专题19 奇偶性周期性与抽象函数讲义-2027届高三数学一轮复习

专题19 一轮复习函数性质突围·奇偶性周期性与抽象函数（期末专项） 【人教A版必修第一册】 【知识导航】 本专题是一轮复习微专题，范围限人教A版必修第一册 3．1、3．2、4．2、4．4、5．4．2；不引入导数，也不使用必修一以外的定理．题中抽象函数满足的关系式均由题目逐条给出，结论只由这些条件与教材定义推导． 知识点1　奇函数与偶函数（人教A版必修第一册 3．2．2） 设函数 的定义域关于原点对称．若对定义域内任意一个 都有 ，则 是偶函数，其图象关于 轴对称；若都有 ，则 是奇函数，其图象关于原点对称． 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件；判断奇偶性先看定义域，再算 ．若 是定义在 上的奇函数且 在定义域内，由 得 ． 知识点2　单调性与奇偶性的配合（3．2．1、3．2．2） 由 可把负半轴上的自变量化到正半轴：对任意 ，偶函数有 ，奇函数有 ；合并可写成偶函数 （ 为定义域内任意实数）．因此已知 上的取值与单调性，就能比较任意两个自变量的函数值大小． 知识点3　周期函数（5．4．2） 设函数 的定义域为 ，如果存在一个非零常数 ，使得对每一个 都有 且 ，那么 叫做周期函数，非零常数 叫做它的一个周期．如果在所有周期中存在最小的正数，这个最小正数叫做最小正周期．正弦函数、余弦函数的最小正周期都是 ． 由定义可直接验证：若 是 的周期，则对任意整数 ，；故求远处函数值时，先把自变量加减若干个周期化到已知区间内． 知识点4　由给定关系式推出周期（教材定义的直接应用） 若题设给出「对定义域内每个 都有 」，则再用一次条件得 ，按知识点3 的定义， 是 的一个周期．这一结论是题设条件下的推导，不是教材另列的公式． 知识点5　一轮复习的解题顺序（3．1、3．2、5．4．2） 遇到抽象函数，先在给定关系式中令 取特殊值（、、 等）求出关键函数值；再用定义判断奇偶性、用周期把远处自变量化回已知区间；最后结合单调性比较大小或解不等式．每一步都要写清所用的是哪一条题设条件． 【考点与教材出处对照】 1．奇偶性定义与定义域——3．2．2；2．奇偶性与图象对称——3．2．2；3．单调性配合奇偶性比较大小——3．2．1、3．2．2；4．周期函数定义与最小正周期——5．4．2；5．抽象函数特殊值法——3．1．1、3．2．2 的综合应用． 【易错清单】 1．先看定义域：定义域不关于原点对称时，不论解析式多「对称」都是非奇非偶函数． 2． 有条件：只有奇函数且 属于定义域时才成立；偶函数在 处的函数值可以不为零． 3．周期不唯一： 是周期时 （）也是周期；周期函数未必有最小正周期． 4．别把「」当周期： 说明 不是周期（除非 ），要用两次才得到 是周期． 5．不等式方向：由单调性脱去函数符号时，务必确认所用区间上确实是增函数还是减函数；奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数相反． 6．本章边界：全部推导只用函数定义、奇偶性、周期性与单调性；不使用导数，也不使用后续章节的公式． 【类型1　奇偶性的判定与定义域】 1．判断下列函数的奇偶性：(1) ；(2) ． 【答案】(1) 奇函数；(2) 偶函数． 【分析】先看定义域是否关于原点对称，再计算 ． 【详解】(1) 定义域为 ，关于原点对称；，故为奇函数． (2) 定义域为 ；，故为偶函数． 2．判断函数 （）的奇偶性，并说明理由． 【答案】非奇非偶函数． 【分析】先检查定义域是否关于原点对称． 【详解】定义域为 ，取 属于定义域，但 ，故定义域不关于原点对称． 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件，因此 既不是奇函数也不是偶函数． 3．判断下列函数的奇偶性：(1) ；(2) ． 【答案】(1) 偶函数；(2) 奇函数． 【分析】注意 的定义域不含 ，但仍关于原点对称． 【详解】(1) 定义域 ，，是偶函数． (2) 定义域为 ，关于原点对称；，是奇函数． 4．下列函数中，是奇函数的是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】B 【分析】逐个算 与 比较． 【详解】 满足 ，是奇函数；、 是偶函数， 非奇非偶，选 B． 5．若函数 （ 为常数）是偶函数，则 ____________． 【答案】 【分析】偶函数要求 对一切 成立，比较一次项系数． 【详解】，令 对一切 成立，得 恒成立，故 ． **【方法小结】**判断奇偶性的固定顺序：先看定义域是否关于原点对称，再算 与 、 比较；解析式里含参数时用恒等式比较系数． 【类型2　奇偶性求参数与求解析式】 6．已知 是定义在 上的奇函数，当 时 ．求 时 的解析式． 【答案】（）． 【分析】设 ，则 ，先用已知段写出 ，再用奇函数定义． 【详解】设 ，则 ，由已知 ． 由奇函数定义 ． 7．已知 是偶函数，求 的值，并求 ． 【答案】，． 【分析】偶函数要求奇次项系数为零． 【详解】由 对一切 成立，得 恒成立，故 ． 此时 ，故 ． 8．设 是定义在 上的奇函数，当 时 ．求 与 ． 【答案】，． 【分析】 在定义域内时奇函数必有 ；负半轴用 ． 【详解】由 ，与奇函数在 处的性质一致． ，由奇函数定义 ． 9．已知 是奇函数，当 时 ，则 （　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】D 【分析】先算 ，再用 ． 【详解】，故 ，选 D． 10．若函数 是偶函数，则 （　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】A 【分析】偶函数的奇次项系数必须为零． 【详解】由 得 对一切 成立，故 ，选 A． 11．设 是定义在 上的奇函数，且 ，则 ____________． 【答案】 【分析】直接用奇函数定义． 【详解】由 ． **【方法小结】**已知一半区间求另一半解析式：设 落在未知段，把 送到已知段，再用 回代；含参数时用恒等式比较系数． 【类型3　奇偶性与单调性的综合】 12．已知 是偶函数，且在 上单调递增．比较 、、 的大小，并解不等式 ． 【答案】；解集为 ． 【分析】用 把自变量化为非负数，再用单调性脱去函数符号． 【详解】由偶函数性质 ，于是比较 ；因 在 递增，得 ． 由偶函数性质 ，不等式化为 ；由递增得 ，即 ． 13．已知 是定义在 上的奇函数，且在 上单调递增．解不等式 ． 【答案】． 【分析】移项后用奇函数定义合并，再由单调性脱去函数符号． 【详解】原不等式化为 ． 由 在 上递增得 ，即 ，故 ． 14．已知 是偶函数，当 时 ．求 时 的解析式，并写出 的单调区间． 【答案】（）；递减区间 ，递增区间 ． 【分析】先求正半轴解析式，再分别按两段二次函数的对称轴判断单调性． 【详解】设 ，则 ，；由偶函数定义 ． 当 时 ，对称轴 ，故在 上单调递减． 当 时 ，对称轴 ，故在 上单调递增． 两段在 处函数值都为 ，故递减区间为 ，递增区间为 ． 15．设 是偶函数，在 上单调递增，则（　　） A．　　B． C．　　D． 【答案】C 【分析】偶函数在 上与 上单调性相反． 【详解】由偶函数性质， 在 上单调递减，且 ． 比较 ：由递减得 ，即 ，选 C． 16．已知 是定义在 上的奇函数，在 上单调递增，且 ，则 的解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别在 、 两段上用单调性， 单独处理． 【详解】由奇函数得 ，；奇函数在 与 上的单调性相同，故 在 上也单调递增． 当 时，，由 上递增得 ；当 时，，由 上递增得 ． 又 不满足 ，故解集为 ，选 B． 17．已知 是定义在 上的偶函数，下列说法正确的是（　　） A． 对一切 成立 B． 对一切 成立 C．若 在 上递增，则在 上递减 D．一定有 【答案】ABC 【分析】逐项用偶函数定义与图象对称性判断． 【详解】A 是偶函数定义，正确；B：当 时 ，当 时 ，正确． C：偶函数图象关于 轴对称，两侧单调性相反，正确． D：偶函数在 处的函数值不必为零（如 ），错误． 所以正确选项为 ABC． 18．已知偶函数 在 上单调递减，且 ，则不等式 的解集是____________． 【答案】 【分析】用 化到非负半轴，再由递减脱函数符号． 【详解】由 及 上递减得 ，故解集为 ． **【方法小结】**奇偶性把「负」化「正」，单调性负责脱去函数符号；解不等式时先化为 或利用 合并，再比较自变量． 【类型4　周期性与由条件推出周期】 19．设 是定义在 上的函数，且 对一切 成立，．求 与 ． 【答案】，． 【分析】由定义知 是周期，加减若干个周期化到已知点． 【详解】由 知 是 的一个周期，故 （）． ；，故 ． 20．设 定义在 上，对一切 有 ，且 ．