精品解析：上海市建平中学2026-2027学年高二上学期期中数学试题

建平中学高二期中数学试卷 一．填空题 1. 若点，点，则直线_____________（填“”或“”或“”） 【答案】 【解析】 【详解】由点且，得点确定的直线. 2. 双曲线的两条渐近线方程为_____________ 【答案】 【解析】 【详解】对于双曲线，，， 所以双曲线的渐近线方程为. 3. 抛物线的准线方程为_____ 【答案】 【解析】 【详解】对照抛物线的标准方程， 得抛物线中，，所以. 所以抛物线的准线方程为. 4. 已知，，则以线段为直径的圆的标准方程是_____________ 【答案】 【解析】 【详解】设以为直径的圆的圆心为，半径为. 因为，，所以线段的中点的坐标为. 半径的平方. 故以线段为直径的圆的标准方程为. 5. 已知椭圆长轴的一个顶点为，短轴的一个顶点为，则______________ 【答案】 【解析】 【分析】设，利用两点间的距离公式求解即可. 【详解】椭圆方程为，则焦点在轴上，且， 设，所以. 6. 已知直线：与：平行，则与的距离为_____________ 【答案】 【解析】 【详解】由直线：与：平行，得， 因此与的距离. 7. 空间中和两边分别平行，，则的大小是_______________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据空间等角定理，空间两角两边分别平行时，两角相等或互补，即可求得结果. 【详解】因为空间中和两边分别平行，则和相等或互补，又因为，所以或 8. 如图，在正方体中，M，N分别为的中点，则异面直线MN与所成的角等于_____________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，可证M，N分别为的中点，且可求得，再根据正方体的性质可得∥，为异面直线MN与所成的角（或其补角），即可得答案. 【详解】连接 设正方体的棱长为, ∵与是正方形，M，N分别为的中点， 所以M，N分别为的中点， ∴ ∴是等边三角形，∴ 在由正方体中,∥，， ∴四边形是平行四边形，∴∥， 所以为异面直线MN与所成的角（或其补角）. 异面直线MN与所成的角为. 故答案为：. 9. 已知双曲线（，），点是双曲线的右焦点，是双曲线的右顶点，过点作轴的垂线，交双曲线于，两点，若，则双曲线的离心率为_____________ 【答案】 【解析】 【分析】求出的纵坐标，设，利用二倍角公式可得，则，结合即可求解. 【详解】，可得，所以，， 设，则， 因为，所以，所以，所以， 所以，即， 即，解得或（舍去）， 所以，即， 则，即，解得或， 因为，所以. 即双曲线的离心率为. 10. 已知实数，满足，则的取值范围是_____________ 【答案】 【解析】 【分析】分象限去掉绝对值，判定方程所表示的椭圆弧与两条双曲线分支，再用三角换元与分离变形求出的取值范围，最后由绝对值的意义得出的范围. 【详解】按，的符号分类去绝对值： 当，时，方程化为，是含端点，的第一象限椭圆弧； 当，时，方程化为，是第四象限双曲线分支，即（）； 当，时，方程化为，是第二象限双曲线分支，即； 当，时，方程化为，无解. 设. 在椭圆弧上，令，，， 则， 由得，其中在，时取到. 在第四象限分支上，， 由得单调递减，所以； 在第二象限分支上，， 由得单调递增，所以. 综上，即， 故. 11. 如图，阿基米德椭圆规是由基座、带孔的横杆、两条互相垂直的空槽、两个可动滑块，组成的一种绘图工具，横杆的一端上装有铅笔，假设两条互相垂直的空槽和带孔的横杆都足够长，将滑块，固定在带孔的横杆上，令滑块在其中一条空槽上滑动，滑块在另一条空槽上滑动，铅笔随之运动就能画出椭圆．当，之间的距离为12厘米时，若需要画出一个离心率为的椭圆，则，之间的距离为_____________厘米 【答案】 48 【解析】 【详解】设，之间的距离为厘米，即. 由结构可知，，共线，且在的延长线上， 故. 两条空槽互相垂直，交点记为原点O： 当滑块滑动到时，点到原点的距离为； 当滑块滑动到时，点到原点的距离为. 因为， 所以椭圆的长半轴长，短半轴长. 由椭圆的离心率公式得， 可得. 因为，所以. 代入的表达式，得， 解得. 综上，，之间的距离为48厘米. 12. 如图所示，将绘有函数（）部分图象的纸片沿轴折成钝二面角，夹角为，此时，之间的距离为，则______ 【答案】 【解析】 【分析】过分别作轴的垂线，垂足分别为，过分别作轴，轴的垂线相交于点，利用周期求，利用余弦定理求，然后由勾股定理求出. 【详解】过分别作轴的垂线，垂足分别为， 过分别作轴，轴的垂线相交于点，如图： 连接，则是钝二面角的平面角，即， 由余弦定理得， 由上可知，轴垂直于，又平面， 所以轴垂直于平面，又轴，所以平面， 因为平面，所以， 因为的周期，所以， 由勾股定理得，解得. 二．选择题 13. 以下说法正确的是（ ） A. 空间异面直线的夹角取值范围是 B. 直线与平面的夹角的取值范围是 C. 二面角的取值范围是 D. 向量与向量夹角的取值范围是 【答案】D 【解析】 【详解】对于选项A. 空间异面直线的夹角取值范围是，故A错误； 对于选项B. 直线与平面的夹角的取值范围是，故B错误； 对于选项C. 二面角的取值范围是，故C错误； 对于选项D. 向量与向量夹角的取值范围是，故D正确. 14. 当我们停放自行车时，只要将自行车的排脚放下，自行车就稳了，这用到了（ ） A. 三点确定一个平面 B. 不在同一直线上的三点确定一个平面 C. 两条相交直线确定一个平面 D. 两条平行直线确定一个平面 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面基本事实可得正确的选项. 【详解】自行车的前轮、后轮、排脚与地面的三个接触点不在同一条直线， 它们可以确定一个平面，因此自行车就稳了， 故选：B. 15. 已知椭圆（）的左右焦点分别为，，若椭圆上存在一点，使得，则椭圆离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义和余弦定理建立关系，再利用基本不等式求出离心率范围. 【详解】设椭圆（）的半焦距为，令，则， 在中，由余弦定理得， 则，即，当且仅当时取等号， 因此，即，则，而，解得， 所以椭圆离心率的取值范围为. 16. 在四棱锥中，底面是边长为的正方形，顶点在底面内的射影在正方形的内部（不在边上），且（），设侧面，，，与底面所成的二面角依次为，，，，侧棱，，，与底面所成的角依次为，，，，则（ ） ①； ②． A. ①②都正确 B. ①正确②错误 C. ①错误②正确 D. ①②都错误 【答案】A 【解析】 【分析】对于①，根据二面角的定义及余切的定义分别求出，代入求解即可；对于②，根据线面角的定义及余切的定义分别求出，得到，，在正方形中建立平面直角坐标系，利用两点间距离公式得到，进而判断即可. 【详解】①设点到边的距离为，到边的距离为，到边的距离为，到边的距离为， 则，. 由题意知，，，，. 所以， ， 所以，①正确. ②由题意知，在底面的投影为，的投影为，的投影为，的投影为， 则，，，， 所以，同理. 正方形中，以点为原点，以为轴，建立平面直角坐标系， 则，，，，设， 则，，，. 所以， 故，即，②正确. 三．解答题 17. 如图．在正方体中，是的中点． （1）求证：直线与是异面直线. （2）求直线与平面所成角的大小． 【答案】（1） 假设直线与不是异面直线， 则直线与可以确定一个平面，记为平面， 所以点，点，点在平面上. 又根据题意可知：点，点，点在平面上 所以点，点，点三点共线，这与点是的中点相矛盾， 故假设不成立， 所以直线与是异面直线. （2） 【解析】 【分析】（1）利用反证法可证明. （2）取的中点，连接，；先根据正方体的性质及线面所成角的定义确定直线与平面所成角；再结合直角三角形中正切的定义即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点，连接，. 因为是的中点， 所以，且. 由正方体的性质可知：平面， 所以平面， 则是直线与平面所成角. 设正方体的棱长为， 则，， 所以， 因为， 所以. 18. 在正方体中，是棱的中点． （1）作出平面与平面的交线，保留作图痕迹； （2）在棱上是否存在一点F，使得平面，若存在，说明点F的位置并证明，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在，当为的中点时，满足题意，理由如下， 如图所示， 分别取和CD的中点F，G，连接EG，BG，，FG， 因为∥∥BC，且，所以四边形为平行四边形， 因此∥， 又E，G分别为，CD的中点，所以EG∥，从而EG∥， 这说明，B，G，E共面，所以平面， 又F，G为和CD的中点，，且， 因此四边形为平行四边形， 所以∥BG，而平面， 故平面. 【解析】 【分析】（1）延长与交于点，连接即为所求； （2）存在，分别取和CD的中点F，G，连接EG，BG，，FG，通过证明EG∥可得四点共面，根据正方体的性质得到∥BG，根据线面平行判定定理即可得结论. 【小问1详解】 延长与的延长线交于点，连接， 由于，所以，则平面， 又平面，所以为平面和平面的公共点， 同时也为平面和平面的公共点， 根据基本事实可得为平面与平面的交线. 【小问2详解】 略 19. 如图，在四棱锥中，，底面是正方形，，为的中点． （1）求证：； （2）求点到平面的距离 【答案】（1） 以为原点，分别以、、的方向为、、轴正方向建立空间直角坐标系. 由，底面为正方形，得，，，，. 为中点，故. ，，. ，故； ，故. 又，、平面，由线面垂直的判定定理，平面. （2） 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，. 设平面的法向量，故即， 故，， 点到平面的距离. 20. 已知点为椭圆：上一点，，分别为椭圆的左、右焦点． （1）若点不在轴上，求的周长； （2）过右焦点的直线与椭圆交于，两点，若以为直径的圆过，求的方程； （3）若点在轴上方，设直线与交于点，与轴交于点，延长线与交于点，在轴上方是否存在点，使得（）成立？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）由椭圆定义，焦距，周长为三者之和； （2）设过的直线为，避免分类讨论，联立椭圆，利用以为直径的圆过等价于，结合韦达定理求解； （3）将向量等式坐标化，分解为横纵坐标两个条件，由纵坐标条件推出，利用直线与直线斜率互为相反数及椭圆对称性得与关于轴对称，即，故，再结合韦达定理求解斜率. 【小问1详解】 由椭圆得，，故，. 由椭圆定义知，又， 故的周长为. 【小问2详解】 设直线的方程为，，. 联立，得. ，. 以为直径的圆过，等价于， 即. 则，即. 则. 化简得，即，解得. 故，直线的方程为，即. 【小问3详解】 设直线方程为. 联立，得. ，故. ， 因为， 则. ， 若，代入横坐标等式得，矛盾，故， 由椭圆的对称性，直线与直线斜率互为相反数， 故与关于轴对称，即，， 因此，即. 又，故. 由，得. 将代入椭圆方程，得 ，化简得. 解得或（舍去），因在轴上方，，故. 此时，， 故. 21. 已知抛物线：，过抛物线焦点的直线与交于，两点．设，，记，以为直径的圆记为． （1）当直线的倾斜角为时，求的长度； （2）证明：圆与抛物线的准线相切； （3）设圆与抛物线的交点个数为， （i）当时，求的取值范围； （ii）当时，记除，外的两个交点为，，判断是否为定值？并说明理由． 【答案】（1）8 （2）易知直线的斜率不为0，故设为，， 抛物线：的准线方程为， 由消去并整理得， 则，所以， 所以点M到准线的距离为，而. 即，所以圆与抛物线的准线相切. （3）（i）； （ii）当时，由（i）知有两根，且与的根不同， 若与有相同的根，则， 相加可得，显然不成立，所以，与，是不同的点， 则，解得或， 设，则有， 则，， 所以，为定值． 【解析】 【分析】（1）联立直线与抛物线方程，结合韦达定理，利用焦半径公式求解即可； （2）设直线：，，与抛物线方程联立，利用韦达定理和焦半径公式即可证明圆与抛物线的准线相切； （3）（i）抛物线方程与圆M的方程联立得或，将问题转化为无解，利用判别式法求解即可； （ii）先判断，与，是不同的点，然后结合韦达定理和两点斜率公式求得，，即可得，为定值． 【小问1详解】 当直线的倾斜角为时，直线的方程为， 由消去并整理得，， 则，所以； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 （i）当时，由（2）知，，， 圆M的方程为， 与抛物线：联立得， 从而或， 即或， 又，两点满足，所以无解， 所以，解得，故； （ii）略． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 建平中学高二期中数学试卷 一．填空题 1. 若点，点，则直线_____________（填“”或“”或“”） 2. 双曲线的两条渐近线方程为_____________ 3. 抛物线的准线方程为_____ 4. 已知，，则以线段为直径的圆的标准方程是_____________ 5. 已知椭圆长轴的一个顶点为，短轴的一个顶点为，则______________ 6. 已知直线：与：平行，则与的距离为_____________ 7. 空间中和两边分别平行，，则的大小是_______________． 8. 如图，在正方体中，M，N分别为的中点，则异面直线MN与所成的角等于_____________． 9. 已知双曲线（，），点是双曲线的右焦点，是双曲线的右顶点，过点作轴的垂线，交双曲线于，两点，若，则双曲线的离心率为_____________ 10. 已知实数，满足，则的取值范围是_____________ 11. 如图，阿基米德椭圆规是由基座、带孔的横杆、两条互相垂直的空槽、两个可动滑块，组成的一种绘图工具，横杆的一端上装有铅笔，假设两条互相垂直的空槽和带孔的横杆都足够长，将滑块，固定在带孔的横杆上，令滑块在其中一条空槽上滑动，滑块在另一条空槽上滑动，铅笔随之运动就能画出椭圆．当，之间的距离为12厘米时，若需要画出一个离心率为的椭圆，则，之间的距离为_____________厘米 12. 如图所示，将绘有函数（）部分图象的纸片沿轴折成钝二面角，夹角为，此时，之间的距离为，则______ 二．选择题 13. 以下说法正确的是（ ） A. 空间异面直线的夹角取值范围是 B. 直线与平面的夹角的取值范围是 C. 二面角的取值范围是 D. 向量与向量夹角的取值范围是 14. 当我们停放自行车时，只要将自行车的排脚放下，自行车就稳了，这用到了（ ） A. 三点确定一个平面 B. 不在同一直线上的三点确定一个平面 C. 两条相交直线确定一个平面 D. 两条平行直线确定一个平面 15. 已知椭圆（）的左右焦点分别为，，若椭圆上存在一点，使得，则椭圆离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 16. 在四棱锥中，底面是边长为的正方形，顶点在底面内的射影在正方形的内部（不在边上），且（），设侧面，，，与底面所成的二面角依次为，，，，侧棱，，，与底面所成的角依次为，，，，则（ ） ①； ②． A. ①②都正确 B. ①正确②错误 C. ①错误②正确 D. ①②都错误 三．解答题 17. 如图．在正方体中，是的中点． （1）求证：直线与是异面直线. （2）求直线与平面所成角的大小． 18. 在正方体中，是棱的中点． （1）作出平面与平面的交线，保留作图痕迹； （2）在棱上是否存在一点F，使得平面，若存在，说明点F的位置并证明，若不存在，请说明理由． 19. 如图，在四棱锥中，，底面是正方形，，为的中点． （1）求证：； （2）求点到平面的距离 20. 已知点为椭圆：上一点，，分别为椭圆的左、右焦点． （1）若点不在轴上，求的周长； （2）过右焦点的直线与椭圆交于，两点，若以为直径的圆过，求的方程； （3）若点在轴上方，设直线与交于点，与轴交于点，延长线与交于点，在轴上方是否存在点，使得（）成立？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 21. 已知抛物线：，过抛物线焦点的直线与交于，两点．设，，记，以为直径的圆记为． （1）当直线的倾斜角为时，求的长度； （2）证明：圆与抛物线的准线相切； （3）设圆与抛物线的交点个数为， （i）当时，求的取值范围； （ii）当时，记除，外的两个交点为，，判断是否为定值？并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $