精品解析：上海市大同中学2026-2027学年高二上学期期中考试数学试卷

2026学年第一学期期中考试试卷 高二数学 90分钟 满分100分 一、填空题（共12题，每题3分，满分36分） 1. 正六面体有________条棱． 【答案】 12 【解析】 【详解】正六面体又称正方体，是由个全等的正方形围成的正多面体. 正六面体的上、下两个平行正方形底面各包含条棱， 连接上下底面对应顶点的侧棱共条，总棱数为. 2. 正方体中，平面和平面的位置关系为________； 【答案】平行 【解析】 【详解】解：∵AB1∥C1D，AD1∥BC1，AB1⊂平面AB1D1，AD1⊂平面AB1D1，AB1∩AD1=A C1D⊂平面BC1D，BC1⊂平面BC1D，C1D∩BC1=C1由面面平行的判定理我们易得平面AB1D1∥平面BC1D故答案为平行 3. 一个圆柱的底面半径为1，母线长为2，则该圆柱的侧面积是________． 【答案】 【解析】 【详解】因圆柱的底面半径为，母线长为， 则该圆柱的侧面积是. 4. 在四棱柱中，是平行四边形的面至少有________个． 【答案】4 【解析】 【分析】根据四棱柱侧面的形状判断即可．四棱柱的四个侧面都是平行四边形，而两个底面不一定是平行四边形． 【详解】设四棱柱为 ． 因棱柱的侧棱 互相平行且相等，且对应底边互相平行， 所以四个侧面 ，，， 都是平行四边形． 当底面 不是平行四边形时，上、下两个底面均不是平行四边形，故是平行四边形的面至少有 个． 5. 设，，与垂直，则等于________ 【答案】 【解析】 【详解】， 因为与垂直，所以， 解得 6. 底面是正六边形的六棱锥中，底面，且，则点到直线的距离是________． 【答案】 【解析】 【分析】如图所示，连接，利用等面积法求点到直线的距离. 【详解】如图所示，连接，则，, 底面,底面,所以， 故,, 所以, 所以， 设点到直线的距离为，那么 , 所以点到直线的距离为. 7. 在如图所示的正八面体中，棱与所在直线的夹角为________． 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，分别求出和的坐标，结合向量夹角公式计算夹角的余弦值，进而确定角度大小. 【详解】如图所示，以正八面体中心为原点，设各顶点坐标为：，，，，可得：， 根据异面直线夹角公式可得： 因为异面直线夹角范围是， 所以，即与的夹角为. 8. 正四棱台的上、下底面边长分别为2，3，侧棱长为，则棱台的侧面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正四棱台的性质可求侧面的斜高，再利用梯形面积公式可求侧面积. 【详解】如图所示：过作的垂线，记垂足为， 由四棱台的性质可得：， 在中，， 则棱台的侧面积为. 9. 三棱锥满足：，，，，则该三棱锥的体积的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】先应用线面垂直判定定理得出平面，再应用基本不等式得出面积最大值，最后应用三棱锥体积公式计算求解. 【详解】 由于平面， 平面， ， 在 中，，要使 面积最大， ， 只需 ，的最大值为，的最大值为， 当趋近于时，趋近与0，此时趋近与0， 该三棱锥的体积V的取值范围是. 10. 已知某圆锥的侧面展开图是半圆，则该圆锥的体积与其外接球的体积之比为________． 【答案】 【解析】 【分析】设圆锥的底面半径为，根据圆锥的侧面展开图是半圆得圆锥母线长，利用圆锥的体积公式得圆锥的体积为；设圆锥外接球的半径为，则球心到圆锥底面的距离为，由球心到圆锥底面圆周上任意一点的距离等于半径，结合勾股定理得，展开化简得，利用球的体积公式得外接球的体积为. 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，因为圆锥的侧面展开图是半圆，所以，即，故圆锥的高为，体积为； 设圆锥外接球的半径为，则球心到圆锥底面的距离为， 由球心到圆锥底面圆周上任意一点的距离等于半径，结合勾股定理得 ，展开化简得， 故外接球的体积为， 则该圆锥的体积与其外接球的体积之比为. 11. 已知正方体的棱长为，有一个圆柱以为轴，使得正方体均在圆柱内部，则该圆柱体积的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】要使正方体在以为轴的圆柱内部，所以圆柱的高为，只有底面半径最小时，体积最小，用向量的方法计算所有顶点（除）到轴​的距离，并取最大值为圆柱的底面半径，从而可得圆柱的体积的最小值. 【详解】要使正方体在以体对角线为轴的圆柱内部， 所以正方体的所有顶点（除）到轴​的距离都不超过圆柱底面半径，圆柱的高为， 要让圆柱体积最小，需取为正方体所有顶点到的最大距离. 以点为原点，以分别为轴，建立空间直角坐标系，如图： 则，所以， 由正方体的对称性，四点到对角线的距离相等，两点到对角线的距离相等， ①，，所以到体对角线的距离为， 则. 所以四点到对角线的距离为. ②，，所以点到对角线的距离为， 则. 所以两点到对角线的距离为. 综上，，因此正方体的所有顶点（除）到轴​的距离为. 因此圆柱的底面半径最小值为， 所以圆柱的最小体积. 因此该圆柱体积的最小值为. 12. 空间中有三个点，且，在空间中任取2个不同的点，使得它们与恰好成为一个正四棱锥的五个顶点，则不同的取法有______种. 【答案】9 【解析】 【分析】分类讨论. 第一类为当为四棱锥的一个侧面时，其余两点在平面的同侧，；第二类当为四棱锥的一个对角面时，其余两点在平面的异侧. 【详解】如图所示，有两种情况： ①当为四棱锥的一个侧面时，其余两点在平面的同侧，若为底面棱有两种（平面左右两侧各一组），同理为底面棱时有各两种，故共有6种； ②当为四棱锥的一个对角面时，其余两点在平面的异侧，若为底面对角线则有一组，同理为底面对角线各有一组，故共有3种； 综上所述，共有9种. 故答案为：9 二、选择题（共4题，每题4分，满分16分） 13. 以下可以作为“直线与平面平行性质定理”的命题是（ ） A. 如果不在平面上的一条直线与这个平面上的一条直线平行，那么该直线与这个平面平行 B. 如果一条直线与一个平面平行，过这条直线的一个平面与该平面相交，那么其交线必与该直线平行 C. 如果一个平面上两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行 D. 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 【答案】B 【解析】 【详解】A选项，描述的是“直线与平面平行的判定定理”，即由线线平行推导线面平行； B选项，描述的是“直线与平面平行的性质定理”，即由线面平行推导线线平行，符合题意； C选项，描述的是“平面与平面平行的判定定理”，即由线面平行推导面面平行； D选项，描述的是“平面与平面平行的性质定理”，即由面面平行推导线线平行. 14. 设，为两个不同的平面，，为两条不同的直线，且，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】因为，，所以， 若，又，则，即“”是“”的充分条件； 若，又，所以或，故“”不是“”的必要条件， 故“”是“”的充分不必要条件. 15. 如图，在三棱锥中，，，侧面内有一点，过点作截面将三棱锥分成两个部分，使得截面平行于直线和．当点在侧面（不包括边界）内运动时，对于下列结论（ ） ①存在点使截面图形是梯形； ②对任意点，截面图形的周长的取值范围是． A. ①正确，②错误 B. ①正确，②正确 C. ①错误，②错误 D. ①错误，②正确 【答案】D 【解析】 【分析】由截面平行于直线可得，，同理可得，，进而可得截面是平行四边形，得①错误；设，得，再由平行线分线段成比例得，进而可得截面周长及范围. 【详解】结论①: 设截面分别交棱于点， 因为截面，平面，平面截面， 由线面平行的性质：得，同理，由平行公理，得； 又因为截面，平面，平面截面， 由线面平行的性质：得，同理，由平行公理，得； 因为，，所以截面一定是平行四边形，不可能为梯形，①错误； 结论②：由①知，且在侧面内（不含边界），设， 因为，所以. 因为，所以，所以. 又由①知，所以，所以， 因为，所以. 所以平行四边形截面的周长， 因为，所以，即，结论②正确. 综上①错误，②正确. 16. 如图，已知二面角的大小为，点在半平面内，且．现将射线在平面内绕点逆时针旋转形成射线，直至时停止旋转．记，，则在旋转过程中，随着的增大，（ ） A. ，也随之增大 B. 当为锐角时，先减小再增大 C. 当为直角时，先减小再增大 D. 当为钝角时，先减小再增大 【答案】B 【解析】 【分析】作出二面角的平面角，利用余弦定理用表示出，通过分析的变化情况，分析随的变化情况. 【详解】过作，垂足为， 在平面内过作的垂线，交于点. 设，因为，所以. 中，. 中，. 中， ， 当为直角时，，随的增大而增大；所以C错误； 当为锐角或钝角时，. 当为锐角时，， 所以为锐角，先从锐角增大到直角，再增大到钝角，所以先增大，后减小， 即的值先增大后减小，所以先减小再增大；所以B正确； 当为钝角时，， 所以为钝角，，所以随的增大而减小，且， 即的值随的增大而减小. 所以D错误. 综上所述，A错误. 三、解答题（共4题，满分48分） 17. 如图，在长方体中，底面是边长为2的正方形，，，分别是线段，的中点． （1）求异面直线与所成角的大小； （2）求直线与平面所成角的大小． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出向量  与  的坐标，利用向量夹角公式求解； （2） 确定平面  的法向量，利用线面角的向量公式求解． 【小问1详解】 因为  是长方体，底面  是正方形，所以  两两垂直． 以  为坐标原点， 的方向分别为  轴、 轴、 轴的正方向建立空间直角坐标系 ． 由题意可知 ，，，，，． 因为  为  的中点，所以 ． 因为  为  的中点，所以 ． 则，． 设异面直线  与  所成角为 ，则 ． 所以异面直线  与  所成角的大小为 ． 【小问2详解】 因为 ，，且 , 平面 , 所以  平面 ． 所以平面  的一个法向量为 ，取 ． 设直线  与平面  所成角为 ，则 ． 所以直线  与平面  所成角的大小为 ． 18. 已知直四棱柱，，，，，． （1）证明：直线平面； （2）若该四棱柱的体积为36，求二面角的大小． 【答案】（1）证明:根据题意可知， 注意到平面，平面， 则平面，又， 则平面平面，又直线平面， 所以直线平面； （2） 【解析】 【分析】（1）通过题意可得平面平面，可完成证明； （2）方法1，在底面内过作，垂足点为，由题可得即为所求，据此可得答案； 方法2，根据面积射影定理，可得，据此可得答案. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 设，则根据题意可得该四棱柱的体积为 ，所以， 法一：因为底面，在底面内过作，垂足点为， 则在底面内的射影为，因，又由题可得， 结合，平面，可得平面. 又平面，则，故即为所求， 在中，， 所以，所以， 又，所以， 所以二面角的大小为． 法二（面积射影定理）：，，， ，， ， 又， 根据面积射影定理，，， 从而，即二面角的大小为. 19. 直角满足，，，将沿斜边旋转一周得到一个旋转体． （1）求这个旋转体的表面积和体积； （2）求这个旋转体内切球的表面积． 【答案】（1），. （2）. 【解析】 【分析】（1）先求出两个有公共底面的圆锥的底面圆半径，再利用圆锥的侧面积公式与体积公式计算即得. （2）由对称性得内切球球心在上，设,得，利用内切球与母线AC，都相切，分别用表示内切球半径，联立求出，即得半径，进而求出球的表面积. 【小问1详解】 由，，，得，. 斜边上的高，且，. 绕旋转所得旋转体为两个共底面的圆锥组合体，底面半径，母线长分别为和. 则旋转体的表面积， 体积. 故，. 【小问2详解】 由题意知旋转体关于成轴对称，则内切球球心在上，设其半径为. 因为该球同时与两个圆锥相切，其中圆锥的高. 圆锥的高，设，则， 依题意，该球与母线相切，则， 又与母线相切，则. 由，解得，于是. 故球的表面积为. 20. 直三棱柱中，，底面的直观图如图所示，为棱的中点，为内（含边界）的一动点． （1）若 平面 ，求证四棱锥的体积为定值； （2）若在线段上，求直线与平面所成角的余弦最大值． 【答案】（1）直观图：，轴，，，还原得到：，，. 直三棱柱，，底面，是中点，. 以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，得到 ，则. 设平面的法向量， ，令，解得，即. 设，则.又平面，所以，即到平面的距离（定值）.又矩形面积,所以为定值. （2） 【解析】 【分析】(1)先由线面平行得到动点横坐标为定值，进而推出动点到侧面距离不变，利用棱锥体积公式证得体积为定值. (2)设参数表示线段上动点P，借助线面角公式转化为二次函数在闭区间上的最值问题，求出线面角余弦的最大值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设，，，， 设平面法向量 ，令，得，. 设直线与平面所成角的大小为，则, 由，得最大等价于最小，等价于二次函数最大. 开口向上，对称轴，最大值在端点处：. 所以,则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年第一学期期中考试试卷 高二数学 90分钟 满分100分 一、填空题（共12题，每题3分，满分36分） 1. 正六面体有________条棱． 2. 正方体中，平面和平面的位置关系为________； 3. 一个圆柱的底面半径为1，母线长为2，则该圆柱的侧面积是________． 4. 在四棱柱中，是平行四边形的面至少有________个． 5. 设，，与垂直，则等于________ 6. 底面是正六边形的六棱锥中，底面，且，则点到直线的距离是________． 7. 在如图所示的正八面体中，棱与所在直线的夹角为________． 8. 正四棱台的上、下底面边长分别为2，3，侧棱长为，则棱台的侧面积为________． 9. 三棱锥满足：，，，，则该三棱锥的体积的取值范围是________． 10. 已知某圆锥的侧面展开图是半圆，则该圆锥的体积与其外接球的体积之比为________． 11. 已知正方体的棱长为，有一个圆柱以为轴，使得正方体均在圆柱内部，则该圆柱体积的最小值为________． 12. 空间中有三个点，且，在空间中任取2个不同的点，使得它们与恰好成为一个正四棱锥的五个顶点，则不同的取法有______种. 二、选择题（共4题，每题4分，满分16分） 13. 以下可以作为“直线与平面平行性质定理”的命题是（ ） A. 如果不在平面上的一条直线与这个平面上的一条直线平行，那么该直线与这个平面平行 B. 如果一条直线与一个平面平行，过这条直线的一个平面与该平面相交，那么其交线必与该直线平行 C. 如果一个平面上两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行 D. 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 14. 设，为两个不同的平面，，为两条不同的直线，且，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 15. 如图，在三棱锥中，，，侧面内有一点，过点作截面将三棱锥分成两个部分，使得截面平行于直线和．当点在侧面（不包括边界）内运动时，对于下列结论（ ） ①存在点使截面图形是梯形； ②对任意点，截面图形的周长的取值范围是． A. ①正确，②错误 B. ①正确，②正确 C. ①错误，②错误 D. ①错误，②正确 16. 如图，已知二面角的大小为，点在半平面内，且．现将射线在平面内绕点逆时针旋转形成射线，直至时停止旋转．记，，则在旋转过程中，随着的增大，（ ） A. ，也随之增大 B. 当为锐角时，先减小再增大 C. 当为直角时，先减小再增大 D. 当为钝角时，先减小再增大 三、解答题（共4题，满分48分） 17. 如图，在长方体中，底面是边长为2的正方形，，，分别是线段，的中点． （1）求异面直线与所成角的大小； （2）求直线与平面所成角的大小． 18. 已知直四棱柱，，，，，． （1）证明：直线平面； （2）若该四棱柱的体积为36，求二面角的大小． 19. 直角满足，，，将沿斜边旋转一周得到一个旋转体． （1）求这个旋转体的表面积和体积； （2）求这个旋转体内切球的表面积． 20. 直三棱柱中，，底面的直观图如图所示，为棱的中点，为内（含边界）的一动点． （1）若 平面 ，求证四棱锥的体积为定值； （2）若在线段上，求直线与平面所成角的余弦最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $