函数与导数：函数的单调性与奇偶性综合问题、抽象函数的性质综合问题复习讲义-2027届高三数学一轮复习

2027届高三数学一轮复习讲义 函数与导数：函数的单调性与奇偶性综合问题、抽象函数的性质综合问题复习讲义 考点目录 函数的单调性与奇偶性综合问题 抽象函数的性质综合问题 考点一 函数的单调性与奇偶性综合问题 【知识点解析】 一、核心逻辑 奇偶性负责区间对称转化，单调性负责大小关系推导。二者结合可以解决跨区间的函数值比较、不等式求解问题，本质是将未知区间的问题，转化到已知单调性的区间上求解。 二、常见题型与解法 1. 比较函数值大小 · 题型特征：已知函数在某一区间的单调性，结合奇偶性，比较多个自变量对应的函数值大小。 · 解题步骤： ① 利用奇偶性，将所有自变量转化到同一个单调区间（通常统一到正半轴）； ② 在该单调区间内，比较自变量的绝对值大小； ③ 根据单调性，由自变量的大小关系推出函数值的大小关系。 · 偶函数技巧：利用 ，直接将所有自变量转化为绝对值形式再比较，避免分类讨论。 2. 解函数不等式（最高频考点） · 核心思想：利用单调性脱去函数符号 ，将抽象函数不等式转化为普通代数不等式，必须同步考虑定义域约束与奇偶性转化。 · 分类解法： · 奇函数型：先通过 移项变形，将不等式化为 的标准形式，再结合单调性脱去 ： · 函数递增： · 函数递减： · 偶函数型（优先推荐）：利用 ，将不等式统一为 ，再结合单调性脱去 ，转化为绝对值不等式，无需分正负讨论。 · 必加约束：所有括号内的自变量，都必须在函数的定义域内。 3. 求参数的取值范围 · 题型特征：已知含参函数的奇偶性与单调性，满足函数不等式恒成立，求参数取值范围。 · 解法： ① 利用奇偶性+单调性，将不等式转化为不含 的代数不等式； ② 通过分离参数、解不等式组，得到参数的取值范围； ③ 验证端点值与定义域边界。 4. 求对称区间的函数解析式 · 题型特征：已知 （或 ）时的解析式，结合奇偶性，求另一半区间的解析式。 · 解题步骤： ① 设 在目标区间（如 ），则 在已知区间（）； ② 将 代入已知解析式，得到 的表达式； ③ 利用奇偶性转化：奇函数 ，偶函数 ，得到目标区间的解析式； ④ 补充边界：奇函数在 处有定义时，必有 。 三、通用解题思路 1. 先确定定义域，所有运算不能超出定义域范围； 1. 用奇偶性将自变量转化到已知单调性的区间； 1. 用单调性脱去函数符号，转化为普通不等式或大小比较； 1. 求解结果，验证边界与定义域。 【例题分析】 例1．（26-27高三上·江苏南通·开学考试）已知函数，不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据函数奇偶性的定义得为奇函数，利用函数单调性的性质得函数在上单调递增，进而结合奇函数性质利用单调性求解不等式即得. 【详解】的定义域为，因为，所以是奇函数． 因为，所以在上单调递增， 由，可得，即． 因为在上单调递增，所以，解得， 故不等式的解集为． 例2．（2026·云南昆明·模拟预测）已知是定义在上的奇函数，且在上单调递减，，则的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由和是定义在上的奇函数，得到，且，由在上单调递减得到在上单调递减，由得到或，分别按照这两种情况结合单调性和奇函数讨论求解. 【详解】因为，是定义在上的奇函数， 所以，且， 因为在上单调递减， 所以在上单调递减， 因为， 所以或， 当时， 因为，， 所以， 因为，且在单调递减， 所以，即， 又，则. 当时， 因为，所以两部分讨论： 当时，即当时， 因为在单调递减，， 所以，即， 当时，即当时， 因为在单调递减，， 所以，即，与矛盾，舍去， 当时，即当时， ，不满足，所以. 综上，解集为. 例3．（26-27高三上·四川眉山·阶段检测）已知偶函数的定义域为，且在上是增函数，若，则不等式的解集是______. 【答案】 【分析】利用偶函数的性质得到在上的单调性和，再将乘积大于0的不等式转化为两个同号不等式组，结合的正负区间求解解集. 【详解】 因为是定义域为的偶函数，且在上单调递增， 所以在上单调递减，且，先分析的正负分布： 当时，；当时，； 当时，；当时，. 不等式等价于以下两个不等式组： ，即，解得； ，即，解得. 综上，原不等式的解集为. 例4．（26-27高三上·安徽蚌埠·开学考试）已知连续函数是定义在上的奇函数.当时，，则不等式的解集为______. 【答案】 【分析】构造函数，利用函数性质将原不等式转化为，结合的单调性即可得解. 【详解】当时，， 则， 令，， 当时，， 所以函数在上单调递增， 因为函数是定义在上的奇函数， 所以， 即是上的偶函数， 所以函数在上单调递减，又， 不等式， 即， 即，所以， 由解得， 所以由，即，解得， 综上，所以不等式的解集为. 例5．（26-27高三上·重庆九龙坡·开学考试）已知函数． (1)证明函数的奇偶性，并指出函数的单调性（不需证明）； (2)若，求取值范围． 【答案】(1)由，得，所以定义域为，对，且，所以是奇函数. 在定义域内单调递增，理由如下： 因为在单调递增，是增函数， 所以在单调递增； 因为在单调递减，是减函数， 所以在单调递增； 所以在单调递增. (2) 【分析】（1）根据奇偶性的定义证明函数是奇函数；根据复合函数单调性判断是增函数； （2）根据函数的奇偶性变形后利用单调性和定义域列不等式组求解. 【详解】（1）略 （2）因为是奇函数，所以由得， 又是定义在的增函数， 所以，解得， 所以的取值范围是. 【变式训练】 变式1．（26-27高三上·广西贺州·开学考试）定义在上的函数对任意，（），都有，且关于中心对称，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题目的已知条件可以推出函数在R上单调递减且为奇函数，结合单调性和奇偶性可以将转换为，然后推出的取值范围，最后求出的取值范围. 【详解】对任意，（），都有，所以函数是上的减函数．函数的图象向左平移一个单位变成函数的图象， 因为函数关于中心对称，所以函数关于对称，即是奇函数． 由, ，，由， 因为，由． 变式2．（26-27高三上·云南昭通·阶段检测）已知定义在上的连续函数，其导函数为，若．且当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造函数，分析出该函数为偶函数，结合导数可知函数在上为减函数，将所求不等式变形为，结合函数的单调性与奇偶性可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】构造函数，该函数的定义域为，且函数在上连续， 则， 故函数为偶函数， 当时，，所以函数在上为减函数， 由可得， 即，可得，所以，则， 整理可得，解得， 所以不等式的解集为. 变式3．（26-27高三上·广东深圳·阶段检测）已知函数，则不等式的解集为__________． 【答案】 【分析】先判断出函数是上的奇函数，再利用导数和基本不等式判断出函数在上单调递增，由此将所求不等式转化为，求解即可. 【详解】因为， 所以， 所以函数是上的奇函数， 又因为， 其中,当且仅当，即时等号成立， 又因为, 因为两处等号不能同时成立， 所以， 所以函数在上单调递增， 所以不等式，即为， 即，， 解得， 所以不等式的解集为. 变式4．（2026·吉林长春·三模）已知函数及其导数的定义域都是，若函数是偶函数，函数也是偶函数，则不等式的解集是__________. 【答案】 【分析】根据函数奇偶性以及导函数性质可得，再求导并利用基本不等式可判断的单调性，解不等式可得结果. 【详解】由题意知，两边同时求导，即是奇函数， 又是偶函数， 则， 可得， 令， 可得， 易知，当且仅当时等号成立； 即函数在上单调递减，又是奇函数，可得， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 因为函数是偶函数，则， 可知不等式等价于，即， 即，即可得，解得， 则不等式的解集是. 变式5．（26-27高三上·吉林长春·阶段检测）已知函数是定义在上的函数，且是奇函数，是偶函数． (1)求的解析式； (2)解关于的不等式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据奇偶性的定义由是奇函数可得，再由是偶函数即可求解； （2）求导得到函数在上单调递增，再结合奇偶性及单调性解不等式即可. 【详解】（1）由题意得是奇函数，则，即， 又是偶函数，则， 即，则. （2）由（1）知，，且， 则，当且仅当时等号成立， 则函数在上单调递增， 由，得， 则，即，则，解得， 则不等式的解集为. 考点二 抽象函数的性质综合问题 【知识点解析】 一、核心本质 抽象函数是没有给出具体解析式，仅通过函数方程描述对应关系的函数。解题核心是赋值法，通过代入特殊值推导特殊点函数值、奇偶性、单调性，再利用性质解决问题。 二、核心方法：赋值法 常用赋值技巧 1. 求特殊点函数值： · 求 ：令 、，或令 ； · 求 / ：令 、，或 、。 1. 判断奇偶性：令 ，得到 与 的关系，结合 的值下结论。 1. 判断单调性：设 ，令 ，（或 ），构造 ，结合函数方程变形，判断差的符号。 四类经典抽象函数模型 函数方程形式 对应原型函数 核心性质 正比例函数 ，奇函数； 递增， 递减 指数函数 ， 恒成立； 递增 对数函数 定义域 ，； 递增 幂函数 ，奇偶性由指数决定 注意：模型仅用于辅助理解，答题时不能直接套用原型函数的结论，必须通过赋值法证明。 三、常见题型与解法 1. 判断/证明奇偶性、单调性 · 奇偶性证明：先说明定义域关于原点对称，再赋值 ，推导 与 的关系，下结论。 · 单调性证明：严格用定义法，设 ，结合函数方程将 变形为可判断符号的形式，确定符号后下结论。 2. 解抽象函数不等式 · 解题步骤： ① 利用奇偶性，将不等式化为 的统一形式（ 为 或 ）； ② 利用单调性脱去函数符号 ，转化为普通不等式； ③ 结合函数的定义域，列出完整的不等式组； ④ 求解不等式组，得到解集。 3. 求函数值与解析式 · 求函数值：反复代入特殊值，结合奇偶性、周期性，将目标值转化为已知函数值的点。 · 求解析式：多通过换元法、赋值法推导，通常仅能求特定点或特定区间的表达式。 4. 恒成立与最值问题 · 抽象函数的最值通常由单调性推导：闭区间上的单调函数，最值一定在区间端点取得。 · 恒成立问题转化为函数最值问题，结合单调性求出最值，再解参数不等式。 四、通用解题思路 1. 先赋值：求 、 等特殊点函数值，判断奇偶性； 1. 再判单调：用定义法结合函数方程，推导函数的单调性； 1. 后解问题：利用性质转化为普通代数问题，全程注意定义域； 1. 验证边界：代入特殊值检验结果的合理性。 【例题分析】 例1．（2026·江苏南京·三模）已知定义在上的非常数函数满足：对于任意都有：，.下列选项正确的是（    ） A．是奇函数 B．是偶函数 C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件赋值，根据指数型函数方程的结构，通过换元，再结合非常数函数的条件，推出，即可判断四个选项. 【详解】解：令，则， 则，解得或， 因为，所以， 化简得，设，则， 当时，，令，则， 即，即为常数函数，与已知矛盾，因此，，选项错误； 因为，所以，结合，可得， 所以，则，因此，， 所以既不是奇函数，也不是偶函数，选项和选项错误， 此时，选项正确， 例2．（25-26高三下·河北衡水·阶段检测）已知定义域为R的函数满足，且为奇函数，则一定有（  ） A．6为的一个周期 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题目所给条件分析函数对称性与奇偶性。首先由得出函数关于直线轴对称，再由为奇函数还原的对称性，可令，得函数关于点中心对称，结合同时满足轴对称和中心对称的函数为周期函数推出函数的周期，利用周期性求值 【详解】因为，将代入得， 所以，故关于直线对称， 又因为为奇函数，所以， 令，则，代入得，即， 将代入得，即， 所以关于点中心对称， 将代入得， 又，故， 令，则，再将代入得，即， 将代入得， 又，所以，的周期为8，故A错， 设，依题意为奇函数，所以 又对称轴为，所以，无法推出，故B错，C对， 因为，所以，同理，一直到， 所以一个周期内和为，，故总和为， 举反例如下，令满足题意，但，故D错. 例3．（25-26高三下·浙江宁波·阶段检测·多选）已知函数的定义域为，，，则（    ） A． B． C．为偶函数 D．为奇函数 【答案】BC 【分析】根据给定条件，利用赋值法，结合奇偶函数的定义性质逐项判断即得. 【详解】对于A，令，则，解得或，A错误； 对于B，令，得，则， 令，得，则，因此，B正确； 对于C，依题意，， 则，对，取， 得，又，则，即，为偶函数，C正确； 对于D，由或，得，因此不为奇函数，D错误. 例4．（2026·广东江门·二模·多选）若函数的定义域为，，且，，，则（   ） A． B．， C．为奇函数 D．当时， 【答案】ACD 【分析】对于A，由条件恒等式取可求即可判断，对于B，由条件恒等式取可得，再取即可判断，对于C，由条件恒等式取可得，由此证明，结合奇函数定义即可判断，对于D，结合选项C推出，由此判断D. 【详解】对于A，令，得，A正确． 对于B，令，，得，因为， 所以，令，得， 即存在使得，B错误． 对于C，令，得，用替换可得， 所以， 当时，，又因为， 所以为奇函数，设， 则， 所以为奇函数，C正确． 对于D，因为， 由选项C知，同理，又为奇函数， 所以， 用替换，替换可得， 同理可得， 故当时，，D正确． 例5．（2026·四川成都·模拟预测）已知是定义在上的不恒为零的函数，且， ①若对任意，总有，则是奇函数； ②若对任意，总有，则是偶函数； ③若对任意，总有，则； ④若对任意，总有，则； 则上述说法正确的是______________.（填写序号） 【答案】①③④ 【分析】采用赋值法，对进行合适的赋值可推导函数值或之间的关系，进而确定各选项正误. 【详解】对于①，令得：；令得：，； 令得：，； 令得：，是奇函数，①正确； 对于②，令得：； 令得：， 是奇函数，②错误； 对于③，由①知：， 令，得：，又， ，③正确； 对于④，由②知：；令得：； 令，得：，； 令得：； 令，得：，； 令，得：，，④正确. 故答案为：①③④. 【变式训练】 变式1．（25-26高三上·山西临汾·期末）定义在上的函数不恒为0，对任意均有，且.则下列说法正确的是（   ） A． B．周期为4 C． D．为奇函数 【答案】B 【分析】对于选项A，令，代入恒等式解出或，经验证答案为；对于选项B，令，代入恒等式解出，用代替，则，再用代替，则，由此得到函数周期为4；对于选项C，由函数周期为4得出，再通过赋值法得到即可；对于选项D，令，代入恒等式得出，为偶函数. 【详解】对于选项A，令，则， 整理得， 解得或； 若，令，则， 即，这与函数不恒为0矛盾， 所以，选项A错误； 对于选项B，令， 则， 所以； 用代替，则， 再用代替，则； 所以函数周期为4，选项B正确； 对于选项C，因为函数周期为4， 所以， 令，则，即， 因为， 所以，所以，选项C错误； 对于选项D，令，则， 即， 因为，所以，即， 为偶函数，选项D错误. 故选：B 变式2．（25-26高三上·福建龙岩·期中）已知函数对任意的，，都有，且当时，，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先判断函数是奇函数，然后判断该函数是减函数，进而根据奇偶性对不等式进行化简，最后根据单调性求解不等式的解集. 【详解】令，则，所以. 令，则，所以. 所以函数为奇函数. 设，且，则. 由题意知，当时，，所以. 因为，所以有. 即，所以在上是减函数. 不等式， 根据单调性可得， 化简得， 解得. 故选：C. 变式3．（2026·河南南阳·模拟预测·多选）已知函数满足，，则（   ） A． B． C．为偶函数 D． 【答案】ACD 【分析】对于A：令后计算即可判断；对于B：令后计算即可判断；对于C：令和，后计算即可判断；对于D：令，，用替换为，化简后得，可判断. 【详解】对于A：令，则， 又，所以，故A正确； 对于B：令，则， 即，所以，故B错误； 对于C：令，则， 令，则， 所以，则为偶函数，C正确； 对于D：令，则， 即， 将上式中的替换为，得， 上述两式消去，得， 即，D正确. 故选：ACD 变式4．（25-26高三上·江西宜春·期末·多选）若定义域为R的奇函数满足，且时，则（    ） A． B．当时， C．至少有3个实根 D．在区间上不可能单调 【答案】ACD 【分析】取并结合奇函数性质可判断A；当时，用代入已知关系式，结合奇函数性质可推导出新的关系式，进而判断B；利用新关系式寻找特殊点使得函数值为0，结合奇函数性质可判断C；通过计算区间内多个点的函数值并比较大小，可判断D. 【详解】在中取得，所以，故A正确； 当时，，所以，即，所以，故B错误； 因为是定义域为的奇函数，所以，当时，令，得，把代入中得，所以0，又，所以至少有3个实根，故C正确； 由，得，即，因为，且， 由于 且 ，所以函数在区间上不单调，故D正确. 故选：ACD. 变式5．（2026·河南郑州·模拟预测）已知函数的定义域为，若，且，则__________. 【答案】 【分析】通过赋值法解出，由解出；进而求出，再证明函数为偶函数，进而证出，结合偶函数得出函数周期，求出最后求解即可. 【详解】令，得， 再令，得， 所以，因为，所以， 令，得， 所以，即， 若，则代入中，， 由，所以，即，且， 令，得， 由，，所以， 所以为偶函数，所以，， 令，得， 所以，即， 因为，所以， 所以为周期函数，周期为4， 所以， ， 所以 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：该题刚开始的关键是通过赋值法求得的值，这也是抽象函数求函数值的常用方法，另一个关键点是从所求出发：求多个函数值和，联想到这种类型的求和大概两种：一种转化成某个数列求和，另一种利用周期性求和，所以接下来的关键就是借助奇偶性求函数的周期. 2 学科网（北京）股份有限公司 $2027届高三数学一轮复习讲义 函数与导数：函数的单调性与奇偶性综合问题、抽象函数的性质综合问题复习讲义 考点目录 函数的单调性与奇偶性综合问题 抽象函数的性质综合问题 考点一 函数的单调性与奇偶性综合问题 【知识点解析】 一、核心逻辑 奇偶性负责区间对称转化，单调性负责大小关系推导。二者结合可以解决跨区间的函数值比较、不等式求解问题，本质是将未知区间的问题，转化到已知单调性的区间上求解。 二、常见题型与解法 1. 比较函数值大小 · 题型特征：已知函数在某一区间的单调性，结合奇偶性，比较多个自变量对应的函数值大小。 · 解题步骤： ① 利用奇偶性，将所有自变量转化到同一个单调区间（通常统一到正半轴）； ② 在该单调区间内，比较自变量的绝对值大小； ③ 根据单调性，由自变量的大小关系推出函数值的大小关系。 · 偶函数技巧：利用 ，直接将所有自变量转化为绝对值形式再比较，避免分类讨论。 2. 解函数不等式（最高频考点） · 核心思想：利用单调性脱去函数符号 ，将抽象函数不等式转化为普通代数不等式，必须同步考虑定义域约束与奇偶性转化。 · 分类解法： · 奇函数型：先通过 移项变形，将不等式化为 的标准形式，再结合单调性脱去 ： · 函数递增： · 函数递减： · 偶函数型（优先推荐）：利用 ，将不等式统一为 ，再结合单调性脱去 ，转化为绝对值不等式，无需分正负讨论。 · 必加约束：所有括号内的自变量，都必须在函数的定义域内。 3. 求参数的取值范围 · 题型特征：已知含参函数的奇偶性与单调性，满足函数不等式恒成立，求参数取值范围。 · 解法： ① 利用奇偶性+单调性，将不等式转化为不含 的代数不等式； ② 通过分离参数、解不等式组，得到参数的取值范围； ③ 验证端点值与定义域边界。 4. 求对称区间的函数解析式 · 题型特征：已知 （或 ）时的解析式，结合奇偶性，求另一半区间的解析式。 · 解题步骤： ① 设 在目标区间（如 ），则 在已知区间（）； ② 将 代入已知解析式，得到 的表达式； ③ 利用奇偶性转化：奇函数 ，偶函数 ，得到目标区间的解析式； ④ 补充边界：奇函数在 处有定义时，必有 。 三、通用解题思路 1. 先确定定义域，所有运算不能超出定义域范围； 1. 用奇偶性将自变量转化到已知单调性的区间； 1. 用单调性脱去函数符号，转化为普通不等式或大小比较； 1. 求解结果，验证边界与定义域。 【例题分析】 例1．（26-27高三上·江苏南通·开学考试）已知函数，不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 例2．（2026·云南昆明·模拟预测）已知是定义在上的奇函数，且在上单调递减，，则的解集为（   ） A． B． C． D． 例3．（26-27高三上·四川眉山·阶段检测）已知偶函数的定义域为，且在上是增函数，若，则不等式的解集是______. 例4．（26-27高三上·安徽蚌埠·开学考试）已知连续函数是定义在上的奇函数.当时，，则不等式的解集为______. 例5．（26-27高三上·重庆九龙坡·开学考试）已知函数． (1)证明函数的奇偶性，并指出函数的单调性（不需证明）； (2)若，求取值范围． 【变式训练】 变式1．（26-27高三上·广西贺州·开学考试）定义在上的函数对任意，（），都有，且关于中心对称，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式2．（26-27高三上·云南昭通·阶段检测）已知定义在上的连续函数，其导函数为，若．且当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 变式3．（26-27高三上·广东深圳·阶段检测）已知函数，则不等式的解集为__________． 变式4．（2026·吉林长春·三模）已知函数及其导数的定义域都是，若函数是偶函数，函数也是偶函数，则不等式的解集是__________. 变式5．（26-27高三上·吉林长春·阶段检测）已知函数是定义在上的函数，且是奇函数，是偶函数． (1)求的解析式； (2)解关于的不等式． 考点二 抽象函数的性质综合问题 【知识点解析】 一、核心本质 抽象函数是没有给出具体解析式，仅通过函数方程描述对应关系的函数。解题核心是赋值法，通过代入特殊值推导特殊点函数值、奇偶性、单调性，再利用性质解决问题。 二、核心方法：赋值法 常用赋值技巧 1. 求特殊点函数值： · 求 ：令 、，或令 ； · 求 / ：令 、，或 、。 1. 判断奇偶性：令 ，得到 与 的关系，结合 的值下结论。 1. 判断单调性：设 ，令 ，（或 ），构造 ，结合函数方程变形，判断差的符号。 四类经典抽象函数模型 函数方程形式 对应原型函数 核心性质 正比例函数 ，奇函数； 递增， 递减 指数函数 ， 恒成立； 递增 对数函数 定义域 ，； 递增 幂函数 ，奇偶性由指数决定 注意：模型仅用于辅助理解，答题时不能直接套用原型函数的结论，必须通过赋值法证明。 三、常见题型与解法 1. 判断/证明奇偶性、单调性 · 奇偶性证明：先说明定义域关于原点对称，再赋值 ，推导 与 的关系，下结论。 · 单调性证明：严格用定义法，设 ，结合函数方程将 变形为可判断符号的形式，确定符号后下结论。 2. 解抽象函数不等式 · 解题步骤： ① 利用奇偶性，将不等式化为 的统一形式（ 为 或 ）； ② 利用单调性脱去函数符号 ，转化为普通不等式； ③ 结合函数的定义域，列出完整的不等式组； ④ 求解不等式组，得到解集。 3. 求函数值与解析式 · 求函数值：反复代入特殊值，结合奇偶性、周期性，将目标值转化为已知函数值的点。 · 求解析式：多通过换元法、赋值法推导，通常仅能求特定点或特定区间的表达式。 4. 恒成立与最值问题 · 抽象函数的最值通常由单调性推导：闭区间上的单调函数，最值一定在区间端点取得。 · 恒成立问题转化为函数最值问题，结合单调性求出最值，再解参数不等式。 四、通用解题思路 1. 先赋值：求 、 等特殊点函数值，判断奇偶性； 1. 再判单调：用定义法结合函数方程，推导函数的单调性； 1. 后解问题：利用性质转化为普通代数问题，全程注意定义域； 1. 验证边界：代入特殊值检验结果的合理性。 【例题分析】 例1．（2026·江苏南京·三模）已知定义在上的非常数函数满足：对于任意都有：，.下列选项正确的是（    ） A．是奇函数 B．是偶函数 C． D． 例2．（25-26高三下·河北衡水·阶段检测）已知定义域为R的函数满足，且为奇函数，则一定有（  ） A．6为的一个周期 B． C． D． 例3．（25-26高三下·浙江宁波·阶段检测·多选）已知函数的定义域为，，，则（    ） A． B． C．为偶函数 D．为奇函数 例4．（2026·广东江门·二模·多选）若函数的定义域为，，且，，，则（   ） A． B．， C．为奇函数 D．当时， 例5．（2026·四川成都·模拟预测）已知是定义在上的不恒为零的函数，且， ①若对任意，总有，则是奇函数； ②若对任意，总有，则是偶函数； ③若对任意，总有，则； ④若对任意，总有，则； 则上述说法正确的是______________.（填写序号） 【变式训练】 变式1．（25-26高三上·山西临汾·期末）定义在上的函数不恒为0，对任意均有，且.则下列说法正确的是（   ） A． B．周期为4 C． D．为奇函数 变式2．（25-26高三上·福建龙岩·期中）已知函数对任意的，，都有，且当时，，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 变式3．（2026·河南南阳·模拟预测·多选）已知函数满足，，则（   ） A． B． C．为偶函数 D． 变式4．（25-26高三上·江西宜春·期末·多选）若定义域为R的奇函数满足，且时，则（    ） A． B．当时， C．至少有3个实根 D．在区间上不可能单调 变式5．（2026·河南郑州·模拟预测）已知函数的定义域为，若，且，则__________. 2 学科网（北京）股份有限公司 $