(1) 说明 是 的一个周期；(2) 求 ． 【答案】(1) ；(2) ． 【分析】把给定关系式连续用两次即得周期，再化到已知自变量． 【详解】(1) 由条件 ，按周期函数定义， 是 的一个周期． (2) 直接算：，（也可由周期 得 ）． 21．设 是周期为 的函数，当 时 ．求 与 ． 【答案】，． 【分析】把自变量加减 的整数倍化到 内再代入． 【详解】，故 ． ，故 ． 22．设 对一切 成立，且 ，则 （　　） A．　　B．　　C．无法确定　　D． 【答案】D 【分析】，加减三个周期． 【详解】由周期 得 ，选 D． 23．设 定义在 上且对一切 有 ，则 的一个周期是____________． 【答案】 【分析】把条件连续用两次：． 【详解】由 ，按周期函数定义， 是它的一个周期． **【方法小结】**求周期函数值的核心动作：把自变量加减周期的整数倍化到已知区间；遇到 要连用两次才得到周期 ， 本身不是周期． 【类型5　抽象函数综合（条件由题目自给）】 24．设 定义在 上，对任意实数 都有 ，且 ．(1) 求 ；(2) 证明 是奇函数；(3) 求 ． 【答案】(1) ；(2) 证明见详解；(3) ． 【分析】分别令 、，再用条件递推求值． 【详解】(1) 令 得 ，故 ． (2) 令 得 ，即 ，定义域 关于原点对称，故 是奇函数． (3) ，，由奇函数得 ． 25．设 是定义在 上的偶函数，且 ；当 时 ．求 ． 【答案】． 【分析】先用周期把 化回，再用偶函数把负半轴化到 ． 【详解】由周期 ，． 由偶函数 ，而 ，故 ． 26．设 是定义在 上的奇函数，且对一切 有 ，．求 ． 【答案】． 【分析】由条件推出周期 ，或逐次代入反号关系． 【详解】由 知 是周期，故 ． 又 ，所以 ． 27．已知 是定义在 上周期为 的奇函数，且 ，则 （　　） A．　　B．　　C．　　D．无法确定 【答案】C 【分析】先用周期把 化到 ，再用 与奇函数． 【详解】由周期 ，． 由奇函数 ，选 C． 28．设 是定义在 上的奇函数，且对一切 有 ，下列说法正确的是（　　） A． B． 是 的一个周期 C． 对一切 成立 D． 一定是 的最小正周期 【答案】ABC 【分析】逐项由奇函数定义与题设反号关系推导． 【详解】A： 在定义域内，奇函数必有 ，正确． B：，故 是周期，正确． C：，正确． D： 一般不是周期（ 与 不同），更不能断定是最小正周期，错误． 所以正确选项为 ABC． 29．设 是定义在 上周期为 的奇函数，且 ，则 ____________． 【答案】 【分析】用周期把 化成 ，再用奇函数． 【详解】． **【方法小结】**抽象函数题只从题目给出的关系式出发：特殊值求关键点、定义判奇偶、周期化远为近；每一步都要注明用了哪条条件，不引入题设之外的结论． 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题19 一轮复习函数性质突围·奇偶性周期性与抽象函数（期末专项） 【人教A版必修第一册】 【知识导航】 本专题是一轮复习微专题，范围限人教A版必修第一册 3．1、3．2、4．2、4．4、5．4．2；不引入导数，也不使用必修一以外的定理．题中抽象函数满足的关系式均由题目逐条给出，结论只由这些条件与教材定义推导． 知识点1　奇函数与偶函数（人教A版必修第一册 3．2．2） 设函数 的定义域关于原点对称．若对定义域内任意一个 都有 ，则 是偶函数，其图象关于 轴对称；若都有 ，则 是奇函数，其图象关于原点对称． 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件；判断奇偶性先看定义域，再算 ．若 是定义在 上的奇函数且 在定义域内，由 得 ． 知识点2　单调性与奇偶性的配合（3．2．1、3．2．2） 由 可把负半轴上的自变量化到正半轴：对任意 ，偶函数有 ，奇函数有 ；合并可写成偶函数 （ 为定义域内任意实数）．因此已知 上的取值与单调性，就能比较任意两个自变量的函数值大小． 知识点3　周期函数（5．4．2） 设函数 的定义域为 ，如果存在一个非零常数 ，使得对每一个 都有 且 ，那么 叫做周期函数，非零常数 叫做它的一个周期．如果在所有周期中存在最小的正数，这个最小正数叫做最小正周期．正弦函数、余弦函数的最小正周期都是 ． 由定义可直接验证：若 是 的周期，则对任意整数 ，；故求远处函数值时，先把自变量加减若干个周期化到已知区间内． 知识点4　由给定关系式推出周期（教材定义的直接应用） 若题设给出「对定义域内每个 都有 」，则再用一次条件得 ，按知识点3 的定义， 是 的一个周期．这一结论是题设条件下的推导，不是教材另列的公式． 知识点5　一轮复习的解题顺序（3．1、3．2、5．4．2） 遇到抽象函数，先在给定关系式中令 取特殊值（、、 等）求出关键函数值；再用定义判断奇偶性、用周期把远处自变量化回已知区间；最后结合单调性比较大小或解不等式．每一步都要写清所用的是哪一条题设条件． 【考点与教材出处对照】 1．奇偶性定义与定义域——3．2．2；2．奇偶性与图象对称——3．2．2；3．单调性配合奇偶性比较大小——3．2．1、3．2．2；4．周期函数定义与最小正周期——5．4．2；5．抽象函数特殊值法——3．1．1、3．2．2 的综合应用． 【易错清单】 1．先看定义域：定义域不关于原点对称时，不论解析式多「对称」都是非奇非偶函数． 2． 有条件：只有奇函数且 属于定义域时才成立；偶函数在 处的函数值可以不为零． 3．周期不唯一： 是周期时 （）也是周期；周期函数未必有最小正周期． 4．别把「」当周期： 说明 不是周期（除非 ），要用两次才得到 是周期． 5．不等式方向：由单调性脱去函数符号时，务必确认所用区间上确实是增函数还是减函数；奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数相反． 6．本章边界：全部推导只用函数定义、奇偶性、周期性与单调性；不使用导数，也不使用后续章节的公式． 【类型1　奇偶性的判定与定义域】 1．判断下列函数的奇偶性：(1) ；(2) ． 2．判断函数 （）的奇偶性，并说明理由． 3．判断下列函数的奇偶性：(1) ；(2) ． 4．下列函数中，是奇函数的是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 5．若函数 （ 为常数）是偶函数，则 ____________． 【类型2　奇偶性求参数与求解析式】 6．已知 是定义在 上的奇函数，当 时 ．求 时 的解析式． 7．已知 是偶函数，求 的值，并求 ． 8．设 是定义在 上的奇函数，当 时 ．求 与 ． 9．已知 是奇函数，当 时 ，则 （　　） A．　　B．　　C．　　D． 10．若函数 是偶函数，则 （　　） A．　　B．　　C．　　D． 11．设 是定义在 上的奇函数，且 ，则 ____________． 【类型3　奇偶性与单调性的综合】 12．已知 是偶函数，且在 上单调递增．比较 、、 的大小，并解不等式 ． 13．已知 是定义在 上的奇函数，且在 上单调递增．解不等式 ． 14．已知 是偶函数，当 时 ．求 时 的解析式，并写出 的单调区间． 15．设 是偶函数，在 上单调递增，则（　　） A．　　B． C．　　D． 16．已知 是定义在 上的奇函数，在 上单调递增，且 ，则 的解集是（　　） A． B． C． D． 17．已知 是定义在 上的偶函数，下列说法正确的是（　　） A． 对一切 成立 B． 对一切 成立 C．若 在 上递增，则在 上递减 D．一定有 18．已知偶函数 在 上单调递减，且 ，则不等式 的解集是____________． 【类型4　周期性与由条件推出周期】 19．设 是定义在 上的函数，且 对一切 成立，．求 与 ． 20．设 定义在 上，对一切 有 ，且 ．(1) 说明 是 的一个周期；(2) 求 ． 21．设 是周期为 的函数，当 时 ．求 与 ． 22．设 对一切 成立，且 ，则 （　　） A．　　B．　　C．无法确定　　D． 23．设 定义在 上且对一切 有 ，则 的一个周期是____________． 【类型5　抽象函数综合（条件由题目自给）】 24．设 定义在 上，对任意实数 都有 ，且 ．(1) 求 ；(2) 证明 是奇函数；(3) 求 ． 25．设 是定义在 上的偶函数，且 ；当 时 ．求 ． 26．设 是定义在 上的奇函数，且对一切 有 ，．求 ． 27．已知 是定义在 上周期为 的奇函数，且 ，则 （　　） A．　　B．　　C．　　D．无法确定 28．设 是定义在 上的奇函数，且对一切 有 ，下列说法正确的是（　　） A． B． 是 的一个周期 C． 对一切 成立 D． 一定是 的最小正周期 29．设 是定义在 上周期为 的奇函数，且 ，则 ____________． 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $