点B．若分别以点A，B为圆心，AB长为半径画弧，两弧在内部交于点C，连接OC，再以点A为圆心、AO长为半径画弧，交ON于点D，连接AD．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题2分，共16分） 9. 若有意义，则的取值范围是______． 10. 在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标是__________． 11. 如图，四边形中，，，的平分线交于点E，，则线段的长为________． 12. 如图，在中，已知，，的垂直平分线交于点．若，则________cm． 13. 若是一个完全平方式，则的值是___________． 14. 如图，在平面直角坐标系中，将直角三角板的直角顶点放在点处，两直角边分别与坐标轴交于点A和点B，那么的值为________． 15. 如图，已知点P是射线上的一动点，若，当______时，为等腰三角形． 16. 如图，动点C与线段AB构成，其边长满足，，．点D在的平分线上，且，则a的取值范围是________，的面积的最大值为________． 三、解答题（共68分，第17题13分，第18-21题每题6分，22题7分，23题5分，第24题6分，第25题8分，第25题5分） 17. 计算： （1）； （2）； （3） （4） 18. 先化简，再求值：，其中，． 19. 如图，已知， （1）现要从如下条件中再添加一个①；②；③；④得到．你添加的条件是：________．（填序号） （2）选择（1）中的一种情况进行证明． 20. 如图，在等腰中，，，求的度数． （1）依题意补全图形 ①在上确定一点，使得点到边和边的距离相等（要求：尺规作图，保留作图痕迹）； ②在①的条件下，作出线段的垂直平分线，交于点，交于点；（要求：尺规作图，保留作图痕迹） ③过点作于点，过点作于点，连接．（不要求尺规作图）． （2）请把以下计算推理过程补充完整． ∵等腰中，，， ∴① ， ∵在中， ∴， ∴， ，，， ∴② ， ∴， 又∵垂直平分， ∴，（③ ）．（填依据） ∴，（④ ）．（填依据） ∴． 21. 已知：方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点的坐标为． （1）请在图中画出关于轴对称的图形； （2）点与点关于轴对称，则 ， ； （3）如果要使与全等，那么不同于点的格点的坐标是 ． 22. 如图，在等边中，D是的中点，E是延长线上的一点，且，，垂足为M．求证∶ （1）； （2）M是的中点． 23. “以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现．例如图1，可得等式 （1）如图2，请写出你发现的恒等式： ； （2）利用（1）中的发现计算：若，，则的值是 ； （3）如图3，将一张大长方形纸板沿图中的虚线裁剪成块，其中块是边长为的小正方形，5块是长为，宽为的小长方形，块是边长为的大正方形．若这块大长方形纸板的面积为，每块长为，宽为的小长方形的面积是8． ①图3中1块边长为的小正方形和1块边长为的大正方形的面积之和为 ； ②求图中所有裁剪线（虚线部分）的长度之和为 ． 24. 地球吸引物体的每个部分，由于地球的吸引而使物体受到的力叫作重力．物体重心的位置对于物体保持平衡、运动和稳定的状态至关重要． （1）探究1：物理上通常用支撑法或悬挂法确定物体的重心． 支撑法确定匀质薄板的重心：若用一个支点顶住匀质薄板的重心，则薄板能保持平衡． 根据物理学知识，将匀质薄板悬挂至静止，悬线的延长线一定经过薄片的重心． 悬挂法确定匀质薄板的重心： 【素材】厚度均匀的硬纸板（三角形、矩形、正方形、不规则形状）、钉子、螺钉、线、笔、刻度尺、量角器等． 【实践操作】 如图1，步骤1：用细棉线系住小孔A将硬纸板悬挂起来，当硬纸板静止时，用笔和刻度尺在硬纸板上画出与细棉线方向相同即竖直向下的重力的作用线，重心一定也在这条直线上； 步骤2：用细棉线系住另一个小孔C将硬纸板悬挂起来，利用同样的方法再画出另一重力作用线；作用线与作用线的交点O即为硬纸板的重心． 根据实践操作，图2已经完成了步骤1，请在图2中完成步骤2并标明不规则形状硬纸板的重心O； 探究2：按照同样的步骤继续实践操作，发现形状规则、质量分布均匀的物体，它的重心在它的几何中心上．如：三角形匀质薄板的重心在三条中线的交点上（三角形的三条中线交于一点），长方形匀质薄板的重心在两条对角线的交点上，圆形匀质薄板的重心在圆心上，球的重心在球心上，对称图形的重心在其对称中心或对称轴上 （2）如图3，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点A，B，C均在格点上，点D是与格线交点．请你根据上面发现的结论，仅用无刻度直尺在图3中分别按下列要求画图（保留画图痕迹，不需要写画法，不需要证明）． ①作出的中线；②确定边的中点P． 探究3：平面组合图形由简单平面图形组成．小王同学查阅相关资料后发现：若把一个图形分割成两部分，则该图形的重心G一定在这两部分图形的重心M，N所连直线上． （3）如图4是质地均匀筝形匀质薄板，其中，，．请你利用小王查阅的方法，在图4中分割，并用尺规作图确定该筝形匀质薄板的重心位置（保留画图痕迹）． 25. 在和中，，． （1）如图1，若，连接，．求证：； （2）如图2，若，连接，设的中点为点，连接，，猜想与的位置关系，并证明． 26. 在平面直角坐标系中，直线过点且平行于轴，对于点和图形，给出如下定义：若点关于直线对称点落在图形所围成的区域内（包含边界），则称图形是点关于直线的“对称形”． （1）如图，已知，，，，直线过点， ①在点，，中，线段是点________关于直线l的“对称形”； ②若四边形是点关于直线的“对称形”，求的取值范围． （2）如图，已知，，，，四边形是点关于直线的“对称形”，直接写出和的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $